人教A版高中数学必修三课件高一：2.3变量间的相关关系1
人教A版高中数学必修3《二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》示范课课件_18
归纳：
1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数 x , y
n
n
第二步，求和 xi yi , xi xi yi nx y
第三步，计算 b i1 n
i1 n
,a y bx
(xi x)2
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
审题指导 建立直角坐标系 ―描 点―→ 画散点图 ―判 断―→ 相关关系 ―→ 求回归系数 ―→ 写回归方程
[规范解答] (1)散点图如图所示：
(2)由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可 求回归方程．由表中数据，用计算器计算得 x ＝3＋4＋4 5＋6＝ 4.5(吨)， y ＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5(吨)，
思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含 量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如 果把很多个体放在一起，就可能表现出一定 的规律性.观察上表中的数据，大体上看， 随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
思考2：为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关
系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量
（2）散点图 A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程
（1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分
布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的
关系，这条直线叫做回归直线。
（2）最小二乘法
y bx a
n
n
b=
i= 1(xi -x)(yi -y)
n
-5
156
1、画出散点图；
0
150 2、从散点图中发现气温与热饮
4 7
132 128
人教版高中数学必修三课件：2.3 变量间的相关关系(共39张PPT)
2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
三维目标
【知识与技能】 (1)在两个变量具有线性相关关系时,会在散点图中作出回归直线,会用线 性回归方程进行预测. (2)知道最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程,了解(线性)相关系数的定义.
预习探究 [讨论] 相关关系与函数关系的区别和联系是什么?
解:相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:(1)函数关系是一种确定的关系,如匀速直线运动中时间t与路程s的关系;相关 关系是一种非确定的关系,如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. (2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如, 有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词并不 能使脚变大,而是涉及第三个因素——年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高, 而且由于长大脚也变大.
形象思维有机地结合起来解决问题的一种方法,它能使抽象问题具体化,复杂问题简 单化.本章的数形结合思想的应用是利用散点图判断相关关系.
备课素材 [例] 一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有一组 数据如下表所示: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50
[解析] (1)Δ=b2-4ac是一种确定 的关系,即为函数关系.
考点类析 例1 (2)如图2-3-1所示的是具有相关关系的 两个变量的一组数据的散点图和回归直线, 若去掉一个点后,剩下的5个点的线性相关 关系最强,则应去掉( C ) A.D点 B.E点 C.F点 D.A点
人教A版高中数学必修三课件2.3.1变量间的相关关系(1)
本计算的，存在随机误差，这种误差可以导致预 测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可 能百分百地保证对应于x，预报值Y能等于实际值y
例3：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究 气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出 的热饮杯数与当天气温的对比表：
例4:给出施化肥量对水稻产量影响的 试验数据：
施化肥 量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产 量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线并且画出图形.
解：(1)散点图（略）． (2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
高中数学课件
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2.3.1变量间的相关关系
思考
在学校，老师经常对学生这样说：“如果你的 数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什 么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物 理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系。 这种说法有没有依据呢？
凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学 成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其 他影响物理成绩的因素。例如，是否喜欢物 理，用在物理学习上的时间等等。当我们主 要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就是 主要考虑这两者之间的相关关系。
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关 系的问题。例如：
1〉商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系， 但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质 量、居民收入等因素有关。
2.3.1变量的相关关系-人教A版必修三数学课件 (共20张PPT)
年龄
23 27
39
41
45
49 50
脂肪
9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 脂肪
53 54
56
29.6 30.2 31.4
57
58 60 61
30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪 含量的样本平均数. 思考：根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之 间有怎样的关系？
思考：通过什么可以对两个变量之间的关系有
一个直观的印象？ 作图
你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，建立直角坐 标系
脂肪含量
做出下图，我们把这种在平面直角坐标系中，表 示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称 为散点图.
40 35 30 25 20 15 10
人体脂肪含量百分比和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组
ห้องสมุดไป่ตู้样本数据： 年龄
23 27
39
41 45 49 50
脂肪
9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 脂肪
53 54
56
57
58 60 61
29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量
教学目标
1、理解变量之间的相关关系。 2 、会区别变量之间的函数关系与变量 相关关系。 3、会利用散点图直观分析,正相关、负相关 4. 了解线性回归方程的求法----最小二乘法
复习回顾
函数：
对于两个变量，如果当一个变量的 取值一定时，另一个变量的取值被惟一 确定，则这两个变量之间的关系就是一 个函数关系.
【人教A版】高中数学必修三：2.3《变量间的相关关系》ppt课件
x
0
0 50
05
5 年龄
像这样如果散点图 中的点的分布从整 体上看大致在一条 直线附近我们就称 这两个变量之间具 有线性相关关系, 这 条直线叫做回归直 线, 这条直线的方程 叫做回归方程
y
脂 肪 含 量 40
35 30 25 20 15 10
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
A. y x 1
i 1
i 1
B. y x 2
C. y 2x 1
D. y x 1
总结提升：
基础知识框图表解 变量间关系
函数关系 相关关系
散点图 线性相关 线性回归方程
课堂检测：
1、对变量x,y观测数据（xi,yi)(i=1,2,...,10),得散点图1；对变量 u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,...,10),得散点图2，由这两个散点图可
思考1：年龄与脂肪含量有没有关系？依据是什么？ 思考2：有没有更加定量的分析方法，进行定量研究？
三、散点图
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在平面直角坐标系 中，表示具有相关 关系的两个变量的 一组数据图形，称 为散点图
销售杯数之间关系的一般规律；
2、求回归方程；
（已知：x 15.364, y 111.636
11
11
xi2 4335, xi yi 14778 ）
i 1
i 1
3、如果某天的气温是2摄氏度， 预测这天卖出的热饮杯数。
解：
1、各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此， 气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。
高一数学人教A版必修3课件：2.3变量间的相关关系
也?不??太?好?..啊. .
第二页，编辑于星期日：二十二点 七分。
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还必须考
虑到其他的因素:爱好,努力程度
数学 成绩
物理成绩
学习
花费
其他
兴趣
时间
因素
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之间的 相关关系
第三十一页，编辑于星期日：二十二点 七分。
总结
基础知识框图表解 变量间关系
函数关系
相关关系
散点图 线形回归 线形回归方程
第三十二页，编辑于星期日：二十二点 七分。
1、相关关系
（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。
（0.577×65-0.448= 37.1％）
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 七分。
脂肪含量
若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在37.1％ （0.577×65-0.448= 37.1％）附近的可能性比较大。
根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间
有怎样的关系？
第八页，编辑于星期日：二十二点 七分。
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
相关关系是一种非确定的关系。
2014年人教A版必修三课件 2.3 变量间的相关关系
两个变量相互间有一定影响, 我们就说这两个变 量之间存在着一定的相关关系. 两个变量之间, 除了像函数这样有确定的关系外, 在现实生活中, 存在着许多不确定的相关关系的问题. 如: (1) 商品销售收入与广告支出经费之间的关系.
(2) 粮食产量与施肥量的关系.
(3) 开发一项产品的投入与产出的关系. (4) 个人的教育投资与收入的关系.
练习: (课本85页) 1. 有关法律规定, 香烟盒上必须印上 “吸烟有 害健康” 的警示语. 吸烟是否一定会引起健康问题? 你认为 “健康问题不一定是由吸烟引起的, 所以可以 吸烟” 的说法对吗？ 答: 经医学研究, 吸烟对身体有害. 但吸烟不一定会引起健康问题. 因为人的身体健康有很多不确定因素, 所以有些 人吸烟不一定会引起健康问题. 如注射青霉素药物前 要做皮试, 以防药物过敏, 但不是都会产生过敏. 虽然健康问题不一定是由吸烟引起的, 但吸烟与 健康存在相关关系, 虽然有不确定因素, 但有可能引 起健康问题, 所以 “可以吸烟” 的说法是不对的.
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
年龄 脂肪
23 9.5
27 39 41 45 49 50 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
【本章内容】
2.1 随机抽样 2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系
第二章 小结
2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 (2.3.2)两个变量的线性相关
2.3.2 两个变量的线性相关
人教版数学高一A版必修3 2.3变量间的相关关系
课堂探究1．散点图剖析：(1)将样本中的n 个数据对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图(scatterplot)．(2)散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．2．回归直线的性质剖析：(1)对于以(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )为样本数据，则(x ，y )为样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．(2)如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ^＞0时，单调递增，此时这两个变量正相关；当b ^＜0时，单调递减，此时这两个变量负相关．题型一 判断相关关系【例题1】若变量x ，y 有如下观察的数据：(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？ 分析：对于给定一组观察数据，可以借助作散点图来判断两个变量是否具有线性相关性． 解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．反思 两个随机变量x 和y 是否具有相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断(如本题)； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断. 题型二 求回归直线方程【例题2】每立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y (单位：kg/cm 2)之间的关系有如下数据：分析：由题目可获取以下主要信息： ①两个变量具有线性相关关系；②由两个变量的对应数据求回归直线方程．解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了．解：列表如下：则b ^＝518 600－12×2052＝4 34714 300≈0.304，a ^＝y －b ^x ≈72.6－0.304×205＝10.28，于是所求的回归直线方程是y ^＝0.304x ＋10.28. 反思 (1)用公式求回归方程的一般步骤是： ①列表．②计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i . ③代入公式计算b ^，a ^的值． ④写出回归直线方程．(2)求回归直线方程时应注意的问题：①用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.②使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关的计算.题型三 线性回归分析的应用【例题3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画出散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y 的值．解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， 则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．反思 利用回归方程，可以对总体进行估计，如回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.当x ＝x 0时估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.题型四 易错辨析【例题4】下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A ．圆的周长和它的半径之间的关系B ．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C ．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D ．正方形面积和它的边长之间的关系 错解：选B 或A 或D.错因分析：两个变量间的相关关系不同于函数关系．所谓函数关系，就是其中一个变量(自变量)的每一个值，唯一确定了另一个变量(因变量)的值；而对于相关关系，两个变量间则没有确定的关系，它们的关系相对来说是随机的．错解正是混淆了这两者之间的关系，而造成了误选．正解：因选项A，B，D中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C.。