第三章 动态规划
动态规划
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划的基本思想
动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。
这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。
一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。
动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。
2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。
3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。
4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。
5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。
三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。
问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。
根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。
2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
最新算法设计与分析(霍红卫)_第3章 动态规划教学讲义PPT课件
2 then error “incompatible domensions”
3 else for i ← 1 to rows［A］
4
do for j ← 1 to- columns［B］
5
do C［i, j］← 0
6
for k ← 1 to columns［A］
7
do C［i, j］← C［i, j］+A［i, k］·B［k, j］
第我3们章给矩动阵态加规上划括号的方式会对矩阵的计算开销产生巨大 影响。首先考虑两个矩阵的乘积。 标准计算两个矩阵乘积的算 法MATRIX-MULTIPLY描述如下，其中rows和columns分别表示 矩阵的行数和列数。
MATRIX MULTIPLY(A, B)
1 if columns［A］≠rows［B］
将这个问题形式描述如下：
约束条件为
max vixi
1in
(3.1)
wixi W,xi{0,1} (3.2)
8 11
24
(a)
9 13 ＋ 5
4＋
34 22
(b)
9 13
＋ 7 10
23
(c)
图 3-4 0-1背包问题示例
第3章 动态规划 (1) 刻画0-1背包问题最优解的结构。
图 3-5 算法KNAPSACK-DP示例
第(34)章根据动计态算规的结划果， 构造问题最优解。
KNAPSACK-DP返回的c可用于快速构造背包问题的一个 最优解。如果c［i, w］=c［i-1, w］，表明xi=0，然后考察c ［i-1，w］；否则xi=1，接着考察c［i-1，w-wi］。这个过程初 始调用为OUTPUT-SACK(c, W)。
OUTPUT SACK (c, w)
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
算法设计与分析耿国华第三章
设计与分析
第三章 动态规划
主编 耿国华
Chapter
3
本章内容
3.1 动态规划基础
• 3.1.1 • 3.1.2 • 3.1.3 • 3.1.4
动态规划的基本思想
动态规划的基本要素 动态规划的基本步骤
动态规划示例——组合数问题
3.2 线性动态规划——合唱队形问题 3.3 区域动态规划——矩阵连乘问题
3.4 背包动态规划——0-1背包问题
3.5 树形动态规划——最优二叉搜索树问题 3.6 本章小结
Chapter
3
引言
本章给出的动态规划技术可使用较少的时间求解此类问题。
与分治法不同，在求解过程中动态规划方法采用自底向上的递 推方式，将原问题分解为互不独立的小规模子问题，根据子问
题的相关性从已知的各个局部解中选出能产生最佳解的部分，
• •
1. 问题描述 N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学 出列，而不改变其他同学的位臵，使得剩下的K位同学排
成合唱队形。
Chapter
3
3.2线性动态规划-----合唱队形问题 问题描述
• 1.问题描述
•
合唱队形要求：设K位同学从左到右依次编号为1，2，...， K，他们的身高分别为T1,T2，...，TK，则他们的身高满足 T1<...<Ti,且Ti >Ti+1>...>TK(1<=i<=K)。当给定队员人数N和 每个学生的身高T[i]时，计算需要多少学生出列，可以得到最长 的合唱队形。如下图所示：
，
i=1
i=2
步骤2：建立递归关系
i=3
j=1
j=2 j=3 j=4 j=5
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基本概念与名词解释 最优化原理和动态规划的基本方法
一、基本概念与名词解释
例3-1 某公司欲将一批货物从城市A运到城市E 去，如图所示，走哪条路线最好（最短）？
名词解释
阶段：按时间或空间顺序划分成相互序贯相连 的几个阶段。 状态：在各阶段开始时的客观条件称为该阶段 的状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量， 常用Sk表示第K阶段的状态变量，其取值的集 合称为状态集合。 决策：选择下一阶段的状态，用uk(Sk)表示在 第K阶段，起始状态为Sk时的决策，其取值的 全体称为决策集合，用Dk(Sk)表示。 状态转移方程：Sk 1 Tk (Sk , uk ) 它表示了由K到K+1阶段状态转移的规律。
整个 问题
最后一步 部分优化
最后两步 部分优化 整个问 题优化
（2）动态规划的基本方法：从最优化原 理可以导出动态规划的基本方法，即由 最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序 逐步向前一阶段扩展，并将后一阶段的 优化结果带到扩展后的阶段中去，以此 逐步向前推进，直到得到全过程的优化 结果。
图上标号法：
策中，往往将问题分成若干个阶段，对 不同阶段可采取不同的决策，使全过程达到 最优——多阶段决策问题。 动态规划：是求多阶段决策问题最优解的一 种数学方法。 动态规划主要用于求解最优路径，生产计划 与库存，资源分配，投资，排序，生产过程 的最优控制等很多工程与管理决策中。
第一节 动态规划的基本概念与方法
方框内数字表示从该点到终点的最短距离
9 7 4 13 11 5 0 3 13 5
第二节 动态规划的建模与求解步骤
动态规划建模的基本要求 动态规划的求解步骤
一、动态规划建模的基本要求
所研究的问题能够划分成若干个相互联系的阶段， 而且每一阶段都有需要进行决策的问题。有的问 题的阶段性很明显，有的则不明显，需要分析后 人为假设。 每一阶段都必须有若干个与该阶段相关的状态， 状态是建模的关键内容。状态的选取需注意两点： (1)需直接或间接确定状态变量的数值，(2)状态 变量应当满足无后效性要求。 具有明确的指标函数，而且阶段指标值d k ( Sk , uk )可 以计算。正确列出最优指标函数的递推公式和边 界条件。
策略：各阶段的决策组成的决策序列，用 P1,n (u1 , u2 ,un ) 表示，各种策略的集合用P表示，其中达到最佳效 果的为最优策略。 指标函数：评价动态规划决策结果的数量指标，可 以是时间、效率、利润、成本、产量等等。 全过程：1一n；全过程的一个K后部子过程：k一n Vk,n (Sk ,u k ;Sk 1,u k 1;;Sn ,u n ) 指标函数： V1, n ( S1, p1, n ) 全过程的指标函数值 Vk ,n (Sk , pk ,n ) K(≠1)后部子过程的指标函数值 最优指标函数用 f k (S k )表示，它表示在第K阶段，状 态为Sk，采用最优策略P*k ,n 到最后阶段的最优指标 值。即 f k (S k ) Vk ,n (S k , P*k ,n ) opt Vk ,n (S k , pk ,n )
二、动态规划的求解步骤
首先分阶段m，给定边界条件fm+1(Sm+1)， 对每一阶段进行如下步骤：
Sk uk(Sk) dk(Sk，uk)
Sk+1=T(Sk，uk) dk(Sk，uk)+fk+1(Sk+1)
比较上面选最优得到fk(Sk)以及最优决策uk*(Sk) 直至确定u1*(S1)，确定出最优策略的状态变化路线
pk ,n Pk ,n
二、最优化原理与动态规划的基本方法
Bellman原理：作为整个过程的最优策略 具有下述性质：无论过去的状态和决策如 何，对前面的决策所形成的状态而言，余 下的诸策略必须构成最优策略。
即：对于一个全程最优化的策略而言，其任 一K后部子过程的策略也必须是最优的。
Bellman原理示意图
第三节 动态规划的应用举例
定价问题 资源分配问题 生产存储问题 背包问题 设备更新问题 可靠性问题
一、定价问题
某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价 拟从每件5元、6元、7元和8元这四个中选取 一个，每年允许价格有1元幅度的变动，该产 品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的 利润如下表所示（单位：万元）。
单价 5元 6元 7元 8元 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 10 12 14 16 12 13 14 15 15 16 16 15 20 20 18 14 25 24 18 14
图上标号法
84 5元 10 87 6元 12 90 7元 14 92 8元 16 73 12 74 13 75 14 76 15 60 15 61 16 61 16 57 15 45 20 45 20 42 18 32 14 25 25 24 24 18 18 14 14