山东省临沂市2017届高三下学期第三次模拟考试试题(数学理)

山东临沂高三教学质量检测考试（三模）
理科数学
2017.5
本试题分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．己知i 是虚数单位，z z 是的共轭复数，()234i z i -=-，则z 的虚部为
(A)1 (B)1- (C)i (D) i -
2．已知集合{(){}()2,log 3,R M x y N x y x C M N ==
==-⋂=集合则 (A)[2，3) (B) (](),23,-∞⋃+∞ (C)[0，2) (D) ()[),23,-∞⋃+∞ 3．已知()log log 01a a x y a ><<，则下列不等式成立的是
(A) 31x y -< (B) ln ln x y > (C)sin x>sin y (D) 33
x y > 4．下列说法中正确的是
(A)当1a >时，函数x y a =是增函数，因为2>l ，所以函数2x y =是增函数．这种推理是合情推
理
(B)在平面中，对于三条不同的直线,,//,////a b c a b b c a c ，若，则，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理
(C)若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 (D) 1
3112
x dx -=⎰
5．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试
成绩，制成样本频率分布直方图如图，分数不低于a
即为优秀，如果优秀的人数为82人，则a 的估计值是
(A)130 (B)140 (C)133 (D)137
6．变量x ，y 满足约束条件220240,10x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数32z x y =+-的取值范围是
(A) []1,8 (B) []3,8 (C) []1,3 (D) []1,6
7．
已知边长为ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 (A) 13 (B) 23
(C) 3
(D) 3
8．若等边三角形ABC 的边长为12，平面内一点M 满足3143
CM CA CB =+ ，则AM BM ⋅= (A) 26- (B) 27- (C) 28- (D) 29-
9．已知函数(
)()()()12sin 02f x x x f x f x ωωω=>==，当时，12x x -的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为
①()03f π
=； ②当()0,1x ∈时，函数()f x 的最大值为2； ③函数16f x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称； ④函数()()10f x -在，上是增函数．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
10．斜率为2的直线l 与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为
(A)
(B) 1 (C) 12 （D
第II 卷(共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定 的横线上．
11．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出k 的值为
___________．
12．若命题“,14x R x x a ∃∈++-<”是真命题，则实数a 的取值
范围是__________．
13．我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5—6世纪，祖冲之之子)提出了
一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的
几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积
相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比
祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，
将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱
体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的
平面截这两个几何体，可横截得到S S 环圆及两截面，可以证明=S S 环圆总成立．据此，短轴长为
5的椭球体的体积是____________．
14．若
直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l
的上方，则ab 的最大值为___________．
15．若函数()f x x =+[],a b 的值域为[],ta tb ，则实数t 的取值范围是_________．
三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)．
16．(本小题满分12分)
在,,ABC a b c ∆中，分别是A,B,C 的对边，且
tan tan 2C c B a c
=-+． (I)求B ；
(II)若4b a c ABC =+=∆，求的面积．
17．(本小题满分12分)
如图，点E 是菱形ABCD 所在平面外一点，EA ⊥平面ABCD ，EA//FB//GD ，60ABC ∠= ，EA=AB=2BF=2GD ．
(I)求证：平面EAC ⊥平面ECG ；
(II)求二面角B EC F --的余弦值．
18．(本小题满分12分)
某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2．
(I)估计该校高一女生的人数：
(II)估计该校学生身高在[165，180)的概率；
(III)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180)的学生人数，求X 的分布列及数学期望EX ．
19．(本小题满分12分)
已知数列{}{}{},n n n n a b S a ，为的前n 项和，且满足122n n n S S a n +=+++，若1112,21,n n a b b b n N *+===+∈．
(I)求数列{}{},n n a b 的通项公式；
(II)令()
31n n n a c n b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20．(本小题满分13分)
已知函数()21x f x e ax bx =+--（,,a b R e ∈为自然对数的底数)．
(I)设()f x 的导函数为g(x )，求g(x )在区间[0，l]上的最小值；
(II)若()10f =，且函数()()01f x 在区间，内有零点，证明：12a e -<<-．
21．(本小题满分14分) 已知双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>
的渐近线方程为y =，
且过点M ，其离心率为e ，抛物线C 2的顶点为坐标原点，焦点为,02e ⎛⎫
⎪⎝⎭
． (I)求抛物线2C 的方程； (II)O 为坐标原点，设,A B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且12OA OB ⋅= ．
(i)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；
(ii)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．。