图形的位似2
《图形的位似》
计算机视觉中的位似应用
总结词
在计算机视觉中，位似是一种重要的几何变 换，可以用于图像配准、三维重建和目标检 测等任务。
详细描述
在计算机视觉中，位似变换被广泛应用于图 像配准、三维重建和目标检测等任务中。通 过位似变换，可以将不同视角下的图像进行 对齐和匹配，从而提高图像配准的精度和速 度。此外，位似变换还可以用于三维重建和 目标检测中，帮助计算机准确地识别和理解 图像中的三维结构和目标。
位似图形的应用场景
总结词
位似图形的应用场景广泛，包括工程、艺术、科学等 领域。例如，在工程中可以利用位似关系进行建模和 分析；在艺术中可以应用位似关系进行设计和创作； 在科学中可以利用位似关系进行模拟和预测。
详细描述
位似图形的应用场景多种多样，涵盖了工程、艺术、 科学等各个领域。在工程中，可以利用位似关系进行 建模和分析，例如在机械设计中利用位似关系设计机 械零件的形状和尺寸。在艺术中，可以利用位似关系 进行设计和创作，例如在绘画和雕塑中利用位似关系 塑造物体的形状和比例。在科学中，可以利用位似关 系进行模拟和预测，例如在生物学中利用位似关系模 拟生物的生长和变化。此外，在地理学中可以利用位 似关系模拟地球的形状和大小。
位似图形的特性与识别方法
总结词
位似图形具有以下特性：每对对应点与位似中心在同 一直线上，且对应线段的比等于相似比。通过这些特 性，我们可以总结出一些识别位似图形的方法。
详细描述
位似图形的特性包括：每对对应点与位似中心在同一 直线上，且对应线段的比等于相似比。这些特性使得 位似图形在视觉上呈现出一种特殊的对称性和规律性 。在识别位似图形时，我们可以根据这些特性进行判 断。具体方法包括：观察图形的对称性和规律性，判 断对应线段是否平行且相等，以及对应角是否相等。 如果满足这些条件，则可以初步判断该图形是位似图 形。
图形的位似—知识讲解
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31 D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.A B DE【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD； ∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形B C3.（优质试题•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.（优质试题春•威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A （1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F 的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。
人教版九年级下册位似—两个位似图形坐标之间的关系课件
A
y
D
A′
B
D′
B′
C
C′ o
x
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
A
y
D
B
C ′′
Co
x
B ′′
D ′′
A ′′
巩固训练
1. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相 似是 2 : 3.
A′(-3,3)，B′(-4,1)，C′(-2,0)，D′(-1,2).
或 A′′(3,-3)，B′′(4,-1)，C′′(2,0)，D′′ (1,-2).
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的
坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出
它的一个以原点O为位似中心,位似比为1:2的位似图形.
投影—“动” 悉重难点
解：画法一：将四边 形 OABC 各顶点的坐
标都乘 2 ；在平面 3
直角坐标系中描点O
(0，0)，A' (4，0)，B'
(2，4)，C′ (－2，2)，
用线段顺次连接O，
A'，B'，C'.
y 6
4 C
C' 2
－4
O
－2
－4
B B'
A' A 6x
图形的位似(二)
第四章图形的相似8.图形的位似（二）一、学生知识状况分析九年级的学生正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，经过沉淀，已经积累了一定的学习数学的方法和经验。
他们具备一定的探究能力，也喜欢动手探究。
本节课是第四章第13节图形的位似的第二课时，在上一课时学习了位似图形及相关概念后，学生动手能够将一些简单图形进行放大或缩小，会利用橡皮筋等方法做近似的放大图形，已获得一些相关的知识经验和体验，这些为本节课的学习奠定了基础。
学生日常生活中经常见到放大与缩小的实例，对本课的学习有一定的兴趣。
同时，在以往的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的经验，以及归纳知识的能力。
在此基础上，本节课主要探讨在平面直角坐标系中多边形与其位似图形之间的关系二、教学任务分析因为学生已经学过相似、位似等有关知识，并能将某一简单图形按一定比例放大或缩小，本节课将多边形放到直角坐标系中，探讨通过直角坐标系，如何寻找它关于原点O的位似图形并确定相似比，如何将一个多边形放大或缩小。
同时，也要探讨在直角坐标系中，给出相似比，如何确定一个已知多边形关于原点O的位似图形。
通过具有挑战性的内容，促使学生进一步理解位似的相关概念，熟练掌握利用直角坐标系将一个图形按比例放大或缩小，进而能初步归纳出规律，形成有关技能，发展思维能力。
本节课将观察、动手操作、合作探究等实践活动贯穿于教学活动的始终。
同时，有意识地培养学生积极的情感和态度。
为此，本节课的教学目标是：（一）知识目标1、在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系．2、经历探究平面直角坐标系中以原点O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
（二）能力目标1、能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小2、经历探究平面直角坐标系中，以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。
九年级位似图形知识点
九年级位似图形知识点位似图形是几何学中的一个重要概念，旨在描述两个图形在平面上的相似关系。
在九年级的学习中，位似图形是一个重要的知识点，需要我们对其特性和性质进行深入了解。
下面将对九年级位似图形的相关知识进行详细介绍。
一、位似图形的定义位似图形是指两个图形在形状上相似，但它们的大小可能不同。
也就是说，如果两个图形的相应角度相等，并且对应边的长度之比相等，那么这两个图形就是位似图形。
二、位似图形的性质1. 角度相等性质：两个位似图形的相应角度是相等的，也就是说，它们的对应角度是相等的。
这是因为位似图形的定义中要求相应角度相等。
2. 边比例性质：位似图形的对应边的长度之比相等。
比如，如果两个位似三角形的某两条边之比为a:b，那么这两个位似三角形的所有对应边的长度之比都是a:b。
3. 面积比例性质：位似图形的面积之比等于任意一对相应边的长度之比的平方。
这是因为面积是长度的平方，所以位似图形的面积比例由边的长度比例的平方决定。
三、位似图形的判定方法在九年级的学习中，我们需要掌握一些判定位似图形的方法，以便在做几何题目时能够准确判断图形的相似关系。
1. 角度判定法：当两个图形的所有相应角度均相等时，这两个图形是位似图形。
2. 边比例判定法：当两个位似图形的对应边长度之比相等时，这两个图形是位似图形。
3. 边角比例判定法：当两个位似图形的两对相应边的比例均相等时，这两个图形是位似图形。
四、位似图形的应用位似图形有着广泛的应用，尤其是在几何题目的解答中经常会用到。
以下是一些位似图形的应用场景：1. 尺规作图：利用位似图形的性质可以进行尺规作图，即通过已知图形的位似图形来构造目标图形。
2. 相似比例问题：位似图形常常与比例的概念联系在一起。
在解决相似比例问题时，我们可以利用位似图形的性质来求解未知量。
3. 解决实际问题：位似图形的概念可以帮助我们解决一些实际问题，比如测量高度无法直接测量的物体等。
总结：九年级位似图形是一个重要的几何学知识点，需要我们掌握位似图形的定义、性质、判定方法以及应用。
位似图形2
M
1、线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度各是多少？ 、线段 与 ， 的长度各是多少？ 与 ， 与 的长度各是多少
CD=2, HL=4; BE=
OA= 41 , OF=2 41 ;
5 , GM=2 5 .
回顾
y
4 3 2 1
思考
A
y
8 7 6 5 4 3
F
C B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解：因为矩形OA′B′C′与矩形 OABC是位似图形，面积比为1：4， C′ · · B′ x 所以它们的位似比为1：2. · A（6，0） O A′ 连接OB，分别取线段OA，OB，OC 的中点A′，B′，C′，连接O A′，A ′ B′， A′，B′，C′三点的坐标 B ′ C′， C′O，矩形OA′B′C′就是所求 分别为A′（3，0），B′ 的图形. （3，2），C′（0，2）. C（0，4） B（6，4）
A，B，C三点的横、纵 坐标都除以—2后，就是 相应的点A′，B′，C′的 坐标. 都除以2后，就是相应的点 A′，B′，C′的坐标. y C（0，4） B（6，4）
（3，2） （—3，0） （0，2）
· O B″ · （—3，—2） C″ ·
A″
C′
·
（3，0）
· B′ · A′
x A （6，0）
（0，—2）
在同一个直角坐标系中， 在同一个直角坐标系中，将一个图形上各点的横 坐标和纵坐标都乘同一个数k， 是一个不等于 坐标和纵坐标都乘同一个数 ，当k是一个不等于 1的正数时，得到的图形与原来的图形是位似图 的正数时， 的正数时 形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？ 形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？位 似比等于多少？ 是一个负数时呢？ 似比等于多少？当k是一个负数时呢？ 是一个负数时呢 y 是 坐标原点 k ： 1 C（0，4） B（6，4） 是一个负数时， 当k是一个负数时，还是 是一个负数时 （3，2） （—3，0） （0，2） · B′ C′ · 位似图形， 位似图形，位似中心是 x A″ · A（6，0） 坐标原点，位似比是│k│： · O 坐标原点，位似比是 ： A′ B″ · （3，0） （—3，—2） C″ · 1.
24.5 位似图形(2)
D
A′
B
D′ B′
C
C′
o
x
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 你还有其他办法吗?试试看. 你还有其他办法吗?试试看.
练一练: 练一练
1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比 1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比 如图表示 把它缩小后得到的 y
放大后对应点的坐标分别是多少? 放大后对应点的坐标分别是多少? A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 ) y
A
C
B
o
x
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD ABCD的四个顶点的坐标 例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个 分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个 A( 以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形. 1/2的位似图形 以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形. y
A
C
o
D
B
x
练一练: 练一练
2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2), 如图 的三个顶点坐标分别为A(2, 以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2 以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍. y o
2.位似图形的性质 位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比 3.利用位似可以把一个图形放大或缩小 利用位似可以把一个图形放大或缩小
图形的位似(第2课时)(优质课件)九年级数学上册(北师大版)
A′ -6 -4 -2 O
-2
A 24
6
y （2） △OAB和△OA′B′是位似的
，位似中心是点O，相似比是-2.
-4
-6 B′
在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)， C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B， C的横、纵坐标都乘 1 ，得到四个
2
点，以这四个点为顶点的四边形与 四边形OABC位似吗？如果位似，指 出位似中心和相似比.
随堂练习
1.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是
()
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
2.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中
属于位似变换的是
()
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′4(-1,3B)′(4,3) 2 A′(2,A1)
-4-2 O 2 4 6 8 x -2
-4
-6
将点O，A，B，C的横、纵
坐标都乘
1 2
呢？
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′(4-1,3)B′(4,3)
2 A′(2,A1)
-4 -2A′O ′2(-24,-16) 8 x B′′(---24,-D3′)′(1,-3)
2 C'' A'' -4 -2 O
-2
B'' -4
B B'
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城阳第五中学九年级数学学科导学案
课题：图形的位似2 第 2 课时 总第 课时
一、学习目标
1．能够利用位似等方法在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小。
2．利用图形的相似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展数学应用意识，进一步培养动手操作的良好习惯。
二、学习内容
（一）引入：1、什么是位似图形？
2、如何把画在纸上的一个图片放大，使放大前后对应线段比为1：2？你有哪些方法？与同伴交流
3、你还记得在上学期“变化的鱼”那节课里，怎样把鱼变长变胖吗？怎样把鱼放大呢？
你能用这些方法将一个已知的多边形放大与缩小吗? 还有更好的方法吗？
（二）新课讲解：
1、问题：如图在直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标分别为O （0,0），A （3,0），B （2,3）.（1）将点O ，A ，B 的横、纵坐标都乘以
2，得到三个点O ′，A ′，B ′，请你在坐标系中找
到这三个点。
（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB 位似吗？
为什么？
（3）如果位似，指出位似中心和相似比。
（4）如果将点O ，A ，B 的横、纵坐标都乘以-2呢？
2、做一做：
如图4--41在直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （4,2），B （8,6），
C （6,10），
D （-2,6），.将点A ，B ，C ，D 的横、纵坐标都乘2
1，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心和
相似比.如果点O ，A ，B ，C 的横、纵坐标都乘-2
1呢？ 在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数k （k ≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为姓名
___________
∣k∣.
3、例2在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（6,0），B （3,6），C（-3,3）.以原点O为位似中心，画出四边
形OABC的位似图形，
且相似比是2:3。
图
4-42
4、巩固练习：
（1）如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0,0），A（3,0），B（4,4），C（-2,3）.画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四
边形OABC的相似比是2:1.
（2）课本P118 2、 3、4
三、感悟收获
本节课学到什么知识？学到什么解题方法？
四、达标检测
新课堂P90 1、2
五、拓展延伸
新课堂P91 4
六、课后作业（预计所需时间：分钟）
同步90-91
七、课后反思。