第4章1-3节

解 : ξ ~ B(4, 80%)
P{ξ = 0} = C (0.8) (0.2) = 0.0016
0 4 0 4 1 P{ξ = 1} = C4 (0.8)1 (0.2) 3 = 0.0256 P{ξ = 2} = C42 (0.8) 2 (0.2) 2 = 0.1536 P{ξ = 3} = C43 (0.8) 3 (0.2)1 = 0.4096 P{ξ = 4} = C44 (0.8) 4 (0.2) 0 = 0.4096
10 × 0.808 792 + 8 × 0.189 797 = 9.61 (元 )
§4.4 指数分布
的概率密度为： 定义： 定义：如果随机变量 ξ 的概率密度为：
λe λx ( x) = 0
当x>0 其他
其中 λ > 0, 则称 ξ 服从参数为 λ 的指数分布 , 记为 : ξ ~ E (λ )
(二) 二 分 的 望 方 项 布 期 和 差
法一： 法一：
n
n
Eξ = np Dξ = npq
n! Eξ = ∑ kP {ξ = k } = ∑ k Eξ p k q n k = np = np k =0 k !( n k )! k =0 n n n! 2 2 2 2 E ξ = ∑ k P{ξ = k } = ∑ k Eξ p k q n k = n2 p2 + npq k =0 k !( n k )! k =0 故
P { ξ i = k } = p k q 1 k ( k = 0 , 1)
ξ 显 然 ， 1 , ξ 2 , , ξ n 是 相 互 独 立 的 ， 在 n 次 试 验 中 ， 事 件 A 发 生 的 次 数 ξ = ξ1 + ξ 2 + + ξ n .
P{ξ = 0} = P{ξ1 = 0 , ξ2 = 0 , , ξn = 0}
例2：某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均一件上有 ：
0.8个疵点，若规定疵点数不超过一个为一等品，价值10元，疵 点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上者为废品，求 产品为废品的概率以及产品的平均价值。 二等品的概率为 P{1 < ξ ≤ 4} = P{ξ = 2} + P{ξ = 3} + P{ξ = 4} = 0.143 785 + 0.038 343 + 0.007 669 = 0.189 797 因此产品的平均价值为：
A，
例 1 某工厂每天用水量保持 正常的概率为 3 , 求最近 6天
4
分布。 内用水量正常的天数的 分布。
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P 0.000 2 0.004 4 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780 例 2 一批产品的废品率 p = 0.03, 进行 20 次重复抽样 (每次 抽取一个， 抽取一个，有放回的抽 取 ), 求出现废品的频率为 0.1 的概率 . 记为 ξ 出现废品的次数 ξ 出现废品的频率 = P( = 0.1) = P(ξ = 2) 总次数 20 = 0.1 2 = C20 0.032 0.9718 = 0.0988 = 20
(1) P { ξ > 4} = ∑ Pλ ( m ) = ∑ P {ξ = m }
m =5 m=5 ∞ ∞
= 0.001 227 + 0.000 164 + 0.000 019 + 0.000 002 = 0.001 412
( 2) 一等品的概率为 P{ξ ≤ 1} = P{ξ = 0} + P{ξ = 1} = 0.449 329 + 0.359 463 = 0.808792
k0 求法： 设 k = k0 时, P{ξ = k0 } 最大， 求法： 最大， 则有
P{ξ = k0 } ≥ P{ξ = k0 1} P{ξ = k0 } ≥ P{ξ = k0 + 1}
Cnk p k q nk ≥ Cnk 1 pk 1q nk +1 k k nk Cn p q ≥ Cnk +1 p k +1q nk 1
复
1. 数学期望概念
离散型 r.v. 连续型 r.v.
习
EX = ∑xk pk
k =1
∞
EX = ∫∞ xf (x)dx
+∞
2. 数学期望的性质 (计算 )
E(aX + b) = aEX + b
E( X +Y) = EX + EY
独立， 若 X 和 Y 独立，则 EXY = EX EY EXY = EX EY
= ∏ P{ξi = 0} = q n
i =1 n
P{ξ = 1} = ∑ P{ξi = 1, ∏P(ξ j = 0)} = ∑[P(ξi = 1) ∏P(ξ j = 0)]
n n i =1 j ≠i i =1 j ≠i
= npq n 1
依次类推， 依次类推，可得
k P {ξ = k } = C n p k q nk
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(n k0 + 1) p ≥ k0 q (k0 + 1)q ≥ (n k0 ) p
np + p 1 ≤ k0 ≤ np + p
np + p 和 np + p 1 k0 = [np + p]
np + p 为整数 其他
例 3 某批产品有 80% 的一等品，对他们进行重复抽样检验， 共取出 4 个样品，求取的一等品数 ξ 的分布及最可能值.
i =1 i =1 n n
Dξ = D( ∑ ξ i ) = ∑ Dξ i = npq
i =1 i =1
n
(三) 二项 布 最可 值 分 的 能
可能取值为： 2 n 1 二项分布中 ξ 可能取值为：，， ， , 使概率 P{ξ = k } 取最大值的 k , 记作 k 0 , 称为二项分布的 最可能值
例2：某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均一件上有 ：
0.8个疵点，若规定疵点数不超过一个为一等品，价值10元，疵 点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上者为废品，求 产品为废品的概率以及产品的平均价值。
解：设疵点数为 ξ ，由题知，ξ 服从 λ = 0.8 的泊松分布，故有 由题知， 的泊松分布，
= 0.998 (3) np + p = 10 × 0.7 + 0.7 = 7.7
因此最可能命中 [np + p ] = 7 次
泊松(poisson)分布 §4.3 泊松 分布 1. 定义 定义4.3 若r .v . ξ 的概率函数是
λm λ Pλ ( m ) = P ( ξ = m ) = e ( m = 0, 1, ) m! 其中 λ > 0, 则称 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布 . 记为 ξ ~ P ( λ ) ∞ xk = ex ∑ 2. 期望与方差 k =0 k ! ∞ ∞ ∞ λm λ λm λ λm 1 Eξ = ∑ m e = ∑m e = λe λ ∑ m! m! m =0 m =1 m = 1 ( m 1)!
离散型 r.v. 函数
EY = E[ f ( X)] = ∑ f ( xk ) pk
k
+∞
连续型 r.v. 函数 EY = E[ f ( X )] = ∫ f ( x)φ( x)dx ∞
3.方差，协方差及相关系数的概念及计算 方差， 方差
DX = E ( X EX ) = EX 2 (EX ) 2
Eξ = λ
Eξ 2 = λ2 + λ
所以
Dξ = Eξ (Eξ ) = λ
2 2
3. 泊松分布与二项分布的关系
当 n → ∞ 时 ， 记 ：np = λ
k C n p k (1 p )n k →
λk λ e k!
( k = 0 , 1 , ） ）
二项分布以泊松分布为极限， 很小时， 即： 二项分布以泊松分布为极限，当 n 很大 p 很小时，用 泊松分布近似代替二项分布。 泊松分布近似代替二项分布。
解： 数 为 λ 的 指 数 分 布 的 分 布 函 数 为 ： 参
F ( x ) = 1 e λx = 1 e
x 1000
( x > 0)
定 义 如 果 r .v . ξ 有 概 率 函 数
pk = P{ξ = k} = C p q
k n
k nk
(k = 0,1, 2, , n)
其中 0 < p < 1, q = 1 p,
的二项分布， 则称 ξ 服从参数为 n , p 的二项分布，记为 ξ ~ B(n, p） ） 二项分布
k 注 1. ξ 的 分 布 函 数 为 F ( x ) = ∑ C n p k q n k k≤ x
Dξ Dξ = Eξ 2 ( Eξ )2 = npq = npq
法二： 法二： ξ = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n
Eξ i = p Dξ i = pq
n
ξ i ( i = 1, 2, ... n )相 互 独 立 且 服 从 0 1分 布 . Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = np
2. 事 件 A 至 多 出 现 m 次 的 概 率 为 :
k P {0 ≤ ξ ≤ m } = ∑ C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ p k q n k
m
3. 事件 A 出现次数不小于 l 不大于 m 的概率为:
k P{l ≤ ξ ≤ m } = ∑ C n p k q n k k =l m
k=0
贝努里试验的特点： 贝努里试验的特点： （1）每次试验条件相同； ）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ） 且 P(A)=p ， ( A) = 1 p； P （3）各次试验相互独立. ）各次试验相互独立.