中档题训练1
中档题练习 圆锥曲线1
12.己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A,B是该抛物线上的点， ，
线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则 的最大值为__ __.
13.如果双曲我的两个焦点分别为 ，其中一条渐近线的方程是 ，则双曲线的实轴长为2 ．
则 的最小值为（C）
A. B. C. D.1
5.已知双曲线c: ,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交
双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|= ,则双曲线C的离心率e是(D)
A. B. C. D.2
6.已知椭圆 的上焦点为 ，左、右顶点分别为 ，下顶点为 ，直线 与直线 交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为(D)
14.己知F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若｜AF2|=2且 F1AF2=450.廷长AF2交双曲线右支于点B，则ΔF1AB的面积等于___4
A． B. C． D.
7.如图，F1，F2是双曲线C： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线 与 的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝3:4:5，则双曲线的离心率为( A )
A． B． C．2D．
8.设双曲线 的左,右焦点分别为 ,过 的直线 交双曲线左支于 两点,则 的最小值为(B)
圆锥曲线易错题训练
1.由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为( C )
A．1 B. 2 C. D.3
2.已知双曲线 ,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切
的圆的半径是( B )
A.aB. b C. D.
3.直线 与圆 没有公共点,则a的取值范围是(A)
中考数学 中档题突破 专项训练一 网格作图题 类型三：平移、对称在网格中的作图
1.(2022·蚌埠模拟)如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网 格中，点 A，B，C 均是格点(网格线的交点)．
(1)在图中将△ABC 平移得到△A′B′C′，使得点 B 的对应点为点 C，作 出平移后的图形△A′B′C′； (2)用无刻度直尺在图中的线段 AB 上找一点 P，使∠ACP＝∠APC. 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(3)求出△A2B2C2 的面积．
解：(3)△A2B2C2 的面积为
1
1
1
3×4－2×1×4－2×1×3＝－2×2×3＝5.5.
(2)如图，点 P 即为所求．
2．(2022·福田区模拟)线段 AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．
(1)将线段 AB 向左平移 6 个单位长度，作出平移后的线段 A1B1； (2)再将线段 AB 绕点(2，0)顺时针旋转 180°后得到线段 A2B2； 解：(1)如图，线段 A1B1 为所求． (2)如图，线段 A2B2 为所求．
4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， △ABC 的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC 向下平移 3 个单位长度得到的△A1B1C1； (2)在网格中画出△ABC 关于直线 m 对称的△A2B2C2； 解：(1)如图，△A1B1C1 即为所求．
(2)如图，△A2B2C2 即为所求．
(3)观察线段 A1B1 和线段 A2B2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请 写出对称)．
3．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12×12 网格中，给 出了以格点(网格线的交点)为端点的线段 AB.
高一数学 01集合试题中档 试题
卜人入州八九几市潮王学校集合〔中档〕〔1页，答案2〕 集合运算：——综合，其他——中档1. 假设集合1{|,},{|,},{|,}22n P x x n n Z Q x x n Z S x x n n Z ==∈==∈==+∈，那么以下各项中正确的选项是〔①〕A ．Q P ≠⊂B ．Q S ≠⊂C ．Q P S =D ．Q P S =〔中档〕 2. ②〕〔中档〕3. A ．假设B A ⋂=φ，那么U B C A C U U =⋃)()(B ．假设B A ⋂=φ，那么A =φ或者B =φ4. C ．假设B A ⋃=U ，那么=⋂)()(B C A C U U φD ．假设B A ⋃=φ，那么==B A φ涉二次方程：——中 1.集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，那么a 的取值范围； 2. 假设至少有一个元素，那么a 的取值范围③〔中〕3.4. 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,假设AB B =，务实数a 的取值范围〔答案：④〕〔中〕5. 假设A={3,5},2{|0}B x x mx n =++=,AB A =,{5}A B =,求m 、n 的值。
〔8分〕〔答案：⑤〕〔中〕 6. 设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x xC .7. ①B A ⋂=B A ⋃，求a 的值；8. ②φB A ⋂，且C A ⋂=φ，求a 的值；9. ③B A ⋂=C A ⋂≠φ，求a 的值；〔答案：⑥〕〔中〕①答案：C ；1{|,},{|,},{|,}22n P x x n n Z Q x x n Z S x x n n Z ==∈==∈==+∈ 由{|,},2n Q x x n Z ==∈可知：,2n x n Z =∈，当2,n m m Z =∈时，那么,x m m Z =∈， 当21,n m m Z =+∈时，那么1,2x m m Z =+∈，P S Q ∴=。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
2015届高三理科数学二轮复习中档题压轴题训练10份
高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。
高考数学中档题强化训练(1)——(3
高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2) 求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q }是等差数列？若存在，试求出p 、q应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE. （Ⅰ）求此正三棱锥的体积； （Ⅱ）求二面角E-FD-B 的正弦值. 解：（Ⅰ）作AO ⊥平面BCD 于O,由正三棱锥的性质可知O 为底面中心，连CO,则CO ⊥BD,由三垂线定理 知AC ⊥BD ，又AC ⊥ED,∴AC ⊥平面ABD,∴AC ⊥AD, AB ⊥AC,AB ⊥AD.在Rt △ACD 中，由AC 2+AD 2=2AC 2=a 2 可得：AC=AD=AB=22a .∴V=V B-ACD =13·12·AC ·AD ·AB=224a 3.（Ⅱ）过E 作EG ⊥平面BCD 于G ，过G 作GH ⊥FD 于H ，连EH ，由三垂线定理知EH ⊥FD,即∠EHG 为二面角E-FD-B 的平面角. ∵EG ＝12 AO 而AO ＝V B-ACD 13·S △BCD =66a ,∴EG=612a .又∵ED ＝AE 2+AD 2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF ∥AC ，∴EF ⊥DE.∴在Rt △FED 中，EH ＝EF ·ED DF =1512a ∴在Rt △EGH 中，sin ∠EHG ＝EG EH =105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x 、y ∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy );②当x ∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12).A BCDE FOG H解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. 又令x ∈（－1,1），则-x ∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x 2)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数. （Ⅱ）令－1<x 1<x 2<1,则x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0,于是f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在定义域上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i.解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i.解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ.21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ 2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。
上海初二上学期数学中档题
上海初二上学期数学中档题训练1姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t （分钟）之间的函数关系如图4所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）小强去学校时下坡路长 千米； （2）小强下坡的速度为 千米／分钟； （3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟．2、在直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 21-=图像上的点A 、B 的坐标分别为（4，m ）、 （n ，2），反比例函数xky =的图像过点A ．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 求反比例函数的解析式．3．要对一块长为60米，宽为40米的长方形场地进行绿化和硬化，设计方案如图5所示，长方形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽相等，并且两块绿地面积的和为长方形ABCD 面积的14，求P 、Q 为两块绿地周围的硬化路面的宽．1 分钟（图4）BC D（图5）4．如图6，已知四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OA ＝OD ，∠1＝∠2＝∠3，∠BAC ＝90°，DH ⊥BC 于H ，DH 交AC 于E .（1）求证：AB=DC ；（2）求证：DE ＝12OC .（图6）BCH中档题训练2 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．已知正比例函数x y 5=与反比例函数xky =交于A 、B 两点，其中A 的横坐标为1． 求A 、B 的坐标与反比例函数的解析式．2．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸。
3．已知在同一坐标系中，正比例函数kx y =（其中0≠k ），反比例函数xt y =（其中0≠t ）的图像没有交点，试判断关于x 的方程02=+-kt ax x 的根的情况并说明理由．4．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B．中档题训练3 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，回答以下四问题：（1）张强跑步去体育场所行的路程y(千米)关于时间x(分)的函数解析式为；（2）体育场离早餐店千米；（3）张强从早餐店回家的平均速度是千米/小时.2．如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．3．上海一家特产专营店销售临安小核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专营店销售小核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克小核桃应降价多少元？4．如图，已知ABC ∆中，090∠=ABC ,=AB BC ,AE 是∠BAC 的角平分线交BC 于点E ，过点C 作⊥CD AE 与AE 的延长线交于D 点，分别延长CD 与AB 交于F 点．求证：12=CD AE（第4题图）AB E CD F中档题训练4 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．已知：线段b a 、（如图3）．求作：ABC ∆，使得b AC AB ==，a BC =． （不必写作法，保留痕迹和写出结论）2．如图4，正比例函数)0(≠=k kx y 与反比例函数xy 2-=的图像交于点),1(m A -和点 B ．求点B 的坐标．3．如图5，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，10=AB ，DE 垂直平分AB ，分别交BC AB 、于点E D 、．求CE 的长．D AB C E 图54．如图6，BC AD //，︒=∠90A ，BC AB =，点E 是AB 的中点，CE BD =． （1）求证：CE BD ⊥；（2）联结CD 、DE ，试判断DCE ∆的形状，并证明你的结论．CA BDE F图6中档题训练5 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点M 为边AB 的中点，点D 在边BC 的延长线上，且12CD AB ，联结DM . 求证：∠B =2∠D ．2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙（DM 长为15米，DN 长为20米），用28m 长的篱笆围成了一个面积为192m 2的长方形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．求篱笆BC 长．3、已知∠ABC =30°，点D 在射线BC 上，且到A 点的距离等于线段a 的长. （1） 用圆规和直尺在图中作出点D ；（不写作法，但须保留作图痕迹，且说明结果） （2） 如果AB =8，a =5.求△ABD 的面积．BA BCaA（第22题图）N4、已知四边形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中边AD 和边BC 都与x 轴平行， 边AB 和边CD 都与y 轴平行，且D （2,3），点C 的纵坐标是-1，反比例函数(0)ky k x=≠ 的图像过点C ，与边AB 交于点E ．（1）求直线OD 的表达式和此反比例函数的解析式； （2）如果点B 到y 轴的距离是4，求点E 的坐标．xA BCDOE （第4题图）BAC(第22题图)中档题训练6 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、已知：MON ∠、点A 及线段a （如图）．求作：点P ，使点P 到OM 和ON 的距离相等，且PA ＝a ．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)2、如图，已知在△ABC 中，∠B =60︒，AB =2 BC . 求证：△ABC 为直角三角形.3、2012年以来，我国屡次实施药品降价，已知某种药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率相同，结合表中的信息求这个百分率及表中m 的值．a∙AMO （第21题图）4、已知：如图,在平面直角坐标系中,正比例函数12y x =的图像与反比例函数k y x =的图像交于点()2,A m ,过点A 作x 的垂线交x 轴于点B . （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点C 在12y x =的图像上,且△CAB 的面积为△OAB 面积的2倍，求点C 的坐标．（第4题图）中档题训练7 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、甲、乙两车分别从A 地将一批物资运往B 地，两车离A 地的距离s （千米）与其相关的时间t （小时）变化的图像如图4所示．读图后填空： （1）A 地与B 地之间的距离是 千米； （2）甲车由A 地前往B 地时所对应的s 与t 的函数解析式是 ；（3）甲车出发 小时后被乙车追上； （4）甲车由A 地前往B 地比乙车由A 地前往B 地多用了 小时．2、如图5，已知AE 平分∠BAC ，ED 垂直平分BC ，EF ⊥AC ，EG ⊥AB ， 垂足分别是点F 、G ．求证：（1）CF BG =；（2）AB AF CF =+.A图5sB3、如图6，已知四边形ABCD 中，=AB 24，=AD 15，BC =20，CD =7，︒=∠+∠90CBD ADB ．（1）在BD 的同侧作△BD A '，使△BD A '≌△ADB （点A 与点'A 不重合）（不写作法和结论，保留作图痕迹)； （2）求四边形ABCD 的面积．中档题训练8 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离S （千米）与骑车的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）小强去学校时下坡路长 千米； （2）小强下坡的速度为 千米/分钟； （3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度 不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这 段路的时间是 分钟．2、．如图，已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．3．已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线xy 8=在第一象限交于A 点，且点A 的横坐标为4，点B 在双曲线上，点B 的纵坐标为8． （1）求直线的函数解析式；（2）判断ABO ∆的形状并说明理由．AD CFEt 分钟4．某校计划修建一个长方形花坛，要求花坛的长与宽的比为2:1．如图所示花坛中间为花卉种植区域，花卉种植区域左侧留有3米宽的空地，其它三侧各保留1米宽的通道．如果要求花卉种植区域的面积是50平方米，那么整个花坛的长与宽应为多少？花坛中档题训练9 姓名：___________ ——把握现在，不要空想未来！1．已知如图，在△ABC 中，︒=∠60B ，4=BC ．（1）用尺规在直线AB 上求作一点P ，使点P 到点B 、C 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出点P 到点B 的距离．2．某县在实施“村村通”工程中，决定在B A 、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从B A 、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度)(米y 与修筑时间)(天x 之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，回答问题： （1）写出乙工程队修道路的长度y 与修筑时间x 之间的函数关系式：_________________；（2）甲工程队前4天平均每天修路______米，后12天平均每天修路_______米； （3）该公路的总长度为________米．3．已知关于x 的一元二次方程032)1(2=+++-m mx x m .（1）此方程有实数根时，求m 的取值范围；（2）此方程有一个根为0时，求m 的值．ABC（第21题图）4．如图，在∆ACB 中，点D 是AB 边上一点，且∠ACB =∠CDA ；点E 在BC 边上，且点E 到AB AC 、的距离相等；联结AE 交CD 于点F ． 试判断∆CEF 的形状；并证明你的结论．CAD BEF。
一元二次方程综合训练题(中档题集训卷)
一元二次方程综合训练题（中档题集训卷）1.如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）A. x 2+3x+4=0 B.x 2+4x -3=0 C.x 2-4x+3=0 D. x 2+3x -4=02．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. 6-B. 1C. 2D. 6-或13．对于任意实数x,多项式x 2－5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定4．若方程8x 2+2kx+k-1=0的两个实数根是x 1, x 2且满足x 21+x 22=1,则k 的值为( ).A.-2或6B.-2C.6D.45．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14 且a ≠0D ．a ＞–14且a ≠0 6．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定7．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24 B ．24或58 C ．48 D ．58 9．已知实数a 满足 ， 则a -20052的值___________.10．已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。
11．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值为 。
12．先化简，再求值：，其中a 是方程的解．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m －1＝0。
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2017届高三文科数学中档题训练（1）
1．已知∆ABC 的三边为a,b,c ．其面积S= 22()a b c --,且b+c=8．
（1）求cosA
（2）求S 的最大值
2．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S 满足22n n S a =-． （Ⅰ）数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{(21)}n n a - 的前n 项和n T ．
3．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD ＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD．
中档题训练（1）参考答案
1．（12试题解析：（1）
因为
，所以
．所以 ，所以 ，所以
，所以 ．所以
．
（2） 因为
，所以 ．当且仅当 时取最大
2．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）16(23)2n n T n +=+-.
试题解析：（Ⅰ）22n n S a =-,1122n n S a --=-, 11222n n n n n a a a a a --⇒=-⇒⇒， 易得：12a =， 则2n n a =
（Ⅱ）231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+- ，①
23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+- .②
①-②得，2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- .
，16(23)2n n T n +=+-. 3．【解析】（1）取PD 的中点F ，连结AF ，FE ，又∵E 是PC 的中点，
∴在△PDC 中，EF ∥DC ，且EF AB ∥DC ，且AB EFAB ， ∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF ，又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD ．
（2）由（1）FE ∥DC ，BE ∥AF ，又∵DC ⊥AD ，DC ⊥PA ，∴DC ⊥平面PAD ，∴DC ⊥AF ，DC ⊥PD ，∴EF ⊥AF ，在Rt △PAD 中，∵AD ＝AP ，F 为PD 的中点，∴AF ⊥PD ，
又AF ⊥EF 且PD ∩EF ＝F ，∴AF ⊥平面PDC ，又BE ∥AF ，∴BE ⊥平面PDC ．。