【20套试卷合集】扬州市重点中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
江苏省扬州市2019-2020学年度第一学期高三数学期中调研试卷参考答案
扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、 填空题：1. {1,2,3,4}2.1122i - 3. 04.2y x =±5.56. 167.5 8. 110.32-11.12.⎡⎢⎣⎦13.12 14.21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦二、解答题： 15．解： (1)由103x x +<-得{}13A x x =-<<………………2分 0m =时,由240x -+≥得[]2,2,B =-………………4分(]1,2,A B ∴⋂=-………………7分(2)由22240x mx m -+-+≥得：{}22B x m x m =-+≤≤．………………9分 {}13A x x =-<<(][),13,R C A ∴=-∞-⋃+∞． ………………11分∵R B C A ⊆∴23m -≥,或21m +≤-， ∴5m ≥或3m ≤-． ∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-⋃+∞……………14分 16.解：53cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα,54sin =⇒α4tan 3α=………………………………2分41tan tan34tan()7441tan tan 1143παπαπα+++===--⋅-⋅………6分 （2）,2524cos sin 22sin ==ααα …………………………………8分.257sin cos 2cos 22-=-=ααα …………………………………10分则sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα+=+24717()25225250-+=⋅+-⋅=14分 17．解：（1）因为():3l y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离2d ==， …………………………3分解得0k =或125k =所以斜率k 为0或125…………………………7分 （2）法一：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B由()22324y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D ⎝⎭…………………………10分则()3,3,AB BD ==⎝⎭，…………………………12分所以1λ==． …………………………15分法二：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM =BM2=，…………………………10分2MD ==，22BD =-……………12分 又AB ==所以1λ==…………………………15分法三：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 设()00,D x y因为AB BD λ=，点D 在第一象限，所以()()003,3,3x y λ=-，0λ>则()00333x y λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，得00333x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即33,3D λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………12分又点D 在圆上，所以2233324λλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1λ=（舍去）或1λ= ……………15分18．解：设EF 中点为M ，连结OM ，则cos ,2sin OM AD θθ== （1）当3πθ=时，杠铃形图案的面积1222sin cos cos 323333S ππππ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭2233π=+…………5分 答：当3πθ=时，杠铃形图案的面积为2233π-+平方米．…6分（2）杠铃形图案的面积()22sin cos cos 3S θθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()'S θ=2222[1(cos sin )sin ]3θθθ---222(2sin sin )3θθ=-……9分因为5412ππθ≤≤，所以2212sin sin 2sin (sin )033θθθθ-=->， ()'0S θ>，()S θ单调递增…11分所以当4πθ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 44434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123π=-+.答：杠铃形图案的面积的最小时为123π-+平方米．……15分19. 解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎭所以25c =法一：())12,F F ，则1226a PF PF =+=，3a =所以2b ===则椭圆的方程为22194x y +=……………4分法二：又点P ⎝⎭在椭圆上所以22222215ab a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪=+⎩，解得2294a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22194x y +=……………4分（2）①因为直线y kx t =+=()2251t k =+ (ⅰ)由22194y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-=因为直线与椭圆相切，所以()()()222184936940kt t k =--+=即22940k t -+=（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）得1252k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去……………10分②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥， 又AB DE =，所以M 为AE 中点法一：由1y kx ty x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭代入椭圆方程化简得()422423621929k k t k k ++=-+()2242361929k k k +=-+设211m k =+> 则2236112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =．又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t ==由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当1a =时，21()ln 21,()2 2.f x x x x f x x x'=--++=--+(1) 1.f '∴=-所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--即30x y +-=………………2分（2）2()ln 22f x x ax ax a =--+-+，2221(),(0)ax ax f x x x-+'∴=->. 当0a =时,1()0.f x x'=-<()f x ∴是单调减函数. 符合 ………………3分当0a >时, ,()f x 若是单调增函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≥， 即22210(0)ax ax x -+≤>恒成立,这不可能;………………5分()f x 若是单调减函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立,令2h(x)=221ax ax -+,其开口方向向上,对称轴方程为12x =, h(0)=10,> 故2min 111()()2()210,02222h x h a a a ==-⋅+≥∴<≤ 又,1,2.a Z a ∈∴=………………7分综上，满足条件的非负整数a 的值是0,1,2………………8分 （3）()()3g x f x x =+-2()ln (21)1g x x ax a x a ∴=--++--22(21)1(1)(21)1()221=ax a x x ax g x ax a x x x-++--'∴=--++=--①当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，g ()0x '>，()g x 在(1,)+∞上为增函数.所以当(0,]x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.………10分②当0a >时，12(1)()2g ()a x x a x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),g()g x x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()()2g g e a >，整理得21ln 2(2)204a e e a e a++-+->. 令211()ln 2(2)2()42F a a e e a e a a =++-+->>， 当12a >时，2221141()2(2)044a F a e e e e a a a -'=-+-=+->， 所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，2211111()()(2)2(2)022222F a F e e e e >=+-+-=-+>. 可见，当12a >时，1()()2g g e a>恒成立，故当12a >，(0,]x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为().g b ；所以12a >满足题意.………………12分 （ⅱ）当112a=，即12a =时，2(1)()0x g x x -'=-…，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x在(0,)+∞上为减函数.从而()g x 在(0,]b 上为减函数.符合题意. ………13分 （ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且12e a<（若12e a …，不符合题意）， 即22(1)e a e ->-，且12a e>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)1(1)22(1)e e e e -----=<--221(1)2e a e -∴<<-. 综上，22(1)e a e ->-.所以实数a 的取值范围是22(,).(1)e e -+∞-………………16分 21.解：(1)因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩………………5分 (2) 由(1)知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………10分 22. 解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35， 两次都取得白球的概率是252⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是352⎛⎫⎪⎝⎭，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.-----------------3分 (2)X 可能的取值为2,3,4. ------------------------------------4分224(2)5525P X ==⨯=，233212(3)555525P X ==⨯+⨯=，339(4)5525P X ==⨯=.------------------------------------8分 所以的分布列为：所以X 的数学期望()2342525255E X =⨯+⨯+⨯=. -------------10分23. 解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC 、OO 1，则OO 1// AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA 、OO 1、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()O 0,0,0，()A 1,0,0，(C ，(C 1，()E 1,2λ,0，()F 1,22λ,0--，(1,2,CE λ=，(11,2,C F λ=--，（1）若1λ=2，(1,1,CE =，(11,1,C F =--，1111cos ,55CE C F CE C F CE C F⋅===⋅，故异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值为15. ………………5分（2）由（1）可得(1,22,CF λ=--，设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则()20220n CE x y n CF x y λλ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =得：()3n =-，取平面AEF的一个法向量(OC =，由二面角A EF C--的大小为θ，且sin θ=，得cos ,3OC n OC n OC n⋅===⋅⋅， 化简得21(21)3λ-=，所以36λ±=. ………………10分24. 解：(1) 2111(1)11S C =-⨯⨯=，212132222211113(1)(1)(1)2222k k k S C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯=-=∑， 31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236k k k S C C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-+=+=∑，所以2112S S -=，3213S S -=.………………4分 (2) 猜想：110nn k S k=-=∑，即111123n S n=++++.………………5分 证法一：下面用数学归纳法证明.1°当1n =时，由(1)知，11S =，成立；2°假设当n m =时，111111(1)123mk k m m k S C k m+==-=++++∑. 则当1n m =+时，111211111111(1)(1)(1)1m mk k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===-=-+-+∑∑ 112111(1)[](1)1mk k k m m m k C C k m +-+==-++-+∑ …………6分 111211111(1)+(1)(1)1m mk kk k m m m k k C C k k m ++-+===--+-+∑∑ 112111+(1)(1)1mk k m m m k S C k m +-+==-+-+∑. 又因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k m m m m kC m C k m k m k k m k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k m m kC m C -+=+，所以11111k km m C C k m -+=+，所以1m S +=121111+(1)(1)11mk k m m m k S C m m +++=-+-++∑ …………8分 121111+(1)(1)11m k k m m m k S C m m +++==-+-++∑ 12111+(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ 123111111111[(1)(1)(1)]1r rm m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++=--+-++-++-+-+ 11[(11)1]1m m S m +=---+ 11111+11231m S m m m ==+++++++， 综上1°2°，111123n S n =++++，故110nn k S k=-=∑. …………10分 证明二：因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k n nn n kC n C k n k n k k n k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k n n kC n C -+=+，所以1+1111k kn n C C k n -=+，所以111211111111(1)(1)(1)1n nk k k k n n n n k k S C C k k n +++++++===-=-+-+∑∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1n S n =+， …………9分 所以111n n S S n +-=+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n--=，，2112S S -=， 以上n 个式子相加得1111112n S S n n +-=++++， 又由(1)知1=1S ，所以111111231n S n n +=++++++， 当2n ≥时，111123n S n=++++，当1n =时，符合上式. 故111123n S n =++++，即110nn k S k=-=∑. ………………10分。
江苏省扬州中学19年_20年学年高一数学上学期期中试题
江苏省扬州中学期中考试高 一 数 学一、单项选择题：本大题共10小题，每小题6分，计60分．1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = ( )A ．{}12，B ．{}02，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．函数f (x )=x +5的值域为 （ ） A ．(5, +∞) B．(-∞,5] C．[5, +∞) D．R 3．函数y =12log (2-1)x 的定义域为 （ ）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（21，1] D ．（－∞，1）4．下列每组函数是同一函数的是 （ ） A ．f (x )=x -1, g (x )=(x -1)2B ．f (x )=|x -3|, g (x )=(x -3)2C ．f (x )=x 2-4x -2, g (x )=x +2 D ．f (x )=(x -1)(x -3) , g (x )=x -1 ·x -35．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A . )1,0(B . (1,3)C . )3,1()1,0(⋃D . (0,3)6．函数xx xx ee e e y ---+=的图象大致为 ( )7．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1，+∞C ．()10-，D ．()0-∞，8．若a >b >0，0<c <1，则 （ ）A ．log c a < log c bB ．c a >c bC ．a c <a bD ．log a c < log b c 9．幂函数f (x )=(m 2-m -1)xm ²+2m -3在(0,+∞)上为增函数，则m 的取值是 （ ）A ．m =2或m =-1B ．m =-1C ．m =2D ．-3≤m ≤110．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (10)（ ）A . -10B . 2C . 0D . 10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．11．若函数f (x )=m +mx，f (1)=2，则f (2)=__________．12．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ． 13．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．14．已知函数g (x )=log 2x ,x ∈(0,2) ，若关于x 的方程|g (x )|2+m |g (x )|+2m +3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，15题10分，其余每小题12分，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，（1）求A B ；（2）求B A C R )(16．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）17．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． （1）求a,b 的值；（2）求f (log 2x )的最小值及相应x 的值．18．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，a ≠1)．（1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．19．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中A ，B 为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
2019年扬州市高一数学上期中模拟试题(带答案)
2019年扬州市高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．23．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 7．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 11．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .14．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.18．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．计算：__________．三、解答题21．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）22．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 23．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.24．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？25．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 26．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.15．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.17．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.18．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．19．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 20．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.三、解答题21．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元；②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 22．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x >由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x >∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 23．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.24．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 25．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.26．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22xu x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域． 试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得）min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2xf x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a=>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．。
【数学】扬州中学2019-2020学年高一上期中考试
19. 【本题满分 12 分】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． （1）若－1∈B，求 a 的值； （2）若 B⊆A，求 a 的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在正．整．数．k ，使得不等式 2g(x 1) lg(kx2 ) 在区间3,5
上有解，若存在，求出 k 的最大值，若不存在，请说明理由．
22. 【本题满分 12 分】 已知函数 f (x) x2 2 x a 4 ，（其中 a 为常数） （1）若 a＝2，写出函数 f (x) 的单调递增区间（不需写过程）； （2）判断函数 f (x) 的奇偶性，并给出理由； （3）若对任意实数 x，不等式 f (x) ≥ 1恒成立，求实数 a 的取值范围．
A．[3, )
B．[3, 2)C． Fra bibliotek2, )（） D． [3, 2) (2, )
3. 设集合 A {x |1 x 2}, B {x | x a}. 若 A B ，则实数 a 的范围是 （ ）
A． a ≥ 2
B． a ≤1
C． a ≥1
4.
若
f
1 x 1
x
1 ，则
f
(x)
＝
A． 1 x 2
是
（）
A． (0,3]
B．[3 , 4] 2
C．[3 ,3] 2
10. 若函数 y log1 (x2 2x 3) 的单调递增区间为
2
A． (, 1)
B． (,1)
江苏省扬州市2019-2020学年度第一学期高三期中调研测试数学试题含附加题
江苏省扬州市2020届高三年级期中考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．)1. 已知集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}，则A∪B＝________．2. 若(3＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．3. 函数y ＝3|x －m|(m∈R )是偶函数，则m ＝________． 4. 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为________． 5. 抛物线y 2＝4x 上横坐标为4的点到焦点的距离为________．6. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2ln x ， x>0，12x ， x<0，则f(f(e －2))＝________．7. 直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则两直线间的距离为________．8. 函数f(x)＝1＋x e x 的极大值是________． 9. 将函数y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位后，再将图像上所有的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到函数f(x)的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 10. 梯形ABCD 中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD ＝AB ＝3DC ＝3，若M 为线段BC 的中点，则AM →·BD →的值是________．11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C ，cos A ＝－13，则△ABC 的面积是________． 12. 已知点A(－1，0)，B(2，0)，直线l ：kx －y －5k ＝0上存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝9成立，则实数k 的取值范围是__________________．13. 已知实数x ，y 满足y>32且6xy －9x ＋2y －4＝0，则3x ＋y 的最值是________． 14. 已知关于x 的不等式(x －k －1)e x ＋e 2<0有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是__________________．二、 解答题(本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)已知关于x 的不等式x ＋1x －3<0的解集为集合A ，函数f(x)＝－x 2＋2mx －m 2＋4的定义域为集合B(其中m∈R )．(1) 若m ＝0，求A∩B；(2) 若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．16. (本小题满分14分)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝35. (1) 求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2) 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，直线l 过点A(－3，0)．(1) 若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；(2) 当l 的倾斜角为π4时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB →＝λBD →，求实数λ的值．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O是矩形EFGH 的中心，若EF ＝23米，∠AOB＝2θ，π4≤θ≤5π12. (1) 当θ＝π3时，求“杠铃形图案”的面积； (2) 求“杠铃形图案”的面积的最小值．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，－455. (1) 求椭圆的方程；(2) 过y 轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k>0)的直线l.①若l 与圆和椭圆都相切，求实数t 的值；②直线l 在y 轴左侧交圆于B ，D 两点，与椭圆交于C ，E(从上到下依次为B ，C ，D ，E)，且AB ＝DE ，求实数t 的最大值．已知函数f(x)＝－ln x－ax2＋2ax＋2－a(a∈R)．(1) 当a＝1时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；(2) 是否存在非负整数a，使得函数f(x)是单调函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(3) 已知g(x)＝f(x)＋x－3，若存在b∈(1，e)，使得当x∈(0，b]时，g(x)的最小值是g(b)，求实数a的取值范围．(注：自然对数的底数e＝2.718 28…)江苏省扬州市2020届高三年级期中考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 已知向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 103的属于特征值λ的一个特征向量． (1) 求实数a ，λ的值；(2) 求A 2.22. 一个盒子中装有大小相同的2个白球，3个红球；现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中．(1) 求两次取得的球颜色相同的概率；(2) 若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望E(X)．23. 如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点E ，F 分别在棱AA 1，BB 1上移动，且AE →＝λAA 1→，BF →＝(1－λ)BB 1→.(1) 若λ＝12，求异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值； (2) 若二面角AEFC 的大小为θ，且sin θ＝255，求λ的值．24. 设S n ＝∑nk ＝1(－1)k ＋11kC k n ，n ，k∈N *. (1) 求S 2－S 1，S 3－S 2；(2) 猜想S n －∑nk ＝1(－1)k ＋11k的值，并加以证明．江苏省扬州市2020届高三年级期中考试数学参考答案1. {1，2，3，4}2. 12－12i 3. 0 4. y±2x 5. 5 6. 16 7. 655 8. 1 9. 32 10. －3211. 2 12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1515，1515 13. 22＋12 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e 2＋3 15. 解：(1) 由x ＋1x －3<0得A ＝{x|－1c<x<3}(2分) m ＝0时，由－x 2＋4≥0得B ＝[－2，2]，(4分)∴ A ∩B ＝(－1，2]，(7分)(2) 由－x 2＋2mx －m 2＋4≥0得B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(9分) ∵ A ＝{x|－1<x<3}，∴ ∁R A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(11分) ∵ B ⊆∁R ，∴ m －2≥3或m ＋2≤1，∴ m ≥5或m ≤－3，∴ 实数m 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．(14分)16. 解：α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cosα＝35⇒sin α＝45，tanα＝43(2分) tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tanα＋tan π41－tanα·tan π4 ＝ 43＋11－43·1＝－7.(6分) (2) sin2α＝2sin αcosα＝2425，(8分) cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.(10分)则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6 ＝2425·32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－725·12＝－7＋24350.(14分) 17. 解：(1) 因为l ：y ＝k(x ＋3)与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离d ＝|3k －2|1＋k 2＝2，(3分)解得k ＝0或k ＝125所以斜率k 为0或125.(7分)(2) 法一：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 2＋（y －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－72，y ＝3－72舍去，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋72y ＝3＋72所以D ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，3＋72(10分)则＝(3，3)，＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，－1＋72，(12分)所以λ＝3－1＋72＝7＋1.(15分)法二：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3)．过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM ＝BM ＝|3－2|12＋12＝22，(10分) MD ＝4－CM 2＝142，BD ＝142－22(12分) 又AB ＝（－3）2＋32＝3 2 所以λ＝3214－22＝7＋1(15分)法三：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3)．设D(x 0，y 0)．因为＝λ，点D 在第一象限， 所以(3，3)＝λ(x 0，y 0－3)，λ>0则⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx 0，3＝λ（y 0－3），得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3λ，y 0＝3λ＋3即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ，3λ＋3(12分)又点D 在圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ＋3－22＝4，解得λ＝1－7(舍去)或λ＝7＋1(15分)18. 解：设EF 中点为M ，连结OM ，则OM ＝cosθ，AD ＝2sinθ. (1) 当θ＝π3时，杠铃图案的面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12×2×sin π3cos π3＋22cos π3＝2π3－32＋23.(5分) 答：当θ＝π3时，杠铃形图案的面积为2π3－32＋23平方米．(6分)(2) 杠铃形图案的面积S(θ)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－sinθcosθ＋23cosθS′(θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（cos 2θ－sin 2θ）－23sin＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ－22sinθ(9分)因为π4≤θ≤5π12，所以2sin 2θ－23sinθ＝2sin(sinθ－13)>0，S′(θ)>0，S(θ)单调递增．(11分)所以当θ＝π4时，S(θ)的最值为S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－sin π4cos π4＋23cos π4＝π2－1＋223.答：杠铃形图案的面积的最小值为π2－1＋223平方米．(15分)19. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c. 因为线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫355，－455，所以c 2＝5.法一：F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝9－5＝2，则椭圆的方程为x 29＋y24＝1.(4分)法二：又点P ⎝⎛⎭⎪⎫355，－455在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3552a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4552b2＝1，a 2＝b 2＋5解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4所以椭圆的方程为x 29＋y24＝1.(4分)(2) ①因为直线y ＝kx ＋t 与圆相切，所以|t|1＋k2＝5，即t 2＝5(1＋k 2)(i)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(9k 2＋4)x 2＋18ktx ＋9t 2－36＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(18kt)2－4(9t 2－36)(9k 2＋4)＝0即9k 2－t 2＋4＝0(ii)联立(i)(ii)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝52负值舍去(10分)②取BD 中点M ，连结OM ，则OM ⊥AB ，又AB ＝DE ，所以M 为AE 中点，法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y ＝－1k x ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kt k 2＋1，t k 2＋1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kt k 2＋1，t （1－k 2）k 2＋1 代入椭圆方程化简得t 2＝36（k 4＋2k 2＋1）9k 4－2k 2＋9＝36（k 2＋1）29k 4－2k 2＋9. 设m ＝k 2＋1>1， 则t 2＝3620⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －122＋4，当m ＝2时，t 取最大值3，此时k ＝1. 又k ＝1，t ＝3时，A(0，3)，B(－1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1513，2413，D(－2，1)，E(－3，0)符合题意，故t 的最大值为3.(不检验扣1分)(16分)法二：则OM ⊥AB ，M 为AE 中点， 所以OE ＝OA ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝t 2，x 29＋y 24＝1，解得x 2＝9（t 2－4）5，则t 2＝5x29＋4.又x 2≤9，所以t ≤3，t 的最大值为3，此时k ＝1.又k ＝1，t ＝3时，A(0，3)，B(－1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1513，2413，D(－2，1)，E(－3，0)符合题意，故t 的最大值为3.(不检验扣1分)(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f(x)＝－lnx －x 2＋2x ＋1，f′(x)＝－1x －2x ＋2，f′(1)＝－1，所以，函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2分)(2) ∵ f(x)＝－lnx －ax 2＋2ax －a ＋2， ∴ f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x，(x>0)．当a ＝0时，f′(x)＝－1x <0，∴ f(x)是单调减函数．符合．(3分)当a>0时，若f(x)是单调增函数，则f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x ≥0，即2ax 2－2ax ＋1≤0(x>0)恒成立，这不可能．(5分) 若f(x)是单调减函数，则f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x≤0，即2ax 2－2ax ＋1≥0(x>0)恒成立，令h(x)＝2ax 2－2ax ＋1，其开口方向向上，对称轴方程有x ＝12，h(0)＝1>0，故h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2a·12＋1≥0，∴ 0<a ≤2.又a ∈Z ，∴ a ＝1，2.(7分)综上，满足条件的非负整数a 的值是0，1，2.(8分) ∴ g(x)＝－lnx －ax 2＋(2a ＋1)x －1－a ∴ g′(x)＝－1x－2ax ＋2a ＋1＝－2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝－（x －1）（2ax －1）x①当a ＝0时，2ax －1x<0.当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上为减函数； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上为增函数．所以当x ∈(0，b](1<b<e)时，g(x)min ＝g(1)＝0<g(b)，不符合题意．(10分) ②当a>0时，g′(x)＝－2a （x －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a x.(i)当12a <1，即a>12时，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：若满足题意，只需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >g(a)，整理得ln2a ＋14a ＋(e 2－2e)a ＋2－e>0.令F(a)＝ln1a ＋14a ＋(e 2－2e)a ＋2－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a>12，当a>12时，F′(a)＝1a －14a 2＋e 2－2e ＝4a －14a2＋e(e －2)>0，所以F(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以，当a>12时，F(a)>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋12(e 2－2e)＋2－e ＝12(e －2)2＋12>0.可见，当a>12时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>g(e)恒成立，故当a>12，x ∈(0，b](1<b<2)时，函数g(x)的最小值为g(b)，所以a>12满足题意．(12分)(ii) 当12a >1，即0<a<12时，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：若满足题意，只需满足g(e)<g(1)，且12a <e ⎝ ⎛⎭⎪⎫若12a ，e ，不符合题意， 即a>e －2（e －1）2，且a>12e. 又e －2（e －1）2－12e ＝（e －1）2－22e （e －1）2>0， e －2（e －1）2－12＝－（e －2）2－12（e －1）2<0，∴ e －2（e －1）2<a<12. 综上，a>e －2（e －1）2，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫e －2（e －1）2，＋∞.(16分)21. 解：(1) 因为矩阵A ＝错误!属于特征值λ的一个特征向量α＝错误!，所以错误!错误!＝λ错误!，即错误!所以错误!(5分)(2) 由(1)知A ＝错误!，所以A 2＝错误!错误!＝错误!.(10分)22. 解：(1) 每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35，两次都取得白球的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫252，两次都到得红球的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫352，故两次取得球颜色相同的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝425＋925＝1325.(3分)(2) X 可能的取值为2，3，4.(4分) P(X ＝2)＝25×25＝425，P(X ＝3)＝25×35＋35×25＝1225，P(X ＝4)＝35×35＝925，(8分)所以X 的分布列为：所以X 的数学期望E(X)＝2×425＋3×1225＋4×925＝165(10分)23. 解：在正三棱柱ABCA 1B 1C 2中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC ，OO 1，则OO 1∥AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA ，OO 1，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，0，3)， C 1(0，2，3)，E(1，2λ，0)，F(－1，2－2λ，0)， ＝(1，2λ，－3)，＝(－1，－2λ，－3)，(1) 若λ＝12，＝(1，1，－3)，＝(－1，－1，－3)，cos 〈，〉＝＝－1－1＋35·5＝15，故异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值为15.(5分)(2) 由(1)可得＝(－1，2－2λ，－3)，设平面CEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，则取z ＝1得n ＝(3－23λ，3，1)，取平面AEF 的一个法向量＝(0，0，3)， 由二面角AEFC 的大小为θ，且sinθ＝255，得|cos 〈，n 〉|＝＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33·（3－23λ）2＋（3）2＋12＝55， 化简得(2λ－1)2＝13，所以λ＝3±36.(10分)24. 解：(1) S 1＝(－1)2×1×C 11＝1，S 2＝∑2k ＝1(－1)k ＋11k C k 2＝(－1)2×C 12＋(－1)3×12×C 22＝2－12＝32， S 3＝∑3k ＝1(－1)k ＋11k C k 3＝(－1)2×C 13＋(－1)3×12×C 23＋(－1)4×13×C 33＝3－32＋13＝32＋13＝116， 所以S 2－S 1＝12，S 3－S 2＝13.(4分)(2) 猜想：S n －∑nk ＝11k ＝0，即S n ＝1＋12＋13＋…＋1n.(5分) 证法一：下面用数学归纳法证明．10当n ＝1时，由(1)知，S 1＝1，成立；20＝假设当n ＝m 时，S m ＝∑mk ＝1(－1)k ＋11k C k m ＝1＋12＋13＋…＋1m. 则当n ＝m ＋1时，S m ＋1＝∑m ＋1k ＝1(－1)k ＋11k C k m ＋1＝∑m k ＝1 (－1)k ＋11k C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1＝∑mk ＝1(－1)k ＋11k [C k m ＋C k －1m ]＋(－1)m ＋21m ＋1(6分) ＝∑mk ＝1(－1)k ＋11k C k m ＋∑m k ＝1 (－1)k ＋11k C k －1m ＋(－1)m ＋21m ＋1＝S m ＋∑mk ＝1(－1)k ＋11k C k －1m ＋(－1)m ＋21m ＋1. 又因为kC km ＋1－(m ＋1)C k －1m ＝k·（m ＋1）！k ！（m ＋1－k ）！－(m ＋1)·m ！（k －1）！（m －k ＋1）！＝0，则kC k m ＋1＝(m ＋1)C k －1m ，所以1k C k －1m ＝1m ＋1C k m ＋1，所以S m ＋1＝S m ＋∑mk ＝1(－1)k ＋11m ＋1C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1(8分) ＝S m ＋1m ＋1∑m k ＝1 (－1)k ＋1C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1 ＝S m ＋1m ＋1⎣⎡⎦⎤∑m k ＝1（－1）k ＋1C k m ＋1＋（－1）m ＋2＝S m －1m ＋1⎣⎡⎦⎤∑m k ＝1（－1）k C k m ＋1＋（－1）m ＋1 ＝S m －1m ＋1[－C 1m ＋1＋C 2m ＋1－C 3m ＋1＋…＋(－1)r C r m ＋1＋…＋(－1)m C m m ＋1＋(－1)m ＋1C m ＋1m ＋1] ＝S m －1m ＋1[(1－1)m ＋1－1]＝S m ＋1m ＋1＝1＋12＋13＋…＋1m ＋1m ＋1， 综上10，20，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，故S m ∑nk ＝1 1k＝0.(10分)证明二：因为kCkn ＋1－(n ＋1)Ck －1n＝k·（n ＋1）！k ！（n ＋1－k ）！－(n ＋1)·n ！（k －1）！（n －k ＋1）！＝0，则kC k n ＋1＝(n ＋1)C k －1n ，所以1k C k －1n ＝1n ＋1C k n ＋1，所以S n ＋1＝∑n ＋1k ＝1(－1)k ＋11k C k n ＋1＝∑nk ＝1(－1)k ＋11k C k n ＋1＋(－1)n ＋21n ＋1(同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分) ＝S n ＋1n ＋1，(9分) 所以S n ＋1－S n ＝1n ＋1，则S n ＋1－S n ＝1n ＋1，S n －S n －1＝1n ，…，S 2－S 1＝12，以上n 个式子相加得S n ＋1－S 1＝1n ＋1＋1n ＋…＋12，又由(1)知S 1＝1，所以S n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1，当n ≥2时，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n，当n ＝1时，符合上式．故S n ＝1＋12＋13＋ (1)，即S n －∑nk ＝11k ＝0.(10分)。
【20套试卷合集】江苏省扬州市示范初中2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案注意事项1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于A ．[2,4]B ．[0,2]C ．[)2,4D ．[0,8]2．若命题“,0R x ∈∃使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[]6,2B ．[]2,6--C ．()6,2D ．()2,6--3．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 A ．相同的准线 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴4．设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =A ．36B ．32C ．24D ．226．函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 A ．8πB ．4π C ．2πD ．π 7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的 等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．12πB ．C ．3πD ．8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是 A ．()1,0 B ．()3,1C．(]3,1D ．[)+∞,39．已知函数f （x ）=x ﹣4+，x ∈（0，4），当x=a 时，f （x ）取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g （x ）=的图象为B C10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为A ．B ． 2C ． 12D ． 12-11．已知偶函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)+∞上单调递减，且满足(4)(1)0f f -==，则不等式3()0x f x <的解集是 A ．(4,1)(1,4)-- B ．(,4)(1,1)(3,)-∞--+∞ C ．(,4)(1,0)(1,4)-∞-- D ．(4,1)(0,1)(4,)--+∞12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为A ．3B ．25 C ．2 D ．23 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上)13．已知向量的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-，则在方向上的投影等于 . 14．函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是_________. 15．在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 . 16．设函数()()()220log 0xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为_________.三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a sin 2cos 3sin ,=+≥． (1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >.且1452a a a ，，分别是等比数列}{n b 的432b b b ，，． (1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 对任意自然数n 均有1212c c b b ++…1n n n ca b ++=成立，求12c c ++ (2013)c + 的值.19.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==． (1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．20.（本小题满分12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元（1≤m ≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本．(1)求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R 22.（本小题满分12分）设函数()ln a f x x x x=+， 32()3g x x x =--． (1)讨论函数()()f x h x x=的单调性； (2)若存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．B参考答案（理科）一、选择题：(每小题5分,共60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C ABCACCBBCDC二、填空题：(每小题5分,共20分)13． -3 14．()2,∞- 15．-2013 16．2 三、解答题：(共70分) 17．(10分)解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ．…3分因为0＜A ，B ＜π，又a≥b 进而A≥B ， 所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． …6分（2）由正弦定理及（1）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)．…9分 当A ＝ π3时，a ＋b c 取最大值2． …10分18．(12分)解：（1）∵a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2、a 5、a 14成等比数列∴ 2)131)(1()41(2=++=+d d d d 即 …3分∴122)1(1-=⋅-+=n n a n…4分又∵9,35322====a b a b .∴113,1,3-===n n b b q…6分（2）∵1212c c b b ++…1n n n ca b ++=①∴121c a b = 即1123c b a ==，又1212c c b b ++…11(2)n n n ca nb --+=≥ ②①－②：12nn n nc a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥ …10分∴ 13(1)23(2)n n n c n-=⎧=⎨⋅⎩≥ …11分 则123c c c +++…12201332323c +=+⋅+⋅+…2013123-+⋅123201232(3333)=+⋅++++ 201220133(13)32313-=+⋅=- …12分19．(12分)(1)解法一：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ …………………………2分又2P A P DA D ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2PAD π∠= 即PA PD ⊥CDPD D =，且CD 、PD ⊆面PDCPA ⊥面PDC又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC 解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==. 以O 为原点,向量OA →,OF →,OP →为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE - …………………………2分(1)∵(,0,)22a a PA =-,CD →=(0,-a,0) ∴⋅PA →⋅CD →=(a2,0,- a 2)⋅(0,-a,0)=0,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,∴平面PAB ⊥平面PDC ． …………………………6分 (2)由(1)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a a PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵DP →=(a2,0, a 2)⋅,BD →=(-a,-a,0)∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2⋅x+0⋅y+a 2⋅z=0-a ⋅x-a ⋅y+0⋅z=0取1x =,则y=-1,z=-1,故n →=(1,-1,-1) …………………………10分∴cos ,32n PA n PA n PA⋅<>===, 即二面角B PD C --……………………12分 20．(12分)解：（1）由焦点坐标为(1,0) 可知12p = 所以2=p ,所以抛物线C 的方程为x y 42= …5分（2）当直线垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似， 所以21()24ABOMNO OF S S ∆∆==, …7分 当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-, 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ，解2(x 1),4,y k y x =-⎧⎨=⎩ 整理得2222(42)0k x k x k -++=， …9分 所以121=⋅x x , …10分121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOBS x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠,综上14ABO MNO S S ∆∆=…12分21.解：（1）该出版社一年的利润L （万元）与每本书定价x 的函数关系式为：]11,9[,)20)(5(2∈---=x x m x L ．……………5分（定义域不写扣1分）（2）)20)(5(2)20()(2/x m x x x L -----=)3230)(20(x m x -+-=．…………………6分令0L '=得m x 3210+=或x=20（不合题意，舍去）．…………7分31≤≤m ， 123210332≤+≤∴m ．在m x 3210+=两侧L '的值由正变负．① 当231≤≤m 即113210332≤+≤m 时，L(x)在[9, 10+23m]上是增函数，在[10+23m ，11]上是减函数。
扬州中学2019-2020学年上学期高一数学期中检测卷附答案解析
3
解析
扬州中学 2019-2020 学年上学期期中检测 高一数学试题
一、单选题
1．已知集合 A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2},则 A B = （ ）
A．{－1,2}
B．{－1,0}
C．{0,1}
D．{1,2}
【答案】C
【解析】由题意，集合 A {x | x2 x} 0,1 ，利用集合的交集运算，即可求解.
)
A． (0, 4]
B． [
3 2
,
4]
C．
[
3 2
,
3]
D．
[
3 2
,
)
10． f (x) log 1 (x2 2x 3) 的单调递增区间是（
）
2
A． (1, )
Bห้องสมุดไป่ตู้ (,1)
C． (, 1)
D． (3 )
11．已知函数
f
x
lg 1
x
1
1 x
2
，不等式
A． m 3
B． m 5
C． m 3 或 m≥ 4 D． m 3
7．若集合 A x R | ax2 ax 1 中只有一个元素，则 a =（ ）
A．4
B．2
C．0
D．0 或 4
8．设 （f x） 是奇函数，且在 (0, ) 内是单调递增的，又 f (3) 0 ，则 x f (x) 0 的解集是（ ）
函数 y f x 在区间3, 4 上的单调性，可得出实数 m 的取值范围.
【详解】
二次函数 f x x2 2mx 1 的图象开口向上，对称轴为直线 x m .
2019-2020学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷 试题含解析
2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，计60分）1．已知集合2{|}A x x x ==，{1B =-，0，1，2}，则(A B = )A ．{1-，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．函数1()2f x x =+的定义域是( ) A ．[3-，)+∞B ．[3-，2)-C ．[3-，2)(2--⋃，)+∞D ．(2,)-+∞3．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的范围是( )A ．2a …B ．1a …C ．1a …D ．2a …4．已知1()11f x x =+-，则()(f x = ) A ．12x + B ．1xx+ C ．12x+ D ．11x- 5．已知幂函数()f x 的图象过点(2,16)，则f （3）(= ) A ．27B ．81C ．12D ．46．若函数2()21f x x mx =-+在[3，4)上是单调函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．3m …B ．5m …C ．3m …D ．3m …或4m …7．若集合2{|10}A x R ax ax =∈++=其中只有一个元素，则(a = ) A ．4B ．2C ．0D ．0或48．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增加的，又(3)0f -=，则()0x f x -<的解集是( )A ．{|3x x <-，或03}x <<B ．{|30x x -<<，或3}x >C ．{|3x x <-，或3}x >D ．{|30x x -<<，或03}x <<9．若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞10．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(3,)+∞11．已知函数21()(1||)1f x lg x x=+-+，不等式(2)(1)f x f +-…的解集是( ) A ．(-∞，3]- B ．(-∞，3][1--，)+∞ C ．[3-，1]-D ．[3-，)+∞12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x ax x =-，其中0a …．若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[m ，]n ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1-，0]C ．(-∞，0]D ．∅二、填空题（每小题5分，计20分）13．若函数2(1)y x a x a =+--为偶函数，则实数a 的值为 ． 14．若2log 3a =，则22a a -+= ．15．已知函数2(1)()(6)(1)x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩…，若对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数2()|log |1||f x x =-，若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b ++=有6个不同的实数解，且最小实数解为3-，则a b +的值为 ． 三、解答题（共6题，计70分）17．已知集合2{|230}A x x x =--<，集合2{|60}B x x x =+-<． （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A B ，求实数a ，b 的值．18．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =--， （1）求函数()f x 的表达式； （2）求方程()f x x =的解集．19．设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=． （1）若1B -∈，求a 的值； （2）若B A ⊆，求a 的值．20．已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1x af x x +=+为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性； （3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．21．已知函数()log (23)1(0a f x x a =-+>，且1)a ≠． （1）证明：当a 变化，函数()f x 的图象恒经过定点；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且g （3）m =，g （4）n =，求6log 45（用m ，n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数k ，使得不等式22(1)()g x lg kx +>在区间[3，5]上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由． 22．已知函数2()2||4f x x x a =+--，（其中a 为常数） （1）若2a =，写出函数()f x 的单调递增区间（不需写过程）； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并给出理由；（3）若对任意实数x ，不等式()1f x -…恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，计60分）1．已知集合2{|}A x x x ==，{1B =-，0，1，2}，则(A B = )A ．{1-，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：{0A =，1}； {0AB ∴=，1}．故选：C ．2．函数1()2f x x =+的定义域是( ) A ．[3-，)+∞B ．[3-，2)-C ．[3-，2)(2--⋃，)+∞D ．(2,)-+∞【解答】解：要使函数有意义，则3020x x +⎧⎨+≠⎩…，即32x x -⎧⎨≠-⎩…，3x ∴-…且2x ≠-，即函数的定义域为[3-，2)(2--⋃，)+∞． 故选：C ．3．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的范围是( )A ．2a …B ．1a …C ．1a …D ．2a …【解答】解：集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，A B ⊆，2a ∴…， 故选：A ． 4．已知1()11f x x =+-，则()(f x = ) A ．12x + B ．1xx+ C ．12x+ D ．11x- 【解答】解：1()11f x x =+-， ∴设11t x =-，整理，得：11x t=+，1()2f t t ∴=+，1()2f x x∴=+． 故选：C ．5．已知幂函数()f x 的图象过点(2,16)，则f （3）(= ) A ．27B ．81C ．12D ．4【解答】解：设幂函数()f x x α=， 又()f x 过点(2,16)， 216α∴=，解得4α=，4()f x x ∴=，f ∴（3）4381==．故选：B ．6．若函数2()21f x x mx =-+在[3，4)上是单调函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．3m …B ．5m …C ．3m …D ．3m …或4m …【解答】解：由题意有22()()1f x x m m =-+-，∴函数()f x 在(-∞，]m 上单调递减，在[m ，)+∞上单调递增3m ∴…或4m …，故选：D ．7．若集合2{|10}A x R ax ax =∈++=其中只有一个元素，则(a = ) A ．4B ．2C ．0D ．0或4【解答】解：当0a =时，方程为10=不成立，不满足条件 当0a ≠时，△240a a =-=，解得4a = 故选：A ．8．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增加的，又(3)0f -=，则()0x f x -<的解集是( )A ．{|3x x <-，或03}x <<B ．{|30x x -<<，或3}x >C ．{|3x x <-，或3}x >D ．{|30x x -<<，或03}x <<【解答】解：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内递增，()f x ∴在(,0)-∞内也递增，又(3)0f -=，f ∴（3）(3)0f =--=， 作出()f x 的草图，如图所示： 由图象可知，0()0()0()0()0x x f x xf x xf x f x >⎧-<⇔-<⇔>⇔⎨>⎩或03()0x x f x <⎧⇔>⎨<⎩或3x <-，()0x f x ∴-<的解集是{|3x x <-或3}x >．故选：C ．9．若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--， 325()24f ∴=-，又(0)4f =-， 故由二次函数图象可知： m 的值最小为32； 最大为3．m 的取值范围是：3[2，3]，故选：C ．10．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(3,)+∞【解答】解：由2230x x -->得1x <-或3x >， 当(,1)x ∈-∞-时，2()23f x x x =--单调递减， 而1012<<，由复合函数单调性可知log y =20.5(23)x x --在(,1)-∞-上是单调递增的，在(3,)+∞上是单调递减的．故选：A ．11．已知函数21()(1||)1f x lg x x =+-+，不等式(2)(1)f x f +-…的解集是( ) A ．(-∞，3]- B ．(-∞，3][1--，)+∞ C ．[3-，1]-D ．[3-，)+∞【解答】解：函数21()(1||)1f x lg x x =+-+满足()()f x f x -=，故()f x 为偶函数． 当0x …时，21()(1)1f x lg x x =+-+ 单调递增，当0x <时，21()(1)1f x lg x x =--+ 单调递减，故由不等式(2)(1)f x f +-…，故有|2||1|x +-…，即121x -+剟，求得31x --剟， 故选：C ．12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x ax x =-，其中0a …．若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[m ，]n ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1-，0]C ．(-∞，0]D ．∅【解答】解：由题意知0a …，当0x >时，2()f x ax x =-，为减函数， 当0x <时，2()()f x f x ax x =--=+，为减函数，从而在R 上()f x 为减函数， 由题意知0m n <<，若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[m ，]n ， 则22am m n an n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得()()()a m n m n m n n m +++-=+， 即()[()1]0m n a m n ++--=， 得0m n +=或1a n m =-+，（舍) 故11a m =-->-， 综上10a -<…， 故选：B ．二、填空题（每小题5分，计20分）13．若函数2(1)y x a x a =+--为偶函数，则实数a 的值为 1 ． 【解答】解：2(1)y x a x a =+--为偶函数，10a ∴-=， 1a ∴=．故答案为：1．14．若2log 3a =，则22a a -+ 3． 【解答】解：2log 3a =， 2log 3223a ∴==， 12222a a a a -∴+=+ 133=+ 103=． 故答案为：103． 15．已知函数2(1)()(6)(1)x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩…，若对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是 7[2,]3．【解答】解：函数2(1)()(6)(1)x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩…，若对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，∴函数为定义域上的增函数，∴601216a a a a a ->⎧⎪⎪⎨⎪-+--⎪⎩……， 723a∴剟． 故答案为：7[2,]3．16．已知函数2()|log |1||f x x =-，若关于x 的方程2[()]()0f x a f x b ++=有6个不同的实数解，且最小实数解为3-，则a b +的值为 2- ． 【解答】解：由题意，函数()f x 图象大致如下：令2()|log |1||t f x x ==-，根据图象可知，关于x 的方程2[()]()0f x a f x b ++=有6个不同的实数解， 可转化为关于t 的方程20t a t b ++=有2个不同的实数解， 且必有一个解为0，另一个解大于0， 0b ∴=．则20t a t +=，解为1t a =-，20t =．12(3)|log |31||2t a f ∴=-=-=--=，即2a =-． 2a b ∴+=-．故答案为：2-．三、解答题（共6题，计70分）17．已知集合2{|230}A x x x =--<，集合2{|60}B x x x =+-<． （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A B ，求实数a ，b 的值．【解答】解：（1）2230x x --<，(3)(1)0x x ∴-+<，解得：13x -<<， {|13}A x x ∴=-<<， 260x x +-<， (3)(2)0x x ∴+-<，解得：32x -<<， {|32}B x x ∴=-<<， {|12}AB x x ∴=-<<；（2）由（1）得：1-，2为方程20x ax b ++=的两根， ∴10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴12a b =-⎧⎨=-⎩． 18．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =--， （1）求函数()f x 的表达式； （2）求方程()f x x =的解集．【解答】解：（1）根据题意，函数()f x 是奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，0x ->，则22()()(3)3f x f x x x x x =--=-+-=--+， ∴223,0()0,03,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩， （2）由（1）得：当0x >时，()f x x =，23x x x ∴--=，3x ∴=（舍负）， 当0x =时，()f x x =成立；当0x <时，()f x x =，23x x x ∴--+=，3x ∴=-（舍正）， 综上，方程()f x x =的解集为{3-，0，3}．19．设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=．（1）若1B -∈，求a 的值；（2）若B A ⊆，求a 的值．【解答】解：（1）由题得{0A =，4}-，1-是方程222(1)10x a x a +++-=的根，212(1)10a a ∴-++-=，2220a a ∴--=，1a ∴=±（2）由题得，{0A =，4}-，①当B =∅时，△224(1)4(1)0a a =+--<，1a ∴<-；②当{0}B =或{4}-时，△0=，1a ∴=-，此时{0}B =，成立；③当{0B =，4}-时，22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩，1a ∴=， 综上，1a =或1a -…．20．已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1x a f x x +=+为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断并证明函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性；（3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．【解答】解：（1）根据题意，函数2()1x a f x x +=+为定义在区间(1,1)-上的奇函数， 则(0)0f a ==，即0a =， 此时2()1x f x x =+为奇函数，符合题意； 故0a =；（2）2()1x f x x =+在(1,1)-上为增函数， 证明：设1211x x -<<<，则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 又由1211x x -<<<，则12()0x x -<，1210x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(1,1)-上为增函数；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，()f x 为奇函数且在(1,1)-上为增函数，则1(1)()0(1)()(1)()11111t t f t f t f t f t f t f t t t -<-⎧⎪-+<⇒-<-⇒-<-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩， 解可得：102t <<，即t 不等式的解集为1(0,)2． 21．已知函数()log (23)1(0a f x x a =-+>，且1)a ≠．（1）证明：当a 变化，函数()f x 的图象恒经过定点；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且g （3）m =，g （4）n =，求6log 45（用m ，n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数k ，使得不等式22(1)()g x lg kx +>在区间[3，5]上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：当2x =时，不论a 取何值，都有f （2）log (223)1log 111a a =⨯-+=+=， 故函数()f x 的图象恒经过定点(2,1)；（2）当10a =时，()()1(23)g x f x lg x =-=-， m g ∴=（3）3lg =，n g =（4）5lg =， ∴645952456321lg lg lg m n log lg lg lg m n ++===+-+． （3）不等式22(1)()g x lg kx +>化为22(21)()lg x lg kx -> 即22(21)x k x -<在区间[3，5]上有解； 令22(21)(),[3,5]x h x x x -=∈，则()max k h x <， 222(21)1()(2)x h x x x -==-，111[,]53x ∈，∴816()(5)32525max k h x h <===， 又k 是正整数，故k 的最大值为3．22．已知函数2()2||4f x x x a =+--，（其中a 为常数）（1）若2a =，写出函数()f x 的单调递增区间（不需写过程）；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并给出理由；（3）若对任意实数x ，不等式()1f x -…恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2a =，函数2()2|2|4f x x x =+--，所以，递增区间为：(1,)+∞；（2）当0a =时，2()2||4f x x x =+-，()()()f x f x f x ∴=-∴为偶函数； 当0a ≠时，f （2）2|2|a =-，(2)2|2|f a -=+， f ∴（2）(2)()f f x ≠±-∴为非奇非偶函数；（3）转化为求函数()y f x =的最小值， 设2()(1)25g x x a =+--，()x a …，2()(1)25h x x a =-+-，()x a < ①对于2()(1)25g x x a =+--，()x a …当1a <-时，()(1)25min g x g a =-=--；当1a -…时，2()()4min g x g a a ==- ②对于2()(1)25h x x a =-+-，()x a <当1a <时，2()()4min h x h a a ==-，当1a …时，()min h x h =（1）25a =- ①当1a <-时，2224(25)21(1)0a a a a a ----=++=+…， ()()(1)25min min f x g x g a ∴==-=--，由251a ---…，解得2a -…满足；②当11a -<…时，2()4min f x a =-，由241a --…，解得a <a >③当1a …时，2224(25)21(1)0a a a a a ---=-+=-…， ()()min min f x h x h ∴==（1）25a =-，由251a --…，解得2a …，满足题意． 所以实数a 的取值范围是：2a -…或2a …．。
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2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影．．部分表示的集合为 ( ) A ． {|1}x x ≥ B. {|12}x x ≤< C. {|01}x x <≤ D.{|1}x x ≤ 2.若()x x g 21-=，()21log 1f g x x =⎡⎤⎣⎦+，则()1f -=（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．23.若函数y=()f x 的图象经过（0，-1），则y=(4)f x +的反函数图象经过点( ) A ．（4，一1） B ．（-4,- 1）C ．（一1,-4）D ．（1,-4）4. 已知函数)1(+x f 的定义域为)1,2(--，则函数)12(+x f 的定义域为（ ） A ．（-32,-1） B ．（-1,-12） C ．（-5,-3） D ．（-2,-32） 5.已知映射f A B →：,其中A B R ==，对应法则222f x y x x →=-+：，若对实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ( ） A ．1k ≤ B ．1k < C ．1k ≥ D ．1k > 6.定义运算⎩⎨⎧≥<=⊕ba bb a ab a 若函数()xx x f -⊕=22,则)(x f 的值域是( ) A ． ),1[+∞ B ．),0(+∞ C ．(0,1] D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,217.求值：006.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++⋅=（ ） A ．3 B ． 2C ． 1D ．08.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下左图所示，则函数1()()x g x b a=+的图象是 （ ）9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)(<x f 的解集为( )A ．)0,(-∞B ．()+∞,0C ．)1,(-∞D ．()+∞,110.对于函数()f x =，存在一个正数b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为( ) A ． 2 B ．-2C ．-4D ．411. 设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则 =+y x ( )A ．2014B ．1002C ． 4026D ． 4028 12.设函数lg |2|,2()1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f恰有5个不同的实数解x 1、x 2、x 3、x 4、x 5则f(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)等于（ ） A ． 3 B ．c lg C ．)1lg(--b D ．3 2lg第II 卷本卷包括填空题和解答题两部分，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知集合{}R x x y y M ∈+==,12，{}22x y x N -==，则 M （N R）=______．14.奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为 =)(x f15.设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是16.问题“求方程xxx13125=+的解”有如下的思路：方程xxx13125=+可变为11312135=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx ，考察函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312135)(可知1)2(=f ，且函数)(x f 在R 上单调递减，所以原方程有唯一解2=x .仿照此解法可得到不等式：x x ->-2lg 24lg 的解集为三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分10分） 设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求值)20142013()20142012()20142()20141(p p p p ++++ . 18. （本小题满分12分）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （y 吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数0>k ）。
（1）写出y 与x 的函数关系式，并指出定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值.19. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=．现已画出函数)(x f 在y 轴左 侧的图象，如图所示，并根据图象： （1）写出函数R x x f ∈),(的增区间； （2）写出函数R x x f ∈),(的解析式；（3）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值. 20. （本小题满分12分）已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当)3,1(∈x 时，有2)2(81)(+≤x x f 成立.(1) 证明：2)2(=f ； （2）若0)2(=-f ，求)(x f 的表达式； （3）在（2）的条件下，设x m x f x g 2)()(-=，),0[+∞∈x ，若)(x g 图像上的点都位于直线41=y 的上方，求实数m 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围. 22. （本小题满分12分）设函数()(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且， ()f x 是定义域为R 上的奇函数． （1）求k 的值，并证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知3(1)2f =，函数22()4()x xg x a a f x -=+-，[1,2]x ∈，求()g x 的值域； （3）若4a =，试问是否存在正整数λ，使得(2)()f x f x λ≥⋅对11[,]22x ∈-恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．数试卷答案三、解答题17. （1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-xx，解得93=x，2=x 5分 （2） 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p 10分 18. （1）空闲率为mxm -,由已知得：m x m x kx m x m kx y <<-=-⋅=0),1(． 6分（2）4)2(22mk m x m k kx x m k y +--=+-=，所以当2m x =时，4max mky =．12分19. 试题解析（1）在区间， 上单调递增. 2分（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=∴)0(2)0(2)(22x x x x x x x f 6分（3）2)22()(2++-=x a x x g ，对称轴方程为：1+=a x ， 当0,11≤≤+a a 即时，a g 21)1(-= 为最小；当10,211<<<+<a a 即时，12)1(2+--=+a a a g 为最小 当1,21≥≥+a a 即时，a g 42)2(-= 为最小.综上，有：)(min x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+--≤-)1(42)10(12)0(212a a a a a a a ． 12 分20.(1)证明：有条件知，224)2(≥++=c b a f 恒成立.又2)22(8124)2(2=+≤++=c b a f ，所以2)2(=f . 4分 (2)⎩⎨⎧=+-=++024224c b a c b a ,所以124==+b c a ，21=b又x x f ≥)(恒成立，因为0>a ，0)1(4)1(2≤---=∆a a b得21,21,81===c b a 即212181)(2++=x x x f . 8分(3) 4121)221(81)(2>+-+=x m x x g 在),0[+∞∈x 恒成立多种方式，答案是)221,(+-∞∈m 12分21. （1）解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ）⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ， 所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 2分 令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa （*）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x解得01=x ，32-=x 3分 经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ， 所以函数)(x F 的零点为0， 4分∴①当1a >时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是增函数∴[)()0,F x ∈+∞∴只需22350m m --≥ 解得：1,m ≤-或52m ≥∴②当01a <<时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是减函数∴(](),0F x ∈-∞ ∴只需22350m m --≤ 解得：512m -≤≤ 10分综上所述，当01a <<时：512m -≤≤；当1a >时，1,m ≤-或52m ≥（12分）22. 解：（1）()x x f x ka a =-是定义域为R 上的奇函数， (0)0f ∴=，得1k =．此时，()xxf x a a -=-，()()xx f x aa f x --=-=-，即()f x 是R 上的奇函数．设21x x >，则2121212121111()()()()(1)x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a-=---=-+， 1a >，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->， ()f x ∴在R 上为增函数． 4分（2）313(1),22f a a =∴-=，即22320a a --=，2a ∴=或12a =-（舍去）， 222()224(22)(22)4(22)2x x x x x x x x g x ----∴=+--=---+令22(12)xxt x -=-≤≤，由（1）知()t h x =在[1，2]上为增函数，∴315[,]24t ∈， 22()()42(2)2g x t t t t ϕ∴==-+=--，当154t =时，()g x 有最大值1617 ；当2t =时，()g x 有最小值2-，∴()g x 的值域]1617,2[- ． 8分（3）22(2)44xx f x -=-=(44)(44)x x x x --+⋅-，()44x x f x -=-，假设存在满足条件的正整数λ，则(44)(44)(44)xxxxxxλ---+⋅-≥⋅-， ①当0x =时，R λ∈．②当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，440x x -->，则144x x λ≤+，令4x u =，则(]1,2u ∈，易证1z u u =+在(]1,2u ∈上是增函数，∴2≤λ． 10分2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案(满分120分 考试时间：120分钟)班级＿＿＿ 姓名＿＿＿ 学号＿＿一、选择题（每小题4分，本大题共48分，每小题所给四个选项中，只有一个是正确选项） 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =则()U C MN 的非空真子集有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2． 设全集U R =，{,A x y =={}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B =（ ）A ．{}0x x < B ．{}01x x <≤ C ．{}12x x ≤＜ D ．{}2x x >3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()f x x = 与()2g x =B ．()f x x = 与()g x =C ．()f x x x = 与()()()2200x x g x x x ⎧ >⎪=⎨- <⎪⎩D ．()211x f x x -=- 与()()11g x x x =+ ≠4．设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是 （ ）A. a b c d <<<B. d c a b <<<C. b a c d <<<D. b a d c <<< 5．幂函数y=x -1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标 系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、 ⑤、⑥、⑦、⑧（如右图所示），那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是（ ）A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤6．根据表格中的数据，可以判定方程02=--x e x的一个根所在的区间为（ ）A ．(-1,0)B ．(0,1)C ． (1,2)D ． (2,3) 7．下列函数为偶函数且在[)+∞,0上为增函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x = C ．2x y = D ．2x y -=8．已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞⋃-∞-B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(,3)-∞-9．已知函数⎩⎨⎧>-≤=2),1(log 2,2)(2x x x x f x ，则))5((f f 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. [0，4]B. [0，4）C.[4，+∞）D. （0，4） 11．已知函数)(log )(22a ax x x f --=值域为R,那么a 的取值范围是（ ）A ．)0,4(-B ．[]0,4-C ．),0[]4,(+∞--∞D ．),0()4,(+∞--∞ 12．设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意12,x x ∈（0,＋∞),且12x x ≠都有0)()(1221<--x x x f x f ,且f(2)＝0，则不等式xx f x f 5)(2)(3--≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0,2]B ．[－2,0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]二、填空题（每小题4分，本大题共16分，将正确答案写在相应横线上） 13．若函数y ＝(x ＋1)(x －a)为偶函数，则a 等于_________。