三角函数的图像与性质--知识点与题型归纳解读
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.五点法”作图原理在确定正弦函数y Sinx(x [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0).2 2在确定余弦函数y COSX(X [0,2 ])的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),^-,0),( , 1),( ,0),(2 ,1).2 22•三角函数的图像与性质ASin(wx )与y ACoS(WX )(A 0, W 0)的图像与性质3. y(1)最小正周期：T .W(2)定义域与值域：y ASin(wx ) , y ACOS(WX )的定义域为R 值域为[-A,A].(3)最值假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当WX — 2k (k Z)时，函数取得最大值A当WX — 2k (k Z)时，函数取得最小值A;②对于y ACOS(WX )，当WX 2k (k Z)时，函数取得最大值A;当WX 2k (k Z)时，函数取得最小值A;(4)对称轴与对称中心假设A 0, W 0.①对于y ASin(wx )，当 WX O k — (k Z),即卩 Sin(wx 0 )1时，y Sin(wx )的对称轴为X X 0当WX ok (k Z)，即Sin(WX o ) 0 时，y Sin(WX )的对称中心为(X 0,0).②对于yACOS(WX )，当WX 0k (k Z)，即卩 CQS(WX O ) 1时，y CQS(WX )的对称轴为X X 0 当WX ok (k Z)，即卩 CQS(WX O)时，y CQS(WX)的对称中心为(X 0,0).正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置 •正、余弦的对称中心是相应函数与 X 轴交点的位置. (5)单调性. 假设A 0, W 0.①对于yASi n(wx)WX[二 2k,2 2k ](k Z) 增区间;2WX[ 2k 2 3,22k ](k Z) 减区间. ②对于yACQS(WX )WX [ 2k ,2k ](k Z)增区间；WX[2k ,2k](k Z)减区间.(6)平移与伸缩由函数y Sinx 的图像变换为函数 y 2sin(2x—) 3的图像的步骤; 3方法(XX -2x -)23'先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们 想欺负 ”(相一期一幅) 三角函数图像，使之变形y Sin X 的图像向左平移一个单位3y Sin (X护图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y Sin(2X捫图像所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变y 2Sin(2X3)的图像方法二：(XXΞ 2xT ).先周期变换，后相位变换，再振幅变换向上平移3个单位y 2 Si n(2x —) 3y Si nx 的图像1所有点的横坐标变为原来的 -2纵坐标不变y sin 2x 的图像向左平移—个单位6y Si n2(x) Sin (2x )的图像6 2向上平移3各单位y 2 Si n(2x )的图像y 2 Si n(2x ) 33 3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即想欺负”，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 X 而言的,即图像变换要看 变量X ”发生多大变化，而不是 角WX移一个单位，得到的图像表达式是 y Sin 2(x) Sin(2x ),而不是y Sin(2x )；再如，将 66 3 6图像y Sin(X -)上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是61X 1 y Sin(—X),而不是y Sin (X )•此点要引起同学们的的别注意 •26 26题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为 y ASin(WX)或y ACOS(WZ )， A 0.w O ，然后依据y Sin X, y CoSX 的性质整体求解•题型1 三角函数性质的应用 一、函数的奇偶性 例4.16函数y Sin(X )(0)是R 上的偶函数，贝U 等于( )A. 0 B . — C. — D.4 2解析 因为函数y Sin(X )是R 上的偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当X 0时，Sin 1 ,又0 ,所以 -.故选C.2评注 由y Sinx 是奇函数和y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若 y ASi n(x )为奇函数， 则k (k Z)；(2) 若 y ASi n(x )为偶函数，则 k(k 2Z)； (3) 若 y ACOS(X )为奇函数, 则 k(k2Z)；(4) 若 y ACOS(X)为偶函数, 则k (k Z)；k若y Atan(x )为奇函数，则 (k Z),该函数不可能为偶函数.所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变”变化多少•例如，函数y Sin2x 的图像向右平2变式1已知a R,函数f (X) Sinx a(x R)为奇函数，则a等于( )A.0B.1 C.-1D. 1变式2 设 R ,则“O ”是“f(x) CoS(X )(x R)为偶函数”的( )),其中W 0 ,则f (x)是偶函数的充要条件是(A. f (0) 1B. f(0)0 C. f (0)1 D. f (0)例 4.17 设函数 f(χ) Sin(2x -)(x R),则 f(x)是()2A. 最小正周期为 的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为一的奇函数2 D. 最小正周期为一的偶函数2解析 f(x) sin(2x -) cos2x ,所以是最小正周期为 X 的偶函数•故选B.2 2 1变式1 若函数f(χ) Sin X -(X R),则f(x)是()2 A. 偶函数且最小正周期为 B. 奇函数且最小正周期为 C. 偶函数且最小正周期为 2 D. 奇函数且最小正周期为 2二、函数的周期性Tw.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 (2)函数 ASi n(wx ),y ACOS(WX )， y Ata n(wx )的周期均为T(3)函数ASi n(wx )b(b 0),y2ACOS(WX ) b(b 0)的周期均 T -变式 3 设 f (x) Sin(WX 变式2F 列函数中，既是(0,—)上的增函数，又是以2为周期的偶函数的是(A. y cos 2xB. y sin 2xc ∙y COSXD.ySin X例4.18函数ySin (2x )COS (2X 6S)的最小正周期为( A.—2B.—4C. 2D.解析 函数ySin (2x 评注 —)Cos(2x 关于三角函数周期的几个重要结论:1) sin(4x 62•故选A(1) 函数ASin (WX )b, y A COS(WX ) b, y A tan(wx2)b 的周期分别为TI Wl变式1函数y Sin(2x —) cos(2x —)的最小正周期和最大值分别为( )A. ,1 B ∙ ,、2 C. 2 ,1 D.2 ,,2 变式2 已知函数f(x) Sin X(Sinx COSX)(X R),贝U f(x)的最小正周期为 变式3 设函数 f(x) sin3x Sin3x ,贝U f (x)为( ) A. 周期函数，最小正周期为 B . 周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为 非周期函数 一、函数的单调性C. D. 3 2 3 2 例4.19函数y 2si n( 2x)( x 6 7 B ∙[,]12 12 [0,])为增函数的区间是( )解析因为y 2si n( — 2x) 6 2sin(2x 6)， 所以y 2sin(6 2X)的递增区间实际上是 y 2 si n(2x 2 6 2解得 k X k (k Z). 3 5 X 6 令k 0 ,得 —— ,又因为X [0,]， 3 6所以 X 5 .即函数 y 2sin(- 2x)(x [0, 5 ])的增区间为[,].故选C 3 66 3 6 评注 三角函数的单调性， 需将函数y ASi n(wx )看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数,复合函数单调区间的单调方法转化为解一兀- 次不等式 令2k Z), 2x 如函数y ASi n( wx -)的递减区间. 2kx —(k )(A 0,w 0)的单调区间的确定基本思想是吧 WX 看做是一个整体，如由 利用 2k2 WX2k 2WX2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为增区间；由2 3 2kx (k Z)解出X 的范围，所得区间即为减区间 若函数y ASin(wx )中2A 0, w 0 ,可用诱导公式将函数变为 y ASin( WX ),则y ASin( WX )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如y sin( x) Sin(X ),令44232kX 2k ,即 2k X 2k(k Z),可得［2k,2k 2 4244 4为原函数的减区间•对于函数y ACoS(WX ),y Atan(wx)的单调性的讨论与以上类似处理即可3 变式1若函数y Sinx f (x)在［,］内单调递增，则f (x)可以是( )4 4A.1B.cosxC.sinXD. cosx变式2 已知W 0 ,函数f(χ) Sin(WX 1 5 1 3 1A ∙［亍匚］B ∙［;,;］ C.(0j2 4 2 4 2 -)在(一，)上单调递减，则 W 的取值范围是(4 2D.(0,2] 变式 3 已知函数 f (x) . 3Sin wx COS(WX ) COS(WX ), X R, (W 0).3 3(1)求函数f (x)的值域； (2)若f (X)的最小正周期为，χ [0,—],求f (x)的单调递减区间2 2四、函数的对称性(对称轴、对称中心) 例4.30函数y Sin(2x-)图像的对称轴方程可能是(A. XB.C. XD.X6 12 6 12解析解法一：已知y Si nx 的对称轴方程是X k -(k Z)2 k令 2x 3 k (k Z),得 X(k Z)，2 2 12当k 0时，X ，故选D.12解法当 X时， 2x0.其正弦值为 0；63当X 时，2x123 6 ,其正弦值不等于1或-1当X时，2x -2 其正弦值不等于 1 或-1633当X时，2x—， 这时Sin 1.12 322(1)函数y Sin X 的对称轴为X k(k 2Z),对称中心为(k .0)(k Z)；(2)函数y cosx 的对称轴为X k (k Z) ,对称中心为(k ,0)(k Z )； (3)函数yta nx 函数无对称轴，对称中心为k(―,0)(k Z)；故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论;24A.关于点(一,0)对称3 B.关于直线X—对称4C.关于点(一,0)对称D .关于直线X -对称43变式2 y Sin(X)的图像的一个对称中心是( )43 A.( ,0)B.(4,O)3C. (4 ,O)D⑺2x 2x变式3 yCOST SinT 的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4 将函数y Sinx3CoSX 的图像沿X 轴向右平移a 个单位(a 0)，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ).A. 7B. C. D.—62 6 3五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性 因为对称性奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f (X)为奇函数；若函数图像关于 y 轴对称,则函数f(x)为偶函数)；对称性 周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是T;相邻的对称中心之间的距离为 T;相邻的对称轴2 2与对称中心之间的距离为 T)；对称性 单调性(在相邻的对称轴之间，函数 f(x)单调，特殊的，若4(4)求函数y ASin(WX) b(w 0)的对称轴的方法；令 WXk (k Z),得k X 2 ---------- (k Z);对称中心的求取方法；令 WXW为( ------ ,b).Wk (k Z),得 X,即对称中心k (5)求函数y ACOS(WX ) b(W 0)的对称轴的方法； 令WX k (k Z)得X Z --------------------------W k即对称中心为( ----------- ,b)(k Z)W变式1已知函数f (X) Sin(WX )(W 30)的最小正周期为,则该函数的图像(24f (x) ASin(wx), A 0, w 0 ,函数 f (x)在[I , ?]上单调，且 0 [1,2],设 max 1,2,则T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)6 3 6 3例 4.21 设 f(x) asin 2x bcos2x ,其中 a, b R,ab 0,若 f (X )11 ① f (IT ) 0；③f (X)既不是奇函数也不是偶函数;④ f (X)的单调递增区间是[k - k —](k Z)；6,3⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图像不相交. 以上结论正确的是 ________ (写出所有正确命题的序号)分析 函数f(χ) ,a 2b 2sin(2χ )，tan -,其中一条对称轴为 X ―,函数的最小正周期 a 6T ,通过对称轴 对称中心(对称轴与零点相距 T 的奇数倍)通过对称轴奇偶性(若函数f(x)为4奇函数，则一等于T的奇数倍；若函数f (X)为偶函数，则一等于T的偶数倍)；通过对称性单调性(在6 46 4相邻的两条对称轴之间，f(x)单调递增或单调递减).是f (X)的对称轴，又f (X)的最小正周期为关于y 轴对称，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确2 2对于④：依题意，函数 f(x)相邻两条对称轴x 1 -,x 2,在区间[k -,k](k Z)上函数f (X)单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确f (―)对一切X R 恒成立，则 6② f(7F )解析 f (x) a 2b 2Sin(2x),其中 tanb，f(xaf (O ))对一切 XR 恒成立，知直线X -11对于①：f(—)123)可看做X3,加了 -个周期所对应的函数值，所以 6 4 11 f(IT) 0.故①正对于②：函数y f (X)周期T77—，因为 ——一一，所以f ()f(—)2 10 5 2105对于③：因为一既不是T的奇倍数，也不是 64 T的偶倍数，所以函数4f(x)的图像既不关于原点对称，也不因此咱错误，故②不正确K(其中tan —)，所以af (x) a 2 b 2 ,又 ab⑤不正确，应填①③.(1)求f (X)的值域;3⑵若y f (X)在区间［亍R 上为增函数，求W的最大值.解析(1)f (x) 4 COS(WX —)sin wx cos2wx4(CoSWXCos & Sinwxsinfsin wx cos2wx 2 -. 3 Sin WXCOSWX 2sin 2WX cos2wx .3sin 2wx 1 cos2wx cos2wx .3sin2wx 1[1,1]所以函数f (X)的值域为[1 .. 3,1 ... 3].f(X) 3sin2wx 1,由y f(X)在区间［3T2］上为增函数，的例 4.22 设 f (χ) 4COS(WX )Sin WX 6 cos(2wx ),其中 W评注一般的，若f (x)(x R)为奇函数，在【1,2】上为增函数，其中2 ,若令max{ 1, 2},则T,即可求出W 的范围. 4变式1已知函数f (x)2sin(wx),其中常数 W 0,若y f(x)在[2］上单调递增，求W 的取 3变式2 已知函数f (x) 2sin(wx)(w 0)，f (―) f (—)在［—,—］上的虽小值为-2 ,则W 的最小值对于⑤：因为 f(x) a sin 2x b cos2 X.a 2 b 2Sin(2x) ,a 2 b 2 ,因此经过点(a,b)的直线与函数f (X)的图像相交,因为Sin 2wx (2)解法一: [3w ,w[2，-](W0)3wx故WX2，得 0 W1 1 ,则W 的最大值为一. 6解法二：由 f(x),3sin 2wx 1 (W3O)在区间［32,2］上为增函数,含原点的增区间的对称型可知3 函数f (x)在[— 2 牛］上也为增函数, T 2故一3 ,即T 6 ,得—2 2w1,故0 W 6 ,则W的最44例4.23若f (X) Sin(WX-)(W O)，f （—）且在（ -- ）上有最小值无最大值，则 3 6'3题型2根据条件确定解析式方向一： 知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式 思路提示干个点代入函数式，可以求得相关特定系数 A,w,,这里需要注意的是，要认清选择的点属于五点”中的 哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是:点）来确定 ；对于零点要分析向上零点还是向下零点 解析 解法一：依题意 A 2,232k-,k Z 得 2k-,k Z ， 26所以 f (0) 2sin 2si n(2k-)6 1, 故选 B解法二 二：由函数f （x ） A(Sin 2x ）， 得T,则相邻的零点与对称轴之间的距离为T-,因此图中向上的零点是 X 0,则满足f( ) ASin(2 ) 0所以 2k ,k Z.故12 12 12 6解析 依题意，如图4-24所示，在X8k 14.取 k 0,得 W314 32k3—,k Z 2评注 本题融汇了三角函数 f （x ） Sin （WX ）的最值（对称轴）、 周期性、单调性之间的相互关系与转化f(O )已知函数图像求函数 y ASin(wx )(A 0, w 0)的解析式时,常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A ，由周期确定 W ,由适合解析式点的坐标确定 ，但有图像求得的y ASi n(wx)(A0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若第一点”（及图像 上升时与X 轴的交点）为WX 第二点”（即图像曲线的最高点）为 WX ；第三点”（及图像下降时与轴的交点），为WX ；第四点”（及图像曲线的最低点）为WX —；第五点”2（及图像上升时与 X 轴的交点） 为 WX 例 4.24 函数 f(x) A(Sin2x)(代1 A. 2B.-1C. 分析 对于y ASin （wx ）的解析式的确定，通过最值确定R ）的部分图像如图D.9 W127f （0） 2sin 2sin （2k） 1 ,故选 B6评注 对于三角函数问题中的 知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1） 周期（可推出 W 的值域范围） （2） 振幅（可推出 A （ A>0）） （3） 特征点（可形成三角方程，以求 的值） 对于本题代入零点（X o ,o ），（ X o 为上零点），则满足AS in （WX o ） 0,所以 2k wx 0, k Z, f (0) ASin Asin( wx 0) ASi n(wx 0) 2Sin(2 石) 1，对于正弦型函数f （X ） ASin(wx )(w 0, R),若已知上零点 X 0 ,则 f(0)ASin （WX 0） •同理，若已知下零 点x °，则 f (0) ASin(WX 0). 变式一 函数 f(x) ASin(wx )(A,w,是常数,A f(0) 0,w变式二 已知函数f(x) ACOS(WXA. C. 2 3 12 2B.-3 1 D.—2）的部分图像如图 ()例4.25已知函数 y ASi n(wx )(A 0,w 0, 式. 分析有最小值为-2确定A ， 不易求解，我们可抓住 — 12 由周期确定W ,但本题的周期 T 3T 7 T ,，且3T —,建立周期2 4 12 T 的不等关系, 系（根据零点） （0,1）得到. 从而得到 W 的取值范围，在建立 W 的等量关 ,最终建立求得 W ,而 的确定可通过特征点4-28所示，求函数f （x ）的解析 解析有图知 A 2 ,将点（0,1）,代入y ASin (WX ）中，得12sin ,即 Sin 1 ,又22 ,又因为T—， 6WT_，又—6 2712 18 7,故 W ,又点( ，0)在函数图像上，且 6 7 712 2410 12 2k ,k Z ,解得 W 24k 10,k Z ,因此777（0,1）点在函数的单调增区间上，故7T 为函数f （X ）的下零点，所 12迢k W 里，得7 7 75 sin (X3-k 11 ,又k Z ,因此k 1,此时W 2.6 12所以 f(x) 2sin(2x)• 6变式一已知f(x) cos 2(wx )(w,为常数)， 点(1,0)如图4-29所示，求W 的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值) 求解函数解析式(即 A,w,的值的确定)例 4.26 已知函数 f(x) Sin(wx)(w 0,0心，且在区间［0,—］上为单调函数，求函数 f(x)的解析式.2评注 根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y coswx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解(2)求函数f (x)的解析式. 题型3函数的值域(最值) 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理 .(1) y a sin X b ,设t Sinx ,化为一次函数 y at b 在［1,1］上的最值求解.b J —2 - 2(2)y a si nx bcosx c ,弓 I 入辅助角 (tan ),化为 y a bSin(X ) C ,求解方法a分析本题的目标是求w,因为y Sin(WX )为偶函数，则必关于 y 轴对称，因此化为 y coswx 的 形式，由函数在［0 -］上单调，则［0 -］最多只会是半个周期，即 T—,从而得T '2 ,2 2 2 再代入对称中心求解. 得W 的范围, 解析由函数 f (x) Sin(WX )(w 0,0 在区间［0 —］上为单调函数，得 T—,即T '2 2 2 )为R 上的偶函数，贝U —，得f(χ) coswx ，且 2 2 3 ,故— ,又W 0得0 W 2.,同时点(二,0) W 4 3 为函数f (x)的一个对称中心，的W k4,k Z ,则 w 4k 2,k Z ,因此 0 4k 2 2 , 2 33k 1,k Z 所以k 0或1得W-或2,所以函数f(x)的解析式为y CoSZX 或y33cos 2x.,0)是一个对称中变式一：已知函数 f (x) 4sin(wx )(w 0,0经过点(0,2).(1) 求 f (x)的最小正周期；,X R)图像的两条相邻对称轴的距离为 ，且23如果存在正整数 W 常数 使得函数f(x)的图像经过4同类型(1) 33y a si n2x bsinx c,设t Si nx ,化为二次函数y at2 bt C在闭区间t [ 1,1]上的最值5 sin (X3求解，也可以是 y acoWx bsinx C 或 y acoS2x bsinx C 型.(4) y a si n x cosx b(si nx cosx) C ,设 t Si nx cosx ,贝U t 21 2si n xcosx ,故t 21t 21Sin xcosx,故原函数化为二次函数 y a () bt C 在闭区间［∙λ2,ι2］上的最值求2 2(5) yasinx b与yasinx b,根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式CSi nx d ccosx d法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于 Si nx 或cosx 的函数求解释务必注意SinX 或cosx 的范围.例4.27函数f (χ) Sin xcosx 的最小值是(，利用诱导公式把( x)转化为(X)，化不同角为相同角， 将函数化为 263)3cos[ ( x)] 4 si n(x ) 3cos( x) 32 63 3 3)(其中tan —)，所以y wax 5.故选C.分析 解析 1A.-1B. 2 1C.—2D.1将函数f (x)转化为y ASin(wx)的形式求最值、， 1 .函数 f (x) Sin xcosx Sin2χ(χ 2R)-最小值为1,故选B. 2评注 若本题改为"f(x) Sin Xcosx,X ［0,］ ”则最小值为 40，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定 变式1函数f(x)Sin X cos(x )的值域为(6A.[-2,2]B.[ ,3, 3]C ∙[-1,1]D.[∙∙ 3 .. 31变式2 函数f(x) sin 2X .3Sin xcosx 在区间[ ：,?］上的最大值是().1 JlA.1B.——2C .32D.1 -.3例4.28函数 y 4sin(x3sin(6 X)的最大值为()A.7B.2 3C.5D.4分析 f(x) ASin (WX)的形式.y 4sin(x解析45 sin (X 3、 2 2变式1求函数f(χ) cos(x )2 cos (X R)的值域32变式2求函数 f (x) cos(2x ) 2sin(x)sin(x )(x [ ,])的值域. 344 12 2__ 2例4.29求函数f(x) 2cos2x Sin X 4cosx 的最大值和最小值. 2a cos X bcosχ C(X R)的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值思路提示 分析 通过二倍角公式和同角公式将函数 f(x)的公式化简为y 解析 f (x)2(2 cos 2X 1)(1 cos 2x)4cos x23 cos X 4cos x 1,令 t cos X [ 1,1],则 g(t) 3t 24t 1f (t)取最大值6, 即f (x)的最大值为6;当3(tI )t -时,37(t [1,1]),因为t [ 1,1],所以当tg(t)取最小值7,即f (x)的最小值为变式1已知,求函数y cos 2X Sin X 的最小值.4变式2 求函数y sin 2x a COSX- a — (0 X —)的最大值.8 2 2 变式32右 Sin Xcos X a 0有实数解,试确定实数 a 的取值范围.变式4 若关于X 的方程cos 2x Sinx a 0在(0,§］上恒成立，求实数 a 的取值范围. 1时,例 4.30 对于函数 f(χ)Sin X 1(0 X Sin XA.有最大值无最小值C.有最大值且有最小值分析 形如yasinx b的函数的最值,CSi nx d丄，令tSin X解析解法一 ：f (X) 1有最小值无最大值.故选B sin X 1ySi n x SinXSin X解法二：y得 0 Sin X 变式1 求函数y变式2题型4 ),下列结论中正确的是(B.有最小值无最大值 D .既无最大值又无最小可考虑用函数的有界性求解SinX (0,1］,贝U y 1 f 在区间(0,1］上单调递减，即f(x)只1,1 ,解得y2 ,所以f (X)只有最小值无最大值.故选B■- 3 cos X的值域.2 Sin XΞ½若—X4 三角函数图像变换2,则函数y tan2xtan X 的最大值为 2由函数y Si nx的图像变换为函数y ASi n(wx ) b(代W 0)的图像.方法一：(X XWX)先相位变换，后周期变换，再振幅变换向左平移_个单位( 0))的图像向左平移个单位(0分析 利用三角函数的图像与变换求解结合选项可知，函数图像过(1,0).故选A25B.向右平移—个单位125D.向右平移—个单位6-)，g(x) COS (X —),则 f(x)的图像().—)(x R, W 0)的最小正周期为 ，为了得到g (X) COS(WX)的图 4像，只要将y f (x)的图像(SinX 的图像向左平移个单位(O )个单位(0) y S 6i n (XSin(WX )的图像 所有点的纵坐标变为原 来的A 倍丿的图像 横坐标不变 ----------ASi n(wx)的图像向上平J:个单位；：0)yASin (WX ) b例4.31把函数 y COS 2X 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，在向下移 1个单位长度,得到的图像时().1Iy1、I 2/、O 1-1 22解析y cos2χ1横纵标不变2倍yCoSX 1 向左平移1个单位长度y cos(x 1)1向下平移1个单位长度y cos(x 1).变式2 已知f (χ) Sin(xA.与g(x)图像相同B.与g(x)图像关于y 轴对称C.是由g(x)的图像向左平移—个单位得到2D.是由g(x)的图像向右平移 一个单位得到2变式3已知函数f(χ) Sin(WX XA.向左平移 一个单位长度8B ∙向右平移一个单位长度81 1依题意 g (x) Sin(2 2x )Sin(4x )，2 6 2 65纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图像，求g(x)在［0——］上的值域 ，24最有效训练题C.向左平移—个单位长度 D •向右平移—个单位长度 4 4 1 2 1例 4.32 已知函数 f(x) Sin 2xsin cos 2xcos Sin( )(0 2 2 2 (1) 求的值 1 (2)将f(x)图像上各点的横坐标缩短为原来的 -,纵坐标不变，得到函数y 2 1)，其图像过点(一，).6 2g(x)的图像，求函数g(x)在［°,—］上的最大值和最小值 4 解析 由题意把点(一，1)代入函数的解析式得 6 21 . Sin- Sin2 33 1 1cos cos —4 2 2 Sin 1 COS2 sin (F ) 1(I) Sin( 6) 1， (0,), 6 -sin2x 41 . C 3 12 1 sin 2x cos X2 2 2 4 6 2 (2) f (x) -(1 COS 2X ) 41 Sin (2x 2?)，当4x67,即X 时，1g (x)取最小值 一；6 44 当4x 6 ， 即X时， 1 g(x)取最大值一.212 2 变式1 已知向量 m (Sin x,1), n— A (∖3Acosx, cos2x)( A2 的最大值为 6.(1)求 A 0),函数 f(x)(2)求将函数yf (x)的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的12i 倍，1.已知函数f(x) ASi n(wx )(A 0, —0),在X —时取得最大值，则f(x)在［,0］上的2 6单调增区间是(f (x) cos 2x Sinx ,那么下列命题中假命题是(4,.已知函数f(x) Sin(6x -)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移§个单位,).则f (x)的单调递增区间为8. 已知函数f(x) 3sin( X )(0)的图象和g(x) 2cos(2 X ) 1的图象对称轴完全相同，若6X ［0,亍］,贝U f(x)的取值范围为9. 定义一种运算(a 1,a 2) (a 3,a 4) a 1a 4 a 2a 3，将函数f (x) (∙∙.3,2si n x) (cosx,cos 2x)的图象向左移 n(n 0)个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为10. 某学生对函数f (x) 2xcosx 进行研究后，得出如下四个结论： ①函数f (x)在［,0］上为单调递增，在［0,］上单调递减；②存在常数M 0,使f (x) M X 对一切实数X 均成立；③点(一，0)是函数2A ∙[B ∙[56C ∙[护2.若直线t 与函数 y Sin (2x-)和y cos(2x -)的图像分别交于 PQ 两点，则IPQ 的最大值为A.2B.1 D. 23•已知函数 A. f (x)既不是奇函数也不是偶函数 B. f(x)在［,0］上恰有一个零点 C. f (x)是周期函数D. f(x)在(一，丄)上是增函数2 6得到的A.(荷O)B.(9,O)c.q ,°)D.(畀)5.如图4-30所示，点 X 轴的A.—8y PPM PN0,则W 的值为()∖NM O/ XB.-C.4D.8∖46.已知A.[ 3,2]B.[ .3,2] C"3,2]D ∙C ∙ 3, 2) 7.已知函数 f(x) 3sin 2χ 2sin xcosX X 3 cos 2X ,其中0,且f (x)的最小正周期为，函数一个对称中心是(P 是函数y 2 sin(wx交点，若 则实数a 的取值范围为a ，有两个不同的实数解,)(x R,w 0)的图像的最高点，M,N 是该图像与(0,］，关于X 的方程2sin(x -) 3y f(x)图像的一个对称中心；④函数y f(x)的图象关于直线X 对称•其中正确的.(把所有正确的命题的序号都填上)f (x) cos(2X —) sin 2x cos 2x. 所示.(1)求函数f (X)的解析式;∣S4-315A.向左平移个单位125C.向左平移个单位611.已知函数 (1)求函数 f (X)的最小正周期及图像的对称轴方程; (2)设函数 g(x) [f(x)]2f (X),求g(x)的值域. 12.已知函数 f (x) ASin( X),其中(X R, A 0,I )的部分图像如图4—31⑵已知函数f(x)图像上三点 M,N,P 的横坐标分别为一1, 1, 5,求 Sin MNP 的值.。
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。
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●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z. ∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一：利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分)24x =++ …………3分……4分即()f x的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点例1 规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求sin()=++y A x bωϕ的值域如：①sin cosy a x b x=+sin()y A xϕ=+②22sin sin cos cosy a x b x x c x=++sin2cos2y d x e x f=++sin(2)y A x bϕ=++注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题典例1若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a，b的值是()降幂合一变换合一变换A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－ 3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 则⎩⎨⎧ －a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值 是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域【答案】)+∞2222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x xx x x x x x f x x x π++==+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭≥=注意：求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之四： 《名师一号》P56 问题探究 问题3如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)．利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为 ()12+=-y k x 即1204---=kx y k 1=解得34=-k 或512=k 答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域 答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x x f x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x x x x x x x x f x x x x x x xπ+++++++===++++，记2sin ()2cos x x g x x x+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1如何求三角函数的周期？(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3 第11题例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数， 则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数， ∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值，若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究 问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x . (补充)结果写成直线方程！如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，可求其对称轴与对称中心， 对于y ＝A tan(ωx ＋φ)可求出对称中心．练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 即φ＝π6＋k π(k ∈Z)． 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题 函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解．f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3预习 第五节练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12 分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期． 解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T ＝2. 故选B.2、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。