概率论与数理统计(王明慈) 习题二
概率论与数理统计第二版参考答案
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
数理统计与概率论习题二答案.ppt
F ) 1 3( F () x 不 是 分 布 函 数 . 3
0.5ex , x 0 2.4 设随机变量X的分布函数 F( x) 0.8 , 0 x 1 1, x 1
求(1)P{X=0};(2)P(X<0);(3)P(0<X≤1.5);(4)P(X>3) 解 ( 1 ) P { X 0 } F ( 0 )l i m F ( x )
41设xn01求下列随机变量y的概率密度e??y2212?解2xxxfxex???????11212?????由yyxx??????????????????1?????yyyy1y2x122211y22???????yyfe??218122?????????yey2
2.1 某人投篮两次,设A={恰有一次投中},B={至少有一 次投中},C={两次都投中},D={两次都没投中},又设随 机变量X为投中的次数,试用X表示事件A,B,C,D.进一步 问A,B,C,D中哪些是互不相容事件?哪些是对立事件? {X1 } B {X1 } 解 A
解
x 1
l i m F ( x )l i m 0 . 3 0 . 3 F ( 1 ) 2 2
x 1
F ( xx ) 在 1 处 不 右 连 续 . 2 F () x 不 是 分 布 函 数 . 2
2.2 指出下列函数是否是分布函数?
x 0, (3 )F ) c o sx , x0 3(x 1, x0
2.6 一批零件中有8个正品和2个次品,安装机器时从这 批零件中任取一个.如果每次取出的次品不再放回去, 用X表示在取得正品以前已取出的次品数,求X的分布列 及分布函数. 解 X所有的取值为0,1,2 8 4 2 8 8 P { X0 } PX { 1 } 1 0 5 1 0 9 4 5
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计2.第二章练习题（答案）
概率论与数理统计2.第⼆章练习题（答案）第⼆章练习题(答案)⼀、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则⼀定成⽴的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)⾮负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X O }B. f(x)= f(-x)C. p{xl} D ? F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设⽚3与E（⼒分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF?—胡（⼒是某⼀随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设⼼与⼈是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （⼒和f2（⼒，分布函数分别为川⼒和E （⼒，则（A）亡（⼒+負（⼒必为某个随机变量的概率密度；（B） f⼼）临（⼒必为某个随机变量的概率密度；（C）川⼒+￡（⼒必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（⼒必为某个随机变量的分布函数。
王明慈 概率论与数理统计 第二版 习题解答 习题一
P( A A ∪ B ) =
___
P[ A ∩ ( A ∪ B ] P( A ∪ B )
___
___
=
P( A ∪ A B )
___
___
=
P( A)
___
16 盒中里有 10 个电子元件，其中有 7 个正品，3 个次品，从中每次抽取一个，不放 回地连续抽取四次，求第一，第二次取得次品且第三第四次取得正品的概率。
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P (BC ) + P ( ABC )
=1 −
1 3 = 。 4 4
答 案
3
w.
5 一批产品共有 200 件，期中有 6 件废品，求： （1）任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率； （2）任取 3 件产品没有废品的概率； （3）任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率。
第一章 1 写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点。 （1）同时掷三枚塞子，记录三枚塞子的点数之和， A − “点数之和大于 10”， B − “点数之和小于 15”。 解：三枚塞子掷得的点数最小为 3，最大为 18，并且可以组成这中间的连续自然数。 所以样本空间及各事件可表示为：
Ω = {3， 4， 56 ， ⋯16 17 ，18} ， ， A = {11,12,13,14,15,16,17,18}, B = {3, 4,5, 6 ⋯12,13,14}.
ww
w.
所以 P ( B A) =
14 某人忘记电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，求他拨号不超 过两次而接通的概率。 解：设 Ai 表示第 i 次拨通。则根据题意有
概率论与数理统计-第二与三章练习详细答案
《概率论与数理统计》第二、三章练习一、单项选择题1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A(A)52,53-==b a (B)32,32==b a (C)23,21=-=b a (D)23,21-==b a解答：因为12()()()1F aF bF +∞=+∞-+∞=(F(x)是分布函数，所以有上述等式成立)所以有111a b -=，故选A 。
2.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-11102100)(x ex x x F x，则==}1{X P C(A)0 (B)21 (C)121--e (D)11--e解答：因为{}()(0)P X a F a F a ==--，其中(0)lim ()x aF a F x -→-=，将a=1代入，可知答案为C 。
3.设)(x ϕ为标准正态分布的概率密度函数，)(x f 为]3,1[-上均匀分布的概率密度函数，若⎩⎨⎧>≤=0)(0)()(x x bf x x a x g ϕ（0,0>>b a ）为概率密度函数，则b a ,应满足 A (A)432=+b a (B)423=+b a (C)1=+b a (D)2=+b a解答：由概率密度的性质知() 1.g x dx +∞-∞=⎰而3113()()()(0)1424g x dx a x dx bf x dx a b dx a b ϕφ+∞+∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰，故知答案为A 。
4.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率}|{|σμ<-X P C(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 解答：{||X P X P σμμσσσσ---<=-<-<=<<=--=- 故选C 。
概率论与数理统计习题二答案
P[X=k}=a—,k!
其中k=0,1,2,…，入＞0为常数，试确定常数
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,
k=1,
2,…，N,
试确定常数a.
【解】(1)由分布律的性质知
(2)由分布律的性质知
N
k)—a
k 1N
即
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为
(1)两人投中次数相等的概率；
(2)甲比乙投中次数多的概率.
（1）X的分布律；
（2）X的分布函数并作图；
（3）
故X的分布律为
X
0
1
2
P
22
12丄35 Nhomakorabea3535
(2)当x<0时，F(x)=P(XWx)=0
22F(x)=P(Xwx) =P(X=0)=——
35
34 F(x) =P(Xwx) =P(X=0)+P(X=1)=—
35
当x>2时，F故X的分布函数
(X)=P(XWx) =1
《概率论与数理统计》习题及答案
习题
2，3，4,5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只X的分布律.
X 3,4,5
1
P(X
3)
c；
3
0.1
P(X
4)
J
0.3
C5
P(X
5)
c2
^3
0.6
5
故所求分布律为
X
3
4
5
P
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：
.341C
1 ——一0.
3535
求3次射击中击中目标的次数的分布
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案.
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律．解：)0()()(000--==x F x F x X P ，∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ，5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ，3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ，∴X 的分布律为2．设k a k X P 32()(==， ,2,1=k ，问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律．解：由规范性，a a a n n k k 2321]32(1[32lim)32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑，∴21=a ，此时，k k X P 32(21)(⋅==， ,2,1=k ．3．设离散型随机变量X 的分布律为求：(1)X 的分布函数；(2)21(>X P ；(3))31(≤≤-X P ．解：(1)1-<x 时，0)()(=≤=x X P x F ，11<≤-x 时，2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ，21<≤x 时，7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ，2≥x 时，1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F ．(2)方法1：8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P ．方法2：8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P ．(3)方法1：1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P ．方法2：101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P ．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X 记这两种新药的年销售额，求X 的分布律．解：设=i A {第i 组取得成功}，2,1=i ，由题可知，1A ，2A 相互独立，且4.0)()(21==A P A P ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21A A ，21A A ，21A A ，21A A ，相对应的X 的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ，24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ，36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ，∴X 的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p ，直到射中为止，求：(1)射击次数X 的分布律；(2)脱靶次数Y 的分布律．解：(1)由题设，X 所有可能的取值为1，2，…，k ，…，设=k A {射击时在第k 次命中目标}，则k k A A A A k X 121}{-== ，于是1)1()(--==k p p k X P ，所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P ， ,2,1=k ．(2)Y 的所有可能取值为0，1，2，…，k ，…，于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P ， ,2,1,0=k ．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p ，10<<p ，以X 表示直至两个面都出现时的试验次数，求X 的分布律．解：X 所有可能的取值为2，3，…，设=A {k 次试验中出现1-k 次正面，1次反面}，=B {k 次试验中出现1-k 次反面，1次正面}，由题知，B A k X ==}{，=AB ∅，则)1()(1p p A P k -=-，p p B P k 1)1()(--=，p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ，于是，X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==， ,3,2=k ．7．随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，求)4(=X P 及)1(>X P ．X 100000060000400000P0.160.240.240.36解： )2()1(===X P X P ，∴2e e2λλλλ--=，∴2=λ或0=λ(舍去)，∴224e 32e !42)4(--===X P ．)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=．8．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-．0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求：(1)X 的概率密度；(2))2(≤X P ．解：(1)⎩⎨⎧<≥='=-．0,0,0,e )()(x x x x F x f x ；(2)2e 31)2()2(--==≤F X P ．9．设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-，求：(1)常数A ；(2))3ln 210(<<X P ；(3)分布函数)(x F ．解：(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰，∴π2=A ．(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 2103ln 210==+=<<⎰-x xx x X P ππ．(3)x xx x xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-．10．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=．a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ，试求：(1)常数A ，B ；(2)概率密度)(x f ．解：(1) 2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ，1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π，∴21=A ，π1=B ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=．a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π．11．设随机变量X 的概率密度曲线如图所示，其中0>a ．(1)写出密度函数的表达式，求出h ；(2)求分布函数)(x F ；(3)求)2(a X aP ≤<．解：(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,)(a x x ah h x f 2d )(d )(10ahx x a h h x x f a=-==⎰⎰+∞∞-，∴ah 2=，从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,0,22)(2a x x a a x f ．y hO a x(2)0<x 时，0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ，a x <≤0时，220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-，a x ≥时，1)(=x F ，∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22．(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P ．12．设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他．,0,62,41)(x x f ，记3}{>=X A ，则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ，设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数，则Y ～43,3(B ，所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C ．13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，求：(1)}21{≤X 至少出现一次的概率；(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率．解：由题意知Y ～),3(p B ，其中81d 321(2102==≤=⎰x x X P p ，(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P ．(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P ．14．在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X 的分布函数．解：0<x 时，事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外，是不可能事件，此时0)()(=≤=x X P x F ；a x ≤≤0时，事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率，它与],0[x 的长度x 成正比，即x k x X P x F =≤=)()(，a x =时，1)(=≤x X P ，所以a k 1=，则此时axx F =)(；a x ≥时，事件}{x X ≤是必然事件，有1)(=x F ，综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=，a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(．15．设X ～),2(2σN ，又3.0)42(=<<X P ，求)0(>X P ．解：)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ，∴8.03.0)0()2(=+Φ=Φσ，∴8.0)2()2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P ．16．设X ～)4,10(N ，求a ，使得9.0)10(=<-a X P ．解：)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a，∴95.0)2(=Φa，查标准正态分布表知645.12=a，∴290.3=a ．17．设X ～)9,60(N ，求分点1x ，2x ，使得X 分别落在),(1x -∞，),(21x x ，),(2∞x 的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ，又1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ，∴25.041)(1==<x X P ，33.031)(21==<<x X x P ，125)(2=>x X P ，则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P ．25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ，查标准正态分布表知03601<-x ，∴03601>--x ，则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表，有7486.0)67.0(=Φ，7517.0)68.0(=Φ，75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ，∴675.0268.067.03601=+=--x ，即975.571=x ．5833.0360()360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ，查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ，∴21.03602=-x ，即63.602=x ．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X 为考生的数学成绩，则X ～)100,65(N ，于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律．解：Y 所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(====X P Y P ，307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ，51)2()4(=-===X P Y P ，3011)3()9(====X P Y P ，∴Y 的分布律为20．设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)X Y ln 2-=的概率密度．解：由题设可知⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f ，(1)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，X 2-1-013P5161511513011X 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；e 0<<y 时，)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=，此时，yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=；e ≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,e 0,1)(y y y f Y ．(2)当0≤y 时，=≤}{y Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=，此时，222e 21)e ()e ()()(yy y X Y X F y F y f ---='⋅'-='=；∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY ．21．设X ～)1,0(N ，求：(1)X Y e =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；(3)X Y =的概率密度．解：由题知22e 21)(x X xf -=π，+∞<<∞-x ，(1)0≤y 时，=≤=}e {y Y X ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=，此时，2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f yy y F y F y f -=='⋅'='=π；综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π．(2)1<y 时，=≤+=}12{2y X Y ∅，∴0)()(=≤=y Y P y F Y ；1≥y 时，21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时，0)(=y F Y ，故1≤y 时，0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ，此时，41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--．1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π．(3)0<y 时，=≤=}{y X Y ∅，∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0≥y 时，)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，0=y 时，0)(=y F Y ，∴0≤y 时，有0)(=y F Y ，0)(=y f Y ；0>y 时，22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 22)(22y y y f yY π．22．(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ，+∞<<∞-x ，求3X Y =的概率密度．(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他．,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度．解：(1)0=y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；0≠y 时，)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=，3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ；∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-．0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y ．(2)由于02≥=X Y ，故当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，有0)()(=≤=y Y P y F Y ；当0≥y 时，有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=；因为当0=y 时，0)0()0()(=--=X X Y F F y F ，所以当0≤y 时，0)(=y F Y ．将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=．，；，000)](([21)(y y y f y f y y f X X Y ，⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-．0,0,0),e e (21y y yyy ．23．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他．,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度．解：由于X 在),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(，在Y 的可能取值区间之外，0)(=y f Y ；当10<<y 时，使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ，于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y ．故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2，上式两边对y 求导，得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ；综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,12)(2y y y f Y π．。
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∫
1
0
1 ⎧2 x, 0 ≤ x < 1; f ( x )dx = 1, 即 ∫ 2 Axdx = 1 ⇒ A = 1. 密度函数为： f ( x ) = ⎨ 0 其他。 ⎩0,
（3） P (0.1 < X < 0.7) =
14 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的， 求 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。
⎧1 ⎪ , 0 ≤ x ≤ 5, f ( x) = ⎨ 5 乘客等候时间不超过 3 分钟等价于他到达车站的时刻在第 2 分钟 ⎪ ⎩0, 其他. 1 dx = 0.6. 5 15 某种电子元件的使用寿命 X （单位： h ）的概率密度为
之后，即所求概率为 P ( X ≥ 2) =www.= (∫
+∞
P( x ≥ 2) = 1 − P( x < 2) = 1 − P( x = 0) − P ( x = 1)
ww
R=
9.电话站为 300 个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01，求在 一小时内恰有 4 个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求 相应误差。
kh da
课 后
∫
5 2
解：设乘客到达的时刻为 X ，则 X ∼ U [0,5], 则 X 的概率密度函数为：
答 案
∫
0.1
f ( x)dx = ∫ 2 xdx =0.48.
0.1
w.
0.7
网
0.7
co m
1 1 (3) P( A3 ) = P( X 1 ≤ 150h)3 = ( )3 = . 3 27
解：当 x ≤ 0 时， F ( x ) = 当 0 < x < 2 时， F ( x ) =
ww
∫
x
−∞
∫
x
−∞
1 x 1 e dx = e x ; 2 2 0 1 x1 1 1 f ( x )dx = ∫ e x dx + ∫ dx = x + ; −∞ 2 0 4 4 2
f ( x )dx = ∫
3 对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为 p ，求射击次数的概率分布。
前k −1次都不中
P( X = 1) = 0.9, P( X = 2) = 0.1× 0.9 = 0.09,
P( X = 3) = 0.12 × 0.9 = 0.009,
ww
w.
P( X = k ) = a
解：由概率的规范性知
P( X = 2) = P( X = 3) =
4 C42C16 = 0.2817, 6 C20 3 3 C4 C16 = 0.0578, 6 C20
（2）放回抽样， X ∼ B (6,
ww
分布为：
w.
2 C44C16 P( X = 4) = 6 = 0.0031. C20
课
P( X = 1) =
1 5 C4 C16 = 0.4508, 6 C20
4 4 300 −4 解： P = 0.1689 ， λ = np = 300 × 0.01 = 3 。 1 ( x = 4) = C300 0.01 0.99
10. 函数 F ( x ) =
w.
=1−
0.10 −0.1 0.11 −0.1 e − e ≐ 0.0047 0! 1!
P2 ( x = 4) =
w.
x
+∞
1
网
−1
A
π 1 − x2
1
dx =
x
−∞
co m
1 1 arcsin x + ; π 2
x
当 x ≥ 2 时， F ( x ) =
∫
x
−∞
f ( x )dx = ∫
21 x 1 x e dx + ∫ dx + ∫ 0dx = 1; −∞ 2 0 4 2 0
13 设连续随机变量 X 的分布函数为
∞ λk λk = 1, 又∑ = eλ , 所以aeλ = 1即a = e− λ . k! k ! k =0
w.
解：设射击次数为随机变量 X ，则 X 的所有可能取值为 1，2，3……，且 X 的概率分布为 ：
网
co m
4 0 4 ) (1 − )6 = 0.2621, 20 20 4 1 4 1 = 1) = C6 ( ) (1 − )5 = 0.3932, 20 20 4 4 = 2) = C62 ( )2 (1 − )4 = 0.2458, 20 20 4 3 4 3 = 3) = C6 ( ) (1 − )3 = 0.0819, 20 20 4 4 = 4) = C64 ( )4 (1 − )2 = 0.0154, 20 20 4 5 4 5 = 5) = C6 ( ) (1 − )1 = 0.0015, 20 20 4 6 4 6 = 6) = C6 ( ) (1 − )0 = 0.0001. 20 20
解：设随机变量 X 表示在同一时刻被使用的设备数，则 X ∼ B (5, 0.1).
(1) P ( X = 2) = C52 (0.1)2 (1 − 0.1)3 = 0.0729;
3 5 (2) P ( X ≥ 3) = C5 (0.1)3 (1− 0.1)2 + C54 (0.1)4 (1− 0.1)1 + C5 (0.1)5 (1− 0.1)0 = 0.0086; 3 1 (3) P( X ≤ 3) = C5 (0.1)3 (1 − 0.1)2 + C52 (0.1)2 (1 − 0.1)3 + C5 (0.1)1 (1− 0.1)4 + C50 (0.1)0 (1 − 0.1)5 = 0.9995;
⎧0, x < 0; ⎪ F ( x ) = ⎨ Ax 2 , 0 ≤ x < 1; 求（ 1 ）系数 A ；（ 2 ） X 的概率 密度； （ 3 ） X 落在区 间 ⎪1, x ≥ 1. ⎩ (0.1, 0.7) 内的概率。
解： （ 1） （ 2）由分布函数求导数得密度函数可得
⎧2 Ax, 0 ≤ x < 1; f ( x) = ⎨ ，又由密度函数的性质有 其他。 ⎩0,
∫π
1 2
1 dx = ; 3 1 − x2
x
A
∫
x
−∞
f ( x )dx = ∫ 0dx = 0;
−∞
w.
当 x > 1 时， F ( x ) =
∫
x
−∞
f ( x )dx = ∫
−1
∫
x
−∞
f ( x )dx = ∫ 0dx + ∫ f ( x )dx + ∫ 0dx = 1;
−∞ −1 1
⎧1 x ⎪ 2 e , x ≤ 0; ⎪ ⎪1 12. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ⎨ , 0 < x < 2 ≥ 1; 求 X 的分布函数。 ⎪4 ⎪0, x ≥ 2. ⎪ ⎩
⏐P 1-P 2⏐ = 0.53% P 1 1 是否是连续随机变量 x 的分布函数，如果 x 的可能值充满区间： 1 + x2
kh da
34 −3 e = 0.1680 4!
课
后
答 案
w.
网
co m
(1)(−∞, +∞) ； (2)(−∞, 0) ？
解： （ 1）如果 x 的可能值充满区间 ( −∞, +∞ ) ，则由分布函数性质，
即
P ( x = m) ≥1 P( x = m -1) P ( x = m) ≥1 P( x = m + 1)
λ −1 ≤ m ≤ λ
当 λ 是整数时， m 取 λ 或 λ −1 时 P ( x = m) 最大。 当 λ 是非整数时， m 取 [λ] 时取得最大值。
8. 有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001，在某天的该段时间内有 1000 辆车通过，求出事故的次数不小于 2 的概率。 解：这天出事故的次数服从泊松分布，且分布的参数 λ = np = 1000 × 0.0001 = 0.1, 故
P( X = 4) = 0.13 × 0.9 = 0.0009, P( X = 5) = 1 − 0.9 − 0.09 − 0.009 − 0.0009 = 0.0001. λk , k = 0,1, 2…… ，其中 λ > 0 是常数，试确定常数 a。 k!
∞
5 设随机变量 X 的概率函数为：
6 一大楼有 5 个同类型的供水设备。 调查表明在任一时刻 t， 每个设备被使用的概率为 0.1， 且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同 一时刻: (1) 恰有两个设备被使用的概率。 (2) 至少有 3 个设备被使用的概率。 (3) 最多有 3 个设备被使用的概率。 (4) 至少有 1 个设备被使用的概率。
kh da
课 后
∑a
k =0
4 某射手有 5 发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击命中率为 0.9，求耗用 的子弹数 X 的概率分布。 解： X 的所有可能取值为：1，2，3，4，5. X 的概率分布为：
答 案
P( X = k ) = (1 − p )k −1 p , k = 1, 2,3…… � ��� �
kh da
后
4 ), X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6， X 的概率 20
0 6 C4 C P( X = 0) = 6 16 = 0.2066, C20
答 案
w.
网
co m
1 10
3 10
3 5
0 P( X = 0) = C6 (