三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像及性质知识点总结和经典题型

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：

求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈；

x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是)(Z k ∈，

3．对称轴及对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

tan y x =无对称轴，对称中心为k 2

(,0)π

； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。

4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是ϕω+x ，初 相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

πϕω，凡是该图象及直线

B y =的交点都是该图象的对称中心。

y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点

2

；

②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点

2

；

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π

ω

(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定

φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ

ω

(即

令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ

ω

)确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象．

6．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－

ω

ϕ

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。 7．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π

|ω|

，

y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π

|ω|

.

8．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：

五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2

π、π、

2

π

3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

9. 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，.

(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：

y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1). 三角函数的图象及常用性质

四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．（全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）

解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除

A 、C ，当x ∈（0，

2

π

）时，y ＝－xc os x ＜0。答案为D 。 题型2：三角函数图象的变换

（四川）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动

10

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A ）（B ）y = （C ）y =（D ）

解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10

π

个单位长度，所得函数图象的解 析式为y ＝sin (x －

10

π

) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.

题型3：三角函数图象的应用

例1：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π

2

)的部分图象如图所示．求f (x )的解析

式；

解：由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3∴ω＝3

2

.

又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0

∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f (x )＝2sin(32x ＋π

4

)．

例2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

解析：由图可知，T 2＝2π－3

4

π，

∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，

∴y ＝sin(4

5

x ＋φ)．