人教版解直角三角形
数学人教版九年级下册28.2.1解直角三角函数
28.2.1解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.【重点】理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.【难点】理解并掌握解直角三角形的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习、记忆特殊三角函数值.导入一:【复习提问】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,∠A,∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢?【学生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.【课件展示】(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;(3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=.2.回忆30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值.导入二:在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数.【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评.sin A==≈0.0954.利用计算器可得∠A≈5°28'.【追问】在Rt△ABC中,你还能求出其他的边和角吗?【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.[设计意图]通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.一、共同探究思路一探究:(1)在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(2)在上图中,若AC=,BC=,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?【师生活动】小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的回答进行汇总归纳.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.思路二【思考】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?(一边和一角、两边、两角)(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.(4)解直角三角形的步骤:两边一边一角[设计意图]学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.二、例题讲解(教材例1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形.教师引导分析:(1)已知线段AC,BC是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.【课件展示】解:∵tan A===,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2.(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).教师引导分析:由∠B=35°,可得∠A==°;由∠B=35°及它的对边b=20,根据可得a==;由∠B=35°b根据可得c==.【追问】你还有其他方法求c的值吗?【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.【课件展示】解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tan B=,∴a==≈28.6.∵sin B=,∴c==≈34.9.[设计意图]通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.[知识拓展](1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:①锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形:a=-,b=-,c=.(3)边角之间的常用变形:a=c·sin A,b=c·cos A,a=b·tan A,a=c·cos B,b=c·sin B,b=a·tan B.(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.1.解直角三角形的概念2.直角三角形中五个元素之间的关系:(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;(3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=.3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:(参考前面表格)1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度;(2)两个锐角的度数;(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角.故选B.2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.c sin A=aB.b cos B=cC.a tan A=bD.c tan B=b解析:由a2+b2=c2,得∠C=90°,∴sin A=,cos B=,tan A=,tan B=,∴c sin A=a,c cos B=a,b tan A=a,a tan B=b.故选A.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为.解析:∵cos B==,BC=6,∴AB==4.故填4.4.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=4,c=8;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a=12.解:(1)∵∠C=90°,b=4,c=8,∴a=-=-=4,∵cos B==,∴∠B=30°,∴∠A=180°-90°-30°=60°.(2)∵∠C=90°,∠A=60°,∴∠B=180°-90°-60°=30°.∵tan A=tan 60°==,a=12,∴b=4,∴c=2b=8.28.2.1解直角三角形1.共同探究3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第77页习题28.2第1题.【选做题】教材第78页习题28.2第6题.二、课后作业【基础巩固】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则∠B等于()A 30°B 45°C 60°D 90°2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()A.7sin 35°B.C.7cos 35°D.7tan 35°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sin B=B.cos B=C.tan B=2D.AB=4.在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5 cm2B.9 cm2C.18 cm2D.36 cm26.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a=.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=5,则∠A=,BC=.8.如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.9.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=.10.如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=.求:(1)线段DC的长;(2)tan∠EDC的值.【能力提升】11.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=4,sin A=,则斜边AB上的高CD为.12.如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是.13.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为.14.如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cos A=,BE=4,求tan∠DBE的值.【拓展探究】15.如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD=,求BE的长.【答案与解析】1.C(解析:由sin A=,得∠A=30°,则∠B=90°-∠A=60°.故选C.)2.C(解析:∵cos B==,∴BC=7cos B=7cos 35°.故选C.)3.A(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,∴AB=sin B=,cos B=,tan B=.故选A.)4.A(解析:∵∠C=90°,AB=10,∴sin A==,∴BC=×10=6.故选A.)5.B(解析:如图所示,作底边上的高AD.∠B=30°,AB=6 cm,则AD=AB sin B=6×=3(cm),BD=AB cosB=6×=3(cm).∴BC=2BD=6 cm,∴=AD·BC=×3×6=9(cm2).故选B.)6.(解析:∵cos A==,b=10,∴c=,∴a=c=.)7.45°5(解析:∵cos A==,∴∠A=45°,∵∠C=90°,∴∠B=∠A=45°,∴BC=AC=5.)8.5(解析:∵在Rt△ABC中,cos B=,∴sin B=,tan B==.在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.在Rt△ABC 中,∵tan B=,∴AC=×=5.故填5.)9.解:(1)根据勾股定理可得AC=-=5,又sin A==,∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.(2)在Rt △ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=30°.又sin A==,∴AB=2,由勾股定理可得AC=-=1.10.解:(1)∵AD是BC边上的高,∴△ABD和△ACD是直角三角形,在Rt△ABD中,∵sin B=,∴=,又AD=12,∴AB=15,∴BD=-=9,又∵BC=14,∴CD=5.(2)在Rt△ACD中,∵E为斜边AC的中点,∴ED=EC=AC,∴∠C=∠EDC,∴tan∠EDC=tan C==.11.(解析:在Rt△ABC中,AB=4,sin A=,∴BC=AB sin A=.根据勾股定理得AC=-=.∵=AC·BC=AB·CD,∴CD===.故填.)12.105°(解析:如图所示,连接AD,则AD⊥BC,在Rt△ABD中,AB=2,AD=1,则sin B==,∴∠B=30°,∴∠BAD=60°,同理,在Rt△ACD中,得到∠CAD=45°,因而∠BAC的度数是105°.故填105°.)13.3+(解析:如图所示,过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=2,∴CD=,∴BD=CD=,由勾股定理得AD=-=3,∴AB=AD+BD=3+.故填3+.)14.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵cos A=,BE=4,DE⊥AB,∴设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,∴x=2,即AD=10,AE=6,在Rt△ADE中,由勾股定理得DE=-=8,在Rt△BDE中,tan∠DBE===2.15.解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,∴∠AHC=∠ACB=90°,∵CD是AB上的中线,∴CD=AD=BD=AB,∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠B=∠CAH,∵AH=2CH,∴CH∶AH∶AC=1∶2∶,∴sin B=sin∠CAH==.(2)由(1)可知AC∶BC∶AB=1∶2∶,CE∶AC∶AE=1∶2∶,∵CD=,∴AB=2,∴AC=2,BC=4,CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=3.在教学设计中,通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系,为下一步解直角三角形打下基础,再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性,激发学生学习本节课的学习兴趣,同时解决章前导入问题,做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角三角形的探究活动,归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤,由浅入深地引导探究,学生更易于掌握本节课的重点和难点,同时培养了学生的归纳总结能力.通过例题学会灵活运用直角三角形知识解决问题,加深对解直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨地求学精神.本节课的重点是解直角三角形,教学设计中追求新理念在课堂中的应用,重视学生参与课堂,所以教学设计中以问题为引领,小组合作交流为主要教学活动形式,预期学生课堂气氛活跃,人人参与课堂,让每个学生体验成功的快乐,但在授课过程中过于追求形式,课堂中的讨论交流只是流于形式,所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率.复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,很自然地引出解直角三角形的概念,学生经历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析讲解,让学生体会解直角三角形的方法,提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.练习(教材第74页)解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=30,b=20,∴a=-=10,∴cos A==,∴∠A≈48°,∴∠B≈90°-48°=42°.(2)在Rt△ABC中,∠A=90°-72°=18°,∵sin72°=,∴b=14·sin 72°≈14×0.951≈13.31.∵cos72°=,∴a=14·cos 72°≈14×0.309≈4.33.(3)在Rt△ABC中,∠A=90°-30°=60°,tan 30°=,b=·=,∴c=2b=2×=.更新教学理念,提高课堂效率(1)新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学习方法,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提,在教学设计中以解决章前比萨斜塔问题导入新课,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.在各个环节的教学设计中,始终以学生活动为主,教师只是课堂的引导者,通过动手操作、动脑思考、小组合作、共同归纳等数学活动,让学生参与课堂活动,注重学生对待学习的态度是否积极主动,注重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题,同时利用尝试教学,让学生暴露思维过程,通过学生之间的质疑解决问题.在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己,让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中体验成功的快乐,从而提高了学生在课堂上的学习效率.(2)本节课是《解直角三角形》的第一课时,在本章内容中起着承上启下的作用,通过前边学过的三角函数知识,结合勾股定理和直角三角形中的有关性质,求出直角三角形中的未知元素是本节课的重点,它是下节课解决实际问题的基础,要注重培养学生数学能力和数学思维的提高.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A,若AD∶AO=8∶5,BC=2,求BD的长.解:连接DE.∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°.∵AD∶AO=8∶5,∴cos A==.∵∠C=90°,∠CBD=∠A,∴cos∠CBD==.∵BC=2,∴BD=.(2015·重庆中考)如图所示,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=.〔解析〕如图所示,作FG⊥AC于G,易证△BCE≌△GCF,∴BE=GF,BC=CG,在Rt△ABC中,tan∠ACB===,∴∠ACB=30°,AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°,∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,设BE=x,在Rt△AFG 中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2,∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.故填.。
人教版九年级下册28.2.1解直角三角形(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室中某一物体的高度，演示勾股定理的基本原理。
4.培养学生的空间观念和几何直观，让学生在实际操作中感受直角三角形的边角关系，提高几何图形的认知和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握锐角三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切函数在直角三角形中的应用；
-学会运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中边长和角度的求解问题；
-能够将解直角三角形的知识应用于实际问题，建立数学模型并解决问题。
c.难点应用：勾股定理在非标准直角三角形中的应用。教师应通过多种类型的题目，如斜边和一直角边长度未知的情况，指导学生如何灵活运用勾股定理求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了解直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理和三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级数学课件-解直角三角形
＝80×cos25° ≈80×0.91
=72.8海裏
65° A P
C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
sin B PC
34°
PB
PB PC 72.8 72.8 130.23海里
sin B sin 34 0.559
B
答：當海輪到達位於燈塔P的南偏東34°方向時，它距離
燈塔P大約130.23海裏．
*
化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問題的 策略.
解直角三角形有廣泛的應用，解決問題時，要根據實際情況靈
活運用相關知識，例如，當我們要測量如圖所示大壩的高度h 時，只要測出仰角a和大壩的坡面長度l，就能算出h=lsina，但 是，當我們要測量如圖所示的山高h時，問題就不那麼簡單了， 這是由於不能很方便地得到仰角a和山坡長度l
*
4.海中有一個小島A，它的周圍8海裏內有暗礁，漁船跟蹤魚群 由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12 海裏到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船
不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？
北
A 60°
B
D
*
【解析】由點A作BD的垂線 交BD的延長線於點F，垂足為F，北 ∠AFD=90°
lh α
*
在每小段上，我們都構造出直角三角形，利用上面的 方法分別算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然後我們再“積 零為整”，把h1,h2,…,hn相加，於是得到山高h.
以上解決問題中所用的“化整為零，積零為 整”“化曲為直，以直代曲”的做法，就是高等數學中 微積分的基本思想，它在數學中有重要地位，在今後的 學習中，你會更多地瞭解這方面的內容．
*
3.（成都中考）如圖，在亞丁灣一海域執行護航任務的我海
新人教版初中数学——解直角三角形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——解直角三角形知识点归纳及中考典型题解析一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A．22B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=32，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =a cB ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1． 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CD ABA ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x8．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =33，则cos B =__________． 9．在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．10．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =3，BC =2，∴sin A =BC AB =23，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵sin α=cos60°=12，∴α=30°．故选A ． 3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．1．【答案】A 【解析】A 、sin A =ac，此选项正确； 考点冲关变式拓展B 、sin A =ac ，此选项错误； C 、cos A =bc ，此选项错误；D 、cos A =bc，此选项错误；故选A ． 2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=BC AB ， ∴AB =cos53m︒，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB =，∴cos A =1133ABAC AB AB ==．故选B ．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =12AC =5cm ，BO =12BD =3cm ，则tan2B=tan ∠OBA 53AO BO ==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC 于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD =2，AB =5，则sin ∠BAC =2102105EB AB ==．故选D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =35， ∴sin A =10BC BC AB ==35，即BC =6， 根据勾股定理得：AC 22AB BC -=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8， 故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =34． 故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴13BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =855，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=655， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC =22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC =CD AC =45．故选D ．4．【答案】A【解析】∵∠BCA =90°，tan ∠BAC =25，BC =30m ，∴tan ∠BAC =25＝BC AC ＝30AC，解得AC =75， 故选A ． 5．【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ． 30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==； 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=， 所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100， 在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ）， 在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
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课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
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个人简历：课件/jianli/
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典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
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人教版九年级数学课件-解直角三角形
∴PQ的長為
18 6400 3.14 640 2009.6(km) 180
F PQ
α O·
當飛船在P點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距
離P點約2009.6km.
*
在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角 叫做仰角；從上向下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.
視線
鉛
仰角
直
線 俯角
28.2 解直角三角形
第2課時
*
1、瞭解仰角、俯角的概念，能應用銳角 三角函數的知識解決有關實際問題；
2、培養學生分析問題、解決問題的能力.
*
A
（1）三邊之間的關係 a2 b2 c2 b
c
（2）兩銳角之間的關係 ∠A＋∠B＝90°
（3）邊角之間的關係
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
*
5.（鄂州中考）如圖，一艘艦艇在海面下500米A點處測得 俯角為30°前下方的海底C處有黑匣子信號發出，繼續在 同一深度直線航行4000米後再次在B點處測得俯角為60° 前下方的海底C處有黑匣子信號發出，求海底黑匣子C點距
離海面的深度（結果保留根號）．
*
【解析】作CF⊥AB於F，則
D A 30°
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2的m高度為15.2m.
54° 45° D 40m C
*
4. 如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進度，要在小山 的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那麼開挖點E離D多遠正好能使A，C，E成一 直線（精確到0.1m）
人教版九年级数学课件282 解直角三角形共28张
B组：为了测量大楼顶
上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底部 B和 顶部C 的仰角分别为 . 45 ?和60 ? 已知点A与 楼底中间部位D的距离 约为80米，求避雷针
较长的对角线呢？
2、 “神舟”10号载人航天飞船发射成 功，当飞船完成变轨后，就在离地球
350km 的圆形轨道上运行，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上 能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？
(地球半径约为6400km)
2、 “神舟” 10号载人航天飞船发射成功，当飞船完成变轨后， 就在离地球 350km 的圆形轨道上运行，当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？ 这样的最远点与 P点的距离是多少？ (地球半径约为 6400km)
3、
28.2 解直角三角形第三课时
1、概念： （1）仰角：从下向上看，
视线与水平线的夹 角叫仰角。 （2）俯角：从上向下看， 视线与水平线的夹 角叫俯角。
2、由A看向B仰角为50°，则由B看向 A的俯角为 .
3、在飞行高度1000米高空的飞机上， 看到地面某标志物的俯角为30°， 那么飞机与标志物之间的距离是 米.（画图分析）
50m，此时观测气球，测得仰角为45°。若 小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气 球的高度呢？
D
A
甲
乙
B
C
1、在实际问题数学化，运用仰角、俯角 概念解直角三角形时，要首先找出它 们所在的直角三角形，表示时注意 “水平线”；
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优 选 关 系 式
三 字 经
知斜边，求直边，正余弦，很方便； 知直边，求直边，用正切，理当然； 知两边，求一角，边角式，要选好； 知两边，求一边，用勾股，最方便； 知锐角，求锐角，用互余，最可靠； 知直边，求斜边，用除法，正余弦； 好方法，要选择，能用乘，不用除. 解直角三角形的方法一般遵循
“有斜用弦，无斜用切”的原则。
面积.
A
4cm
2、如图，在Rt△ABC中，
2 ∠C=90 ，sinA=5 , D为
zxxkw
?
300
B
450
C
AC上的一点，∠BDC=45 , DC=6cm, 求AB的长。 B ？
A
D
45
6cm
C
作业：
1、在Rt△ABC中，a=3, c=3 直角三角形。
学 科网
2
,
解这个
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， AB=4，解这个直角三角形。
结束寄语
组卷网
下课了!
悟性的高低取决于有无悟“心” ，其实,人与人的差别就在于你是 否去思考，去发现，去总结。
补充作业 1、 如图,根据图中的已知数据,求AC的长和△ABC的
∴∠A=30°, ∠B=90°-∠A=60°. c= a 2 + b 2 =
2 + (2 3 )
2
2
B
= 16 = 4.
想一想， 还有别的方法求c吗？
c?
?
2
a C
A
?
2 3
b
轻松一下
在下列直角三角形中,不能求解 的是（ D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角
C、已知两边
D、已知两角
∠A的 对 边 a tan A = = ∠A的 邻 边 b
∠B的 对 边 b tan B = = ∠B的 邻 边 a
例1 在△ABC中，∠C＝90°， c＝2,∠B＝30°, 解这个直角三角形 . 解： ∠A = 90° - ∠B = 90° - 30°= 60° ,
a cos B = , c
A
60º 30海里
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中，已知∠A= 60°，斜边AB=30，求AC 的长
在Rt△ABC中，∠C=90， （1）根据∠A= 60°，斜边AB=30，你能求出这个 （能） 一边一角 三角形的其他元素吗？（∠B ，AC，BC） （2）根据AC=2 ，BC= 6 ，你能求出这三角形 的其他元素吗？ ) 两边 ∠(A,∠B, AB （能） （3）根据∠A=60°，∠B=30°，你能 两角 求出这个三角形的其他元素吗? A A ？ 60 30 ？ ？ 2 C ？ （1） ？ B C （2） (不能)
（1)三边之间的关系： （2）两锐角的关系：
a 2 + b 2 = c 2 (勾 股 定 理 ）
∠A +∠B = 90
（3）边角之间的关系:（锐角三角函数）
∠A的对边 a ∠A的邻边 b sin A = = , cos A = = , 斜边 c 斜边 c ∠A的对边 a tan A = = . A可以换成B ∠A的邻边 b
28.2 解直角三角形（第1课时）
授课教师：道二中学石彬
回顾与思考：
1 、 在Rt△ABC中， ∠ C=90°， BC=a ， AC=b，
AB=c。
则
b a a sinA＝ c ， cosA= c ， tanA= b ，
sinB=
a b b c ， cosB= c ， tanB= a 。
A c b a
b sinB= c
Ｂ
a cosB= c b tanB= a
Ａ
c
a
b
Ｃ
3.
特殊角 30 ,45 ,60的三角函数值
填一填 记一记
三角函数
角α
sinα cosα
30° 1 2
3 2
45°
60°
3 2
2
2
2
2 1
1 2
tanα
3
3
3
船有触礁的危险吗？
观测点
北
审题 ，画图
16海里
茫茫大海中有 一个小岛A,该岛四 周16海里内有暗礁. 今有货船由东向西 航行,开始在距A岛 30海里南偏东600 的B处,货船继续向 西航行。 途中会有触礁 的危险吗?
B
C
2、一个直角三角形有几个元素？它们之间有
何关系？
六个元素：有三条边和三个角，其中有一个角为直角。 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: （锐角三角函数） a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
a +b = c
2
2
2 （勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°（互余关系） b （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） C a
B
∠A的 对 边 a sin A = = 斜 边 c
∠A的 邻 边 b cos A = = 斜 边 c
∠B的 对 边 b sin B = = 斜 边 c ∠B的 邻 边 a cos B = = 斜 边 c
练一练
a,b,c分别是 在Rt△ABC中,∠C=90, ∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 如图， ∠A = 45，c =
6 , 解这个直角三角形；
(2)已知如图， a=
Ｂ
3 , b = 3 , 解这个直角三角形。
Ｂ
？
？ c？ ？
Ａ
6c
45° b？ Ａ （1）
a ？
Ｃ
a
3
（2）
b 3
Ｃ
小结一下：今天这节课我们 学习了什么？你有什么收获? 解直角三角形的依据及方法：
探究
？
6
B
由以上的三个问题，
你发现 现了什 么？
在直角三角形的六个元素中，除直角外， 如果知道两个元素 (其中至少有一个是 边），就可以求出这个直角三角形其余的 三个元素。
在直角三角形中，由已知元素求未 知元素的过程，叫做解直角三角形.
在解直角三角形过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系：
3 = 2× = 3, 2
1 1 b= c = ×2 = 1, 2 2
还有其他什么方 法求a和b吗 30°
c
?
2
b?
B
30°
a?
C
例2 :在△ABC中，∠C＝90°， ，b = 2 a =2 解这个直角三角形（即求∠A、∠B、c边）。
3 ，
a 2 3 解：∵tanA= = = , b 2 3 3