复习5-1
高三数学一轮复习知识点讲解5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180rad ．知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝yx .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π2＋k π（k ∈Z ）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr180l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2360S ＝|α|2r 2 ＝ 12lr 注意事项r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝2 5＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．2.已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为： A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ab． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；(3)cos6·tan6． 【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0．(2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0． ∴sin 7π8·tan 7π8<0．(3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23－a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α．(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】B 【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【总结提升】1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2． 【解析】设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1<r <10．于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2＋25(10π＋1<r <10)．当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．11金榜题名前程似锦。
2013高考历史总复习 5-1 物质生活与习俗的变迁课件 新人教版必修2
(3)民主平等思想的不断传播和资产阶级革命的发展，都冲击了 旧的生活方式，促进了社会生活的演变；
(4)一些先进的中国人也通过近代以来的战争和交往，积极主动 地吸收国外的一些生产生活方式。
2．特点： (1)社会生活的变迁与中国近代向西方学习的发展密切相关； (2)社会生活的变迁随着中国民主进程的发展而不断加深； (3)社会生活的变迁，在城乡之间、地域之间存在着严重的不平 衡； (4)社会生活虽然变化但保持着自己本民族的特色。
【解析】 近代服饰五花八门，各有所好，西装和中山装只是 新派人士所喜，谈不上最流行，故排除 D 项；近代中国着装多样， 主要是受鸦片战争后西方社会风潮传入所影响，非辛亥革命导致， 故排除 B 项；题干中“1912 年”，表明所描述现象与辛亥革命有关较 为准确，五花八门的服饰背后浓缩的是近代中国社会的变迁，故排 除 A 项，答案选 C。
中山设计的中山装，受到新派人士的欢迎。③20
演变
服饰
世纪二三十年代，中国的服装更是五花八门，有
西服、粗布大褂、旗袍、学生装等，仿照欧洲风
格的裙子也流行于大城市中。
特征 从政治性、保守性到开放性。
①20 世纪 50～70 年代，由于物质比较匮乏，食物比较简 饮
单。②到 1987 年，基本解决了温饱问题，政府还倡导“菜 食
► 思维启迪 2：改革开放以来，我国人民生活发生重大变化的 原因有哪些？
答案：①实行改革开放的基本国策。十一届三中全会以来，通 过对内搞活，对外开放，使我国的社会主义建设事业蓬勃发展，这 为人民生活发生变化提供了坚实的物质基础。②“菜篮子工程”、“安 居工程”、双休日等政策的实行，使人民生活水平提高有了具体的政 策导向。
答案：D
2．(山东临沂市 2012 届高三 11 月质检，12)中国近代史上促进 妇女社会地位不断提高的主要因素不包括( )
【走向高考】高考化学一轮复习_5-1_原子结构与化学键课件_新人教版
解析：对各选项分析如下：
答案：B
2.下列关于原子的几种描述中，不正确的是( ) A．18O 与 19F 具有相同的中子数 B．16O 与 17O 具有相同的电子数 C．15N 与 14N 具有相同的质子数 D．12C 与 13C 具有相同的质量数
答案：D
3.15331I 是常规核裂变产物之一，可以通过测定大气或水中15331I 的 含量变化来监测核电站是否发生放射性物质泄漏。下列有关15331I 的 叙述中错误的是( )
答案：B
7．近年来，研制的 NF3 气体可用作氟化氢-氟化氚高能化学激 光器的氟源，也可作为火箭推进剂，NF3 可用 NH3 与氟气制取，化 学方程式为 4NH3＋3F2===NF3＋3NH4F，下列说法中不正确的是 ()
B．NF3 的氧化性大于 F2 的 C．NF3 分子空间构型为三角锥形 D．NH4F 中既有离子键又有极性共价键
综合考查重要的化学反应，微粒中质子数、中子数、电子数 等的计算，离子半径的比较等。在综合推断题中考查核外电 子排布、化学键等。
自主复习
一、原子结构 1．原子的构成
2．原子中各粒子之间的数量关系
(1)18O 中的质子数为 8 ，中子数为 10 。 (2)15331I 中的中子数与质子数之差为 25 。 (3)D3O＋中的质子数为 11 ，电子数为 10 ，中子数为 11 。 (4)CO32－中的质子数为 30 ，电子数为 32 。
(1)X、Z 两种元素的元素符号：X________、Z________。 (2)由以上元素中两两形成的化合物中，溶于水显碱性的气态氢 化物的电子式为________，它的共价键属于________(填“极性” 或“非极性”)键；含有离子键和非极性共价键的化合物的电子式 为________；含有极性共价键和非极性共价键的化合物的电子式为 ________。
5-1第一节 数列的概念与简单表示法(2015年高考总复习)
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新课标A版数学
听课记录
(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，„， 2n－1 所以 an＝ n . 2 (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，„；而各项绝对值的分子组成 的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为
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5．an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1， n≥2.
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新课为 N*的特殊的函数，所以函数的单调性、周期 性在数列中是应用的重点，对于数列的单调性、周期性的判断可 类比函数的单调性与周期性的判断方法．
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题型二
由 an 与 Sn 的关系求通项公式
2 【例 2】 (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； n＋1 (2)令 bn＝ 2 2，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任 n＋2 an 5 意的 n∈N ，都有 Tn< . 64
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版
专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练基础1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（）A ．12B ．12-C．5D．5-【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos 5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）A ．1010B ．1010-C ．31010-D ．【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cos α∴==．故选：C ．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90 小于180 的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于0 小于90 的角，小于90 的角也可能是负角.故②错误；对于③：359- 显然是第一象限角.故③错误；对于④：135 是第二象限角，361 是第一象限角，但是135361< .故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈ ，所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ，是第四象限角.故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A ．55厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r =，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin 3α==，故y =故答案为：.10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.练提升1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得13(,)22P '-.故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（）A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60 的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（）A ．2B ．4C ．2πD ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4.故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A ．2236B ．2236+C ．2616D ．2616+【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角，∴5336πππα<+<，∴sin(03πα+>22sin()sin sin()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎣⎦221132332326⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan(4πα+=（）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A．6-B．6C．6+D．6-【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则63x =±，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角，根据题意角β终边交单位圆于3,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2113x +=，则63x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以332sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若63x =-，则36sin ,cos 33ββ==-所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示. QRT是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =. QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==. QRT与 QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .36π+【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为3sin 2QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(3)(231)3dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.36π.练真题1．（全国高考真题）已知角的终边经过点(−4,3)，则cos =（）A．45B．35C．−35D．−45【答案】D 【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cos ==−45.故选D.2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点1 ， ，2 ， ，且cos2=23，则−=A．15D．1【答案】B【解析】由s s 三点共线，从而得到=2，因为cos2=2cos 21=2⋅2−1=23，解得2=15，即=5所以−=−2=B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
2024版新高考版高考总复习数学 5-1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD 2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )A.11−3√32B.11−4√32C.9−3√32D.9−4√32答案 B 连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,∴s=2+(2−√3)22=11−4√32,故选B.2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB 的面积与弓形的面积之和. 作PD ⊥AB 于D 点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O 为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S △PAB =12·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S 弓形=S 扇形OAB -S △OAB =12·2β·22-12·4sin β·2cos β=4β-4sin β· cos β.故阴影部分的面积为S △PAB +S 弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(−4)+3=-45.故选D.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角,∴cos α=√1−sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1−sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 9.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25B.-15C.15D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= . 答案13 解析 本题考查三角函数的诱导公式.由角α与角β的终边关于y 轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√16+y ,又sin θ=-2√55,∴√16+y =-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√16+y 2=-2√55是本题求解的关键.12.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.13.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)−π4]=12−11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
2013高考历史总复习 5-1 马克思主义的诞生课件 新人教版必修1
【解析】 本题主要考查对巴黎公社革命措施和失败原因的认 识。巴黎公社在经济上没收逃亡资本家的工厂，交给工人合作社管 理，但并未宣布彻底废除财产私有，C不正确。巴黎公社是一次孤 军奋战的城市武装起义，它没有同外省的革命者取得联系，也未能 发动广大农民，这是其失败的原因之一，由此排除A、B。从发布文 告的内容来看，是希望得到农民的支持，故D正确。 【答案】 D
内容
揭示了资本主义的内在矛盾。昭示了未来共产主义社会的原 则。(岳麓版)批判了种种社会主义流派，制定了党的策 略原则，提出了把资产阶级民主革命向无产阶级社会主 义革命转变的思想。(人民版) 意义 《共产党宣言》的问世，标志着马克思主义的诞生。它第一 次揭示了人类社会发展的客观规律，使社会主义学说从 空想走向科学。从此，无产阶级的斗争有了科学理论的 指导，社会主义运动更加蓬勃地发展起来。
2．(山西省2012届高三9月诊断测试，12)下面分别是中国人民 邮政发行的《纪念巴黎公社九十周年》和《纪念巴黎公社100周 年》两枚邮票。由此可以得出的正确信息是( )
A．反映出巴黎公社突发性城市起义的特点 B．表明巴黎公社有成熟理论支撑和经验指导 C．巴黎公社在无产阶级革命史上有重要意义 D．反映出巴黎公社具有广泛的群众基础 答案：C
意义 是无产阶级建立政权的第一次伟大尝试，它的实践丰 富了马克思主义的学说，为国际社会主义运动提供了 宝贵的经验和教训。
①客观上，不论是生产力水平还是无产阶级的政治威信，都 还没有达到完成社会主义革命的程度。(人民版)②主观上， 失败 没有乘胜进军凡尔赛，给了反动派以喘息之机；没有接管法 原因 兰西银行，也没有同外省的革命者取得联系，更未能发动广 大农民。③公社缺乏统一的革命政党的领导，没有马克思主 义理论的指导，更没有前人的经验可供借鉴。(人民版) 经验 坚持暴力斗争；废除旧的国家机器，建立无产阶级专政。 教训 必须有先进的无产阶级政党的领导；必须联合同盟军，特别 是农民共同斗争。
专题5-1 均值不等式及其应用归类(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)
专题5-1均值不等式及其应用归类目录讲高考................................................................................................................................................................................1题型全归纳......................................................................................................................................................................4【题型一】公式应用及限制条件.............................................................................................................................4【题型二】构造“公式型”......................................................................................................................................6【题型三】“1”的代换.............................................................................................................................................7【题型四】“积”与“和”混合型........................................................................................................................8【题型五】构造分母代换型......................................................................................................................................9【题型七】分离常数消去型...................................................................................................................................11【题型八】消去型......................................................................................................................................................12【题型九】多次均值.................................................................................................................................................14【题型十】多元均值.................................................................................................................................................15【题型十一】权方和不等式...................................................................................................................................17【题型十二】万能“k”法......................................................................................................................................19【题型十三】整体换元.............................................................................................................................................20【题型十四】均值应用：恒成立..........................................................................................................................21专项训练. (22)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -=，由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·统考高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．4．（陕西·高考真题）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由()11a xa yx y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当xa yy x=即=y时等号成立，19a∴+≥，2≥4(≤-舍去)，即4a≥所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．（·天津·高考真题）已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R∈，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是A．47[,2]16-B．4739[,1616-C．[-D．39[]16-【答案】A【详解】不等式()2xf x a≥+为()()2xf x a f x-≤+≤(*)，当1x≤时，(*)式即为22332xx x a x x-+-≤+≤-+，2233322xx a x x-+-≤≤-+，又22147473()241616xx x-+-=---≤-（14x=时取等号），223339393()241616x x x-+=-+≥（34x=时取等号），所以47391616a-≤≤，当1x>时，(*)式为222xx a xxx--≤+≤+，32222xx ax x--≤≤+，又3232()22x xx x--=-+≤-3x=时取等号），222xx+≥=（当2x=时取等号），所以2a-≤≤，综上216a-≤≤．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2xf x a≥+转化为()()22x xf x a f x--≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.题型全归纳综述1．基本不等式：ab ≤a ＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b.(3)基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a ，b ∈R)；(2)重要不等式链：a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（）A ．44x x +≥B ．1ln 2ln x x +≥C 2a b+≤D ．222x x -+≥【答案】D.【详解】对于A ，取2x =-，则444x x +=-<，故A 错.对于B ，取1x e -=，则1ln 22ln x x+=-<，故B 错..对于C ，取1a b ==-112a b+=>-=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x -+≥=，当且仅当0x =时等号成立，故选：D.例题2.）若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a b a b +>>>B ．2a ba b +>>>C ．2a b a b +>>>D ．2a ba b +>>>【答案】C【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b >，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>.故选：C.1.下列不等式的证明过程正确的是（）A ．若,a b ∈R ，则2b a a b +≥=B ．若0x >，则1cos 2cos x x +≥C ．若0x <则44x x +≤D ．若,a b ∈R ，且0ab <，则2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.【详解】对于A 选项，当0ab <时，0b aa b +<，所以A 选项错误.对于B 选项，如x π=时，1cos 20cos x x+=-<，所以B 选项错误.对于C 选项，由于0x <，则0x ->444x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，所以C 选项错误.对于D 选项，根据基本不等式成立的条件可知D 选项正确.故选：D2.给出下列条件：①0ab >；②0ab <；③0a >，0b >；④0a <，0b <.其中能使2ab b a +≥成立的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据基本不等式可知，当2ab ba+≥成立时，则0ab>，可知a 、b 同号，据此可得出结论.【详解】由基本不等式可知，要使得2ab b a+≥成立，则0ab>，所以，a 、b 同号，所以①③④均可以.故选：C.3.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C2a b +D ＜2a b +【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +B【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x >1，则121x x +-的最小值为（）A ．2B ．-C ．2-D ．【答案】A【解析】由1x >，可得10x ->，化简可得1122(1)211x x x x +=-++--，利用基本不等式即可得解.【详解】由1x >，可得10x ->，1122(1)222211x x x x +=-+≥=--，当且仅当12(1)1x x -=-，即x =取等号，11x x +-的最小值为2，故选：A.例题2.）若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为A ．（－1，4]B ．（0，4）C ．（0，4]D ．（1，4]【答案】C【分析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--对任意2x >恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得a 的取值集合.【详解】由题意可得4(2)1842x a x a -+--对任意2x >恒成立，由0,2a x >>，可得4(2)122xa x -+-当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =84a -04a <.故选：C.【练题型】1.设0x y >>，则41x x y x y+++-的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．2【答案】A【分析】原式可变形为()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦，然后根据基本不等式即可求解【详解】0x y >> ，0x y ∴->，()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤∴++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦≥=+=()()1411,22x y x y x y x y+=-=+-，即,22x y ==时取等号故选：A 2.已知1ab >>且b =，则211a b +-的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据题意，只需求11a a +-的最小值，再根据基本不等式求解即可.【详解】∵1a b>>且b =211a b +-11a a =+-1111a a =-++-1≥3=.当且仅当111a a -=-即2a =时取等号，此时211a b +-取得最小值小3.故选:A.【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y +的最小值是（）A ．2B ．8C ．4D ．6【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.【详解】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4．故选：C ．例题2.已知正实数x 、y 满足22x y +=，则12x y+的取值可能为（）A ．72B ．113C ．165D ．214【答案】D【分析】利用基本不等式求得12x y+的最小值判断.【详解】解：因为正实数x 、y 满足22x y +=，所以()121122252122+⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭y x x y x y y y x x，95212⎛⎫+= ⎪⎝≥，当且仅当22y x x y =，即23x y ==时，等号成立，故选：D【练题型】1.若0x >，0y >，且131x y +=，则3x y +的最小值为（）A．6B．12C．14D．16【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，所以()139336612y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当36y x ==时等号成立，所以，3x y +12.故选：B2.已知0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【分析】根据基本不等式可取x y +的最小值，从而可求实数m 的取值范围.【详解】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min (x ，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知0a >，0b >，且满足2a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．3+D ．32【答案】C【分析】由题意得121a b+=，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.【详解】因为2a b ab +=，所以121a b +=，所以()122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时，即1a =，2b =+所以a b +的最小值为3+.故选：C例题2.若正实数,x y 满足412x y xy ++=，则xy 的最小值为（）A ．4B ．6C ．18D ．36【答案】D【分析】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+，由基本不等式可得4x y +≥=即12xy -≥.【详解】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+，因为0x >，0y >，所以4x y +≥=4x y =时等号成立，所以12xy -≥即2120-≥，所以)620≥，6≥，所以36xy ≥，当且仅当412x y xy ++=⎧⎨=即3x =⎧⎨=时等号成立，xy 的最小值为36.故选：D.1.若,0a b >，且1131a b ab=++，则a b +的取值范围（）A ．3a b +≥B ．06a b <+≤C ．03a b <+≤D ．6a b +≥【答案】D【分析】化简整理式子可得3a b ab ++=，再利用基本不等式即可求解.【详解】由,0a b >，且1131a b ab =++，则31a b ab ++=，即3a b ab ++=，由基本不等式可得232a b a b ab +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，整理得()()24120a b a b +-+-≥，即()()620a b a b+-++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为,0a b >，所以20a b ++>，所以60a b +-≥，解得6a b +≥.故选：D2.已知a ，b 是正实数，32a b ab +=，则2a b+的最小值是（）A ．B ．7+C ．5+D ．7+【答案】D【分析】先化简条件等式，再结合基本不等式求最值中“1”的妙用的技巧转化需要求解的代数式，最后运用基本不等式得出结果即可.【详解】等式32a b ab +=的两边同除以ab 可得：321b a+=()326222747a ba b a b b a ba ⎛⎫∴+=+=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当62ab b a=，即b =时，取等号，此时23a b ==+选项D 正确，选项ABC 错误.故选：D.【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数x ，y 满足1x y +=，且不等式241312m m x y +<++有解，则实数m 的取值范围是（）A ．3m <-或32m >B ．332m -<<C ．3m ≤-或32m ≥D ．332m -≤≤【答案】A【分析】由题意可得2min34121m m x y ⎛⎫+>+⎪+⎝⎭，将()411411121x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭展开利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.【详解】若不等式241312m m x y +<++有解，则2min 34121m m x y ⎛⎫+>+ ⎪+⎝⎭()411411411512121y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()1195522222⎛≥+=+⨯= ⎝，当且仅当4111y x x y x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩即1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，411x y ++最小值为92，所以23922m m +>，即22390m m +->，所以()()2330m m -+>，解得：3m <-或32m >，故选：A.例题2.若正数a ，b 满足7a b +=，则1911a b +++的最小值是（）A ．1B ．169C ．6D ．25【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】解：由题意，正数a ，b 满足7a b +=，1119a b +++∴=，191911119911619(101111991199a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅=+++≥⨯= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当54a =，234b =时取等号，故选：B.【练题型】1.若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为（）A ．2B ．98C ．94D ．32【答案】B【分析】根据47x y +=，可将111x y++化为111[(1)4]()81x y x y ++++，结合结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：若0x >，0y >，且47x y +=，则(1)48x y ++=，所以1111114119[(1)4]()(5)5]1818188y x x y x y x y x y ++=+++=++⨯=+++，当且仅当47411x y y x x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即5343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：B ．2.已知实数x ，y 满足20x y >>，且2x y +=，则4142x y x y++-的最小值为（）A ．15-B ．52C ．1D ．94【答案】D【分析】利用2x y +=变形为424x y x y ++-=，将4142x y x y++-变形后利用均值不等式求解.【详解】因为2x y +=,所以424x y x y ++-=，()4114114(2)(4)(412442424442y x y x y x y x y x x y x x y x y x y y ⎛⎫-++=+=+++ ⎪+-++---⎭++⎝(4(2)(4)1195544442x y x y x y x y ⎛⎫=≥-++++⎪⎝-+= ⎭，当且仅当4(2)(4)42x y x y x y x y -+=+-，即162,99x y ==时，等号成立.故选：D 【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知102x <<，则112x x-的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】1121211212x x x x x ++=+---，根据()1212121211212x x x x x x ⎛⎫+-=++--⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：()1221121121121212x x x x x x x x--+++=+=+----，因为2121x x +-=，又102x <<，所以120x ->，则()1212124121213327121212x x x x x x x x x x -⎛⎫+-=++--=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当12412x x x x -=-，即14x =时，取等号，即11212x x x++-的最小值是7.故选：C 例题2.已知0a >，0b >，21a b +=，则21b a ab ++的最小值为（）A．4B．4+C．6D．6+【答案】D【分析】将所求的代数式整理为2111112521222b a b a a b ab a b ab a b ab a b ++-+=++=++=+-，再利用1的代换即可求解.【详解】因为21a b +=，所以12ab -=，所以21111122b a b a a b ab a b ab a b ab ++-+=++=++11225212222a b a a b =-++=+-()521522622b a a b a b a b ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭66≥++，当且仅当5221b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，21b a ab ++的取得最小值为6+ D.【练题型】1.已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b+的最小值为（）A ．32B1+C ．52D ．3【答案】D【分析】由题知11221b a b a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为,a b 为正实数且2a b +=，所以2b a =-，所以，2221212211b a b a b a b a a b ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；所以2222213b a b a b a a b++=+--=≥，当且仅当1a b ==时等号成立；故选：D 2.已知a b <，则1b a b a b a-++--的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．1【答案】A【分析】因为a b <，所以0b a ->，将1b a b a b a-++--分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为a b <，所以0b a ->，由均值不等式可得111+()13b a b a b a b a b a -++-=+-≥+=--，当且仅当1()b a b a =--()b a >，即当1b a -=时，等号成立，因此，1a b a b a-++--的最小值为3，故选：A【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y+=上运动，则22121x y ++最小值是__________．【答案】95详解：点P （x ，y ）在椭圆x 2+2y 2=3上运动，∴x 2+2y 2=3即x 2=3-2y 2则即最小值为95，故答案为95例题2.已知0,0x y >>，且2320x xy +-=，则2x y +的最小值是（）A.2103B.3C.3D.3【答案】A 【详解】由题意，可知0,0x y >>，且2320x xy +-=，则223xy x-=，则22215212122(5)33333x x x y x x x x x -++=+=⋅=⋅+≥⋅=，当且仅当25x x =，即105x =等号成立，即2x y + A.【练题型】1.已知1m ＞，0n ＞，且223m n m +=，则214mm n+-的最小值为（）A ．94B ．92C ．32D ．2【答案】A【分析】由已知得2230n m m =->，所以()22114123m m n m m +=+---，记1,3a m b m =-=-，可得291444m b a m n a b+=++-，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n ＞，1m ＞，所以2230n m m =->，得13m <<，所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----，记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=，所以12a b+=，且0,0a b >>，所以()221219141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b+++=+=++=++---9944≥+=，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立，此时73m =，4977929n -==.故选：A.2.已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（）A ．49B C ．1327D 【答案】A【分析】利用72+1ba b -=，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.【详解】因为ab +a +2b =7，所以72+1b a b -=，72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+，所以141442999999b a b b ++=+≥+++，当且仅当51,2b a ==时等号成立，故选：A3.已知正数x ，y 满足2210x xy +-=，则2234x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】经转化可得122x y x =-，22221342242x x x y =+-≥-=+，条件均满足，即可得解.【详解】根据题意可得221xy x =-，由0x >，所以211222x x y x x -==-，由1022xy x =->，可得21x <，即01x <<，222222134134()222242x x x x x y x =+=+-≥--=+，【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知0,0a b >>2b++的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．6【答案】B【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因0,0a b >>，则122a b +=≥=当且仅当122a b ==a b ==时取“=”，所以当a b ==122a b+取最小值故选：B例题2.已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（）A ．14a b ≤+≤B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>【答案】A【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A 选项正确.【详解】当2a b ==时，115a b a b +++=，4a b +=，所以CD 选项错误.当12a b ==时，115a b a b +++=，1a b +=，所以B 选项错误.211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭，即45a b a b ++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立.则()()2540a b a b +-++≤，()()140a b a b +-+-≤，解得14a b ≤+≤.故选：A【练题型】1.设0a b >>，则()21a b a b +-的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为0a b >>，所以0a b ->，所以()()22=24b a b a b a b +-⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦（当且仅当b a b =-时取等号），所以()214b a b a ≥-，所以()22214a a b a b a +≥+≥-，（当且仅当224a a=，即a 时取等号）.故答案为：D2.若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．2【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=，当且仅当222a c b b +=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（）A ．0B ．98C ．2D ．94【答案】C 【分析】化简zxy 43x y y x=+-，然后由基本不等式得最值，及2x y =，这样2x y z +-可化为y 的二次函数，易得最大值．【详解】22344331,z x xy y x y xy xy y x -+==+-≥=当且仅当2x y =时成立，因此22224642,z y y y y =-+=所以222422(1)2 2.x y z y y y +-=-=--+≤1y =时等号成立．故选：C ．例题2.已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则1y z x y z+++的最小值是（）A B C ．13D ．3【答案】D【分析】由题意得出1x y z ++=，原式可化为1111111y z x x xx y z x x x x+--+=+=+++--，利用基本不等式求出最小值．【详解】解：因为三角形的面积为1S x y z =++=，且0x >，0y >，0z >，所以111111113111y z x x x x x xx y z x x x x x x +---+-+=+=+=+++=+---≥，当且仅当11x x x x -=-，即12x =时取等号，即最小值为3．故选：D ．【练题型】1.若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC 可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c+，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项C 错误.由题意，∵a ，b ，c 均为正实数，∴1111112226a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥++=．当且仅当a b c ==时，取“=”号，若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立，∴1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确；故选：D ．2.设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <，另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=，又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤．令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤，当13c =时，可得2min 111113(2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<，当且仅当13a b c ===时取等号．故选：B ．【题型十一】权方和不等式【讲题型】例题1.若正数x y 、满足40x y xy +-=，则4x y+的最大值为（）A ．2/5B ．4/9C ．1/2D ．4/7解：∵正数x y 、满足40x y xy +-=，∴04xy x =>-，解得4x >，∴44444449145444x x y x x x x x x ===≤=++++-++---，当且仅当444x x -=-时，等号成立，∴4x y +的最大值为49．故选：B ．权方和：2221412(1+2)944401++y y x+x+9x+x y xy x x y y y +-=⇒==≥=⇒≥例题2.已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为．【答案】8试题分析：因为13310x y x y +++=，所以13310()x y x y+=-+，所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝⎭，令3t x y =+，则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭，而2y xx y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8．权方和：21313191631010(3)y 3y +310(3)(3)1624811=10(4)10-2=8yx y x y x y x x x yx y x y x y x y x +++=⇒-+=+=+≥⇒+-+≥⇒≤+≤⇒+-+≤1.已知实数s ∈(0,+∞)且+=1，则43r +1r3的最小值为__________．【答案】94【详解】令3+=，+3=，∴+=4，∴43r +1r3=4+1=14(4+1)(+p =14(5+4+)≥94，当且仅当=2s +=4，即=83=43，即=56,=16时等号成立.43r+1r3的最小值为94，故答案为9.权方和：41993m+n +34(+)4m n mn +≥=2.已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为（）A ．32+B ．3242+C ．3+D ．1223+【详解】由题意知1,0,2a b a b >>+=，可得：(1)1,10a b a -+=->，则11111133[(1)]()1121222122a b a b a b a b b a -+=-++=+++≥+=---当且仅当121a b b a -=-时，等号成立，则1112a b +-的最小值为32+。
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人教课程标准版五上第九册语文总复习一一一一一背熟第1课《窃读记》第3、4、10自然段。
第3课《走遍天下书为侣》第7、8自然段。
第5课《古诗词三首》。
全文、书下注释、译文第6课《梅花魂》第13自然段。
描写梅花品格的语句第13课《钓鱼的启示》第10自然段。
父亲告诫我的话第15课《落花生》第10、12、13自然段。
第9课《鲸》和第11课《新型玻璃》掌握有关知识点和打比方，举例子，作比较，列数字等常用的说明方法。
《有趣的汉字》中的谐音歇后语。
《我爱你，汉字》中汉字的演变，赞汉字。
第19课《“精彩极了”和“糟糕透了”》最后一自然段。
第21课《圆明园的毁灭》第3、4自然段。
第22课《狼牙山五壮士》第6、7、8、9自然段。
第25课《七律·长征》全文、书下注释、译文。
第26课《开国大典》第7自然段。
二．积累（一）日积月累(关于爱读书) 1、一日无书，百事荒芜。
2、读书破万卷，下笔如有神。
（杜甫）3、书犹药也，善读之可以医愚。
（刘向）4、黑发不知勤学早，白首方无读书迟。
（颜真卿）5、读书有三到，谓心到、眼到、口到。
（朱熹）（关于思乡的）1、悠悠天宇旷，切切故乡情。
（张九龄）2、浮云终日行，游子久不至。
（杜甫）3、落叶他乡树，寒灯独夜人。
（马戴）4、明月有情应识我，年年相见在他乡。
（袁枚）5、家在梦中何日到，春生江上几人还？（卢纶）6、江南几度梅花发，人在天涯鬓已斑。
（刘著）四时之风春风能解冻，和煦催耕种。
裙裾微动摇，花气时相送。
夏风草木熏，生机自欣欣。
小立池塘侧，荷香隔岸闻。
秋风杂秋雨，夜凉添几许。
飕飕不绝声，落叶悠悠舞。
东风似虎狂，书斋皆掩窗，整日呼呼响，鸟雀尽潜藏。
（关于生活启示）1、世上无难事，只怕有心人。
2、欲要看究竟，处处细留心。
3、虚心万事能成，自满十事九空。
4、滴水能把石穿透，万事功到自然成。
关于亲情的1、兄弟郭和睦，朋友笃诚信。
（陈子昂）2、孝在于质实，不在于饰貌。
（桓宽）3、爱亲者，不敢恶于人；敬亲者，不敢慢于人。
（《孝经》）4、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。
（诸葛亮）第七单元同仇敌忾临危不惧勇往直前前仆后继力挽狂澜中流砥柱大义凛然豪情壮志不屈不挠披荆斩棘奋发图强励精图治众志成城舍生取义任重道远再接再厉（关于修养的名言警句）1、非常的境遇可以显出非常的气节。
2、衡量真正的品德是看他在知道没有人发觉的时候该做些什么。
卜算子咏梅毛泽东风雨送春归，飞雪迎春到。
已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。
俏也不争春，只把春来报。
待到山花烂漫时，她在丛中笑。
（二）背会默会九册课文主要内容和中心思想1、《窃读记》作者：林海音主要内容：课文主要写了“我”匆匆赶到书店，藏于大人中间或借着雨天匆忙而贪婪地读书，到了晚上才依依不舍的离开。
中心思想：表现了“我”对读书的热爱和对知识的渴望。
2、《走遍天下书为侣》作者：英国作家，尤安·艾肯主要内容：面对孤寂漫长的旅程，作者会毫不犹豫的选择戴上一本书上路，书如友，书似家，反复读一本书如与老朋友重逢，每日回家，故地重游，总会有新的感受，要从不同的角度反复地读，就会有百读不厌。
中心思想：对读书的喜爱之情。
3、《泊船瓜州》（写景抒情）作者：宋，王安石这是一收脍炙人口，情意绵绵的思乡诗，表达了作者对家乡深深的思念和热爱。
4、《秋思》（叙事抒情）作者：唐，张籍寓情于事，借助日常生活中一个小小的片断—寄家书时的思想活动和行动细节，表达了客居他乡之人，对家乡亲人的深切思念。
5、《长相思》（写景、叙事融为一体）作者：清，纳兰性德描写边塞军旅途中思乡寄情的佳作。
6、《梅花魂》作者：陈慧瑛主要内容：课文主要写了“我”回忆外祖父教我唐诗宋词，读到思想诗时，总会落泪；外祖父应年龄大不能回国时，像小孩子一样痛哭；外祖父因我弄脏墨梅图而发脾气；在我回国前，外祖父送我墨梅图；外祖父又到船上送我梅花手绢这几件事。
中心思想：表达了外祖父对祖国的热爱、眷恋之情。
“梅花魂”是指（）7、《鲸》（常识性说明文）主要内容：本文介绍了鲸的形体特点、进化过程、种类和生活习性等方面的知识。
课文运用了：列数字、举例子、做比较、打比方等说明方法。
8、《新形玻璃》主要内容：课文分别介绍了夹丝网防盗玻璃、夹丝玻璃、变色玻璃、吸热玻璃、吃音玻璃等五种新形玻璃的特点和在活中的广泛应用。
课文运用了：举例说明、数字说明、打比方等说明方法。
9、《钓鱼的启示》主要内容：课文主要写了三十四年前，“我”和父亲去钓鱼，由于离捕捞鲈鱼开放时间还有两小时，父亲要“我”把好不容易钓到的大鲈鱼放回湖里，当时，我很不乐意，但还是依依不舍地把鱼放了。
三十四年后，我成了一名建筑师，深深体会到了：从小受到严格的教育，就会获得道德实践的勇气和力量。
启示：道德只是个简单的是与非的问题，实践起来却很难。
一个人要是从小就受到像把钓到的大鲈鱼放回湖中这样严格的教育的话，就会获得道德实践的勇气和力量。
“鱼”指吸引人的，让人动心的事物，如：金钱、地位、荣誉…10、《落花生》（叙事散文，借物喻人）作者：许地山主要内容：课文主要写了“我们”一家人过花生收获节，谈论花生好处的事。
做人的道理：要学习花生内在秀美，不求虚名，默默奉献，造福人类的奉献；做人要做有用的人，不要做只讲体面而对别人没有好处的人。
11、《地震中的父与子》作者：美国作家马克·汉林主要内容：课文主要讲述了1994年，美国发生大地震，一位父亲冒着危险，不顾劝阻，经过38小时的艰难挖掘，终于就出了他的儿子和儿子的同学。
中心思想：歌颂伟大的父爱和深厚的父子之情。
12、《“精彩极了”和“糟糕透了”》美国作家巴德·舒尔伯格主要内容：课文主要写了作者童年时写了一首诗，父亲和母亲对他的作品有不同的评价，这两种评价对他产生了巨大的影响。
作者从这两种评价中感受到了父母的爱。
母亲的爱是：积极的鼓励。
父亲的爱是：警告和提醒13《圆明园的毁灭》主要内容：课文描述了圆明园昔日辉煌的景观和惨遭侵略者肆意践踏而毁灭的景象。
中心思想：表达了作者对祖国灿烂文化的无限热爱，对侵略者野蛮行径的无比怨恨，激发人们不忘国耻，增强正兴中华的责任感和使命感。
14《狼牙山五壮士》主要内容：抗日战争时期，八路军某部七连六班的五个战士，为了掩护群众和连队主力的转移，诱敌上山，英勇杀敌，最后把敌人引上狼牙山顶峰后，英勇跳崖。
中心思想：表现了五壮士热爱祖国，热爱人民，仇恨敌人，勇于牺牲的革命精神和英雄气概。
五壮士分别是：班长马宝玉，副班长葛振林，战士宋学义、胡德林、胡福才。
课文按事情的发展顺序：接受任务；痛击敌人；引上绝路；峰顶杀敌；跳下悬崖。
15《七律·长征》作者：毛泽东主要内容: 全诗生动的概述了两万五千里长征的艰难历程。
本课时毛泽东在红军长征胜利结束时写的一首诗。
中心思想：赞扬了中国工农红军的英雄主义精神和革命乐观主义精神。
《七律长征》一诗中，表现红军战士乐观主义精神的诗句是（）。
毛泽东用比喻和夸张的修辞手法，反衬出红军战士敢于藐视并战胜一切困难的高大形象和伟大气魄的诗句是（）。
“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒。
”这句诗写到了（）、（）两条河。
16《开国大典》主要内容：课文记述了1949年10月1日，在首都北京举行开国大典的盛况。
中心思想：表达了中国人民对新中国的诞生无比自豪，激动的感情，展现了中华人民共和国的缔造者们特别是毛泽东的领袖风采。
课文按照开国大典进行的顺序：会场的情况，典礼盛况（奏国歌、毛主席宣布中华人民共和国中央人民政府成立了、升国旗、读公告），阅兵式，群众游行。
17．这学期，你在课外一定读了不少好书，把你喜欢的书名写下来：《》《》《》。
选择其中你最喜欢的一本推荐给你的同学并说说理由三词语的分类把词语补充完整，按要求对号入座。
精神（）满全神（）注（）强不屈一丝不（）舍（）救人专心（）志垂头（）气没精打（）视死如（）兴致（）（）失（）落魄（）开眼笑奋不（）身临危不（）众志成（）（）精图志（）精会神1形容人物神态的:2．歌颂人物精神品质的:3．描写人物刻苦学习的：四、句子练习修改病句1．昨天傍晚下了整整一夜的雨。
2．北京的秋天真实旅游的好地方。
3．这项发明还要不断改正，才能逐步完善。
4．通过一段时间的观察，让我对昆虫有了深入的了解。
5．即使你对同学有意见，你就提出来。
6．秋天的田野里，到处能看到成熟的果实和芳香。
7．五壮士的眼睛眺望着群众和部队主力远去的方向。
句子所用的修辞手法１、桂林的山真秀啊，像翠绿的屏障，像新生的竹笋，色彩明丽，倒映水中。
（比喻排比）２、每条岭都是那么温柔，自山脚至岭顶长满了珍贵的树木，谁也不孤峰突起，盛气凌人。
（拟人）３、漓江的水真静啊，静得让你感觉不到它在流动；漓江的水真清啊，清得可以看见江底的沙石；漓江的水真绿啊，绿得仿佛那是一块无暇的翡翠。
（排比）４、危楼高百尺，手可摘星辰。
（夸张）５、海底有声音吗？海底有各种动物发出的细微的声音。
（设问）６、生我养我的故乡，我怎么能忘怀呢？（反问）7、四海皆春春不老，九州同乐乐无穷。
（对偶或者对仗）8．它好肥，整个身子好像一个蓬松的球儿。
（）9．阳光把吊兰的一串串小叶照得如同碧玉。
（）10．小珍珠鸟在父母的再三呼唤声中，飞回了自己的家中。
（）11．五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸（）反问句改陈述句1．人的心灵不应该像花一样美丽、纯洁吗？2．那一次次的分离，岸英不都是平平安安回到自己的身边俩了吗？3．时间这么宝贵，我们怎么能不珍惜呢？4．人类随意毁坏自然资源，难道不是在毁灭人类自身的生存环境吗？5.你不会因为熟悉家中的一切就弃家而去吧？6.我们吃的穿的,哪一样能离开群众的支持？7.我们如果没有老百姓的支持，能有今天这个局面吗？8．在屋檐下躲雨，你总不好意思赶我走吧？9.我为什么不可以搞一个不是成衣的时装呢？10．你不会因为以前见过你的朋友就不愿再见到他们了吧？陈述句改反问句。
1.信赖，往往创造出美好的境界。
2.北京申奥成功，我们感到无比自豪。
1、这幅画是我们班蔡颖画的。
2、不好好学习，自然不能取得好成绩。
3、对少数同学不守纪律的现象，我们不能不闻不问4、那奔驰的列车正是我们祖国奋勇前进的象征。
5、功课没做完，不能去看电影。
6、不劳动，连棵花也养不活，这是真理。
7、我们不能因为学习任务重而不参加体育活动。
8．在屋檐下躲雨，你总不好意思赶我走吧？9.我为什么不可以搞一个不是成衣的时装呢？10．你不会因为以前见过你的朋友就不愿再见到他们了吧？转述句该陈述句1、妈妈对我说：“今天我要开会，你自己做饭吃。
”2、张老师对小明说：“这件事情，你冤枉了小红。
”3、鲁肃对我说：“都是你自己找的，我怎么帮得了你的忙？”4、妈妈对小宁说：“昨天，你到哪里去了？我找了你一整天。
”5、妈妈说：“我今晚上要加班，回家要迟一点，你先睡觉。