2013年高考数学试题(17)推理与证明 3

1.（福建文科12）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1] ②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”. 其中，正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4 答案：C2.（广东理科8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 （A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、 C ，若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D 3.（广东理科20）（本小题满分14分） 设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211n n n n a b a b--=⋅+① 当2b =时，1112n n n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22n n n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列∴112()22n n n a b b b+=⋅-- ∴212(2)2(2)n n n n nn n b a b b b b b -=-=--- ∴(2)2nn n n n b b a b-=-综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， （2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b b b -----=-++++122112(1)12(1)(1)(1)2222222nnnn n n n n n n n n n n n nn b n b b a b b b n bb----+++-+++---⋅⋅=≤=++++⋅⋅11111111211111112222222222222n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b+++-++++----++-⋅⋅+=====<=⋅1112n n b +++ ∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n nn n nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n n n nn b b b b+-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b b b ----+≤+++++即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b n b b b b---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b bb b---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b----+=++++++++ 212123211122222222222n n n n n n n n b b b b n b b b b----+≥⋅+⋅++⋅+⋅=，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．4.（广东文科10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ⋅；对任意R x ∈，=))((x g f (())f g x ；()()f g x ⋅=()()f x g x .则下列等式恒成立的是（ ）A.)))(()(()()((x h g h f x h g f ⋅⋅=⋅B.)))(()(()()((x h g h f x h g f ⋅=⋅C.)))(()(()()((x h g h f x h g f =D.)))(()(()()((x h g h f x h g f ⋅⋅⋅=⋅⋅ 解：)())(()())(()()((x h x g f x h x g f x h g f =⋅=⋅ ，))()(())()(())()(()))(()((x h x g h x h x g f x h g h f x h g h f =⋅⋅=⋅⋅ 故A 不成立；))(())(())()(()()((x h g x h f x h g f x h g f =⋅=⋅ ，))(())(())(())(()))(()((x h g x h f x h g x h f x h g h f =⋅=⋅ 故B 成立。

5.（广东文科20）（本小题满分14分） 设0>b ，数列{}n a 满足b a =1,11(2)1n n n nba a n a n --=+-≥（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，121+≤+n n b a 。

解:(1)依题意得：111-+=--n a ba n a n n n ，取倒数得：ba nb a n n n 1111+-⋅=-， ①当1=b 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n a nn =∴，则1=n a当1≠b 时，令nn a nb =，则b b b b n n 111+⋅=-，用待定系数法得：)11(1111--=---b b b b b n n ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--11b b n 是以)1(1b b -为首项，以b 1为公比的等比数列11)1()1(11-+⋅-=∴-b b b b b n n 111)1(1-+⋅-=b b b n nn bb b )1(1--=，n n n b b b n a --=∴1)1( ∴数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(,1b b b b n b a nn n ，（2）当1=b 时，不等式可以验证，显然成立；当1≠b 时，不等式等价于证明11)1(221+≤--=+n nnn b b b b n a ，即证明)1(1121+⋅--≤+n n n b b b nb又)1)(1()1(111211+++++=+⋅--+--+n n n n n b b b b b b b)()1(1212221++---+++++++++=n n n n n n b b b b b b b)]()111[(22n n n b b b b b b b +++++++=)]1()1()1[(22n n n b bb b b b b ++++++=n n n n nb bb b b b b b 2]121212[22=⋅++⋅+⋅≥ 6.(湖北理科15）给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互．不相邻．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互．不相邻．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.n=1n=2 n=3 n=47.（湖南理科16）对于*n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则 （1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑答案：（1）2；（2）1093解析：（1）因32101212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11k C -个，有2个0的有21k C -个，……有m 个0的有1m k C -个，……有1k -个0的有111k k C --=个。

故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：01122111111122223k k k k k k C C C ------⋅+⋅+⋅++⋅=。

又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑。

8.（湖南理科22）（本小题满分13分） 已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x +x 。