《3 定积分的简单应用》课件 (2)
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《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用 第13课时《定积分的简单应用》
解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】 曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4
3
3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|
2
cosxdx|＝
2
0
cosxdx－
2
cosxdx＝sinx|
2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度 在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三 利用定积分计算变力做功 例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使 弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)． 答案：0.36 J
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
极限
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
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教学时从学生最近发展区切入，让学生思考不规则图形 的面积、体积可通过分割的方法化为规则或近似规则图形来 求解．结合具体问题深入剖析，并详细写出过程，让学生深 刻体验积分过程，从而化解难点．
引导学生在具体问题的求解过程中，发现方法，形成规 律，尤其平面图形面积的求法及步骤，让学生在应用定积分 的过程中更深入地理解定积分及其作用，以强化重点．
【解】 画出草图如图
解方程组yy＝＝2－x，x 得交点为(1,1)，
∴S＝1 xdx＋2(2－x)dx
0
1
＝23x32|01＋(2x－12x2)|12
＝23＋(2×2－12×22－2×1＋12×1)
＝76.
求简单几何体的体积
求由曲线 y＝12x2 与 y＝ 2x所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
(2)通过本节的运用实践，体会“分割——近似代替—— 求和——求极限”这一积分思想在实际生活中的应用，体会 化归转化思想的运用以及用数学的思维方式解决问题，认识 世界，进而领会数学的价值．
●重点难点 重点：应用定积分解决平面图形的面积、简单旋转几何 体的体积等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的 价值． 难点：将实际问题化归为定积分问题以及这一过程体现 的思想方法．
《3 定积分的简单应用》课件
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现并归纳曲边图形面积的求法以及发现 并归纳简单旋转几何体体积的求法； (2)简单运用定积分解决某些与面积、体积有关的问题．
2．过程与方法 通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法 难以解决的平面图形面积、旋转体体积的过程中，体会积分 思想在生活中的应用． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对定积分的应用的探究学习，经历数学的探究活 动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的 规律，培养探索精神和＝4π－85π＝125π.
1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积
是两个体积的差，即：V＝πabf2(x)dx－πbag2xdx，而不能写 成 V＝πb[f(x)－g(x)]2dx.
a
2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分
析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式
●教学流程设计
演示结束
1.会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2.会用定积分求简单几何体的体积．(重点) 课标解读 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方 法．(难点)
平面图形的面积 一般地，设曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为 S，则
●教学建议 本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、 求简单旋转几何体的体积．解决这些问题的关键是将它们化 归为定积分问题，前者主要是分割，而后者则要经历一个积 分过程，需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定 义求解．故本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在具体问 题的导引下，学生通过独立探究、合作交流，揭示规律，形 成方法．
a
求平面图形的面积 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形 的面积．
【思路探究】 解答本题可先求出曲线与直线交点的横 坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．
【自主解答】 画出草图，如图所示．
解方程组yx＝＋y＝x，2，
y＝ x， y＝－13x
x＋y＝2， 及y＝－13x，
V＝πbf2xdx
a
求解．
设平面图形由[0，π2]上的曲线 y＝sin x 及直线 y＝12，x ＝π2围成，求此图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
【解】 先画草图．
设 f(x)＝sin x，x∈[0，π2]，g(x)＝12.
则 f(x)与 g(x)的交点为(π6，12)．
V＝π2π[sin2x－(12)2]dx＝π2π(1－c2os 2x－14)dx
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
所以 S＝1[
x－(－13x)]dx＋3[(2－x)－(－13x)]dx
0
1
＝1(
x＋13x)dx＋3(2－x＋13x)dx
0
1
＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31 ＝23＋16＋(2x－13x2)|13 ＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
【思路探究】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转 体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．
【自主解答】 曲线 y＝12x2 与 y＝ 2x所围成的平面图 形如图阴影部分所示．
设所求旋转体的体积为 V，根据图像可以看出 V 等于曲
线 y＝ 2x，直线 x＝2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一
π
π
6
6
π
＝π2π(14－12cos
2x)dx＝π(14x－14sin
b
S＝____bf_(_x_)d_x_－___a_g_(x_)_d_x______. a
图 4－3－1
简单旋转几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b) 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成，设在区间[a，b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则体积为 V ＝bπf2(x)dx.
1．正确画出图形，合理分割图形是解决本题的关键． 2．求所围成的图形的面积时，先画出草图，确定所求 面积是哪部分；其次是求解方程组得到交点的横坐标，从而 确定积分上、下限．其中，有些所求面积可以分成两部分面 积的差(和)的形式，要视情况而定．
将本例条件中的“y＝－13x”换成“x 轴”，其他不变．
周所得旋转体的体积(设为 V1)减去曲线 y＝12x2，直线 x＝2
与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设
为 V2)．
V1＝2π( 2x)2dx＝2π2xdx＝2π·12x2|20＝4π，
0
0
V2＝2π(12x2)2dx＝π42x4dx＝π4×15x5|20＝85π，