积的乘方
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积的乘方人教版数学八年级上学期(完整版)
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积的乘方
积的乘方的法则
语言叙述 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
符号叙述 (ab)n anbn (n是正整数）
.
作业布置【知识技能类作业】必做题：
1.计算:
(1)(ab)8； (2)(2m)3；
(3)(-xy)5；
(4)(5ab2)3； (5)(2×102)2； (6)(-3×103)3.
(4×3)2与42×32相等；(2×5)3与23×53相等.
新知讲解
看看运算过程中用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
(1) (ab)2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)2= a2( )b( ) (2) (ab)3 =_(_a_b_)_·__(_a_b_)_·__(_a_b_)__=(_a_·__a_·__a_)_·__(_b__·__b__·__b_)_3= a3( )b( )
(am)n=___a_m_n_ (m,n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
新知讲解
思考：
计算：(1) (4×3)2与42×32；(2) (2×5)3与23×53. 填空： ∵ (4×3)2 =1_2_2___=_1_4_4__ 42×3216=×__9___144=_____， ∴ (4×3)2=___42×32 ∵ (2×5)3 =1_0_3__1_0=0_0____ 23×538×=_1_2_5____1_0=0_0____， ∴ (2×5)3=___23×53 你发现了什么？
解:(1)原式=a8b8；
(2)原式=23•m3=8m3；
(3)原式=(-x)5•y5=-x5y5；
(4)原式=53•a3•(b2)3=125a3b6；
积的乘方
观察、猜想: (ab)3与a3b3 是什么关系呢？
思考：积的乘方(ab)n =? 猜想：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方法则： 积的乘方等于把积的每个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n = anbn （n为正整数）
推广：三个或三个以上的积的乘方等 于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(4)原式=(-2)4·x4·(y3)4·(z2)4 =16x4y12z8
练习:
计算:
(1) (2a)3;
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(ab)n = anbn （n为正整数）
(2) (－5b)3;
(3)（xy2z)2 ;
（4） (3ab2 )2 （5）( 1 xy 2 )3
2
(ab)n = an·b（n m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
am·an=am+n
a a ( m)n= mn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
2. 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要乘方，还有符号问题.
判断:
(1)（ab2)3=ab6 (2) (3xy)3=9x3y3
(3) -(-2a2)2=4a4
(4) (-a＋b2)2=a2b4
( ×) (×) ( ×) (× )
试用简便方法计算: (1) 23×53 =; (2×5)3 = 103 (2) 28×58 =; (2×5)8 = 108 (3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
计算:
(1) (1 2)2008 ( 5)2008
5
7
思考：积的乘方(ab)n =? 猜想：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方法则： 积的乘方等于把积的每个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n = anbn （n为正整数）
推广：三个或三个以上的积的乘方等 于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(4)原式=(-2)4·x4·(y3)4·(z2)4 =16x4y12z8
练习:
计算:
(1) (2a)3;
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(ab)n = anbn （n为正整数）
(2) (－5b)3;
(3)（xy2z)2 ;
（4） (3ab2 )2 （5）( 1 xy 2 )3
2
(ab)n = an·b（n m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
am·an=am+n
a a ( m)n= mn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
2. 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要乘方，还有符号问题.
判断:
(1)（ab2)3=ab6 (2) (3xy)3=9x3y3
(3) -(-2a2)2=4a4
(4) (-a＋b2)2=a2b4
( ×) (×) ( ×) (× )
试用简便方法计算: (1) 23×53 =; (2×5)3 = 103 (2) 28×58 =; (2×5)8 = 108 (3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
计算:
(1) (1 2)2008 ( 5)2008
5
7
积的乘方法则
积的乘方法则积的乘法是数学中非常基础的一个概念，它是指两个或多个数的乘积。
在日常生活中，我们经常会用到乘法，比如计算购物时的总价、计算面积和体积等。
而在数学中，乘法更是一个非常重要的运算方法，它在代数、几何、微积分等各个领域都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、乘法的性质和应用举例等方面，详细介绍积的乘方法。
首先，我们来看一下积的基本概念。
在数学中，积是指两个或多个数相乘的结果。
比如，2和3的积就是6，记作2×3=6。
在乘法中，我们把参与乘法运算的数称为乘数，乘积则是乘法的结果。
乘法运算符号通常是×，有时也用·或者表示。
在乘法中，乘数的顺序是可以交换的，即a×b=b×a。
这就是乘法的交换律，对于任意的实数a和b都成立。
此外，乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)，对于任意的实数a、b和c都成立。
这些基本性质为我们后续学习和应用乘法提供了基础。
其次，我们来看一下乘法的性质。
乘法有分配律、零乘法等重要性质。
分配律是指乘法对加法的分配，即a×(b+c)=a×b+a×c，(a+b)×c=a×c+b×c。
这个性质在代数中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复杂的运算。
另外，零乘法是指任何数乘以0的结果都是0，即a×0=0。
这个性质在解方程、化简式子等方面都有着重要的作用。
了解乘法的性质不仅可以帮助我们更好地理解乘法运算，还可以为我们解决实际问题提供便利。
最后，我们来看一些乘法的应用举例。
比如，计算一个矩形的面积，就需要用到乘法。
假设矩形的长为a，宽为b，则它的面积S 为长乘以宽，即S=a×b。
又比如，计算一个立方体的体积，也需要用到乘法。
假设立方体的边长分别为a、b、c，则它的体积V为长乘以宽乘以高，即V=a×b×c。
积的乘方-
5.1同底数幂的乘法(3) ---积的乘方
一个立方体的棱长为5，那么立方体的体积是多少？如 果棱长为 2a，那么立方体的体积是 如何表示？怎样计 算？
解:
5 5 5 5 125
3
2a =?
3
合作交流
⒈ ⒉
4 6
3
4 6 4 6 4 ___ 6 __________ __________
n
n
n
积的乘方,等于把积的每一个因式分别 乘方,再把所得的幂相乘.
ab
n
a b
n
n n （n为正整数）
n n n
abc
a b c _____
（n为正整数）
例4计算下列各式，并把结果用幂的形式表示：
(1) ( 2 a )
3
(2) (6a )
5 2
(3) ( x3 y 2 )3
2 4 ( ab ) (4) 3
尝试练习
(1) (3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( 2h)
2
5
(2)
(3a )
3 2
(a y )
4
1 3 4 (4) ( a c ) 2
判断正误:
2a
2 3
8a
5
幂的乘方,底数不变,指数相乘
( (
) )
系数
1 3 3 3 ( cd ) c d 3
2 3
1 3
的3次方而不是 相乘
计算： （1） （2）
2 5
6
5
5
6
4
4 0.25
1 （3）2 4 2
15
解: (1) (2)
2 5 2 5
一个立方体的棱长为5，那么立方体的体积是多少？如 果棱长为 2a，那么立方体的体积是 如何表示？怎样计 算？
解:
5 5 5 5 125
3
2a =?
3
合作交流
⒈ ⒉
4 6
3
4 6 4 6 4 ___ 6 __________ __________
n
n
n
积的乘方,等于把积的每一个因式分别 乘方,再把所得的幂相乘.
ab
n
a b
n
n n （n为正整数）
n n n
abc
a b c _____
（n为正整数）
例4计算下列各式，并把结果用幂的形式表示：
(1) ( 2 a )
3
(2) (6a )
5 2
(3) ( x3 y 2 )3
2 4 ( ab ) (4) 3
尝试练习
(1) (3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( 2h)
2
5
(2)
(3a )
3 2
(a y )
4
1 3 4 (4) ( a c ) 2
判断正误:
2a
2 3
8a
5
幂的乘方,底数不变,指数相乘
( (
) )
系数
1 3 3 3 ( cd ) c d 3
2 3
1 3
的3次方而不是 相乘
计算： （1） （2）
2 5
6
5
5
6
4
4 0.25
1 （3）2 4 2
15
解: (1) (2)
2 5 2 5
14.1.3 积的乘方
99 2017 100 2018 ( ) ( ) . 100 99
99 100 2017 100 100 100 （ ） =1 = . 解：原式= 100 99 99 99 99
【点拨】逆用积的乘方法则anbn＝(ab)n(n为正整数)可使计算简便．
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名
例2
校
讲
坛
(教材P97例3的变式)计算：
(1)(－3a2b3)4； 解：原式＝(－3)4·(a2)4·(b3)4＝81a8b12. 【点拨】积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用，即 (abc)n＝anbncn(n是正整数)． (2)
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巩
固
训
练
4．计算：
(1)(－2x3y2z)3；
解：原式＝－8x9y6z3. (2)(3a2)3＋(a2)2· a 2； 解：原式＝28a6. (3)a· a 3· a4＋(－a2)4＋(－2a4)2.
解：原式＝6a8.
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固
训
练
1．计算：(ab2)3＝( C ) A．3ab2 B．ab6 C．a3b6 D．a3b2 2．计算(－2a2b)3的结果是( B ) A．－6a6b3 B．－8a6b3 C．8a6b3 D．－8a5b3 3．若xn＝4，yn＝9，则(xy)n＝ 36 ．
99 100 2017 100 100 100 （ ） =1 = . 解：原式= 100 99 99 99 99
【点拨】逆用积的乘方法则anbn＝(ab)n(n为正整数)可使计算简便．
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例2
校
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(教材P97例3的变式)计算：
(1)(－3a2b3)4； 解：原式＝(－3)4·(a2)4·(b3)4＝81a8b12. 【点拨】积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用，即 (abc)n＝anbncn(n是正整数)． (2)
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4．计算：
(1)(－2x3y2z)3；
解：原式＝－8x9y6z3. (2)(3a2)3＋(a2)2· a 2； 解：原式＝28a6. (3)a· a 3· a4＋(－a2)4＋(－2a4)2.
解：原式＝6a8.
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训
练
1．计算：(ab2)3＝( C ) A．3ab2 B．ab6 C．a3b6 D．a3b2 2．计算(－2a2b)3的结果是( B ) A．－6a6b3 B．－8a6b3 C．8a6b3 D．－8a5b3 3．若xn＝4，yn＝9，则(xy)n＝ 36 ．
积的乘方
举例及应用
例1 计算：（1）（2b）3；（2）（2a3）2；
（3）（- a）3；（4）（- 3x）4 .
注意： ①系数的乘方； ②因数中若有幂的形式，要 注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方.
（1）（2b）3 =23 b3 =8b3； （2）（2 a3）2 =22 （a3）2 =4a6； （3）（- a）3 =（-1）3 a3 = - a3；
（4）（- 3 x）4 =（- 3）4 x4 =81x4 .
练习
判断下列计算是否正确，并说明理由： （1）（xy3）2 =xy6；（2）（-2x）3 =-6x3.
（1）不正确；（xy3）2 x2 （y3）2 x2 y6；
（2）不正确； （- 2 x）3 （- 2）3 x3 -8 x3 .
拓展延伸
因为（ab）n anbn ，所以 anbn （ab）n. 逆用性质进行计算：
（1）24 44 0.1254；
（2）（- 4）2 002 （0.25）2 002 . （1）24 44 0.1254 （2 4 0.125）4 1 （2）（- 4）2 002 （0.25）2 002 （- 4 0.25）2 002 1
拼出一个新的正方形吗？多少个小正方形才能拼成 一个新的正方形？并用不同的表示方法表示新正方 形的面积.从不同的表示方法中，你发现了什么？
课堂小结
小结
这节课你有什么收获？学到了什么？还 有哪些需要老师帮你解决的问题？
请注意：积的乘方要将每一因式（特别 是系数）都要乘方.
布置作业
作业
教材习题12.1第4题.
3 积的乘方提问来自1.a2 a3 a，5 也就是说：（ a2 a3 =a（2+3）=a5 ）.
2(2)积的乘方
2 4 (4) ( ab) . 3
解： (1) (2b)5 =25b5 = 32b5 (2) (3x³ )6 = 36 ( x3 ) 6 = 36x18 = 729x18
(3)( x3 y 2 )3 (1 x3 y 2 )3 (1)3 ( x3 )3 ( y 2 )3 x9 y 6
认识积的乘方，熟记积的乘方的
运算法则 能正确地运用积的乘方的运算法 则，并能应用它解决一些实际问题
๔ 回顾 & 思考 ☞
幂的意义:
n个 a
a· a·… · a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n= amn (m、n都是正整数)
n n n a· b = (ab)
可使某些计算简捷。
1
补充例题：
计算：2(x3)2 ·x3－(3x3)3＋(5x)2 · x7
解：原式=2x6 ·x3－27x9+25x2 · x7 =2x9－27x9+25x9 =0
注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。
补充习题：
1、填空题： （1）若(a2b3 )n+1 = a6b3m，那么m+n=____ 5
=( 4×4×4 ) ×( 6×6×6 )=4(3 )×6( 3 ) （2）(4×6)5=(4×6 ) ×(4×6) × (4×6 ) × (4×6 ) ×( 4×6)
=( 4×4×4×4×4 ) ×( 6×6×6×6×6 )
=4(5 )×6( 5
)
积的乘方：由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量就为积。
(4) (5ab2)3
(6)
积的乘方法则和公式
积的乘方法则和公式
《积的乘方法则和公式积的乘方法则和公式》
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊积的乘方法则和公式，这可是数学里超重要的一部分哟！
你知道吗？积的乘方就像是一场有趣的魔法表演。
比如说，(ab)ⁿ，这个式子就是积的乘方啦。
那它到底等于啥呢？告诉你哦，它就等于 aⁿbⁿ。
简单吧？
想象一下，这就好像是把一个大礼包拆开，里面的每一个小礼物都变得更精彩啦！比如(2×3)² ，按照咱们的法则，那就是
2²×3² ，也就是4×9 = 36 。
是不是很神奇？
而且啊，这个法则用处可大啦！当我们遇到那种一堆数字和字母相乘然后要乘方的时候，它就派上大用场啦。
比如说计算
(3x²y³)⁴，这要是一个个去乘，那得多麻烦呀。
但是有了积的乘方法则，那就轻松多啦，直接变成 3⁴×(x²)⁴×(y³)⁴，也就是
81x⁸y¹² 。
再说啦，学会这个法则，做数学题的时候就像是有了一把神奇的钥匙，能打开好多难题的锁。
比如说，在化简式子或者解方程的时候，它能让复杂的东西变得简单清晰，让我们一下子就能找到答案的方向。
还有哦，和小伙伴一起讨论数学问题的时候，你要是能熟练运用积的乘方法则，那可真是太酷啦，大家都会对你刮目相看的！
所以呀，小伙伴们一定要把这个积的乘方法则和公式牢牢记住哟，多做几道练习题，让它成为我们数学武器库里最厉害的法宝之一！加油，相信大家都能玩转这个有趣的法则，让数学变得更有趣！。
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(3) (3a3 )2 9a6 （×） 9a6 (4) ( 2 x)3 8 x3 （ ）
3 27
星级达标1
(5) (a4b)4 a8b4
（×） a16b4
(6) (3 pq)2 6 p2q2 （×） 9p2q2
幂的混合运算
(1) (3x)3 (2x)2 x (2) (a)3 (a2 ) a (2a2 )3
(2) (-2a2 )3
完成（1），（2） 题并后思小考结用：到做了题三时种应运分算清法用则同中底的数哪幂些相法乘则、幂的 乘（方3m、in积）的乘方法则中的哪一种
星级达标1 判断正误，若错误，请说出正确答案
(1) (xy)3 xy3 （×） x3y3
(2) (2xy)3 6x3 y3 （×） 8x3y3
底数是__乘__积_般形式 (ab)n 指数
底数ab是一个乘积
判断下列各式是否属于积的乘方形式，若是， 指出其底数(独立完成1min)
(1) (ab)2
是 ab
(4) (xyz)5
是 xyz
(2) x x2 (3) (2m)3
否
是 -2m
(5) ab (ab)1
龙泉七中 陈云中
知识回顾
a 1、幂的意义 n = a·a· … ·a
n个a 2、同底数幂相乘的法则是什么？
am an amn 底数不变，指数相加
3、幂的乘方的法则是什么？
(am )n amn
底数不变，指数相乘
☆ 探究活动 (一)
学过这种形 式吗？ 正方形面积=边长的平方
3a (3a)2
本节课你的收获是什么？
积的乘方运算法则: (ab)n=anbn
积的乘方= 每个因式的乘方的积 .
题后小结：运算顺序是先 乘方，再乘 即除时，练最习后2 进行加减。
请1组、3组的3号完成（1） 5组、7组的3号完成（2） 9组、11组的3号完成（3）
其余同学都完成（4min）
巩固提升
星级达标 3
请2组、4组的3号完成（1）、（2） 6组、8组的3号完成（3）、（4） 10组、12组的3号完成（5）、（6） 其余同学都完成（5min）
（2）负数乘方的符号法则，当n为奇数时，积为负， 当n为偶数时,积为正.
拓展 独立当完三成个即或时三个练以习上1因（式2m的i乘n）方时,
有同样性质吗？ 例如 ： (abc)n = anbncn
(ab)n anbn 与am an amn、(an )m amn综合
(1) (2x)2 x3
是 ab
☆ 探究活动 (二)
3a (3a)2
a 每个小正方形面积 2
9a a 9个小正方形面积之和为
2
(3a)2 = 9a2
☆ 探究活动 (三)
几何方法： (3a)2 9a2
代数方法：
(3a)2 (3a) (3a) (乘方的意义) (3 3) (a a) (乘法交换律、结合律） 9a2
一般形式 (ab)n
☆ 探究活动 (三) 积的乘自方主运算阅法读则解：读教材的3、4，补充
好相应的空白处（2min）
(ab)n anbn (n为整数 )
积的乘方等于每个因式的_乘__方__的__积______
例1：直接应用积的乘方公式进行计算。
(1) (3x)2
(2) (2b)3
思考，做此类题时，我们易错的地方有哪 些，小组交流1min 题后小结：(1)计算时，将每一个因数都乘方，包括系数。
3 27
星级达标1
(5) (a4b)4 a8b4
（×） a16b4
(6) (3 pq)2 6 p2q2 （×） 9p2q2
幂的混合运算
(1) (3x)3 (2x)2 x (2) (a)3 (a2 ) a (2a2 )3
(2) (-2a2 )3
完成（1），（2） 题并后思小考结用：到做了题三时种应运分算清法用则同中底的数哪幂些相法乘则、幂的 乘（方3m、in积）的乘方法则中的哪一种
星级达标1 判断正误，若错误，请说出正确答案
(1) (xy)3 xy3 （×） x3y3
(2) (2xy)3 6x3 y3 （×） 8x3y3
底数是__乘__积_般形式 (ab)n 指数
底数ab是一个乘积
判断下列各式是否属于积的乘方形式，若是， 指出其底数(独立完成1min)
(1) (ab)2
是 ab
(4) (xyz)5
是 xyz
(2) x x2 (3) (2m)3
否
是 -2m
(5) ab (ab)1
龙泉七中 陈云中
知识回顾
a 1、幂的意义 n = a·a· … ·a
n个a 2、同底数幂相乘的法则是什么？
am an amn 底数不变，指数相加
3、幂的乘方的法则是什么？
(am )n amn
底数不变，指数相乘
☆ 探究活动 (一)
学过这种形 式吗？ 正方形面积=边长的平方
3a (3a)2
本节课你的收获是什么？
积的乘方运算法则: (ab)n=anbn
积的乘方= 每个因式的乘方的积 .
题后小结：运算顺序是先 乘方，再乘 即除时，练最习后2 进行加减。
请1组、3组的3号完成（1） 5组、7组的3号完成（2） 9组、11组的3号完成（3）
其余同学都完成（4min）
巩固提升
星级达标 3
请2组、4组的3号完成（1）、（2） 6组、8组的3号完成（3）、（4） 10组、12组的3号完成（5）、（6） 其余同学都完成（5min）
（2）负数乘方的符号法则，当n为奇数时，积为负， 当n为偶数时,积为正.
拓展 独立当完三成个即或时三个练以习上1因（式2m的i乘n）方时,
有同样性质吗？ 例如 ： (abc)n = anbncn
(ab)n anbn 与am an amn、(an )m amn综合
(1) (2x)2 x3
是 ab
☆ 探究活动 (二)
3a (3a)2
a 每个小正方形面积 2
9a a 9个小正方形面积之和为
2
(3a)2 = 9a2
☆ 探究活动 (三)
几何方法： (3a)2 9a2
代数方法：
(3a)2 (3a) (3a) (乘方的意义) (3 3) (a a) (乘法交换律、结合律） 9a2
一般形式 (ab)n
☆ 探究活动 (三) 积的乘自方主运算阅法读则解：读教材的3、4，补充
好相应的空白处（2min）
(ab)n anbn (n为整数 )
积的乘方等于每个因式的_乘__方__的__积______
例1：直接应用积的乘方公式进行计算。
(1) (3x)2
(2) (2b)3
思考，做此类题时，我们易错的地方有哪 些，小组交流1min 题后小结：(1)计算时，将每一个因数都乘方，包括系数。