高三数学专题复习教案(32讲)

第1讲 简易逻辑 一、高考要求①理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义； ②理解四种命题及其相互关系；③掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． 二、两点解读重点：①逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；②充要条件的概念；③反证法的应用． 难点：①充要条件的判断；②以简易逻辑为载体命制的开放性问题、新情景问题． 三、课前训练1．设q p ,为简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 （ B ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件2．条件甲：“a a <”是条件乙：“1<a ”的 （ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．|1|(0)x εε-<>的充要条件是)0(11>+<<-εεεx4．命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是：“若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数．”四、典型例题例1.直线22x ay a +=+与1ax y a +=+平行（不重合）的充要条件是（ ）(A)21=a (B) 21-=a (C) 1=a (D) 1=a 或1-=a 解：12211++≠=a a a a ，所以1=a ；故选C ． 例2．命题p ：若a 、b ∈R ，则1>+b a 是1>+b a 的充要条件； 命题q ：函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ 则 （ ）（A ）“p 或q ”为假 （B ）“p 且q ”为真 （C ）p 真q 假 （D ）p 假q 真 解：由三角形不等式1>+≥+b a b a 知：1>+b a 是1>+b a 的必要不充分条件，即p 为假命题；由21≥--x 可得1-≤x 或3≥x ，即q 为真命题．故选D ．例3． 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中逆命题为真命题的是解：①的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故②的逆命题为真命题． 例4 .关于x 的一次函数()y m x n =-的图象过第二、三、四象限的充要条件是______解：直线b kx y +=过二、三、四象限，则0,0><b k ，故本题中⎩⎨⎧<-<00mn m ，即0,0<<n m例5． 已知：三个方程2224430,(1)0,x ax a x a x a +-+=+-+=2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即： 123021312123024)2(04)1(0)34(4)4(2222-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+<--<+--a a a a a a a a a a a 或，至少有一个方程有实数解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-123|a a 的补集，所以a 的范围是23-≤a 或1-≥a 例6． 已知p ：)(1x f-是x x f 31)(-=的反函数，且2)(1<-a f；q ：集合},01)2(|{2R x x a x x A ∈=+++=，B = { x | x >0}，且A B=∅．求实数a 的取值范围，使“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题． 解：先考虑p ：∵)(1x f -是f (x )=1—3x 的反函数，∴31)(1xx f-=- ，由2)(1＜a f - ，可得2|31|＜a-，解得：75<<-a ；再考虑q ：①当△＜0时，Φ=A ，Φ=B A ，此时：由04)2(2<-+a 得04<<-a ； ②当△≥0时，由Φ=B A 可得：⎪⎩⎪⎨⎧>=<+-=+≥-+=∆010)2(04)2(21212x x a x x a ，解得0≥a ．由①②可知4->a ．要使p 真q 假，则45475-≤<-⇒⎩⎨⎧-≤<<-a a a ；要使p 假q 真，则7475≥⇒⎩⎨⎧->≥-≤a a a a 或，综上所述，当a 的范围是),7[]4,5(+∞-- 时，p 、q 中有且只有一个为真命题．第2讲 函数的概念与性质 一、高考要求①了解映射的概念，理解函数的概念；②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．二、两点解读重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．三、课前训练 1．函数2log )(2-=x x f 的定义域是 （ D ）（A ）),3(+∞ （B ）),3[+∞ （C ）),4(+∞ （D ）),4[+∞ 2．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （ B ）（A ）)(1R x e y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)(1R x e y x ∈=+ （D ）)1(1>=-x e y x 3．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g 21 ．4．设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 (2,3)四、典型例题设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(x f x f +的定义域为 （ ） （A ）)4,0()0,4( - （B ）)4,1()1,4( --（C ）)2,1()1,2( -- （D ）)4,2()2,4( --解：∵在x x x f -+=22lg)(中，由022>-+x x，得0)2)(2(<-+x x ， ∴22<<-x ，∴在)2()2(x f x f +中，4114,11,44,222,222<<-<<-⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-x x x x x x x或或．故选B已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）)1,0(（B ）)31,0(（C ）)31,71[（D ）)1,71[解：∵)(x f 是),(+∞-∞上的减函数，当1≥x 时，x x f a log )(=，∴10<<a ；又当1<x 时，a x a x f 4)13()(+-=，∴013<-a ，∴31<a ，且1log 41)13(a a a ≥+⨯-，解得：71≥a ．∴综上，3171<≤a ，故选C 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f解：∵函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，∴)()(11)2(1)22()4(x f x f x f x f x f ==+=++=+，即)(x f 的周期为4，∴5)1()5(-==f f ，∴)45()5())5((+-=-=f f f f 51)1(1)21(1)1(-==+-=-=f f f设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -,若]6)([1+-m f ×27]6)([1=+-n f，则()f m n += 2解：,63)(1-=-x x f,63)(,63)(11-=-=∴--n m n fm f,27333]6)([]6)([11==⋅=+⋅+∴+--m m n m n fm f∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2（另解∵11333log (()6)log (()6)log 273m n f m f n --+=+++==, ∴3()log 92f m n +==）已知βα,是关于x 的方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根，则实数k 为何值时，α大于3且β小于3？解：令42)3(2)(2++++=k x k x x f ，则方程42)3(22=++++k x k x 的两个实根可以看成是抛物线)(x f 与x 轴的两个交点（如图所示），故有：0)3(<f ，所以：042)3(69<++++k k ，解之得：831-<k已知函数x ax y +=有如下性质:如果常数0>a,那么该函数在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 上是增函数．如果函数)0(2>+=x x x y b的值域为),6[+∞，求b 的值；解：函数)0(2>+=x x x y b的最小值是b 22，则b22＝6，∴9log 2=b ；第3讲 函数图象与变换 一、高考要求①给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象； ②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围； ④考查函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等．函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便．函数的图象正成为高考命题的热点之一． 二、两点解读 重点：①已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；②函数图的平移、对称和翻折；③从基本函数的图象变换到复合函数的图象等． 难点：①利用函数性质识图；②和数形结合有关问题． 三、课前训练1．函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ D ）（A ）21()(0)log f x x x=> （B ）21()(0)log ()f x x x =<-（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<2．函数)(x f y =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =（ C ）（A ）4 （B ）3（C ）2 （D ）13．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 x=1 对称． 4．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有010<<<b a 且四、典型例题函数)(x f 的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与xy 21log =的图象重合，则)(x f 是（ ） （A ）x-2（B ）x 4log 2 （C ）)1(log 2+x （D ）x421⋅解：将xxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-212的图象沿直线x y =翻折即可与x y 21log =的图象重合，排除A ；将xx y 214log log 2-==沿x 轴翻折即可与xy 21log =图象重合，排除B ；将)1(log )1(log 212+-=+=x x y 的图象向右平移1个单位，在沿x 轴翻折即可与xy 21log =的图象重合，排除C ，故选D设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：(A) (B) (C) (D) 则a 的值为 （ ）（A ）1 （B ）－1 （C ）251-- （D ）251+-解：前两个函数图象关于y 轴对称，故0=b ，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故012=-a ，即1±=a ，又由对称轴大于零，即02>-=a bx ，由0>b 得0<a ，所以取1-=a ，故选B设函数)(x f 的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数)(1x f -,0)4(=f ,则)4(1-f = ．解：由0)4(=f ，即)(x f 过点（4，0），又)(x f 的图象关于点(1,2)对称，可知：)(x f 过点（2-，4），∴4)2(=-f ，故)4(1-f =2-在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(x f 的表达式为 ．解：将原图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得)(x g 的图象（如右图），求得：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ．又∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称，∴求)(x g 反函数得： ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=-20,2201,22)(1x xx x x g ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x f已知函数2))(()(---=b x a x x f ，m、n 是方程0)(=x f 的两根，且b a <，n m <试判断实数a ，b ，m ，n 的大小关系．解：∵2))(()(---=b x a x x f ，∴2)(-=a f ， 2)(-=b f ，∴a ，b 是方程2)(-=x f 的两根，即为函数)(x f y =的图象与直线2-=y 交点的横坐标．而m ，n 是方程0)(=x f 的两根，∴m ，n 为函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．又b a <，n m <，故如图所示可得n b a m <<<．已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f xa ，（1）证明：函数)(x f 的图象在y 轴一侧；（2）设),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <是图象上的两点，证明直线AB 的斜率大于零；（3）求函数)2(x f y =与)(1x f y -=的图象交点坐标．解：（1）由01>-x a 即1>xa ，①当1>a 时，0>x ，函数图象在y 轴右侧；②当10<<a 时，0<x ，函数图象在y 轴左侧，故函数图象总在y 轴一侧．（2）由于2121x x y y k AB --=，又由21x x <，故只需证012>-y y 即可．因为11log )1(log )1(log 121212--=---=-x x ax a x a a a a a y y ，当1>a 时，由210x x <<得210x x a a <<，即11021-<-<x x a a ，故有11112>--x x a a ，11log 12>--x x aaa ，即012>-y y ；当10<<a 时，由210x x <<得121>>x x a a ，即01121>->-x x a a ，故有111012<--<x x a a ，11log 12>--x x aa a ，即012>-y y ．综上直线AB 的斜率总大于零.（3）=-)(1x f )1(log +x a a ，)1(log )2(2-=x a a x f ，当它们图象相交时： =+1x a 12-x a 可解得：2=x a ，所以2log a x =，3log a y =，即交点坐标为：2(log a ，)3log a第4讲 函数性质的综合应用 一、高考要求函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一．二、两点解读 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数． 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题． 三、课前训练 1．已知a ∈R ，函数ax x f -=sin )(，x ∈R 为奇函数，则=a（ B ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）1±2． “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的（ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b 的值为 24．已知)(46)(R k x kx x f ∈-+=，0)2(lg =f ，则=)21(lg f -8 ． 四、典型例题设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，143)2(+-=a a f ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）43<a （B ）43<a 且1-≠a （C ）43>a 或1-<a （D ）431<<-a 解：∵)(x f 以3为周期，所以)1()2(-=f f ，又)(x f 是R 上的奇函数，∴)1()1(f f -=-，则)1()1()2(f f f -=-=，再由1)1(>f ，可得1)2(-<f ，即1143-<+-a a ，解之得431<<-a ，故选D 设)(1x f -是函数1()() (1)2x x f x a a a -=->的反函数，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为 （ ）（A ）),21(2+∞-a a （B ） )21,(2a a --∞ （C ） ),21(2a a a - （D ） ),[+∞a解：∵)(x f 是R 上的增函数，∴1()1f x ->，即x > f(1). 又a a a a f 21)(21)1(21-=-=-，∴a a x 212->，故选A ． 已知函数x bxx f 32)(-=，若方程x x f 2)(-=有两个相等的实根，则函数f(x)的解析式为 ． 解：∵x bxx f 32)(-=，∴方程x x f 2)(-=即为xx bx 232-=-，则)4(62=+-x b x ．因为方程有两个相等的实数根，所以b = - 4时x=0，符合题意．∴234)(-=x xx f对a ，b ∈R ，记{,,max{,},.a ab a b b a b =<≥函数()max{1,3}f x x x =+-（x ∈R ）的最小值是 ．解：⎩⎨⎧-<+--≥++=-+=.31,3,31,1}3,1max{)(x x x x x x x x x f 化简得：⎩⎨⎧<-≥+=.1,3,1,1)(x x x x x f 在坐标系中作出)(x f 的图象，可知：当1≥x ，时)(x f 为增函数，2)1()(min ==f x f ；当1<x ，时)(x f 为减函数。