重庆市2020年6月高三高考调研测试理科数学试卷及答案
重庆市六校2020届高三复学联合诊断性考试数学(理)试题 含答案
者虽然还没有最终确诊患 2019 新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医
学观察 14 天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未
有临床症状，若该人员居家隔离第
k
天出现临床症状的概率为
1 k 10 2
，
k 11,12,13,14 ，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立
的最小值为 ,且将函数 的图象向右平移个单位后得到的函数
为奇函数,则函数 的一个递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为
上的可导函数,且有
,则对于任意的
,
当 时,有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示,正方体
中,点 分别为边 , 的
中点,过点 作一平面与线段 所在直线有一交点 ,若正方体边长为 ,则多面体
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如果向量
与
共线且方向相反,那么实数 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
(其中
,且
)可化为
,则
应满足条件（ ）
A． tan b a
B． cos a a2 b2
____________________________________________________________________________________________
的体积为（ ）
A． 10 ． 设点 是以
足 A． 3
2
B． 32
C． 64
D．
3
3
为左、右焦点的双曲线
x2 a2
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
2020年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|31}A x x =-<„，2{|()}B x y lg x x ==-，则(A B =I ) A ．(0，1]B ．(0,1)C ．[0，1]D ．[3-，1)2．（5分）在复平面内，复数z 对应点(,)Z x y ，若||||z i z i -=+，则( ) A ．0y =B ．0y =，[0x ∈，1]C ．0x =D ．0x =，[0y ∈，1]3．（5分）命题:p x N ∀∈，|2|3x +…的否定为( ) A ．x N ∀∈，|2|3x +< B ．x N ∀∉，|2|3x +< C ．x N ∃∈，|2|3x +…D ．x N ∃∈，|2|3x +<4．（5分）已知 2.122312log ,(),()225a b c -===，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<5．（5分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6806P X μσ-≈„，(||2)0.9544P X μσ-≈„，(||3)0.9974P X μσ-≈„．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(10,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为() A ．159B ．46C ．23D ．137．（5分）已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r ，若向量c r 与a r 共线，且c r在b r ，则||(c =r)A ．1B ．2CD ．58．（5分）设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是( )A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥9．（5分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到1c 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为#c （读做“升c ” )，#d ，#f ，#g ，#a ；12音阶为：c ，#c ，d ，#d ，e ，f ．#f ，g ，#g ，a ，#a ，b ，相邻音阶的频率之比为121:2．如图，则键盘c 和d 的频率之比为2121:(2)即61:2，键盘e 和f 的频率之比为121:2，键盘c 和1c 的频率之比为1:2，由此可知，图中的键盘1b 和2f 的频率之比为( )A ．32B ．2C 32D 210．（5分）已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin f x x x ϕϕϕ=+-，若对任意x R ∈，5()()6f x f x π=-，则实数ϕ中的取值可以是( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 11．（5分）已知点(2,0)Q -与抛物线22(0)y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =u u u r u u u r，且直线QA 的斜率为1，则(p = )A ．2B ．4C ．222+D ．4212．（5分）已知2(2,1),(,0),,3A B C D 四点均在函数2()log ax f x x b=+的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）直线2y x =-与圆22450x y x ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（5分）曲线2()sin (1)f x x a x =+-在点(0，(0))f 处的切线方程为3y x b =-+，则a b += ．15．（5分）已知25()(21)()x x a x a R -+-∈的展开式中各项系数之和为1-，则展开式中x 的系数为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且222105a b c ++=，则b 的取值范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，22n S +成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足10b =，11n n b b +-=，设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}nc 的前2n 项和．18．（12分）某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB BC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线BE 与平面11AA B B 所成角为30︒，求二面角C BD E --的大小．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点(0,)2mA -，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且OPQ ∆6O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．（12分）已知函数21(),2x f x x ae lnx a R =+-∈． （1）若12x =是函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）当1a …时，证明：13()28f x ln >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 经过点(2,0)且倾斜角为α，02πα<<，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线1l ，垂足为P ，1l 交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求ABP ∆的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
2020届 重庆市 高三高考模拟调研(三)(康德卷)数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2230,N A x x x x =--<∈，集合{}2xB y y ==，则A B =I ( )A ．{}1,2B ．{}1,2,8C ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅【答案】A【解析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I .【详解】{}{}{}2230,N 13,N 0,1,2A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=Q ，{}{}20x B y y y y ===>，因此，{}1,2A B =I .故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ）A ．0x ∃>，tan sin x x ≤B ．0x ∃≤，tan sin x x >C ．0x ∀>，tan sin x x ≤D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤【答案】A【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题“0x ∀>，tan sin x x >”为全称命题，其否定为“0x ∃>，tan sin x x ≤”，故选：A.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.3．已知复数12z i =+，则55zz iz-+=（ ） A ．12i + B ．2i +C ．12i -D ．2i -【答案】B【解析】利用复数的乘法和除法法则可计算出结果.【详解】12z i =+Q ，则2125z z ⋅=+=，因此，()()()5125552121212i i zz i ii z i i i --+===+++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量()1,2a =r，()11b =-r ,，(),2c m =r ，且()2-⊥r r r a b c ，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．任意实数【答案】B【解析】计算出向量2a b -r r的坐标，由()2-⊥r r r a b c 得()20a b c -⋅=r r r ，结合向量数量积的坐标运算可求得实数m 的值.【详解】()1,2a =rQ ，()11b =-r ,，()23,0a b ∴-=r r ，(),2c m =rQ ，()2-⊥r r r a b c ，则()230a b c m -⋅==r r r ，解得0m =.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.5．已知n *∈N ，且1n >，三个数1lnn n +、11n +、1n的大小关系是（ ） A ．111ln 1n n n n +>>+ B ．111ln1n n n n +>>+C ．111ln1n n n n+>>+ D ．111ln1n n n n+>>+ 【答案】A【解析】试题分析：令()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++，当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=恒成立，即ln(1)x x +<恒成立，令1x n=得，11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ln n n n+⎛⎫< ⎪⎝⎭；令()ln(1)1x g x x x =+-+，则()()2211()0111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()ln(1)(0)01x g x x g x =+->=+，即ln(1)1x x x +>+，令1x n=得11ln 111n n n⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭.综上所述有111ln 1n n n n +>>+，故选A. 【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.6．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为( )A ．64-B ．16027-C ．2027D ．803【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解可求得实数a 的值，进而写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】由题意可知，1、2是二次方程20x ax b -+=的两根，由韦达定理得123a =+=，所以63x x ⎫-⎪⎭的展开式通项为633621661233rrrr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=，得2r =，因此，二项展开式中常数项为22436180233T C ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线24y x =的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线的距离是32，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近线方程为by x a=±，由题意得2231b a d b a ==+，解得3ba=， 因此，该双曲线的离心率为222212c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于中等题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．919B ．1021C ．1819D ．2021【答案】B【解析】根据程序框图得出2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L ，利用裂项相消法可求得输出的S 的值.【详解】()()21111141212122121i i i i i ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭Q，由程序框图可知，输出的S 的值为2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L 1111111012335192121⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭L . 故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．35B 35+C ．15+ D 15+ 【答案】D【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为b y x a=，以12F F 为直径的圆O 的方程为222x y c +=．由222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为(,)a b ； 由22222221x y a b x y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得22x b c by c ⎧=+⎪⎨=⎪⎩Q 的坐标为22)a b c bc +． ∵2POF QOB ∠=∠，∴2sin sin POF QOB ∠=∠，∴222b b c c c+=，整理得2b ac =， ∴22c a ac -=，故得210e e --=，解得152e +=．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于,,a b c 等式或不等式，再由222c a b =+及ce a=可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．11．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x ∈R 有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()x f x e >的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】C【解析】根据函数()1y f x =-为奇函数推导出()01f =，构造函数()()xf xg x e =，利用导数可判断出函数()y g x =的单调性，将所求不等式变形为()()0g x g >，再利用函数()y g x =的单调性即可得解.【详解】由于函数()1y f x =-为奇函数，则()010f -=，可得()01f =，构造函数()()xf xg x e=，则()()0001f g e==，且()()()0xf x f xg x e-''=>，所以，函数()y g x =在R 上单调递增，由()x f x e >得()1xf x e>，即()()0g x g >，解得0x >.因此，满足不等式()xf x e >的x 的取值范围是()0,+∞.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．已知a 、0b >，21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1a b +取最小值时，221a b +的值为( )A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出2212a b a b b a +=+，进而可得出214a b a b b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出21a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用等号成立的条件求得2b a =，进而可得出221a b +的值. 【详解】由222112a b a a b b b a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭得，2212a b a b b a +=+， 2221122244a a b a a b a a b b b b a b b a ⎛⎫+=++=++=+≥ ⎪⎝⎭，等号成立时4a b b a =，即2b a =，此时22123a ba b b a+=+=. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．不等式组222y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域的面积为______.【答案】8【解析】作出不等式组所表示的平面区域，进而可求得区域的面积.【详解】不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩即为()()220y x y x y -≤≤⎧⎨-+≤⎩，则不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域由不等式组2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩和2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域合并而成，如下图所示：平面区域为两个全等的等腰直角三角形，且腰长为22因此，所求平面区域的面积为(2122282S =⨯⨯=.故答案为：8.【点睛】本题考查可行域面积的计算，解答的关键就是根据不等式组画出可行域，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 【答案】1008【解析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N*∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=， 201845042=⨯+Q ，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008.【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16．已知直线1:222l x y a -=-，2:24l x y a +=+及圆222:420M x y x ay a +--+=，设直线1l 、2l 分别与圆M 交于点A 、B 和点C 、D ，现随机向圆M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD 内的概率为______.【答案】2π【解析】求出直线1l 、2l 的交点，恰为圆M 的圆心，且12l l ⊥，进而可得知AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，由此计算出四边形ACBD 的面积以及圆M 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】直线1l 的斜率为112k =，直线2l 的斜率为22k =-，则121k k =-，12l l ∴⊥， 将圆M 的方程化为标准方程得()()2224x y a -+-=，圆心为()2,M a ，半径为2.联立直线1l 、2l 的方程22224x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩，解得2x y a =⎧⎨=⎩，两直线的交点为圆心M ，所以，AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，四边形ACBD 的面积为2114822S AB CD =⋅=⨯=， 因此，所求的概率为2822P ππ==⨯. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，AC BC =，2AD =，6CD =.（Ⅰ）当ACD ∆的面积最大时，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若3cos B =，求AB . 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）8. 【解析】（Ⅰ）由ACD ∆的面积最大可知2ADC π∠=，利用勾股定理求出AC ，可判断出ABC ∆的形状，进而可求得ABC ∆的面积；（Ⅱ）利用二倍角余弦公式求出cos D ，在ACD ∆中利用余弦定理求出AC ，然后在ABC ∆中利用余弦定理求出AB .【详解】（Ⅰ）由1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅∠知当2ADC π∠=时，ACD ∆的面积ACD S ∆最大，此时22210AC AD CD +=，4B π=，此时，ABC ∆为等腰直角三角形，其面积为1202ACD S AC BC ∆=⋅=；（Ⅱ）21cos cos 22cos 13D B B ==-=-， 在ACD ∆中，由余弦定理2222cos 48AC AD CD AD CD D =+-⋅=，43AC ∴=，AC BC =Q ，2ACB B π∴∠=-，则()1cos cos 2cos 23ACB B B π∠=-=-=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 64AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，因此，8AB =.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行.英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读E （共4题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1、2、5选A ，丢出3选B ，丢出4选C ，丢出6选D （已知4道题的正确答案依次为A 、C 、D 、D ）（I ）求李华同学听力的6分的概率；（II ）记随机变量李华做阅读E 时做对的题数为ξ，求ξ的分布列与期望.【答案】（I ）135512；（II ）分布列见解析，随机变量ξ的期望值为1. 【解析】（I ）由题意可知，李华同学做对3道听力题，利用独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率；（II ）由题意可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，分别计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出其分布列，并利用期望公式计算出()E ξ.【详解】（I ）根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34， 则听力得6分的概率为323533135144512P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （II ）由题意，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3、4，则李华做对4道阅读题的概率分别为12、16、16、16， 则()31112501126432P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321311111200111126266432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅-⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()221233111111902111266266432P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+⋅-⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2323111111631126626432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+-⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3111426432P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 所以，随机变量ξ的分布列为：ξ1 234P125432 200432 90432 16432 1432因此，随机变量ξ的期望值为()12520090161012341432432432432432E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立重复试验的概率问题，同时也考查了随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查计算能力，属于中等题.19．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 【答案】（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+， 考虑当3n ≥时，22111111(1211n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。
2020届重庆市南开中学高三下学期第六次教学质量检测数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届重庆市南开中学高三下学期第六次教学质量检测数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合(){}40B x x x =-<，则表示 RA B =（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,4答案：A先求出集合B ，进一步得到 RB ，再按交集的定义运算即可.解：由(4)0x x -<，得4x >或0x <，所以{|0B x x =<或4}x >， {|04}R B x x =≤≤， 所以 RA B ={}1,2,3,4.故选：A 点评：本题主要考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集运算以及解一元二次不等式，是一道容易题.2．在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则{}n a 的前5项和5S = A ．7 B ．15C ．20D ．25答案：B：422514,d a a =-=-=2d =，1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，解题时要认真审题，仔细解答3．向量()2,1a =，向量()1,3b =.若()3a kb a +⊥，则实数k =（） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-答案：B由()3a kb a +⊥，可得230a ka b +⋅=，再利用向量的坐标运算即可得到答案.解：由已知，221a =+=21135a b ⋅=⨯+⨯=，又()3a kb a +⊥，所以()30a kb a +⋅=，即230a ka b +⋅=，所以3550k ⨯+⨯=，解得3k =-. 故选：B 点评：本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，263i i e e ππ+表示复数z ，则z =（）A ．2 BC ．2D ．2答案：B根据欧拉公式将263i i e e ππ+化简为z =+，再利用复数模的计算公式计算即可. 解：根据欧拉公式有26322cossincossin 6633ii eei i ππππππ+=+++1122i =+，所以z =，||z ==故选：B 点评：本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-恒成立，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集为（） A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()3,-+∞D ．(),3-∞-答案：D由已知，可得()f x 是R 上的奇函数且单调递增，所以()()212(2)f x f x f x +<--=-，利用函数的单调性解不等式即可.解：对任意的12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-恒成立，可得()f x 是R 上的增函数，又()f x 是R上的奇函数，所以()()212(2)f x f x f x +<--=-，所以212x x +<-，解得3x <-，所以不等式()()2120f x f x ++-<的解集为(),3-∞-. 故选：D 点评：本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，考查学生转化与化归的思想，是一道容易题.6．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B根据框图写出每次结果即可. 解：当2,3a x ==时，328y ==，10333x +=，833<； 第一次循环：44,216,10343x y x ===+=，1643<； 第二次循环：55,232,10353x y x ===+=，3253<；第三次循环：66,264,10363x y x ===+=，满足6263>，退出循环， 此时输出的x 为6. 故选：B 点评：本题考查由程序框图求输出的结果，解此类题关键是读懂程序，建议数据不大时采用写出来的办法，防止出错，是一道容易题. 7．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占25，35的份额，出厂时已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为110，19.现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为（） A ．875B ．1990C ．125D ．115答案：A分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事件的概率. 解：设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事件A ， 该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件B ，则211()51025P A =⨯=， 311()5915P B =⨯=，则所求概率为()()P A P B +=875.故选：A 点评：本题考查互斥事件的概率，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8．一质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，现连续抛掷该正方体n 次，发现落地后向上数字大于4的平均次数不小于3，则抛掷次数n 的最小值为（） A ．6 B ．8C ．9D ．12答案：C设X 表示抛掷n 次落地向上数字大于4的次数，则1(,)3X B n ，由题意()3E X ≥，利用二项分布的期望公式即可得到答案. 解：由题意，每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为2163=，设X 表示抛掷n次落地向上数字大于4的次数，则1(,)3X B n ，由题意()3E X ≥，即133n ≥，9n ≥.故选：C 点评：本题考查二项分布的均值，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 9．已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与函数()cos(2)()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，则φ为（） A ．6πB ．6π-C ．3π D ．3π-答案：D因为函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与函数()()cos 2()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，所以2,2()2()62323k k Z k k Z πππππωϕπϕπϕϕ==-+∈∴=-+∈<∴=-，选D.10．如图，已知点P 沿着半径为1的半圆弧按逆时针方向从B 点行进到A 点（不含,A B ），由BP ，线段,AP AB 围成的平面图形PAB 的面积记为S ，设BP x =，()S f x =.则()f x 的图象为（）A ．B ．C ．D ．答案：A由BP x =，1OB =，可得POB x ∠=，进一步可得sin 22x xS =+，通过分析S 的导函数'S 即可得到答案. 解：取AB 的中点O ，连接PO ，因为BP x =，1OB OP OA ===， 所以POB x ∠=，则POA x π∠=-， 所以211sin sin()2222x x S OB x OA OP x π=⨯+⨯⨯⨯-=+，(0,)x π∈， '1cos 022x S =+>，''1()sin 02S x =-<，这说明'S 在(0,)π上是递减的，即S 的图象上点的切线的斜率大于0且随x 增大越来越小，故选项A 中的图象符合.故选：A点评：本题考查由解析式选择函数图象的问题，涉及到导数的几何意义，考查学生逻辑推理能力，数形结合的思想，是一道中档题.11．若对任意0x >，均存在a ∈R ，使得1a m ax e x≥+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞C ．[)0,+∞D ．e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：D 设1()ag a xa e x -=+，均存在a ∈R ，使得1a m ax e x≥+成立，则min ()g a m ≤，通过求导，可得min ()2ln g a x x x =-+，所以问题转化为2ln x x x m -+≤对任意0x >恒成立，令()2ln f x x x x =-+，求出max ()f x 即可. 解： 设1()ag a xa e x -=+，均存在a ∈R ，使得1a m ax e x≥+成立，则min ()g a m ≤， 2'11()a a ax e g a x e x xe--=-=，由'()0g a >，得2ln a x >-，由'()0g a <，得2ln a x <-，所以()g a 在(,2ln )x -∞-上单调递减，在(2ln ,)x -+∞上单调递增，所以min ()(2ln )2ln g a g x x x x =-=-+，则2ln x x x m -+≤对任意0x >恒成立，令()2ln f x x x x =-+，'()2(ln 1)12ln 1f x x x =-++=--，当x∈时，'()0f x >，当)x∈+∞时，'()0f x <，所以()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以max ()f x f ==m ≥. 故选：D 点评：本题考查利用导数研究双变量函数的问题，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.12．已知,B C 是椭圆22143x y +=上的两个动点，1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以A 为直角顶点的等腰直角ABC 的个数为（） A ．2 B ．4C ．6D ．多于6答案：A当BC x ⊥轴时，易得有两个满足条件的三角形，当BC 不垂直于x 轴时，通过分析AC 可知C 点从左顶点运动到右顶点的过程中，AC 是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形. 解：当BC x ⊥轴时，如图所示，显然有两个满足条件的三角形. 当BC 不垂直于x 轴时，不妨假设(),C x y ，0y >，AC ===调性知，y =[]22-,上单调递减，所以C 点从左顶点运动到右顶点的 过程中，不存在另一个异于C 的B 点，使得||||AC BC =.综上，满足条件的三角形只有 2个. 故选：A.点评：本题考查椭圆中的存在性问题，考查学生数形结合思想、逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴选择题. 二、填空题13．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 答案：322+21a b +=，则1111223+322b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）则11a b+的最小值为322+.点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 14．若3(2n x x的展开式中第四项为常数项，则n= .答案：5解：试题分析：先将题中二项式进行化简得，113231()22nnx x x x-=-，由题意1133332311()()2n nT C x x --+=-为常数项，则11(3)()3023n -+-⨯=，解得5n =.【考点】1.二项式定理的应用；2.二项式的通项、系数、次数.15．我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《缉古算经》均有着十分丰富的内容，是了解我国古代数学的重要文献，某中学计划将这5本专著作为高中阶段“数学文化”样本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将5门选完，则小南同学的不同选修方式有______种. 答案：150分小南高中三年选修的科目数为2，2，1和3，1，1两种情况讨论即可. 解：根据题意，小南高中三年选修的科目数为2，2，1或3，1，1.若小南高中三年选修的科目数为2，2，1时，先将5门学科分成三组共22153122C C C A 种不同方式，再分配到高中三年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有22153122C C C A 3390A ⋅=种；若小南高中三年选修的科目数为3，1，1时，先将5门学科分成三组共31152122C C C A 种不同方式，再分配到高中三年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有31152122C C C A 3360A ⋅=种；由加法原理可知小南同学的不同选修方式有9060150+=种. 故答案为：150 点评：本题考查排列组合的综合应用，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16．若函数()()()()()2log 111212a ax x x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 答案：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭分段函数在在R 上单调递增，则每个分支所对应的函数在相应的区间上必须单调递增，且还要注意分段点处的函数值的大小. 解：首先必须满足在分段点处有()13log 111222a a a a ⨯-+≥-+⇒≥， 另外，还需要满足两段函数在各自区间内单调递增，所以有2112110a a a <⎧⎪⎪≤⎨⎪-+>⎪⎩， 解得122a ≤<.综上，3,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭点评：本题考查已知分段函数函数的单调性求参数的范围，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题. 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中：13a =，5227S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：（1）21n a n =+（2）31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1139273a d a +=⎧⎨=⎩，解方程组，再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）111122n n b n n S ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和即可. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由523451139273S S a a a a d a -=++=+=⎧⎨=⎩，得：2d =所以1(1)21n a a n d n =+-=+.（2）由（1）得()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n n b n n S ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭∴1111111111111...(1)213243522212n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-=+-- ⎪+++⎝⎭ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 点评：本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．已知函数()()()cos sin f x x x xx =∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22B f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，6b =，求ABC 的面积的取值范围.答案：（1）T π=，单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈.（2）(ABC S ∈△（1）由二倍角公式可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可得()f x 的周期以及单调递增区间；（2）由2B f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得3B π=，所以sin sin sin a c b A C B ===，1sin sin 2ABC S ac B A C ==△，结合23A C π+=，进一步可得26ABCSA π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可得到答案.解：（1）()211cos2cos sin sin 222xf x x x x x +=-=-1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=--=--⎪⎝⎭∴()f x 的周期T π=， 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈. （2）∵sin 23B f B π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈， ∴3B π=，由正弦定理有6sin sin sin sin 3a cb A C B π====∴11sin sin sin 22ABC S ac B A C B A C ==⋅⋅=△221sin (sin )18sin cos 322A A A A A A A A π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭1cos29sin 2226A A A π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ ∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<∴(ABC S ∈△. 点评：本题考查三角恒等变换在三角函数以及解三角形中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19．跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会，是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动，跨年晚会首次出现在港台地区，跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同，如央视启航2020跨年盛典，湖南卫视跨年演唱会，东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度，现分别随机选出100名观众对迎新晚会的质量评估评分，最高分为100分，综合得分情况如下表所示：根据表中的数据，回答下列问题：（1）根据表中的数据，绘制这100位观众打分的频率分布直方图；（2）已知观众的评分X 近似服从()2,N μσ，其中μ是反应随机变量X 取值的平均水平的特征数，工作人员在分析数据时发现，可用100位观众评分的平均数估计μ，但由于评分观众人数较少，误差较大，所以不能直接用100位观众评分的标准差的值估计σ，而在这100位观众打分的频率分布直方图的基础上依据()0.6826P X μσμσ-<<+=来估计σ更科学合理，试求μ和σ的估计值（σ的结果精确到小数点后两位）.答案：（1）见解析（2）77μ=，7.25σ≈. （1）分别计算每组的频率/组距即可；（2）由题意及已知可得77μ=，注意到中间三组的概率和为0.7，所以()7770,75σ-∈，()7780,85σ+∈或()7765,70σ-∈，()7780,85σ+∈，分别讨论计算即可得到答案. 解：（1）根据以上数据，求出各段的频率，绘制出频率分布直方图如下（2）∴562.51067.52572.53077.51582.51087.5592.577100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==因为第3，4，5组的概率和为(0.050.060.03)50.7++⨯=， 所以要使()77770.6826P X σσ-<<+=，则()7770,75σ-∈，()7780,85σ+∈或()7765,70σ-∈，()7780,85σ+∈， 若()7770,75σ-∈，()7780,85σ+∈，即()()75770.050.06577800.030.6826σσ--⨯+⨯++-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理得：()()20.0530.030.3826σσ-⨯+-⨯= 即：0.080.5726σ=，所以7.15757.16σ=≈ 不满足()7770,75σ-∈，舍去； 若()7765,70σ-∈，()7780,85σ+∈，则有()()70770.020.0550.06577800.030.6826σσ--⨯+⨯+⨯++-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理得：0.050.3626σ=，7.252σ=满足条件 故7.25σ≈. 点评：本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到正态分布的概念，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.20．已知抛物线2:4C y x =上的动点P 到圆()222:2M x y r -+=上的点Q 的最短距离为1.（1）求圆M 的半径；（2）圆M 与x 轴的两个交点中，右边一个点为N ，过N 作直线与圆M 交于K 点，与抛物线交于R ，S 点，求ROS NOK S S ⨯△△的最大值. 答案：（1）1（2）2（1）利用P 到圆心的距离减去圆的半径等于1计算即可；（2）显然直线的斜率存在且不能为0，故设直线:3l my x =-，由直线与抛物线方程联立得到,R S 的坐标的关系，进一步得到12y y -，由直线与圆的方程联立求得K 的纵坐标，利用1211||||22ROS NOK K S S ON y y ON y ⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯△△计算得到关于m 的函数，再利用基本不等式求最值即可. 解：（1）2,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2PM ==≥，由条件知min ||1PM r -=，即21r -=，所以1r =.（2）易得()3,0N ，显然直线的斜率存在且不能为0，故设直线:3l my x =-，设,R S 纵坐标分别为12,y y ，由234my x y x=-⎧⎨=⎩，得24120y my --=，12124,12y y m y y +==-，所以12y y -==由()22321my x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得()22120m y my ++= 解得221m y m =-+或0y =，所以221K my m =-+，所以1211||||22ROS NOK K S S ON y y ON y ⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯△△1211331822K y y y =⨯⨯-⨯⨯⨯=2223m m ++=≤== 23m =时等号成立.点评：本题主要考查直线与抛物线位置关系中的最值问题，涉及到直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.21．我们平时的导数学习中，见到过很多形形色色的函数，其实很多函数的形态是具有共性的，比如x e x与2xe x ，ln x x 与2ln x x 等等.（1）已知()xk e f x x=，()ln k x g x x =，k 为正常数，分别求这两个函数在()0,∞+的最值.（2）证明：23ln 10ex x e x -->. 答案：（1）()minkk e f x k=，无最大值.()max 1g x ek =，无最小值.（2）见解析（1）利用导数求得(),()f x g x 的单调性即可得到最值； （2）原不等式可以变形为33ln 1ex ex x x +>，设()3e x e h x x=，()3ln 1x m x x +=，只需证明()min h x >()max m x 即可. 解： （1）()()()1'2k x k x e x k fx x --=，当x k >时，()'0fx >；当0x k <<时，()'0f x <；所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增. 所以()()minkk e f x f k k==，无最大值.()()()1'21ln k k x k x g x x --=，令()'0g x >，得10k x e <<，令()'0g x <，得1k x e >，所以()g x 在10,ke ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以()1max1k g x g e ek ⎛⎫== ⎪⎝⎭，无最小值.（2）原不等式可以变形为33ln 1ex ex xx +>. 设()3e x e h x x =，()3'213ex e e x h x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=，易得()h x 在30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min33e h x h e ⎛⎫== ⎪⎝⎭.设()3ln 1x m x x +=，()'423ln x m x x --= 令()'0m x >，得230x e -<<，令()'0m x <，得23x e ->，所以()m x 在230,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在23,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以()2232max2133e m x m e e ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以()()h x m x >（因为两个函数的最值不能同时取得）. 点评：本题考查利用导数研究函数的最值、证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道中档题.22．直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x a ++=，曲线C 的方程为2cos 12sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）若()6πθρ=∈R 与直线l 的交点为M ，与曲线C 的交点分别为,A B ，且M 恰好为,A B 中点，求a 的值.答案：（1）:cos sin 0l a ρθθ++=曲线2:2sin 3C ρρθ-=（2）2a =- （1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）123,,,,,666M A B πππρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入22sin 3ρρθ-=中，得到12ρρ+，进一步得到M的极坐标，再代入cos sin 0a ρθθ++=中计算即可.解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入直线的普通方程，得cos sin 0a ρθθ++=， 所以直线l的极坐标方程为cos sin 0a ρθθ+=；曲线C 的普通方程为22(1)4x y +-=，即2223x y y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为22sin 3ρρθ-=. （2）由条件设123,,,,,666M A B πππρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由262sin 30πθρρθ⎧=⎪⎨⎪--=⎩，得230ρρ--=， 因为M 为,A B 中点，所以23111,,2226M ρρπρ+⎛⎫==⎪⎝⎭， 将1,26M π⎛⎫⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθθ++=中，得1110222a +⨯+=，所以a =. 点评：本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.23．[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()x ⎰=|x-a|+12a(a ≠0) (1)若不等式()x ⎰-()x m ⎰+≤1恒成立,求实数m 的最大值; (2)当a<12时,函数g(x)=()x ⎰+|2x-1|有零点,求实数a 的取值范围答案：(1)1.(2)[-12,0). 分析：第一问首先根据题中所给的函数解析式，将相应的变量代入可得结果，之后应用绝对值不等式的性质得到其差值不超过m ，这就得到|m|≤1，解出范围从而求得其最大值，第二问解题的方向就是向最小值靠拢，应用最小值小于零，从而求得参数所满足的条件，求得结果. 详解：(Ⅰ)∵f(x)=|x-a|+12a ,∴f(x+m)=|x+m-a|+12a, ∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|, ∴|m|≤1,∴-1≤m ≤1,∴实数m 的最大值为1; (Ⅱ)当a<12时,g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a=131,2111.221131,22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩∴g(x)min=g(12)=12-a+12a =2a2a 12a-++≤0, ∴2102210a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20210a a a <⎧⎨-++≥⎩,∴-12≤a ≤0, ∴实数a 的取值范围是[-12,0). 点睛：该题考查的是有关不等式的综合题，在解题的过程中，需要明确绝对值不等式的性质，从而求得参数所满足的条件，从而求得结果，第二问就要抓住思考问题的方向，向最值靠拢，即可求得结果.。
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试(2020届康德卷6月三诊考试)理科数学试卷及答案
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。
2020届高三第三次调研考试 理科数学 参考答案与评分细则
惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACADDADBC1.【解析】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选D.2.【解析】21313i i 2222z =+=-+（），所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】20201log πa =2020log 10<=，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()01∈，，1π2020c =1>，所以a b c <<.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=， 所以3sin(2)2πθ-24cos 2(2cos 1).5θθ=-=--=故选A. 5.【解析】如图所示，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋AD →)＝12b r －45(a r ＋b r )＝－45a r －310b r.故选C. 6.【解析】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠12，解得a ＝±2.故选A.7.【解析】1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，故选D.8.【解析】11332815.14C C P C +==故选D. 9.【解析】()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1sin 1x x e x e ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭是偶函数，排除C 、D ，又(1)0,f >Q 故选A. 10.【解析】如图：α//面CB 1D 1，α∩面ABCD =m ，α∩面ABA 1B 1=n ，可知n//CD 1，m//B 1D 1，因为△CB 1D 1是正三角形，m n 、所成角为60°． 则m 、n 所成角的正弦值为√32．故选D ．11.【解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，z结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A 、B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0,又F(14,0), ∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3．故选B ．12.【解析】 (x 0,x 0+1)区间中点为x 0+12，根据正弦曲线的对称性知f(x 0+12)=−1,①正确。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|y＝lg（x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1]D．[﹣3，1）2．在复平面内，复数z对应点Z（x，y），若|z﹣i|＝|z+i|，则（）A．y＝0B．y＝0，x∈[0，1]C．x＝0D．x＝0，y∈[0，1] 3．命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜34．已知a=log232，b=(12)2.1，c=(25)−2，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．137．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．58．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c，d，e，f，g，a，b，则多出来的5个音符为c#（读做“升c”），d#，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：110．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π311．已知点Q （﹣2，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若AB →=3BP →，且直线QA 的斜率为1，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．2+2√2D ．4√212．已知A(2，1)，B(23，0)，C ，D 四点均在函数f （x ）＝log 2ax x+b的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ ．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝BC ＝2，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点． （1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）若直线BE 与平面AA 1B 1B 所成角为30°，求二面角C ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．参考答案一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣x 2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1]B ．（0，1）C ．[0，1]D ．[﹣3，1）【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z 对应点Z （x ，y ），若|z ﹣i |＝|z +i |，则（ ） A ．y ＝0B ．y ＝0，x ∈[0，1]C ．x ＝0D ．x ＝0，y ∈[0，1]【分析】由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，写出复数的模，整理后得答案． 解：由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，得|x +（y ﹣1）i |＝|x +（y +1）i |， 即√x 2+(y −1)2=√x 2+(y +1)2， 整理得：y ＝0． 故选：A ．3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3． 故选：D ．4．已知a =log 232，b =(12)2.1，c =(25)−2，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】可以得出14＜log 232＜1，(12)2.1＜14，(25)−2＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵14=log2214＜log232＜log22=1，(12)2.1＜(12)2=14，(25)−2＞(25)0=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和的定义，即可求出公差d的值．解：等差数列{a n}中，a2+a7+a9＝（a1+d）+（a1+6d）+（a1+8d）＝3（a1+5d）＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0；所以a9﹣a6＝3d＝﹣9，解得d＝﹣3．故选：A．6．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．13【分析】由题意，μ＝110，σ＝10，结合2σ原则可得P（X＞130），乘以1000得答案．解：由题意，μ＝110，σ＝10，故P（X＞130）＝P（X＞μ+2σ）=1−0.95442=0.0228．∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23．故选：C．7．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．5【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量c→，再求模长．解：向量a→=（﹣1，2），向量c→与a→共线，设c→=（﹣λ，2λ），由b→=（3，4），所以c→在b→方向上的投影为|c→|cosθ=c→⋅b→|b→|=−3λ+8λ5=√5，解得λ=√5，所以c→=（−√5，2√5），所以|c→|=√(−√5)2+(2√5)2=5．故选：D．8．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析四个选项中能够推出α∥β的条件即可得答案．解：对于A，由l⊂α，m⊂β，l∥m，不一定得到α∥β，α与β也可能相交；对于B，由l⊥m，l∥α，m⊥β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图，对于C，l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，不一定得到α∥β，只有添加条件l与m相交时，才有α∥β；对于D，由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m⊥β，可得α∥β．∴使得α∥β成立的一个充分条件是D．故选：D．9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c 1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为c #（读做“升c ”），d #，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：1【分析】根据所给定义，由图推得f 2是b 1后的第6个音阶即可得到答案解：根据题意，因为相邻音阶的频率之比为1：√212，而键盘f 2是b 1后的第6个音阶， 故频率之比为1：(√212)6=1：√2， 故选：B ．10．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π3【分析】先根据三角函数公式化简解析式，再由条件得到函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；进而求得结论．解：因为函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ＝sin2x cos φ+（2cos 2x ﹣1）sin φ＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， ∵对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)， ∴函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称； 故2×5π12+φ＝k π+π2（k ∈Z ），即φ＝kπ−π3，k∈Z，故选：A．11．已知点Q（﹣2，0）与抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若AB→=3BP→，且直线QA的斜率为1，则p＝（）A．2B．4C．2+2√2D．4√2【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可．解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由AB→=3BP→，可知：x A＝4x B，则y A＝﹣2y B，又A、F、B三点共线，可得y A−y Bx A−x B=y Bx B−p2，即2py A+y B=y By B22p−p2，可得y A y B＝﹣P2，∴−12y A2＝﹣p2，即y A=√2p，x A＝p，由QA斜率为1可得：y Ax A+2=1，即√2pp+2=1，则p＝2（√2+1）．故选：C．12．已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A．265B．263C．525D．523【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用BA→=CD→得到x2=x1+43，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x1+43代入即可得到点C的坐标，从而求出BA→，BC→，得到平行四边形ABCD的面积．解：∵函数f（x）＝log2axx+b，由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴a＝b+2，由f（23）＝0可得23a23+b=1，∴a＝1+32b，解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=log24xx+2，设点C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，由题意可知BA →=CD →，则x 2−x 1=43，∴x 2=x 1+43，由f （x 2）﹣f （x 1）＝1得：log 2x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=1，∴x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=2，∴x 1x 2＝2x 2﹣4x 1，把x 2=x 1+43代入解得x 1=23或﹣4，又∵点C 不与B 重合，∴x 1＝﹣4，∴C （﹣4，3）， ∴BA →=(43，1)，BC →=(−143，3)，故平行四边形ABCD 的面积S ＝|43×3−1×(−143)|=263，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 2 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0即（x +2）2+y 2＝9，其圆心为（﹣2，0），半径r ＝3， 圆心到直线y ＝2﹣x 的距离d =|−2−2|1+1=2√2， 则弦长|AB |＝2×√r 2−d 2=2×√9−8=2； 故答案为：2．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ 4 ．【分析】先对f （x ）求导，然后求出f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率，再根据在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b 和切线过切点（0，a ），得到关于a ，b 的方程，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2，得f ′（x ）＝cos x +2a （x ﹣1）， ∴f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率k ＝f '（0）＝1﹣2a ， ∵f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ， ∴1﹣2a ＝﹣3，∴a ＝2，又y ＝﹣3x +b 过（0，a ），∴b ＝a ＝2， ∴a +b ＝4． 故答案为：4．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ﹣9 ．【分析】先求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x 的系数． 解：∵令x ＝1，可得（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5展开式的各项系数之和为a •15＝﹣1， ∴a ＝﹣1，∴（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5＝（x 2﹣x ﹣1）（2x ﹣1）5＝x 2•（2x ﹣1）5﹣x •（2x ﹣1）5﹣（2x ﹣1）5；显然这三项展开后，只有后面两项有x ；即（﹣x ）•（﹣1）5−∁54•2x •（﹣1）4＝﹣9x ；故展开式中x 的系数为﹣9； 故答案为：﹣9．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 （√30，√35] ．【分析】设等差数列的公差为d ，用b 和d 表示a 和c ，结合题意列出不等式求出b 的取值范围．解：设等差数列的公差为d ，则a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ； 所以a 2+b 2+c 2＝（b ﹣d ）2+b 2+（b +d ）2＝3b 2+2d 2＝105； 不妨设d ≥0，由a +b ＞c ，得b ﹣d +b ＞b +d ，解得d ＜b2； 所以3b 2≤105＜3b 2+b 22，解得30＜b 2≤√35， 即√30＜b ≤√35；所以b 的取值范围是（√30，√35]． 故答案为：（√30，√35]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求； （2）由等差数列的定义和通项公式，可得b n ，求得c n ={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 解：（1）由4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列， 可得6S n +1＝4S n +2S n +2，即3S n +1＝2S n +S n +2， 即2（S n +1﹣S n ）＝S n +2﹣S n +1，即2a n +1＝a n +2，所以等比数列{a n }的公比为2， 又a 1＝1，可得a n ＝2n ﹣1，n ∈N*；（2）由b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，可得{b n }是首项为0，公差为1的等差数列， 则b n ＝n ﹣1，n ∈N*，c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，所以{c n }的前2n 项和为c 1+c 2+…+c 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+1+2n−12•n =4n 3−13+n 2． 18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【分析】（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，由此能预测学生甲考试得160分的概率．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，从而X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．解：（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P（X＝100）＝0.3×C32×0.3×0.7=0.126，P（X＝140）=0.7×C21×0.3×0.7=0.294，P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063．∴X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.063 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E 分别为AA1，B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若直线BE与平面AA1B1B所成角为30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【分析】（1）取BC的中点F，连结AF，EF，推导出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，从而B1B⊥面ABC，进而B1B⊥AF，由此能证明AF ⊥平面BCC1B1，从而DE⊥面BCC1B．（2）过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，推导出FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B 的距离为1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距离d＝1，求出BE＝2，EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．解：（1）证明：取BC的中点F，连结AF，EF，则EF∥B1B∥DA，且EF=12B1B=DA，∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥面BCC1B．（2）解：过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，∴FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B的距离为1，又EF∥B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，∴点E与点F到平面AA1B1B的距离相等，∴E到平面AA1B1B的距离d＝1，∴sin30°=dBE=1BE，解得BE＝2，∴EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，√2，0），C（0，−√2，0），D（√2，0，√2），E（0，0，√2），∴CB→=（0，2√2，0），BD→=（√2，−√2，√2），BE→=（0，−√2，√2），设平面CBD和平面BDE的法向量分别为m→=(x1，y1，z1)，n→=（x2，y2，z2），则{m →⋅CB →=2√2y 1=0m →⋅BD →=√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，取x 1＝1，得m →=（1，0，﹣1）， {n →⋅BD →=√2x −√2y +√2z =0n →⋅BE →=−√3y +√3z =0，取y 2＝1，得n →=（0，1，1）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，由图知二面角C ﹣BD ﹣E 是锐二面角， ∴二面角C ﹣BD ﹣E 的大小为π3．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【分析】（1）根据正方形面积为4可得b ＝c =√2，椭圆方程可求；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意直线l 的方程为：l ：y ＝kx +m ，（k ＞0，m ≠0，±1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k ，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m 的值，则直线PQ 的方程即可求出．解：（1）由题知b ＝c =√2，a ＝2， 故C 的方程为：x 24+y 22=1；（2）联立{x 24+y 22=1y =kx +m，整理得（1+2k 2）x 2+4km +2m 2﹣4＝0，则△＝8（2﹣m 2+4k 2）＞0得4k 2+2＞m 2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−42k 2+1，由直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，则k 2=y 1+m 2x 1•y 2+m2x 2=kx 1+32m x 1•kx 2+32m x 2， 即k 2x 1x 2＝k 2x 1x 2+32mk （x 1+x 2）+94m 2，又m ＞0，所以k （x 1+x 2）=−32m ， 即−4k 2m 2k 2+1=−32m ，则k 2=32，又S △OPQ =12•|m |•|x 1﹣x 2|，所以√62=|m|2•√8(2−m 2+4k 2)2k 2+1=|m|2•√8(8−m 2)4，即m 4﹣8m 2+12＝0，解得m 2＝2或6，均满足△＞0． 又k ＞0，m ＞0，且P 、Q 均不在y 轴上，所以k =√62，m =√6，故直线l 的方程为y =√62x +√6．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出验证即可； （2）问题转化为只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，根据函数的单调性怎么即可．解：（1）f ′（x ）＝x +ae x −1x，由题意知f ′（12）＝0，即12+a √e −2＝0，解得：a =2e，又f ″（x ）＝1+ae x +1x 2＞0， ∴f ′（x ）在（0，+∞）上递增， 故当a =32√e 时，有x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0， x ∈（12，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x =12是f （x ）的极小值点；（2）当a ≥1时，对于∀x ＞0有ae x ≥e x ， 即f （x ）≥12x 2+e x ﹣lnx ， 故要证明f （x ）＞138+ln 2，只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2， 令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝x +e x −1x，g ″（x ）＝1+e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）在（0，+∞）递增，又g ′（12）=√e −32＞0，g ′（13）=√e 3−83＜0， 故存在x 0∈（13，12），使得g ′（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴g （x ）≥g （x 0）=12x 02+e x 0−lnx 0，又x 0+e x 0−1x 0=0，∴g （x 0）=12x 02−x 0+1x 0−lnx 0，令h （x ）=12x 2﹣x +1x −lnx （13＜x ＜12），则h ′（x ）＝x ﹣1−1x 2−1x＜0， ∴h （x ）在（13，12）递减，∴h （x ）＞h （12）=138+ln 2， 故g （x 0）＞138+ln 2，故g （x ）＞138+ln 2， 原不等式得证． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（2）由题意知直线l 1的极坐标方程为θ=α+π2，则：{ρ=2sinθθ=α+π2，所以ρB =2sin(α+π2)=2cosα．故：|OP |＝2sin α，|AP |＝2cos α，所以|BP |＝2cos α+2sin α． 所以S △ABP =12×2(cosα+sinα)2cosα=√2sin(2α+π4)+1． 当2α+π4=π2，即α=π8时，面积的最大值为√2+1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值； （2）由（1）可得1a 3+1b 3=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b 3）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证．解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3， 当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3； （2）证明：正数a ，b 满足1a +1b =3ab ，故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b3）（a 3+b 3）=13（1+1+a 3b3+b3a3） ≥13（2+2√a 3b3⋅b 3a3）=43，当且仅当a ＝b =√235时等号成立，故a 4b +ab 4≥43．。