第3章 动态规划2

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最优子结构
• 若Z = {z1, …, zk}为序列X和Y的最长公共子序列， 则对第一种情况，Zk-1 必定是Xm-1和Yn-1的最长公共 子序列 • 类似的，可以证明对第二种情况和第三种情况，Z 分别是Xm-1和Y、X和Yn-1的最长公共子序列。
• 因此最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
• 自底向上地计算子任务并将结果填入表中。 • }
最长公共子序列的算法
• •
• • •
s是数组Z[]的指针 将第一行赋 DynamicProgram( 形参表）值为0。 将第一列 。 { s = 0； 赋值为0 for (int j = 0; j <= m; j++) C[0][j] = 0; 。 for (int i = 0; i <= n; i++) C[i][0] = 0; 自底向上地计算子任务并将结果填入表中。
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最优子结构
• 若Z = {z1, …, zk}为序列X和Y的最长公共子序列，则对 第一种情况，Zk-1 必定是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。 • 否则，设Zk-1 不是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，而另 有Z’k-1 ={z’1, …, z’k-1}是Xm-1和Yn-1的最长公共子序 列，那么有Z’k ={z’1, …, z’k-1, zk}为序列X和Y的最 长公共子序列。矛盾。
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矩阵连乘递归树
1: 4 1: 2 1: 1 2: 2 2: 4 3: 4 2: 3 1:1 2: 2 3: 4 3: 3 4: 4 1: 1 2: 3 1: 3 1: 2 4: 4 3: 3
4: 4
3: 3
4: 4
2: 2
3: 3
2: 2
3: 3
1: 1
2: 2
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备忘录方法
• 备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘 录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同 子问题的重复求解。
从第二行和第二列开始逐行逐列的计 算C[i][j]，0≤i≤m，0≤j≤n。
• }
最长公共子序列的算法
• DynamicProgram(形参表） • {
• for (int j = 0; j <= m; j++) C[0][j] = 0; • for (int i = 0; i <= n; i++) C[i][0] = 0; • for (int i = 1; i <= n; i++) { • } 从第一行开始逐行计算 并填入C[i][j] 。
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动态规划的基本要素
二、重叠子问题
•递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问 题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的 重叠性质。 •动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解 保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单 地用常数时间查看一下结果。 •通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因 此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解 题效率。
• 最长公共子序列问题：
• 给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的 最长公共子序列。
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例子
• 求X和Y的最长公共子序列 X={C, B, C, B, D, A, B} Y={B, D, C, A, B, A} • {B, C, B, A}和{B, D, A, B}都是X和Y的最 长公共子序列，长度都为4
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最长公共子序列问题
• 子序列定义：
• 给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X 的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对 于所有j=1,2,…,k有：zj=xij 。 • 换言之，一个给定序列的子序列是在该序列中删除若干元 素得到的序列
• 例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D ，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
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最长公共子序列问题
• 公共子序列定义：
• 给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子 序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
• 最长公共子序列：
• 公共子序列中长度最长的子序列
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最长公共子序列结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的 递归关系。用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。其中 ， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i=0或j=0时，空序列是 Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其它情况下，由最 优子结构性质可建立递归关系如下：
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重叠子问题
• ⑴当xm = yn，找出Xm–1和Yn–1的最长公共子序列，然后在其尾部加 上xm即可得X和Y的最长公共子序列。类似的，可以证明对第二种 情况和第三种情况，Z分别是Xm-1和Y、X和Yn-1的最长公共子序列 。
• 当xm ≠ yn，必须解决两个子问题，即找出Xm–1和Y的最长公共子序 列与X和Yn–1的最长公共子序列中的较长者，即为X和Y的最长公 共子序列。 • 由此知，此问题具有子问题重叠的性质 ！
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动态规划的算法框架
• DynamicProgram(形参表） • { • 初始化；
• 自底向上地计算子任务并将结果填入表中。 • }
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矩阵连乘递归方法
public static int recurMatrixChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u = recurMatrixChain(i+1, j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=u; for(int k=1;k<j;k++) { int t=recurMatrixChain(i, k)+recurMatrixChain(k+1, j)+p[i-1]*p[k]* if(t<u) { u=t; s[i][j]=k; } } return u; }
例子
• 但是，{B, C, A}就不是最长公共子序列
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穷举法
• 求得X和Y的所有子序列，并进行一一比较 • 共有如下不同的组合
• 那么算法的时间复杂度为：
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最长公共子序列结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则
动态规划2
李建敏
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动态规划
动态规划解决的问题一般具有以下几个特征： • 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 • 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具 有最优子结构性质 • 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； • 该问题所分解出的各个子问题不是相互独立的，即子问题之 间包含公共的子问题。
private static int lookupChain(int i, int j) { if (m[i][j] > 0) return m[i][j]; if (i == j) return 0; int u = lookupChain(i+1,j) + p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for (int k = i+1; k < j; k++) { int t = lookupChain(i,k) + lookupChain(k+1,j) + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (t < u) { u = t; s[i][j] = k;} } m[i][j] = u; return u; }
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。 由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长 公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
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动态规划的基本要素
一、最优子结构
•矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优 解。这种性质称为最优子结构性质。 •在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍 性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优 的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优 解更好的解，从而导致矛盾。 •利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地 从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子 结构是问题能用动态规划算法求解的前提。 注意：同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构 ，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的 维度低）
最长公共子序列的算法
• DynamicProgram(形参表） • {从对角线元素开始逐个填入第i行 的元素。
• • • • • for (int j = 0; j <= m; j++) C[0][j] = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) C[i][0] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i; j <= m; j++) FillC(i, j); } 用一个程序段FillC(i, j)表示填写C[i][j] 。