积的乘方-课件
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《积的乘方用》课件
乘方的基本性质
乘方具有乘法律和幂运算律等基本性质。
求解方法
1
求解积的乘方的方法
通过展开式、乘法法则和幂运算法则等方法求解积的乘方。
2
求解乘方的方法
通过递归、乘法法则和幂运算法则等方法求解乘方。
应用举例
积的乘方的实际应用举例
在数学问题、工程设计和金融分析等领域中，积的 乘方可以发挥重要作用。
乘方的实际应用举例
《积的乘方用》PPT课件
探索积的乘方的定义、基本性质、求解方法以及实际应用举例，并总结重点。
公式介绍
积的定义
积是将两个或多个数相乘得 到的结果。
乘方的定义
乘方是将一个数连乘若干次 得到的结果。
积的乘方定义
积的乘方是将一个积连乘若 干次得到的结果。
基本性质
积的乘方的基本性质
积的乘方具有分配律、乘方律和结合律等基本性质。
在计算机科学、物理学和生物学等领域中，乘方是 进行复杂计算和模型构建的基础。
总结
1 积的乘方的重点总结
2 乘方的重点总结
积的乘方是将一个积连乘若干次得到的结果， 具有基本性质和多种应用。
乘方是将一个数连乘若干次得到的结果，具 有基本性质和广泛应用。
《积的乘方用》课件
如何掌握积的乘方的 运算顺序，避免出现 运算错误。
本节课的应用拓展
通过举例说明，让学生了解积的乘方在实际问题中的应用，如计算圆的面积、球的 体积等。
引导学生探索积的乘方与其他数学知识的联系，如与幂的乘方、指数法则等知识的 结合。
布置相关练习题，让学生通过实践掌握积的乘方的运算技巧和方法。
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总结词：运算规律
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详细描述：介绍积的乘方的运算规律，如 (ab)^n=a^n×b^n等，让学生掌握积的乘方的计算技巧 。
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总结词：运算练习
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详细描述：提供一些简单的练习题，如(2a)^2、(abc)^3 等，让学生通过练习加深对积的乘方的理解。
交换律
积的乘方满足交换律，即 (ab)^n=a^n*b^n。
结合律
积的乘方满足结合律，即 (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d) 。
幂的幂的性质
积的乘方满足幂的幂的性 质，即 (a*b)^n=(a^n)*(b^n)。
积的乘方的运算技巧
分解因式法
将复杂的多项式分解为简单的多项式 ，然后分别进行乘方运算，最后再组 合起来。
积的乘方的意义
积的乘方表示一组数的乘积经过 某次乘方运算后的结果，反映了 乘方运算对一组数乘积的影响。
例如
如果有一个体积为2x2x2=8的长 方体，它的体积可以通过积的乘 方运算得出，反映了乘方运算对 体积的影响。
积的乘方的应用场景
积的乘方的应用场景
在数学、物理、工程等多个领域中，积的乘方都有广泛的应用。例如，在计算一 组数的乘积时，可以利用积的乘方简化计算过程；在物理学中，可以利用积的乘 方计算力的合成与分解等。
积的乘方课件
= anbn
n个b
知1－讲
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘． 即：(ab)n＝anbn(n是正整数)． 要点精析：(1)底数是乘积的情势，底数中a，b可以是 单项式，也可以是多项式． (2)积的乘方法则可以逆用，即anbn＝(ab)n(n为正整数). (3)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方统称为幂的 运算．
③
(－2x3)4＝－16x12；④
(2 3
a)3
8 3
a3,
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知1－练
知识点 2 积的乘方法则的应用
知2－讲
拓展：(abc)n＝anbncn(n为正整数)． 易错警示：
积的乘方中底数为积的情势，底数为和的情势 不能用，即(a＋b)n ≠ an＋bn (n为正整数)．
＝－(0.125×8)2 015×8＝－12 015×8＝－8 .
知2－讲
知2－讲
底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂 的乘法法则化为幂指数相同的幂，然后逆用积的乘方 法则转化为底数先相乘、再乘方，从而大大简化运 算．
知2－讲
例3 (1)计算：0.12515×(215)3；
(2)若am＝3，bm＝ 1 ，求(ab)2m的值．
6 24
所以(ab)2m＝[(ab)m]2＝(ambm)2＝
1 如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.
22 式子22017 ( 1 )2016
3 A. 1
2
B．－2
2
的结果是( C．2
)
D．－
1 2
43 计算( 2)2015 (1.5)2016 (1)2017 的结果是(
n个b
知1－讲
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘． 即：(ab)n＝anbn(n是正整数)． 要点精析：(1)底数是乘积的情势，底数中a，b可以是 单项式，也可以是多项式． (2)积的乘方法则可以逆用，即anbn＝(ab)n(n为正整数). (3)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方统称为幂的 运算．
③
(－2x3)4＝－16x12；④
(2 3
a)3
8 3
a3,
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知1－练
知识点 2 积的乘方法则的应用
知2－讲
拓展：(abc)n＝anbncn(n为正整数)． 易错警示：
积的乘方中底数为积的情势，底数为和的情势 不能用，即(a＋b)n ≠ an＋bn (n为正整数)．
＝－(0.125×8)2 015×8＝－12 015×8＝－8 .
知2－讲
知2－讲
底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂 的乘法法则化为幂指数相同的幂，然后逆用积的乘方 法则转化为底数先相乘、再乘方，从而大大简化运 算．
知2－讲
例3 (1)计算：0.12515×(215)3；
(2)若am＝3，bm＝ 1 ，求(ab)2m的值．
6 24
所以(ab)2m＝[(ab)m]2＝(ambm)2＝
1 如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.
22 式子22017 ( 1 )2016
3 A. 1
2
B．－2
2
的结果是( C．2
)
D．－
1 2
43 计算( 2)2015 (1.5)2016 (1)2017 的结果是(
12.1.3积的乘方课件华东师大版数学八年级上册
解 （1）（2b）3 =23·b3 =8b3
（2）（2a3）2 =22×（a3）2 =4a6
例3 计算：
（1）（2b）3
（2）（2a3）2
-a=（-1）a
（3）（-a）3
（4）（-3x）4
解 （3）（-a）3 =（-1）3·a3 =-a3 （4）（-3x）4 = （-3）4·x4 =81x4
补充例题 计算：（1）［（-x2y）3·（-x2y）2］3； （2）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2.
（ab）n =（ab）·（ab）·…·（ab）
n个ab
=（a·a·…·a ）·（b·b·…·b）
n个a
n个b
=anbn
可得 （ab）n=anbn（n为正整数）.
积的乘方，把积的每一个因式 分别乘方，再把所得的幂相乘.
例3 计算： （1）（2b）3 （3）（-a）3
（2）（2a3）2 （4）（-3x）4
5.已知2n=a,3n=b,24n=c,那么a,b,c之间满足的等量关系是 ( )
A.c=ab
B.c=ab3
C.c=a3b
D.c=a2b
【解析】 ∵2n=a,3n=b,24n=c, ∴c=24n=(8×3)n=(23×3)n=(23)n·3n=(2n)3·3n=a3b,即c=a3b.故选C.
【解析】 (1)x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2=x8+x8-4x8=-2x8. (2)(-3×102)4×(2×102)2=81×108×4×104=324×1012=3.24×1014.
2个ab
=（aa）·（bb）
3个ab
=（aaa）·（bbb）
2个a
2个b
人教版八年级数学上册《积的乘方》课件
n个ab
（ab）n=（ab）（ab） （ab）
Байду номын сангаас
n个a
n个b
=（ a a a ）（ b b b ）=anbn.
你能发现有何运算规律吗？
积的乘方: （ab）n =anbn. （n是正整数）．
归纳总结
能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘． 当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘 方，也具有这一性质吗？
• 学习重点： 积的乘方的性质．
创设情境，导入新知
问题 一个边长为a 的正方体铁盒，现将它的边 长变为原来的b 倍，所得的铁盒的容积是多少？
解： （ab）3 =ab ab ab =a3b3.
答：所得的铁盒的容积是 a3b3 ．
动手操作，得出性质
问题 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
推广：（abc）n =anbncn.
动脑思考，例题解析
例3 计算： （1）（2a）3； （2）（-5b）3； （3）（xy2）2； （4）（-2x3）4.
解: （1）（2a）3=23 a3=8a3； （2）（-5b）3 =（-5）3b3 =-125b3； （3）（xy2）2 =x（2 y2）2 =x2 y4； （4）（-2x3）4 =（-2）（4 x3）4 =16x12.
八年级 上册
积的乘方
本课说明
• 本课是在学生已经学习了同底数幂乘法和幂的乘方的 性质的基础上，进一步研究积的乘方的运算性质，它 们都是后续学习整式乘法的基础．
学习说明
• 学习目标： 1．理解积的乘方性质的推导根据． 2．会运用积的乘方性质进行计算． 3．在类比幂的乘方性质学习积的乘方性质时，体会二 者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．
【数学课件】积的乘方课件
解：(1)
7 3
3
×33＝
7333
＝73＝343.
(2)(0.125)2
010×(22
010)3＝
1 8
2
010
×(23)2
010
＝
1 8
2
010
×82
010＝
1882
010
＝12
010＝1.
【规律总结】当两个幂的底数互为倒数时，利用anbn＝(ab)n 可简化计算．
1．计算
1 2
a2b
3
的结果正确的是(
B
)
A．14a4b2
B．18a6b3
C．－18a6b3
D．－18a5b3
2．计算
3 4
3
×
4 3
3
的结果是(
A
)
A．－1
B．0
C．1
D．－18
点拨：
3 4
3
×
4 3
3
点拨：方法一：(xy)3n＝x3n·y3n＝(xn)3·(yn)3＝33×23＝(3×2)3 ＝63＝216.
方法二：(xy)3n＝[(xy)n]3＝(xnyn)3＝(3×2)3＝216. 5．计算：a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2. 解：原式＝a8＋a8＋4a8＝6a8.
作业
课本第21页1.2题
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
积的乘方通用课件
积的乘方的性质
积的乘方满足结合律、交换律和幂的乘方规则。
积的乘方的运算规则
运算规则
根据积的乘方的定义，可以推导出以下运算规则：$(a times b)^{m+n} = (a^m times b^m) times (a^n times b^n)$；$(a times b)^{m-n} = (a^m div a^n) times (b^m div b^n)$；$(a^m)^n = a^{m times n}$。
2023
PART 02
积的乘方的应用
REPORTING
在数学中的应用
01
02
03
代数运算
积的乘方可以用于简化代 数表达式，例如将复杂的 乘积进行化简。
概率论
在概率论中，积的乘方可 以用于计算联合概率和条 件概率，帮助理解随机事 件之间的关系。
组合数学
在组合数学中，积的乘方 可以用于计算排列和组合 数，解决与组合相关的问 题。
几何证明方法
面积法
通过几何图形面积的计算，将积 的乘方转化为面积的乘法，从而
证明其正确性。
体积法
利用几何体的体积公式，将积的 乘方转化为体积的乘法，从而证
明其正确性。
向量法
利用向量数量积的性质，将积的 乘方转化为向量的运算，从而证
明其正确性。
归纳法证明方法
基础步骤
归纳假设
归纳步骤
结论
首先证明$n=1$时，结 论成立。
积的乘方的证明方法
REPORTING
代数证明方法
代数表达式变形
通过代数表达式变形，将 积的乘方转化为乘法和指 数运算，从而证明其正确 性。
幂的运算法则
利用幂的运算法则，如 $(a^m)^n = a^{mn}$， 来简化证明过程。
积的乘方满足结合律、交换律和幂的乘方规则。
积的乘方的运算规则
运算规则
根据积的乘方的定义，可以推导出以下运算规则：$(a times b)^{m+n} = (a^m times b^m) times (a^n times b^n)$；$(a times b)^{m-n} = (a^m div a^n) times (b^m div b^n)$；$(a^m)^n = a^{m times n}$。
2023
PART 02
积的乘方的应用
REPORTING
在数学中的应用
01
02
03
代数运算
积的乘方可以用于简化代 数表达式，例如将复杂的 乘积进行化简。
概率论
在概率论中，积的乘方可 以用于计算联合概率和条 件概率，帮助理解随机事 件之间的关系。
组合数学
在组合数学中，积的乘方 可以用于计算排列和组合 数，解决与组合相关的问 题。
几何证明方法
面积法
通过几何图形面积的计算，将积 的乘方转化为面积的乘法，从而
证明其正确性。
体积法
利用几何体的体积公式，将积的 乘方转化为体积的乘法，从而证
明其正确性。
向量法
利用向量数量积的性质，将积的 乘方转化为向量的运算，从而证
明其正确性。
归纳法证明方法
基础步骤
归纳假设
归纳步骤
结论
首先证明$n=1$时，结 论成立。
积的乘方的证明方法
REPORTING
代数证明方法
代数表达式变形
通过代数表达式变形，将 积的乘方转化为乘法和指 数运算，从而证明其正确 性。
幂的运算法则
利用幂的运算法则，如 $(a^m)^n = a^{mn}$， 来简化证明过程。
14.1.3积的乘方 课件(共20张PPT)
2
④(－3a2b2)4＝81a8b8.
27 m6；
2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
实战演练
3. 计算：(1) 82016×0.1252015= ____8____;
(2)
(3)2017
1 3
2016
____-_3___;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=___1_____.
a6b6 27x3y3 4a4 -a2b4
小试牛刀
2．下列计算中，结果不是－64x6y3z9的是( C )
A.（－4x2yz3 ）3
B．－（4x2yz3 ）3
C．－（8x3yz3 ）2
D．－（8x3 ）2（yz3）3
3．若（2ambm+n ）2 =4a4b10成立，则m，n的值为( A )
A．m=2，n=3
注意每个因式都要乘
(4) （
2x3）4 （
2）4（ x3）4 16x12.
方，尤其是字母的系 数不要漏乘方．
小试牛刀
1.判断对错，并将错误的改正. (1) （ab2)3=ab6 ( × ) (2) (3xy)3=9x3y3 ( × ) (3) (-2a2)2=-4a4 ( × ) (4) -(-ab2)2=a2b4 ( × )
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？ （畅所欲言）
1.说一说积的乘方法则？ 2.积的乘方法则可以逆用吗？
实战演练
1．计算－（xy3)2的结果是( B )
A．x2y6
B．－x2y6
C．x2y9
D．－x2y9
2．下列各式中，正确的个数有( B ) ①(2x2)3＝6x6； ②(a3y3)2＝(ay)6； ③( 3 m2)3＝
④(－3a2b2)4＝81a8b8.
27 m6；
2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
实战演练
3. 计算：(1) 82016×0.1252015= ____8____;
(2)
(3)2017
1 3
2016
____-_3___;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=___1_____.
a6b6 27x3y3 4a4 -a2b4
小试牛刀
2．下列计算中，结果不是－64x6y3z9的是( C )
A.（－4x2yz3 ）3
B．－（4x2yz3 ）3
C．－（8x3yz3 ）2
D．－（8x3 ）2（yz3）3
3．若（2ambm+n ）2 =4a4b10成立，则m，n的值为( A )
A．m=2，n=3
注意每个因式都要乘
(4) （
2x3）4 （
2）4（ x3）4 16x12.
方，尤其是字母的系 数不要漏乘方．
小试牛刀
1.判断对错，并将错误的改正. (1) （ab2)3=ab6 ( × ) (2) (3xy)3=9x3y3 ( × ) (3) (-2a2)2=-4a4 ( × ) (4) -(-ab2)2=a2b4 ( × )
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？ （畅所欲言）
1.说一说积的乘方法则？ 2.积的乘方法则可以逆用吗？
实战演练
1．计算－（xy3)2的结果是( B )
A．x2y6
B．－x2y6
C．x2y9
D．－x2y9
2．下列各式中，正确的个数有( B ) ①(2x2)3＝6x6； ②(a3y3)2＝(ay)6； ③( 3 m2)3＝
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(2)(-a)3； (5)(-xy)7 ； (8)[(-t)5]3 .
(3)(-2x)4 ； (6)(-3abc)2 ；
应用提高、拓展创新
因为(ab)n＝anbn，所以anbn＝(ab)n. 逆用性质进行计算:
(1)24×44×( 1 8
(2)(－4)2008×(
1
)4
1 4
＝ （2×4× 81）4=14=1 )2008＝ (－ 4× 4)2008
15.1.3 积的乘方
活动1
复习
1. a2·a3＝_a_5_，
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
字母表示：a m·a n= a m+n ( m、n都为正整数).
2. (a3)7＝__a_21_，
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 字母表示：(am)n=amn (m,n都是正整数）.
(ab)n=an bn .
语言表述：
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘．
拓展： 当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一 性质． 例如， (abc)n=anbncn.
活动3
知识应用，巩固提高
例1 计算
(1) (3x)3; 例2 计算
(2)(－2b)5;
(3)(－2xy)4; (4)(3a2)n.
(1)(2a)3;
(2)(－5b)3;
(3)（xy2)2 ;
(4)(－2x3)4 .
思考： (－a)n= －an(n为正整数）对吗？
(1) 当n为奇数时， (－a)n= －an(n为正整数）. (2) 当n为偶数时， (－a)n=an(n为正整数）.
(体现了分类的思想）
1.口答
(1)(ab)6； (4)(14 ab)3 ； (7)[(-5)3]2 ；
观察并猜想
计算。 (1)22×32 ＝ 4×9＝36 (2) (2×3)2＝ (2×3)(2×3) =6×6=36
结果发现： (2×3)2 ＝ 22×32
猜想：(ab)2与a2b2是否相等?为什么？
观察、猜想： (ab)2与a2b2 是什么关系呢？
（ab)2=(ab)·(ab) =(aa) ·(bb)=a2b2
乘方的意义 乘法交换律、结合律 乘方的意义
思考：积的乘方(ab)n =?
公式证明
n个 (ab)n =(ab)·(ab)·····(a (乘方的意义)
b) n个 n个 =(a·a·····a)·(b·b·····b)(单项式的乘法法则) =anbn (乘方的意义).
即 (ab)n=an bn .
积的乘方公式
=(－1) 2008=1
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
小结
1.本节课的主要内容：积的乘方 幂的运算的三个性质：
am·an=am+n
a a ( m)n= mn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
பைடு நூலகம்
2. 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要乘方，还有符号问题.
作业：习题15.1第1、2题