成都市2016级高中毕业班摸底测试

成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学（文科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1.B
2.A
3.D
4.A
5.C
6.B
7.A 8.B 9.C 10.C 11.D
12.A
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.y x 82
-=；
14.1； 15.
8
1； 16.
5
7
6. 三、解答题：（共70分）
17．解：（Ⅰ）23)('2
-+=x ax x f
…………1分 0213,0)1('=--∴=-a f Θ．解得1=a .
…………3分
.23)(',221
)(223-+=-+=∴x x x f x x x x f
.2)1(',2
1
)1(=-=f f
…………4分 ∴曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为.0524=--y x
…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），当)('x f ＝0时，解得x ＝-1或x ＝3
2
. 当x 变化时．)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：
…………8分
∴)(x f 的极小值为27
22
)32(-=f .
…………9分 又2
1
)1(,23)1(-==-f f ，
…………11分 .27
22
)32()(,23)1()(min max -===-=∴f x f f x f
…………12分
18．解：（Ⅰ）Θ各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1，
∴（a ＋a ＋6a ＋8a ＋3a ＋a ）×20＝1．解得a ＝0.0025. …………3分
∴诵读诗词的时间的平均数为
10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64（分钟）
…………6分
（Ⅱ）由频率分布直方图，知［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数的频率之比为1:3:1.故5人中［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数分别为1，3，1.
…………8分
设［0，20）,［80．100），［100，120］内的5人依次为A ，B ，C ，D ，E ，则抽取2人的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况. …………10分 符合两同学能组成一个“Team ”的情况有AB ，AC ，AD ，AE 共4种. 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为5
2
104==
P .
…………12分
19．解：（Ⅰ）在△MAC 中，ΘAC ＝1，CM ＝3，AM ＝2，∴AC 2
＋CM 2
＝AM 2
.
∴由勾股定理的逆定理，得MC ⊥AC. …………1分
又Θ平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ．CM ⊂平面ACD ， …………3分 ∴CM ⊥平面ABC. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知CM ⊥平面ABC ，∴M 到平面ABC 的距离即为CM. …………6分
ΘAC ⊥BM,且AC ⊥CM ，BM ∩CM=M. ∴AC ⊥平面BCM.
又ΘBC ⊂平面BCM ，∴AC ⊥BC.即△ABC 为直角三角形. …………8分
ΘM 为AD 中点.
∴三棱锥A —BCD 的体积为.2ABC M ABC D BCD A V V V ---==
…………10分
∴.3
3
31121312312=
⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⨯=∆-CM S V ABC BCD A …………12分
20.解：（Ⅰ）Θ椭圆P 的离心率为.2
1
,23=∴=
a c e 41
12222=-=∴a c a b ，即224b a =.
…………2分
此时椭圆P 的方程为1422
22=+b
y b x .
将点（22,2）代入椭圆P 的方程中，得121422
2=+b
b ，解得12
=b . …………4分
∴椭圆P 的方程为14
22
=+y x .
…………5分
（Ⅱ）由题意，若存在这样的直线l ，则其斜率存在，设其方程为.2+=kx y
联立⎩⎨
⎧=++=4
42
2
2y x kx y ，消去y ，地01216)14(2
2=+++kx x k ，
由0>∆，得4
32
>
k . …………6分
设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）. 由根与系数的关系，得1
412
,141622
1221+=+-=
+k x x k k x x . …………7分
.1
43
4141222212
+-+=-+=∴k k k x x k MN
…………8分
设MN 中点为Q ，则142
2,14822
221+=+=+-=+=
k kx y k k x x x Q Q Q . ∴MN 的中垂线方程为).148(114222+-+-=+-k k
x k k y
令x=0，得.1
46
2
+-=k y P …………9分
1
418)148()148()()0(222
2222
2
++=
+-++-=-+-=∴k k k k k y y x PQ P Q Q . …………10分
又Θ△MNP 是以P 为直角顶点的直角三角形.
PQ MN 2=∴，即1
418214341422222++⨯=+-+k k k k k .
解得4
19
2
=
k ，即219±=k .
2
19
,432±=∴>k k Θ均符合题意.
∴存在直线l 满足题意，其方程为04219=+-y x 或04219=-+y x .
…………12分
21．解：（Ⅰ）1ln )('-+=a x a x f .
…………1分
Θa ≠0，∴由)('x f ＝0，得a
a
x -=1ln ，即a
a
e
x -=1. …………3分
①若a ＞0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：
②若a ＜0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：
综上，当a ＞0时，)(x f 在),0(1a
a e +上单调遍减，在),[1+∞-a
a e
上单调递增；…………4分
当a ＜0时，)(x f 在),0(1a
a e +上单调递增，在),[1+∞-a
a e 上单调减.
…………5分
（Ⅱ）存在],1(e x ∈使
021
)(>+x
x x f 成立. 即存在],1(e x ∈，使01
1ln >+-x
x a 成立.
Θ当x ＞1时，lnx ＞0，∴存在],1(e x ∈，使x
x a ln 1
1-
>成立. …………6分
设x
x x g ln 11)(-
=，则min )(x g a >成立，],1(e x ∈. …………7分
.)(ln 1ln )(ln 1)11(ln 1)('2
222x x x x x x x x x x g -+=--=
…………8分
设.111)(',1ln )(x
x
x x h x x x h -=-=
-+= …………9分
Θ],1(e x ∈，0)('<∴x h . ∴)(x h 在],1(e x ∈上单调递减.
…………10分
0)1()(=<∴h x h ，即0)('<x g 在],1(e x ∈上恒成立. ∴)(x g 在],1(e x ∈上单调递减..
e e g x g 1
1)()(min -==∴.
a ∴的取值范围是（+∞-,1
1e
）
…………12分
22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数，得).1(3
3
1-=-y x 化简，得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0
…………2分
又将曲线C 的极坐标方程化为3cos 22
2
2
=+θρρ，
.32)(222=++∴x y x
∴曲线C 的直角坐标方程为13
2
2
=+y x . …………4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入13
2
2
=+
y x 中，得.1)231(31)211(22=+++t t 化简，得.03
2
)331(22
=++
+t t ） 此时03
3
838>+=
∆.
…………6分
此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数21,t t ， 由根与系数的关系，得.3
2
,)3322(2121=+
-=+t t t t …………8分
∴由直线参数的几何意义，知
.3
3
222121+
=--=+=+t t t t BM AM …………10分。