八年级数学下册17勾股定理教案(新版)新人教版

第十七章 勾股定理17．1 勾股定理 第 1 课时 勾股定理 (1)重点 勾股定理的内容和证明及简单应用． 难点 勾股定理的证明．了解勾股定理的发现过程， 应用勾股定理进行简单的计算． 理解并掌握勾股定理的内容， 会用面积法证明勾股定理， 能一、创设情境，引入新课让学生画一个直角边分别为 3 cm和4 cm的直角△ ABC用刻度尺量出斜边的长.再画一个两直角边分别为5和12的直角△ ABC用刻度尺量出斜边的长.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 你是否发现了3 + 4与5的关系，5 + 12与13的关系，即3 +4 =5 , 5 + 12 = 13 , 那么就有勾2+股2=弦:对于任意的直角三角形也有这个性质吗？由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？拼图实验，探求新知1. 多媒体课件演示教材第22〜23页图17.1 —2和图17.1 —3,引导学生观察思考.2. 组织学生小组合作学习. 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法.引导学生用拼图法初步体验结论. 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和. 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明.归纳验证，得出定理(1) 猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2= c2.(2) 是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明. 到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的.①用多媒体课件演示.②小组合作探究：a.以直角三角形ABC的两条直角边a, b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？b.它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系?C.利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法•想一想还有什么方法？师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.二、例题讲解【例1】填空题.⑴在Rt△ ABC中，/ C= 90°, a= 8, b = 15,则c= _______________ ;(2) 在Rt△ ABC中，/ B= 90°, a= 3, b = 4,贝U c = ____________ ;(3) 在Rt△ ABC中，/ C= 90°, c= 10, a : b = 3 : 4,贝U a = ___________ , b = __________ ;(4) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________________ ;(5) 已知等边三角形的边长为2 cm则它的高为______________ cm面积为 ___________ cn^【答案】(1)17 (2) ,7 (3)6 8 (4)6 , 8, 10 (5) .3 . 3【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边.分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算.让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想.【答案】119或13三、巩固练习填空题.在Rt A ABC中，/ C= 90° .⑴如果a= 7, c = 25,贝U b= __________ ;⑵如果/ A= 30°, a = 4,贝U b= ___________ ;⑶如果/ A= 45°, a = 3,贝U c= ______________ ;⑷如果c = 10, a—b= 2,贝U b= _________ ;⑸如果a, b, c是连续整数，则a + b + c = ___________⑹如果b= 8, a : c = 3 : 5,贝U c= _________ .【答案】(1)24 (2)4 3 (3)3 2 (4)6 (5)12(6) 10四、课堂小结1. 本节课学到了什么数学知识？2. 你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？3. 你还有什么困惑？本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动, 思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想表达活动过程和所获得的结论等. 关注学生的拼图过程，验证勾股定理.关注学生能否在活动中积极(数形结合)以及学生能否有条理地鼓励学生结合自己所拼得的正方形第2课时勾股定理(2)能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．重点将实际问题转化为直角三角形模型．难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．一、复习导入问题1：欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需要多长的梯子？师生行为：学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．生：根据题意，（如图）AC是建筑物，则心12 m BC= 5 m AB是梯子的长度，所以在Rt△ ABC中，AB2= A C+B C= 122+ 52= 132，贝U AB= 13 m所以至少需13 m长的梯子.师：很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a, b,就可以求出斜边c的长•由勾股定理可得a2= c2—b2或b2= c2—a2,由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长,也就是说,在直角三角形中,已知两边就可求出第三边的长.问题2 :一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径.生1 :从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.生2 :在长方形ABCC中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC,再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过.师生共析：解：在Rt△ ABC中，根据勾股定理AC= A B"+B C= 12+ 22= 5.因此AC= , 5 2.236.因为AC沐板的宽，所以木板可以从门框内通过.二、例题讲解【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是 4 3米，则这两棵树之间的垂直距离是________ 米，水平距离是____________ 米.分析：由/ CAB= 30°易知垂直距离为2@米，水平距离是6米.【答案】2 3 6【例2】教材第25页例2三、巩固练习1. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B, C两点，在江对岸取一点A,使AC垂直江岸，测得BO 50米，/ B= 60°,则江面的宽度为__________________ .【答案】50 3米2. 某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200米,结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度.【答案】约480 m四、课堂小结1•谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形.2. 本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答.这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力．第3 课时勾股定理(3)1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．重点在数轴上寻找表示2, 3, 5，…这样的表示无理数的点.难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.一、复习导入复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用.师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.你们能用勾股定理证明这一结论吗？学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结.先画出图形，再写出已知、求证如下：已知：如图，在Rt△ ABC和Rt△ A B' C'中，/ C=Z C'= 90°, AB= A B', AC= A C'.求证：△ AB3A A B' C'.证明：在Rt△ ABC和Rt△ A' B' C'中，/ C=Z C = 90°,根据勾股定理，得BC= AB"- A C, B' C'= A B' 2—A C' 2.又AB= A B', AC= A C',「. BC= B' C',「.△ABC^A A B' C（SSS .师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出.13所对应的点吗？教师可指导学生寻找像长度为，2, •. 3, 5,「这样的包含在直角三角形中的线段.师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为2, 3, 5，…，所以只需画出长为2, 3, 5,…的线段即可，我们不妨先来画出长为.2 , , 3, i 5，…的线段.生：长为眾的线段是直角边都为i的直角三角形的斜边，而长为{5的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边.师：长为，13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c = ；' 13,两直角边长分别为a, b，根据勾股定理a + b = c［即a + b = 13.若a, b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13 = 4 + 9, a2= 4, b2= 9,则a = 2, b= 3，所以长为，13的线段是直角边长分别为2, 3的直角三角形的斜边.师：下面就请同学们在数轴上画出表示，13的点.生：步骤如下：1 .在数轴上找到点A,使OA= 3.2. 作直线I垂直于OA在I上取一点B,使AB= 2.3. 以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C,则点C即为表示13的点.二、例题讲解【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C, B点是两个时刻飞机的位置，/ C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题.解：根据题意，得在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 5000米，AC= 4800米.由勾股定理，得A B"=A C +B C,即卩50002= B C+ 48002,所以BC= 1400 米.飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400X 6X 60= 504000（米）= 504（千米），即飞机飞行的速度为504千米/时.【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD= 3分米，CB= 6分米，AD= AB BC丄AD,所以在Rt△ ACB中，A B= AC? + BC2,即（AC+ 3）2= AC+ 62, AC+ 6AC+ 9= AC+ 36,「. 6AC= 27 , AC= 4.5，所以这里的水深为4.5分米.【例3】在数轴上作出表示.17的点.解：以，17为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点，如下图:师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视指导.此活动中，教师应重点关注以下两个方面：①学生能否积极主动地思考问题；②能否找到斜边为.17,另外两条直角边为整数的直角三角形.三、课堂小结1 •进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题.2•你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应.本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力.17.2 勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理（1）1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．重点探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．难点归纳猜想出命题2 的结论．一、复习导入活动探究(1) 总结直角三角形有哪些性质；(2) 一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？生：直角三角形有如下性质：(1) 有一个角是直角；(2) 两个锐角互余；(3) 两直角边的平方和等于斜边的平方；(4) 在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？生1 ：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．生2 ：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a, b与斜边c具有一定的数量关系即a2+ b2= c2,我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结,然后以3 个结、4个结、5 个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角．这个问题意味着,如果围成的三角形的三边长分别为3, 4, 5,有下面的关系：32＋42 =52,那么围成的三角形是直角三角形.22 画画看，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm 6 cm 6.5 cm有下面的关系：2.5 + 6=6.5 2,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 4 cm, 7.5 cm 8.5 cm,再试一试.生1:我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AO 3;同理BC= 4, AB= 5.因为32+ 42= 52,所以我们围成的三角形是直角三角形.生2:如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm. 我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5 cm的边所对的角是直角，并且 2.5 2+ 62= 6.5 2.再换成三边长分别为4 cm 7.5 cm 8.5 cm的三角形，可以发现8.5 cm的边所对的角是直角，且有42+ 7.5 2= 8.5 2.师:很好！我们通过实际操作，猜想结论.命题2如果三角形的三边长a, b, c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形. 再看下面的命题:命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c,那么a2+ b2= c2.它们的题设和结论各有何关系？师:我们可以看到命题2 与命题1 的题设、结论正好相反, 我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.例如把命题1当成原命题,那么命题2 是命题1 的逆命题.二、例题讲解【例1】说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗？(1) 同旁内角互补,两条直线平行;(2) 如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等;(3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(4) 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.分析: (1) 每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用;(2) 理顺它们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假.解略.三、巩固练习教材第33 页练习第2 题.四、课堂小结师:通过这节课的学习,你对本节内容有哪些认识？学生发言,教师点评.本节课的教学设计中,将教学内容精简化,实行分层教学.根据学生原有的认知结构, 让学生更好地体会分割的思想. 设计的题型前后呼应, 使知识有序推进, 有助于学生理解和掌握;让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程,激发学生探究新知的兴趣,感受探索、合作的乐趣,并从中获得成功的体验,真正体现学生是学习的主人.将目标分层后,满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．第2 课时勾股定理的逆定理(2)1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的概念．重点勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念． 难点理解互逆定理的概念．一、复习导入师：我们学过的勾股定理的内容是什么？生：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b ，斜边长为c ,那么a 2+ b 2= c 2.师：根据上节课学过的内容， 我们得到了勾股定理逆命题的内容： 如果三角形的三边长 a , b , c 满足a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角形.师：命题 2 是命题 1 的逆命题， 命题 1 我们已证明过它的正确性， 命题 2 正确吗？如何 证明呢？ 师生行为：让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路.师：△ ABC 的三边长a , b , c 满足a 2 + b 2= c 2.如果△ ABC 是直角三角形，它应与直角边 是 a ，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 A B' C',使B' C'= a , AC'= b ，/ C'= 90° (如图)，把画好的厶A B' C'剪下，放在△ ABC 上，它们重合吗？ 生:我们所画的 Rt △ A ' B' C', (A ' B') 2= a 2+ b 2,又因为 c 2 = a 2+ b 2,所以(A ' B')：2 =c ，即 A B'= c.△ ABC 和厶A B' C'三边对应相等，所以两个三角形全等，/ C =Z C'= 90°,所以△ ABC为直角三角形.即命题2 是正确的.师：很好！我们证明了命题2是正确的, 那么命题2 就成为一个定理. 由于命题1 证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．师：你还能举出类似的例子吗？生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．显然原命题成立，而逆命题不一定成立．二、新课教授【例1】教材第32 页例1【例2】教材第33 页例2【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中/A 和/DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.解：在△ ABD中，AB2+ AD = 9+ 16 = 25= BD,所以△ ABD是直角三角形，/ A是直角.在厶BCD 中，BD + BC= 25 + 144= 169= 132= CD，所以△ BCD是直角三角形，/ DBC是直角.因此这个零件符合要求.三、巩固练习1.小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m再走100 m回到原地.小强在操场上向东走了80 m 后，又走60 m的方向是__________________________ .【答案】向正南或正北2•如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A, B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截•已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°,求甲巡逻艇的航向.1 12 2 2【答案】解：由题意可知：AC= 120X 6X = 12 , BC= 50X 6X = 5, 12 + 13 .又60 60AB= 13,「. AC+ BC= A氏•••△ ABC是直角三角形，且/ ACB= 90°,二/ CAB= 40°，航向为北偏东50° .四、课堂小结1.同学们对本节的内容有哪些认识？2 •勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数.本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.。