八年级数学上册 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 勾股定理中的常见题型例析素材 (新版)北师大版
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
一．知识归纳
１．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2
２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
m2 n2 , 2mn,m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）
A、40
B、80
C、40 或 360 D、80 或 360
7、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为 AC 上一点，且 DA=DB=5，又△DAB 的面积为 10，那么 DC 的 长是（ ）
A、4
B、3
C、5
D、4.5
A B
D C
C D
A E
A′ B′
第 9 题图
D′ C′
A
第 7 题图
B
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 例 4.如图 RtABC ， C 90 AC 3, BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
n2 1, 2n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）； 2n 1, 2n2 2n, 2n2 2n 1 （ n 为正整数）
７．勾股定理的应用 ８.．勾股定理逆定理的应用 ９.勾股定理及其逆定理的应用
二、常见考题分析
３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2 ， b c2 a2 ， a c2 b2
初二上数学勾股定理的几种题型-(经典题)
初二数学勾股定理的几种题型经典题型：关于勾股定理的计算1、已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
变式：已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？关于旋转中的勾股定理的运用：2、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△AC P ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222B EC F E F 、、间的关系，并说明理由.P A P C B关于翻折问题3、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式1：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.变式1：如图在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°, ∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2.ABDC关于勾股定理在实际中的应用：4、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？关于最短性问题5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？关于勾股定理的相关证明6、如图，在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 上任意一点，求证:22A B A P P B P C-=⋅ 分析：考虑构造直角三角形，能利用勾股定理.变式1，在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M,N ，使∠MCN=45°，记AM=m ，MN=x ，BN=n 。
初二勾股定理经典例题勾股定理经典例题（含答案）
初二勾股定理经典例题勾股定理经典例题(含答案)导读：就爱阅读网友为您分享以下“勾股定理经典例题(含答案)”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，长.解析：作∴于D，则因（，，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的的两个锐角互余），∴（在中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在根据勾股定理，在中， . 中，∴举一反三【变式1】如图，已知：. . ，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在而在∴又∵∴在，（已知）， . 中，根据勾股定理有 . 中，则根据勾股定理有 . 中，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
八年级数学上册《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题
《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每一个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必需把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，如此就能够够利用勾股定理加以解决了．因此立体图形中求两点之间的最短距离，必然要审清题意，弄清楚究竟是同一平面中两点间的距离问题仍是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情形，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．只是要留意展开时的多种情形，尽管看似很多，但由于长方体的对面是相同的，因此归纳起来只需讨论三种情形——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都别离被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.此刻有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右边表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时刻记录了下来，是2.5 s ．通过简短的试探，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你明白小明什么缘故会佩服这只蚂蚁的举动吗？ 解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm. 又明白蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时刻为52＝2.5 s.小明通过试探、判定，发觉蚂蚁爬行的时刻恰恰确实是选择了这种最优的方式，因此他感到惊讶和佩服． 【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点A 动身，沿长方体的表面爬到对角极点C 1处(三条棱长如下图)，问如何走线路最短？最短线路长为多少？解：蚂蚁由A 点沿长方体的表面爬行到C 1点，有三种方式，别离展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC 1中，AC 21＝AB 2＋BC 21＝42＋32＝52＝25. 故AC 1＝5.如图②，在Rt△ACC 1中，AC 21＝AC 2＋CC 21＝62＋12＝37. 如图③，在Rt△AB 1C 1中，AC 21＝AB 21＋B 1C 21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行线路最短，最短的线路是5.点技术巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部份展开，画出局部的展开图，假设将长方体全数展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部份是曲线，那么如何确信哪一条是最短的呢？解决问题的方式是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定明白得决，而不能盲目地凭感觉来确信．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发觉自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引发这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋线路，从背后对小昆虫进行突然攻击，结果蚂蚁偷袭成功，取得了一顿美餐．依照上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开摊平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的基础上提炼有效的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发觉对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定明白得决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高别离为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是那个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点动身，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的问题利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻明白得题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是： (1)把立体图形展成平面图形； (2)确信点的位置； (3)确信直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕捉苍蝇果腹的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开取得它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短线路的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，因此MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，因此SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元成立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题取得解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm. 于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3. 故CD 的长为3 cm.。
八年级数学上册(第一章 勾股定理)专题练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校<第一章勾股定理>专题练习〔一〕双解问题例1 一个三角形的两边长是5和12，要使其成为一个直角三角形，那么第三边长应为多少？变式：1.小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小强计算这块菜地的面积．2.在△ABC中，AB=15，AC=13，高CD=12，求三角形的周长．〔二〕折叠问题中利用勾股定理建立方程例2 如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，AB=8cm，E是CD上一点，假设以AE为折痕，将△ADE翻折，点D 恰与BC边上的点F重合，求△AEF的面积．变式：1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，折痕DE的长为．2．长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，那么DE= cm．2题 3题3．如下列图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，现将顶点A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，那么重垒局部△AEF的面积为．例3 把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点愉好重合落在AD边上的点P处〔如图二〕，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，〔1〕求△PMN的周长；〔2〕求矩形纸片ABCD的面积．变式：如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK．〔1〕假设∠1=70°，求∠MKN 的度数．〔2〕△MNK 的面积能否小于12？假设能，求出此时∠1的度数；假设不能，试说明理由． 〔三〕勾股定理逆定理的应用例4 在△ABC 中，a=22mn -，b=2mn ，c=22m n +，其中m, n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形．变式:1.以下各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a 〔a>0〕； ⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2〔m 、n 为正整数，且m>n 〕其中可以构成直角三角形的有〔 〕 A ．5组 B ．4组 C ．3组 D ．2组2. 设一个直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边上的高为h ，斜边长为c ，那么以c h +、a b +、h为边的三角形的形状是 三角形．3.四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积〔四〕勾股定理及逆定理与图形面积的整体计算例5 直角三角形的周长为92，斜边长为2，求它的面积． 变式：1．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=4，AD 为高，△ABC 的周长为16，S △ABC = .2．假设三角形的三边a 、b 、c 满足a +b =10，ab =18，c =8，那么此三角形是三角形．3.．如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，那么这个距离是〔 〕A. 1B. 3C. 4D. 5(五)勾股定理及逆定理的综合应用例6 如下列图，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗杆顶部落承离杆底12米的A处，旗杆断裂前有多高？变式：现有一长25cm的云梯，架靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，那么梯子可以到达墙的高度为m，假设梯子顶端下滑了4m，那么梯子底部在水平方向滑动了m．例7 如下列图，一圆柱油罐底面积的周长为24m，高为6m，一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食，它爬行的最短路线长为多少？例8 如下列图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，且A1B1=8km．现在在高速公路的A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，那么这个最短距离是多少？变式：1. 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？2.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所，AP=160米，假设拖拉机在行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行使时，是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，拖拉机的速度是18千米/小时，那么受影响的时间为多少？例9 如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为1，2，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，正方形NHMC的面积=变式：如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一直线上，那么c= 〔用含有a，b的代数式表示〕．例10 某公司的大门如下列图，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB=2.3m，BC=2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.8m，宽为1.6m，问这辆车能否通过公司大门？并说明你的理由．变式:，如图△ABC中，∠C=90°，M为AB中点，∠PMQ=90°，求证PQ2=AP2+BQ2．。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6C．16 D．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连32A E．32122222A A A A A E A E==，，32212290A A E A A E∠=∠=，322122Rt RtA A E A A E∴△≌△（SAS）．322122A E A A E A∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E===，4532A E A E===，图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。
八年级数学勾股定理经典题型
八年级数学勾股定理经典题型摘要：1.引言：介绍八年级数学勾股定理经典题型2.勾股定理的定义和公式3.常见题型及解题方法3.1 已知直角三角形的两条边，求斜边3.2 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边3.3 已知直角三角形的两条直角边，求斜边3.4 勾股定理的逆定理4.例题解析5.结论：总结八年级数学勾股定理经典题型的解题技巧正文：数学是一门充满挑战和奥妙的学科，而勾股定理是数学中一个重要的知识点。
对于八年级的学生来说，掌握勾股定理的经典题型和解题方法是非常重要的。
本文将详细介绍八年级数学勾股定理经典题型，包括题型特点、解题方法和例题解析。
首先，我们来回顾一下勾股定理的定义和公式。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。
数学公式表示为：a + b = c。
其中，a、b 为直角边，c 为斜边。
接下来，我们将介绍几种常见的勾股定理题型及解题方法。
3.1 已知直角三角形的两条边，求斜边解题方法：根据勾股定理公式，直接将已知的两条直角边的平方和计算出来，再开平方即可得到斜边的长度。
3.2 已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边解题方法：根据勾股定理公式，将已知的斜边和直角边的平方和减去已知的直角边的平方，即可得到另一条直角边的平方。
然后再开平方，即可得到另一条直角边的长度。
3.3 已知直角三角形的两条直角边，求斜边解题方法：根据勾股定理公式，将已知的两条直角边的平方和计算出来，再开平方即可得到斜边的长度。
3.4 勾股定理的逆定理逆定理是指如果一个三角形的三边长度满足a + b = c，那么这个三角形就是一个直角三角形。
在掌握了基本的解题方法后，我们来看一个例题。
例题：已知直角三角形的两条直角边分别为3 和4，求斜边的长度。
解题过程：根据勾股定理公式，a + b = c，代入已知的数据，得到3 + 4 = c，即9 + 16 = c。
计算得c = 25，再开平方，得到c = 5。
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勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．
（1）记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，
4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值．
（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．
分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．
解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．
由勾股定理，得AC 222AB BC +=
同理，AE =2，EH = 22 a 22，a 3=2，a 4= 22 (2) ∵011(2)a ==， 122(2)a =， 232(2)a ==， 3422(2)a ==，
∴1n n a -= ()1,n n ≥是自然数．
点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．
二、动手操作题
例2如图2，图（1）是用硬纸板做成的两个全
等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜
边长为c ．图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角
形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定
理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（1）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．
（2）由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为（a +b ），所以梯形的面积为211()()()22
a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222
ab ab c ++． ∴221111()2222
a b ab ab c +=++． ∴222a b c +=． （3）所拼图形如图4．
点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。
本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。
三、阅读理解题
例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4， ∴()()()2222222c a b a b a b -=+- ∴222
?
c a b =+． 订正：∴ △ABC 是直角三角形 ． 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：
解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4， ∴()()()2222222c
a b a b a b -=+-． ∴()()222220a b c
a b ---=，∴220a b -=或222c a b =+． ∴a b =或222c a b =+． ∴ △ABC 是等腰三角形或直角三角形 ．
点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm 的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．
分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．
解：方案一：分别截取3cm ，4cm ，5cm ；
方案二：分别截取6cm ，8cm ，10cm ；
方案三：分别截取5cm ，12cm ，13cm ．
点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．
五、实际应用题
例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？
分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现
三个正方形的面积74、116、370相当于池塘
的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得
74=52+72，116=42+102，370=92+172．于是作出
图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解
决．
解：∵74=52+72，∴AB 是两直角边分别为
5和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得Rt△ABE ．
同理，作Rt△BCF ，其中BF =4，FC =10．延长AE 、CF 交于D ，则AD =9，CD =17，而AC 2=370=92+172=AD 2+CD 2，∴△ACD 是直角三角形，∠ADC =90°．
∴ABC ADC AEB BCF EDFB S S S S S ∆∆∆∆=---=
111179751044711222
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=．
点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.。