纳米Al2O3-40%TlO2复相陶瓷颗粒增强镍基合金复合涂层的摩擦学性能
三元相图
根据分析析晶能力，解决实际玻璃的失透问题。
玻璃中析晶影响：玻璃的透光性、玻璃的机械强 度、玻璃的热稳定性 玻璃失透含义：玻璃是均质体，若出现析晶将破 坏玻璃的均一性，是玻璃的一种严重缺陷。 实验结果表明：熔体析晶能力由大到小排列， 初晶区熔体 > 界线上熔体 > 共熔点处熔体 原因：不同晶体结构之间的相互干扰。
4、CaO-Al2O3-SiO2
系统共有10个二元化合物，其中
4个是一致熔化合物：CS、C2S、C12A7、A3S2， 6个不一致熔化合物：C3S2、C3S、C3A、CA、 CA2、CA6， 2个一致熔三元化合物
有15个无变量点，整个相图划分为15个副三 角形。
在富硅区有液相分层、晶型转变。
相图的实际应用: 硅酸盐水泥的配料 硅酸盐水泥中含有C3S、 C2S、 C3A、
元系统相图的浓度三角形
C
D A
B
D A
¾等含量规则 ¾等比规则
C B
最简单的四元系统相图
D
B
C
A
§2-5 三元交互系统相图
固相物质之间能够进行置换反应的系统为 交互系统（互易系统）
AX+BY=AY+BX 处于化学反应式同一端的固相物质构成交
互对 系统中存在两个交互对，四种固相物质 仍符合相律，独立组分数为4-1=3
配料点的位置不同，制品中的主晶相不 同，制品的性能就不同。
滑石瓷的烧结范围狭窄。通过L、M、N点的
液相量就可以看出这一点。所以滑石瓷中一般 限制粘土的用量在10%以下。
3、 Na2O-Al2O3-SiO2
NS－CS－SiO2 系统的富硅部分
三元相图五套题
试题一一. 图1是Na2O的理想晶胞结构示用意，试回答：1．晶胞分子数是多少；2．结构中何种离子做何种密堆积；何种离子填充何种空隙，所占比例是多少；3．结构中各离子的配位数为多少，写出其配位多面体；4．计算说明O2-的电价是不是饱和；5．画出Na2O结构在（001）面上的投影图。
二. 图2是高岭石(Al2O3·2SiO2·2H2O)结构示用意，试回答：1．请以结构式写法写出高岭石的化学式；2．高岭石属于哪种硅酸盐结构类型；3．分析层的构成和层的堆积方向；4．分析结构中的作用力；5．根据其结构特点推测高岭石具有什么性质。
三. 简答题：1.晶体中的结构缺陷按几何尺寸可分为哪几类？2.什么是负扩散？3．烧结初期的特征是什么？4.硅酸盐晶体的分类原则是什么？5.烧结推动力是什么？它可凭哪些方式推动物质的迁移？6.相变的含义是什么？从热力学角度来划分，相变可以分为哪几类？四. 出下列缺陷反应式：形成肖特基缺陷；形成弗仑克尔缺陷（Ag+进入间隙）；掺入到Nb2O3中，请写出二个合理的方程，并判定可能成立的方程是哪一种？再写出每一个方程的固溶体的化学式。
溶入CaCl2中形成空位型固溶体五. 表面力的存在使固体表面处于高能量状态，然而，能量愈高系统愈不稳定，那么固体是通过何种方式降低其过剩的表面能以达到热力学稳定状态的。
六.粒径为1μ的球状Al2O3由过量的MgO微粒包围，观看尖晶石的形成，在恒定温度下，第一个小时有20%的Al2O3起了反映，计算完全反映的时刻：⑴用杨德方程计算；⑵用金斯特林格方程计算。
七.请分析熔体结构中负离子团的堆积方式、聚合度及对称性等与玻璃形成之关系。
八.试从结构和能量的观点解释为什么D晶界>D晶内？九.试分析二次再结晶过程对材料性能有何影响？工艺上如何防止或延缓二次再结晶的发生？十.图3是A-B-C三元系统相图，根据相图回答下列问题：1．写出点P，R，S的成分；2．设有2kgP，问需要多少何种成分的合金Z才可混熔成6kg成分为R的合金。
固体粉体堆积密度大全
固体,颗粒,粉末散装物料堆积密度表1(信息来源:介可视公司)散装物料堆积密度?(kg/l) A蚕豆0,75?-?0,85活性炭0,21氧化铝0,80?-?1,05碱纤维素0,25铝渣1,90?-?2,20氧化铝0,90硅酸铝0,78硫酸铝0,85氨0,90茴香0,35?-?0,40苹果籽? 0,60苹果粉0,50?-?0,60杏脯，干0,50?-?0,60石棉纤维0,26灰（渣）0,90灰分，干燥0,55?-?0,65B面包粉0,55?-?0,65砖块，磨碎1,40香蕉粉0,40?-?0,50紫淑，切丝0,30?-?0,40棉花片0,42棉籽粕0,30棉油渣0,40膨润土0,72?-?0,94混凝土砾石1,72?-?1,86酒糟0,25?-?0,30浮石砂0,70苦羽扇豆（种子）0,76?-?0,83泡沫玻璃0,20?-?0,40膨松珍珠岩0,05?-?0,15陶粒0,30?-?0,80氧化铅0,95?-?2,40铅尘3,00豆子0,65硼酸0,90啤酒酒糟，干燥0,45啤酒大麦，干燥0,55 散装物料堆积密度?(kg/l) 硅胶0,04明矾1,20铸造砂1,45铝片1,30氢氧化铝0,25铝粉0,90铝屑，精细0,11硝酸铵0,72苯胺1,89苹果，干燥，榨取0,24?-?0,30苹果果胶0,51橘皮，干0,24氧化砷1,60?-?1,90石棉粉0,39灰分，湿0,70?-?0,90破碎的沥青0,72?-?0,95发酵粉0,70香蕉片0,25?-?0,30玄武岩片1,60棉绒0,07?-?0,09棉籽0,60棉花片0,20矾土1,20混凝土拌合物2,10啤酒酵母，干燥0,40?-?0,55浮石粉0,64泻盐0,80?-1,00沥青颗粒0,75云母粉0,06?-?0,17膨松页岩0,40?-?0,85铅矿砂3,20?-?4,32铅盐，?砷酸1,10血粉0,50硼砂0,97啤酒糟粕，潮湿0,90啤酒大麦，潮湿0,90褐煤，精细0,65?-?0,75褐煤，干燥0,70?-?0,90褐煤粉0,40?-?0,60褐煤，湿的0,90?-?1,00 褐煤，焦炭0,67糙米0,75?-?0,78 青铜粉4,10荞麦0,60?-?0,65 C玻璃片0,46干香菇0,35?-?0,45 D枣，干?燥0,45?-?0,60 莳萝，干燥? 0,25?-?0,35 鳕鱼肝粉0,70?-?0,75 糖衣片0,55?-?0,85 E硬橡胶1,04?-?1,12 火山泥0,80碎冰0,90氧化铁0,87?-?1,30 铁屑2,00冰淇淋粉0,35环氧树脂粉0,80豌豆麸皮0,20?-?0,25 泥土，干燥1,60花生，带壳0,25?-?0,35 矿石1,40?-?2,60 F矿泥0,80煤粉0,85?-?1,00 茴香0,35?-?0,45 鱼粉0,60?-?0,75 鱼粉，沙丁鱼0,58亚麻籽0,70?-?0,75 肉粉0,55?-?0,65 氟石1,40?-?1,70 氟石，研磨1,40?-?1,60 果汁，速溶0,45?-?0,60 果糖0,45?-?0,55 饲料石灰1,50?-?1,80 G虾仁，干燥0,40?-?0,45 园艺碎屑1,30?-?1,35 家禽饲料0,64明胶胶囊0,30?-?0,45 大麦（酿造）0,68?-?0,72 大麦麸皮0,20?-?0,25 煤球（普通）0,75?-?0,82 碎玻璃1,40?-?1,90 荞麦粉0,30?-?0,35 棉花籽0,35葡萄糖0,57白云石1,60鳕鱼粉0,60?-?0,65 农用石灰1,26煤球0,70?-?0,82 鸡蛋粉0,25铁矿石1,60?-?3,20 铁粉3,50硫酸亚铁0,90?-?1,20 珐琅粉1,10豌豆0,75?-?0,85 豌豆粉0,35?-?0,45 花生，去壳0,50花生种子0,64彩色颜料0,65长石1,20?-?1,80 鱼饲料0,77鱼粉，鲈鮋0,59亚麻粉0,40瓶盖0,35?-?0,45 粉煤灰0,45?-?0,50 氟石，破碎1,20?-?1,55 型砂0,90?-?1,30 涂巧克力的水果0,50?-?0,70 漂白土0,35?-?0,60 虾粉0,48气焦0,40明胶0,74黄芥末0,72大麦（饲料）0,60?-?0,66 大麦粉0,35?-?0,40 谷物0,60石膏（建筑石膏）0,90玻璃，研磨1,70玻璃纤维0,20玻璃珠1,78玻璃微珠，空心0,40芒硝1,40云母，烧焦0,10云母，原料0,83石墨片0,40大麦粗粉0,55?-?0,60 混合香料0,40?-?0,70 石膏粉尘0,96?-?1,12 碎玻璃1,30?-?1,65 玻璃配合料0,80?-?1,60 玻璃微珠1,50玻璃碎片1,65云母片0,16云母，研磨0,25花岗岩，破碎1,50?-?1,60 石墨颗粒1,12草粉0,25?-?0,30 米粒0,50?-?0,65 青麦0,50?-?0,60 橡胶颗粒0,46橡胶片0,40 石墨粉0,45?-?0,58 草籽0,16粗粒粉0,66绿麦芽0,40橡胶颗粒0,80?-?0,88 铸铁屑2,08?-?3,20散装物料堆积密度?(kg/l) H燕麦0,50燕麦粥0,45?-?0,50玫瑰果，干燥0,45尿素0,65?-?0,75榛子仁，切碎0,50干草颗粒0,40?-?0,70高粱0,70?-?0,80高炉矿渣1,50高炉水泥0,90?-1,20木炭0,20?-?0,40木渣0,16?-?0,50木材刨花0,20?-?0,30木棉0,02酒花颗粒0,50鸡饲料0,55?-?0,65炉渣0,65?-?0,90I姜，干燥，压扁0,45?-?0,55K奶酪，磨碎的0,35咖啡豆，烘焙0,35?-?0,45咖啡粉（速溶）0,18可可粉0,45?-?0,55钾盐1,10?-?1,20碳酸钾0,82硫酸钾1,80石灰，?熟化0,70 散装物料堆积密度?(kg/l) 燕麦片0,35?-?0,40燕麦麸0,32?-?0,35玫瑰果，干燥，切碎0,50榛子仁0,58榛子仁，烘烤0,45山核桃（坚果肉）0,35小米粉0,40?-?0,45高炉矿渣砂0,7木片，干燥0,54?-?0,60木粉0,25?-?0,45木屑0,30木尘，干燥0,35蛇麻草，干燥0,35牛角花0,83狗饲料，干燥0,50?-?0,80熟石灰0,33?-?0,45咖啡，压扁的0,50?-?0,60咖啡豆，绿色0,45?-?0,65可可豆0,45?-?0,65可可粗粉0,51氯化钾2,00硝酸钾0,75石灰0,96熟石灰1,00?-?1,20方解石1,38石灰石，破碎1,30?-?1,60电石1,20甘菊茶，研磨0,25?-?0,30石灰灰泥，干燥1,65石灰石，破碎2,60石灰石粉1,25洋甘菊0,175加那利籽0,55?-?0,65 小豆蔻，研磨0,37马铃薯粉0,70马铃薯淀粉0,70猫粮，干燥0,50?-?0,80 砂岩1,50?-?1,90 硅藻土0,17?-?0,22 麸皮0,25?-?0,30 大蒜粉0,33氯化钠0,67?-?0,80 椰肉干，糊状物0,45煤渣1,00焦炭0,35?-?0,60 焦粉0,82芫荽，整个0,50?-?0,55 软木，细磨0,20?-?0,25 浓缩饲料0,54水晶砂，干燥1,46孜然，压扁的0,40塑料片0,10?-?0,150 铜渣1,70L乳糖0,45?-?0,55 壤土，湿润2,00胶粉0,60?-?0,65 亚麻籽粕0,40?-?0,50 M镁石2,40氧化镁0,62硫酸镁0,66玉米，小粒0,80?-?0,88 玉米蛋白粉0,40?-?0,50 玉米粉0,46麦芽，干燥0,30?-?0,50 麦芽粉0,63杏仁0,48硫酸锰1,10大理石粉1,20麻子，压扁的0,45金属粉3,04奶粉（脂肪）0,35 高岭土0,80马铃薯片0,25?-?0,30 马铃薯0,75酪蛋白0,55锅炉灰渣0,95?-?1,00 二氧化硅1,05硅酸0,06苜蓿草籽0,82骨粉0,75?-?0,85 椰肉干，破碎0,65椰子粕0,65煤粉0,45焦炭灰? 0,70?-?0,90 转炉炉尘2,70芫荽，研磨0,40?-?0,55 软木屑0,18?-?0,25 粉笔1,40香芹籽0,45人工肥料1,0?-?1,10 铜矿石2,00?-?2,40 月桂，压扁的0,35壤土，干燥1,60亚麻籽0,50?-?0,60 扁豆0,80?-?0,85 碳酸镁0,25硬脂酸镁0,34玉米，粗粒0,75?-?0,80 玉米糁0,65玉米皮0,25?-?0,30 玉米淀粉0,48麦芽，干燥0,10?-?0,15 麦芽粒0,40锰矿石1,80木薯粉0,50?-?0,60 大理石碎片1,50机用石膏，干燥0,60?-?1,00 甲基纤维素0,37奶粉0,30?-?0,40 乳糖0,60?-?0,70 混合沙1,54砂浆，石灰1,70砂浆，水泥-石灰2,00罂粟籽0,65肉豆蔻（坚果）0,65表土1,80奶粉（脱脂）0,55混合饲料0,50砂浆，石膏1,20砂浆，水泥2,00罂粟0,40?-?0,50 乳清粉0,65?-?0,70 肉豆蔻，研磨0,46N碳酸氢钠0,98氢氧化钠1,35磷酸钠0,65浮石，精细0,80?-?0,90 丁香，研磨0,45O油籽0,70油质黏结剂0,30?-0,55 橄榄,?干燥0,50?-?0,60 草酸，晶体1,00P面包屑0,40?-?0,55 巴西坚果果仁0,65?-?0,72 蒸谷米，长粒，白米0,76?-?0,80 巴尔马干酪，研磨0,50?-?0,75 苏籽0,55?-?0,60 珍珠岩，膨松0,12PET-颗粒0,85辣椒，白，研磨0,47马饲料0,60?-?0,70 李子，干燥0,50?-?0,60 色素染料0,50?-?0,80 多香果，压扁的0,50?-?0,55 松子0,55开心果0,55?-?0,70 聚乙烯（颗粒）0,50聚乙烯（粉末）0,45聚酰胺（颗粒)? 0,55?-?0,60 瓷土1,40硅酸盐水泥，振动1,60?-?1,90 煤饼1,00聚四氟乙烯（粉末）0,51爆米花0,05聚氯乙烯（颗粒）0,50?-?0,60 PVC板0,60热解焦0,60?-?1,00 氯化钠1,30硝酸钠1,35硫酸钠1,35浮石，粗糙0,45?-?0,55 核级煤0,80?-?0,95 油籽粕0,50油萝卜籽0,75橘皮，干燥0,24胡椒粉0,40?-?0,50 蒸谷米，长粒，糙米0,75蒸谷米，中粒，白米0,83?-?0,84 青霉素0,55珍珠岩（岩石）1,17珍珠岩颗粒0,09?-?0,11 辣椒，黑，研磨0,50花椒0,27鸡油菌，干燥0,35?-?0,45 酚醛树脂0,52磷酸盐2,00聚碳酸酯0,67聚酯纤维0,70聚丙烯（颗粒）0,50聚丙烯（粉末）0,54聚苯乙烯(扩大的) 0,10聚苯乙烯（颗粒）0,60聚苯乙烯（粉末）0,55硅酸盐水泥，松散0,90?-?1,20 钾肥1,12聚四氟乙烯（颗粒）0,53布丁粉0,50聚氯乙烯（聚结块）0,40聚氯乙烯（粉末）0,57PVC，软质（扁平状）0,40散装物料堆积密度 (kg/l)散装物料堆积密度 (kg/l)Q夸克粉0,45?-?0,55 石英粉1,00?-?1,20 石英粉尘1,12?-?1,28 R油菜籽0,56?-?0,60 水稻0,65?-?0,75 大米，糙米0,57稻壳0,105米磨面0,35?-?0,40 树皮碎片，云杉/松木，潮湿0,70?-?0,85 油炸洋葱，干燥的0,45?-?0,60 黑麦?（沙地）0,72?-?0,76 黑麦麸皮，精细0,34?-?0,38 黑麦面粉0,47?-?0,55 磷矿石1,50原盐0,72?-?0,83 葡萄干0,62迷迭香，干燥0,25?-?0,35 甜菜根，块茎0,60甜菜籽0,74烟灰0,35S锯末0,29?-?0,45 锯屑0,35?-?0,55 盐（氯化钠）0,75砂，精细，湿润1,00水洗砂1,32?-?1,62 粘土1,80泡沫片0,02板岩，破碎1,38?-?1,56 高炉炉渣0,85?-?1,00 研磨粉2,30快速煮饭米，长粒0,40?-?0,60 巧克力粉0,65巧克力豆0,60?-?0,80 红茶0,30?-?0,45 皂片0,20?-?0,40 皂粉0,58芥末籽0,45?-?0,55 硅粒1,20硅粉1,20苏打1,00轻质苏打0,74大豆粉0,42 石英砾石1,60石英砂1,50源面粉0,40?-?0,55 草坪肥料0,86?-?0,95 大米，精制0,75米片0,19?-?0,21 米粉0,38?-?0,45 稻壳0,11?-?0,12 蓖麻子0,40黑麦（山区）0,66?-?0,70 黑麦粗粉0,52?-?0,55 黑麦麸皮，粗糙0,29?-?0,32 黑麦面粉（中间产物）0,35?-?0,45 稻米（水稻），预净化0,51?-?0,60 原糖0,95迷迭香，研磨0,36鲈鮋鱼粉0,59甜菜0,65圆砾石，洗过的1,52?-?1,62 烟尘（碳黑颗粒）0,10锯末，干燥0,11?-?0,19 硝铵1,30盐（岩盐）1,40砂，精细，干燥1,30?-?1,40 沙丁鱼鱼粉0,58泡沫玻璃颗粒0,12?-?0,16 洗衣粉1,00板岩粉1,10?-?1,30 炉渣，多孔性，破碎0,45?-?0,50 除蛞蝓药0,82快速煮饭米，中粒0,55?-?0,65 巧克力片0,50?-?0,65 砾石（卵石）1,40重晶石1,20肥皂条0,60块根芹0,60硅胶0,68碳化硅0,80?-?1,00 烧结浮石0,40?-?0,80 重质纯碱0,88?-?1,04 黄豆0,70豆粕0,50?-?0,55 葵花籽0,35干质菠菜粉0,42稳定剂1,10夏季油菜0,68酱汁粉0,40?-?0,55 洗净砾石1,36?-?1,48 淀粉0,40?-?0,65 钢珠4,42煤粉0,70硬煤，干燥0,83岩盐,?磨碎0,45?-?0,75 块煤0,90汤粉0,40?-?0,60 聚苯乙烯泡沫塑料球0,029T烟草切丝0,24?-?0,40 滑石粉0,65?-?0,95 茶叶0,39动物粉0,50?-?0,55 番茄汁（即溶）0,45?-?0,55 粘土颗粒1,25陶土，干燥的0,55?-?0,85 泥炭，干燥的0,35浮石凝灰岩, 磨碎的0,93饲料酵母0,17?-?0,23 V香草，研磨0,35香草糖0,95W杜松果，干燥0,55核桃，带壳0,45?-0,55 洗衣粉0,30白米，长粒0,75?-?0,85 白米，圆粒0,81?-?0,85 小麦，软质0,73?-?0,78 小麦粉，粗糙0,50?-?0,55 麦麸，精细0,28?-?0,35 面粉?(405-630) 0,55?-?0,60 面粉（中间产品）0,35?-?0,45 碎小麦，粗糙0,50?-?0,52 野豌豆0,75?-?0,80 Z醋酸纤维素0,55纤维素粉0,23水泥熟料1,20?-?1,30 菊苣粉0,35废砖1,30锌粒4,00 钢丸3,70钢切屑1,60?-?2,40 硬煤，潮湿1,00岩盐? 1,20岩棉-细颗粒0,08?-?0,11 过磷酸盐0,80聚苯乙烯0,05烟粉0,35?-?0,40 滑石0,80?-?1,00 饲料0,50?-?0,80 二氧化钛0,79粘土，干燥1,90湿润粘土1,20?-?1,60 泥炭，潮湿0,50?-?0,60 蛋糕奶油粉0,55?-?0,65 干燥谷物0,26香草粉0,45维生素0,45?-?1,00 晶片0,30?-?0,55 核桃仁0,50白米，破碎0,81?-?0,84 白米，中粒0,80?-?0,83 小麦，硬质0,80?-?0,85 小麦粉，精细0,55?-?0,60 麦胚，干燥0,20麦麸，粗糙0,18?-?0,25 面粉?(812-1200)? 0,45?-?0,55 碎小麦，精细0,55?-?0,60 小麦淀粉0,45?-?0,55 钨粉4,00纤维素片0,04?-?0,08 水泥1,30?-?1,45 水泥原料0,96粘土1,20碎砖0,75?-?1,40 氧化锌0,60?-?1,00 硬脂酸锌0,22柠檬酸0,80?-?0,90 糖（水晶）1,02锌粉2,30硫酸锌0,80褐糖0,70?-?0,88 糖粉0,62。
上海市晋元高级中学2025届化学高一上期中复习检测试题含解析
上海市晋元高级中学2025届化学高一上期中复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、在相同温度和压强下，三个容积相同的容器中分别盛有N2、O 2、空气，下列说法正确的是（ ）A ．三种气体质量之比为1∶1∶2B ．三种气体的密度之比为1∶1∶1C ．三种气体的分子数之比为1∶1∶1D ．三种气体原子数之比为1∶1∶22、下列溶液中导电性最强的是A ．1L0.1mol/L 醋酸B ．0.1L 0.1mol/L H 2SO 4溶液C ．0.5L 0.1mol/L 盐酸D ．2L 0.1mol/L H 2SO 3溶液 3、下列选项的括号内是除去杂质所用的试剂，其中错误的是（ ）A ．二氧化氮中混有NO （水）B ．NaNO 3溶液中混有Na 2SO 4［Ba （NO 3）2］C ．氯气中混有水蒸气（浓硫酸）D ．氨气中混有水蒸气（碱石灰固体）4、已知aRO 4x-+bH ++cCl -=dR 2++5Cl 2↑+8H 2O ，则RO 4x-中R 的化合价为A ．+4B ．+5C ．+6D ．+75、在酸性条件下，可发生如下反应： 3ClO -+2M 3++4H 2O=27M O n -+Cl －+8H +， 27M O n -中M 的化合价是 （ ）A ．+4B ．+5C ．+6D ．+76、下列有关用途说法不正确．．．的是 A ．溴化银是重要感光材料可用于人工降雨B ．热的纯碱溶液显碱性可用于除去金属表面的油污C ．汽车车灯使用高压钠灯是因为黄光透雾力强、射程远D ．明矾可用于净水是因为在水中生成氢氧化铝胶体吸附了水中悬浮的杂质7、将9g 由CO 和H 2组成的混合气体在足量的O 2中充分燃烧后，将生成的所有产物通过足量的Na 2O 2固体，Na 2O 2固体增加的质量为( )A ．8gB ．9gC ．12gD ．13.5g8、如图为常见玻璃仪器组成的六种实验装置，根据需要加入液体或者固体试剂。
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.3.1圆的标准方程训练含解析新人教B版选择
第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为()A.(x+3)2+(y-4)2=4B.(x-3)2+(y+4)2=4C.(x+3)2+(y-4)2=2D.(x-3)2+(y+4)2=22.方程y=√9-x 2表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{y =8,x -y -1=0可得圆心为(9,8), 故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0x 2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l 与直线x+y+1=0垂直,所以直线l 的斜率k=1.由点斜式得直线l 的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.将圆x 2+y 2=2沿x 轴正方向平移2个单位后得到圆C ,则圆C 的标准方程为.x-2)2+y 2=27.当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ,则以点C 为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.x+1)2+(y-2)2=5(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.8.若圆的方程为(x +k 2)2+(y+1)2=1-34k 2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.-1)1圆的方程为(x +k 2)2+(y+1)2=1-34k 2, ∴r 2=1-34k 2>0,r max =1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).9.求以A (2,2),B (5,3),C (3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a )2+(y-b )2=r 2,则有{(2-a )2+(2-b )2=r 2,(5-a )2+(3-b )2=r 2,(3-a )2+(-1-b )2=r 2,解得{a =4,b =1,r 2=5,10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求:(1)线段AB 的垂直平分线l 的方程;(2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4), ∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12.∵直线l 垂直于直线AB ,∴直线l 的斜率k l =-1k AB =-2, ∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A (-1,2),B (3,4), ∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.关键能力提升练11.方程(x-1)√x 2+y 2-3=0所表示的曲线是()A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+y 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+y 2-3=0表示一条直线和一个圆.12.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3y -1=0,3x -2y +5=0,解得{x =-1,y =1,即P (-1,1). ∵圆C :(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,13.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC ,在△ABC 中,AB=AC=4,点B (-1,3),点C (4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y 2=r 2相切,则该圆的半径r 为()A.1B.√2C.2D.2√2△ABC 中,AB=AC=4,点B (-1,3),点C (4,-2),可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,则其“欧拉线”为△ABC 边BC 的垂直平分线,可得BC 的中点为(32,12),直线BC 的斜率为3+2-1-4=-1,则BC 的垂直平分线的斜率为1,所以BC 的垂直平分线方程为y-12=x-32,即为x-y-1=0,其“欧拉线”与圆(x-3)2+y 2=r 2相切,所以圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d=√2=√2,即半径r=√2.14.已知点A (-a ,0),B (a ,0)(a>0),点C 在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a 的最小值是. √2C (2+√2cos α,2+√2sin α),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α+a ,2+√2sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α-a ,2+√2sin α),∵∠ACB=90°,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α)2-a 2+(2+√2sin α)2=0,∴a 2=10+4√2(sin α+cos α)=10+8sin α+π4∈[2,18].∵a>0,∴a ∈[√2,3√2],∴a 的最小值是√2.15.已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称,则圆C 的标准方程为.2+(y+1)2=1(x-1)2+y 2=1,设其圆心为C 1,则圆C 1的圆心坐标为(1,0),半径长r 1=1.设圆心C 1(1,0)关于直线y=-x 对称的点的坐标为(a ,b ),即圆心C 的坐标为(a ,b ),则{ba -1·(-1)=-1,-a+12=b 2,解得{a =0,b =-1.所以圆C 的标准方程为x 2+(y+1)2=1.16.已知三点A (3,2),B (5,-3),C (-1,3),以点P (2,-1)为圆心作一个圆,使A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.17.已知圆C 与y 轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C 被直线y=x 截得的弦长为2√14,求圆C 的方程.C (2y 0,y 0),半径r=|2y 0|,圆心到直线x-y=0的距离为00√2=0√2,由半径、弦心距、半弦长的关系得4y 02=14+y 022,∴y 0=±2.当y 0=2时,圆心C (4,2),半径r=4,此时圆C 为(x-4)2+(y-2)2=16,当y 0=-2时,圆心C (-4,-2),半径r=4,此时圆C 为(x+4)2+(y+2)2=16.学科素养拔高练18.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M 与两定点A ,B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x 2+y 2=1和点A (-12,0),点B (1,1),M 为圆O 上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为. √10,取点K (-2,0),连接OM ,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|OK ||OM |=|OM ||OA |=2.又∵∠MOK=∠AOM ,∴△MOK ∽△AOM ,∴|MK ||MA |=|OM ||OA |=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B (1,1),K (-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.19.已知圆C 的圆心在直线x-3y=0上,且与y 轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=√2=32√2,解得m=1或-5.。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
圆的标准方程(共28张PPT)
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第四章
圆与方程
【名师点评】
应用圆的方程解决实际问题应注意：一
要恰当建系并准确求出圆的方程；二要利用方程求点的 坐标，并根据点的坐标解释实际问题．
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第四章
圆与方程
跟踪训练
3．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相 同，某地居民从两地之一购得商品后往家里运的费用 是：每千米A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地 距离10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是 包括运费和价格的总费用较低．当P地居民选择A地或B 地购货的总费用相等时，求点P所在曲线的形状．
【名师点评】 判断点与圆的位置关系，一般用点到圆心的 距离 d 与圆的半径 r 作比较，也可用圆的标准方程来判定．
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第四章
圆与方程
跟踪训练
2．以原点为圆心，且过点(3，－ 4)的圆的标准方程是 ________， 那么点 (2 3， 3)的位置在圆 ________(内、上、外 )．
解析：由题意知 r＝ 32 ＋－4 2＝ 5， ∴圆的标准方程为 x2＋ y2＝ 25，将 P(2 3， 3)代入方程知(2 3)2 2 ＋ 3 ＝ 12＋ 9＝ 21＜ 25. ∴ P(2 3， 3)在圆的内部．
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．对于由已知条件易求圆心坐标和半径，或需要用圆 心坐标和半径列方程的问题，往往设圆的标准方程，用 待定系数法求解．由于圆的标准方程中含有a、b、r三个 参数，必须具备三个独立条件，才能求出一个圆的标准 方程，用待定系数法求圆的方程，即列出关于a，b，r的
方程组，解方程组求a，b，r.如例1.
2 2 2 2 2 2
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