河南省开封市2019届高三10月定位考试数学(理)试题(解析版)
2019届高三10月月考数学(理)试卷(含答案)
2019届高三上学期十月知识总结一一理科数学、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1 •复数z 满足Z 1 -i = 1 i ，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B•第二象限 C •第三象限 D •第四象限X —122. 已知集合 A = {x | 0}, B ={ x | y = lg( -x4x 5)}，则 A 「(C R B)=()x +2A. (-2,—1]B • [-2,一1]C • (-1,1]D • [-1,1]3. 给出下列四个命题： ① 若A^B ，贝U A 或B ；② -[2 * ,都有 x 2 2x ；12 2③ "a”是函数“ y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为 二”的充要条件;2④ “ x^ R, x 02 2 3x )” 的否定是“ R, x 2 2 乞 3x ”；其中真命题的个数是(立，则f (2018)的值为(A. 1A. 1A. 14.已知函数f(x)是定义在 B. 2 C. 3R 上的偶函数，且f (0) = -1，且对任意D .二-f (2-x)成5.如果实数 x - y 1 — 0,x, y,满足条件2x ，y 「2_0,，贝V z =1 x 十0,2x 3y的最大值为(6.在平行四边形A.ABCDKAD=1,. BAD =60 ,E为CD的中点•若AC BE = 1，则AB的长为(D. 22 2 27.已知数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且S n ^2a n ，则使不等式a • a ? V a . :: 86成立的n 的最大值为（）9.若将函数f （x ） =sin （2x •「）「、3cos （2x •「）（0”「r ）的图象向左平移 1个单位长度，平移4后的图象关于点（一,0）对称，则函数g （x ） =cos （x •：:）在［ / ］上的最小值2 2 6、• 3C2cosB 」3sinB =2，则a c 的取值范围是（）H n =2n 1，记数列｛a n -20｝的前n 项和为&，则&最小值为（12.对于函数f x 和g x ,设二三：x f x = 0』，—：xg x =0』，若存在:J ,使得8.两个正实数 x, y 满足A.(-1,4)B.1 4 一 y 21，且不等式x m —3m 有解，则实数m 的取值范围是（x y 4（一①-1） （4, ：：） C.(_4,1) D. (_：：,0) (3,：：)1 A.210.在锐角 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若凹bA. 3,2'B. C.一2汁3D.11.对于数列{a n },定义H n=a1+2a2川2 an为的{a n }“优值”，现已知某数列的“优值”A. —70C . -64D . -68则称f X 与g x 互为“零点相邻函数” •若函数f x 二 e x4 x - 2 与g x 二 x 2 _ ax _ a 3 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ A. 2,41 B.汀7C.D.2,3】 二.填空题（本大题共4小题，每题5分.共20 分）13•已知数列Q =1,a n=a n,+3n (n^2,,则数列牯」的通项公式a n= .?■=•T B■“Y R. =•«14. 已知向量|a—b|=|b|, |a—2b冃b|，则向量a，b的夹角为 _____________________________15. 已知关于x的不等式2x -1 mx2 -1 ,若对于xd, •::不等式恒成立，则实数m的取值范围是In x 1 16•已知函数f x是可导函数，其导函数为 f x，且满足xf (x) • f (x)，且f (e)=-x e，则不等式f (x +1) - f (e +1) AX—e的解集为 ___________________三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, C=60； . 2^ . 3b.(1)求角代B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a = 4 , BCD的面积为.3，求BD的长.18. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x2-12x • 27 = 0的两个实数根，数列｛bJ满足j 1 b n二na n1 -(n-1)a n(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)设T n为数列｛b n｝的前n项和，求T n.2 1 19.(本小题满分12 分)已知向量m = (.3cosx,1) ,n = (si nx,cos x-1)，函数f(x)=m・ n -(1)若x 0, , f x 3，求cos2x 的值；IL 4 3(2)在ABC中，角A,B,C对边分别是a, b,c，且满足2bcosA乞2c-■■一3a，当B取最大值时,-3 a 亠ca=1“ABC面积为，求的值.sin A +sin C420.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列｛耳｝的前四项和S4 =14,且a,,a3,a7成等比.(1)求数列｛耳｝的通项公式;1(2)设T n为数列｛ -------- ｝的前n项和，若’T n _ a n勺对一切n三a n a n ■+N*恒成立，求实数■的最大值.2x —121.(本小题满分12分)已知fx二ax-l nx .x(1)若函数f x在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线程；(2)讨论f x的单调性•y = f x在1, f 1处的切线方22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x, g(x) =£ ax2-bx , (1)当a 0，且a为常数时，若函数h(x^x lg(x) 1对任意的成立，试用a表示出b的取值范围；(2)当 a 时，若f(x V)_2 g(x)对x € [0 ,+s)恒成立，其中a,b・R\ x2 _ 4,总有. 0X1 —X2求a的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD3n+ -713. a n 2兀14.614. m _015. -1,e17. (1 ) 18. (1 )A = 75 , B = 45 (2) BD - 13a n =2n -1,6 二4n-1 3nJ⑵ T n = 5 4n-5 2n.319.(1)6(2) 220.(1)O n =n 1(2)' max = 1611 21. a 二y = x —一2222.(1)由题意，得1 3h(x)二xg(x) x 二㊁ax2-bx x在x・[4,；)上单调递增二h'(x)二ax2-2bx 1 _0 在x [4,：：)上恒成立22b乞童-=ax -在x・[4,；)上恒成立x x构造函数F(x) =ax 1 (a 0), x (0,：：)x2 .贝V F '(x)二a -吉二ax2Tx x••• F(x)在(0, a)上单调递减，在(a,；)上单调递增a a(i) 当4，即0 ::：a ：：：去时，F(x)在[4,―彳)上单调递减，在(一乩，；)上单调递增a 16 a a•〔F(x) Lin =F(严)=2 a• 2b岂I.F(x) m in，从而 (」：，• a](ii) 当—-4，即a 一±时，F(x)在(4 ,+s )上单调递增a 162b <F (4) =4a 1，从而b (_：：,2a Q] 8 分4 8综上，当0 :：:a ::: 16 时，b (_：：, a] , a 时，b (_：：, 2a ；]；(2)当b=-|a时，构造函数G(x) =f (x 1) —3g(x) =(x 1)ln(x 1)—*ax2—ax, x [0,：：)由题意，有G(x)乞0对x・[0, •：:)恒成立T G '(x) =ln(x 1) 1 _ax -a, x 二[0,：：)(i) 当a ^0 时，G'(x)=ln(x 1) 1 —a(x 1) 0••• G(x)在[0,;)上单调递增••• G(x) G(0) =0在(0,；)上成立，与题意矛盾.(ii) 当a 0 时，令(x) =G '(x), x [0,二)则：'(x) 斗-a，由于斗(0,1)x +1 x +1①当a _1时，'(X)二丄—a：：：0 , (x)在X [0,二)上单调递减x +1•(X)乞(0) =1 —a 乞0，即G'(x)E0在X [0,：：)上成立• G(x)在x三[0,亠)上单调递减• G(x)乞G(0)=0在[0,；)上成立，符合题意7伙一(1一1)]②当0 ：：a ：：1 时，：'(x)a a,x：=[0,；)x +1 x +1•- (x)在x [0, 1 -1)上单调递增，在x ({ -1,=)上单调递减T (0) =1 -a 0•- (x) 0在x [0, 1 -1)成立，即G '(x) 0 在x [0, 1 -1)成立a a• G(x)在x [0,丄一1)上单调递增a• G(x) G(0) =0在x (0,丄-1)上成立，与题意矛盾a综上，a的最小值为1。
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届开封市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：，∴,∴,故选：C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，数列是等差数列，且．∴故选：B．5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】。
河南省开封市高三上学期定位考试(10月)数学(理)Word版含答案
高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）A.B.C.D. （0,1）2.复数，则 ( )A. z 的共轭复数为B. z 的实部为1C.D. z 的虚部为3．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)若命题p :0x R ∃∈，2000x x -≤，则p ⌝：20000x x x ∃∈->，R ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1541016a a +==，S ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）A ．5B ．21C ．2D ．-2 6.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则21()2x y z -=的最大值是（ ）A ．132 B ．116C. 32 D ．64 7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中错误！未找到引用源。
表示a 除以b 的余数），若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的（ ）A. 0B. 25C. 50D. 758.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．199. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 1 12.函数()(,2)x f x x e x =⋅∈-∞，，函数1()1[2,2][2,2]g x ax x x =+∈-∀∈-，，，总存在唯一0(,2)x ∈-∞，使得01()()f x g x =成立，则实数的取值范围为 （ ）A ．11(,)22- B. 11[,]22- C. 11(,)22e e e e ++- D. 11[,]22e e e e++-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知平面向量a ，b ，c ，(1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k = ． 14.在平面区域Ω={（x ，y ）|≤x≤，0≤y≤1}内任取一点P ，则点P 落在曲线y=cosx15. 在中，角，，的对边分别为，，，tan tan 2tan b B b A c B +=，且5a =，的面积为的值为__________．16.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球的表面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,且122(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC 中，AB=2AC=2，CD=3，平面ADC ⊥平面ABC. （Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面ADC ； （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆E（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若△OAB ||||AB OC ⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩()t 为参数 ，圆2C ：()222y 4x -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程和交点坐标A (非坐标原点)； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为B (非坐标原点),求△OAB 的最大面积(O 为坐标原点) .23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣m|，m ＜0．（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f （x ）+f （-x ）≥2-x ；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，求m 的取值范围．高三数学试题（理科）参考答案二、填空题（每小题5分，共20分）13. -8 14. 15. 7 16. 7π三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知可得1112n n a a n n +-=+， ∴数列{}n a n 是以1为首项，12为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分 ∴(1)2n n n a +=. ．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）2112()(1)1n b n n n n ==⨯-++， ．．．．．．．．．．．．8分111112[(1)()()]2231n S n n =⨯-+-++-+…… ．．．．．．．．．．．．10分122(1)11nn n =⨯-=++ ．．．．．．．．．．．．12分18.解：（Ⅰ）由已知可得BC ⊥AC ， ．．．．．．．．．．．．2分∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC ，．．．．．．．．．4分 又∵BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，∵平面ADC ⊥平面ABC ，过D 作'DD CA ⊥的延长线于'D ，∴'DD ABC ⊥平面，由余弦定理可得2cos 3ACD ∠=，∴sin ACD ∠=，∴'sin DD CD ACD =⋅∠='s 2CD CD co ACD =⋅∠=，C （0,0,0），A （1,0,0），B （0,0），D （2,0∵BC ⊥平面ADC，∴n CB ==为平面ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7分 设(,,)m x y z =为平面ADB的一个法向量，AD =，(AB =-∴0m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(m =，．．．．．．．．．．．．9分cos ,||||23m n m n m n ⋅<>==-⋅，∴二面角B-AD-C的余弦值为23. ．．．．．．12分 19.解：（Ⅰ）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数2X 的概率分布列如下：．．．．．．．．．．．．4分∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；．．．．．．．．．．．．6分（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，．．．．8分 ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，．．10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分20.解：（Ⅰ）由题意得c =2b a =1a b ==. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=． ····································································· 4分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称，由△OAB面积1||||2OAB S AB OC ∆=⋅=||||AB OC ⋅ ·························· 5分 (2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，联立方程组22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++-=， 由2212(31)0k m ∆=-+>得2231m k <+，则122631kmx x k -+=+，21223331m x x k -=+，（*） ························································· 6分||AB = 原点O 到直线l的距离d =所以△OAB的面积1||2S AB d =⋅==， 整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>，··············· 8分 结合（*）得123k x x m -+=，2212123(21)1()222k m y y k x x m m m m m m---+=++=+=+=，则C 31(,)22k m m -，所以222222913(21)131||4422k m OC m m m+-+===-， 22222222222222223121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m-+-+=+⋅=+⋅=+==++， ··············································································································· 10分所以222222211[(3)(1)]11||||(3)(1)44m m AB OC m m -++⋅=-+≤=， 当且仅当2211(3)(1)m m-=+，即m ＝±1时，等号成立，故||||2AB OC ⋅≤，综上||||AB OC ⋅的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分21.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．∵当1a >时，ln 0a >，()1ln xa a -在R 上是增函数，∵当01a <<时，ln 0a <，()1ln xa a -在R 上也是增函数，∴当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞，∴函数()f x 在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）∵存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，∴只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ．．．．．．．．．．．．5分 又∵x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：∴()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 ．．．．．．．．．7分∵11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，∴1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ．．．．．．．．．．．．9分 ∴当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤． ．．．．．．．．．．．．11分综上可知，所求a 的取值范1(0,][e,)e a ∈∞+． ．．．．．．．．．．．12分22.解：（Ⅰ）1C :=θαρ∈（R ） ；2C ：=4cos ρθ ；交点坐标A ()4cos ,αα.（写出直角坐标同样给分） ……………5分 （Ⅱ）4B π⎛⎫⎪⎝⎭，∴14cos sin 24OAB S παα⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=224πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故△OAB的最大面积是 ……………10分23. 解：（Ⅰ）设()2(1)112(11)2(1)x x F x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪≥⎩)2Gx x =-（ 可解得{}20x x x ≤-≥或 ……………5分 （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）=|x ﹣m|+|2x ﹣m|，m ＜0．当x≤m 时，f （x ）=m ﹣x+m ﹣2x=2m ﹣3x ，则f （x ）≥﹣m ； 当m ＜x ＜2m 时，f （x ）=x ﹣m+m ﹣2x=﹣x ，则﹣2m＜f （x ）＜﹣m ； 当x 2m ≥时，f （x ）=x ﹣m+2x ﹣m=3x ﹣2m ，则f （x ）≥-2m ．则f （x ）的值域为[-2m，+∞）， 不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，即为1＞-2m，解得，m ＞-2， 由于m ＜0，则m 的取值范围是（-2，0）． ……………10分。
河南省八市重点高中2019届高三上学期10月质检数学试卷(理科)Word版含解析
河南省八市重点高中2019届高三上学期10月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．2．i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．13．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50405．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）6．如果函数y=2cos （3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知数列{a n }满足•••…•=（n ∈N *），则 a 10=（ ）A ．e 30B ．eC ．eD ．e 408．已知关于x 的函数f （x ）=x 2﹣2，若点（a ，b ）是区域内的随机点，则函数f （x ）在R 上有零点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.1510．已知斜率为3的直线l 与双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，若点P （6，2）是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．B ．C ．2D ．11．若S n =sin，则在S 1，S 2，…，S 2017中，正数的个数是（ ）A ．143B ．286C ．1731D ．200012．定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=0，f （x ）+f （1﹣x ）=1，，且当0≤x 1＜x 2≤1时，有f （x 1）≤f （x 2），则=（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．14．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）15．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=﹣2017，=6，则S 2017= ．16．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 cm 2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c ﹣b=1，求a 的值．18．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°？19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，g（x）=e x﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．五、[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中实数a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥4x+6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．河南省八市重点高中2019届高三上学期10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．2．i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501•i3=﹣i．故选：A．3．已知a=，b=log，c=log，则（）2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第一次执行循环体后，p=1，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=2再次执行循环体后，p=2，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=3，执行循环体后，p=6，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=4，执行循环体后，p=24，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=5，执行循环体后，p=120，不满足继续循环的条件k ＜N （k ＜5）， 故输出结果为：120， 故选：A ．5．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为所求的角，在△AC 1A 1计算． 【解答】解：连接A 1C 1，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， ∴A 1A ⊥平面A 1B 1C 1D 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角．在△AC 1A 1中，sin ∠AC 1A 1===．故选D ．6．如果函数y=2cos （3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦函数的对称性．【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=2cos （3x+φ）的图象关于点成中心对称，∴3•+φ=k π+，k ∈Z ，即φ=k π﹣，k ∈Z ，故么|φ|的最小值为，故选：D ．7．已知数列{a n }满足•••…•=（n ∈N *），则 a 10=（ ）A ．e 30B ．eC ．eD ．e 40【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用作差法求出lna n =，n ≥2，进行求解即可【解答】解：∵•••…•=（n ∈N *），∴•••…•=（n ∈N *），∴lna n =，n ≥2，∴a n =e ，∴a 10=e ，故选B ．8．已知关于x 的函数f （x ）=x 2﹣2，若点（a ，b ）是区域内的随机点，则函数f （x ）在R 上有零点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f （x ）在R 上有零点， 则满足判别式△=4b ﹣4a 2≥0，即b ＞a 2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．9．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113．共7组随机数，∴所求概率为=0.35．故选A．10．已知斜率为3的直线l与双曲线C： =1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则代入双曲线方程，相减可得﹣，∵点P （6，2）是AB 的中点， ∴x 1+x 2=12，y 1+y 2=4，∵直线l 的斜率为3，∴=3，∴a 2=b 2，c 2=2a 2，∴e=．故选A ．11．若S n =sin，则在S 1，S 2，…，S 2017中，正数的个数是（ ）A ．143B ．286C ．1731D ．2000【考点】数列的求和．【分析】由于sin ＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S 1＞0，…，S 12＞0，S 13=0，而S 14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：由于sin ＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S 1＞0，…，S 12＞0，S 13=0，而S 14=0，2017=14×144+1，∴S 1，S 2，…，S 2017中，正数的个数是2017﹣144×2+2=1731． 故选：C ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=0，f （x ）+f （1﹣x ）=1，，且当0≤x 1＜x 2≤1时，有f （x 1）≤f （x 2），则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】依题意，可得f（）=f（）=，再由当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），可得f（）=f（）=f（）=…=f（1）==，从而可得答案．【解答】∵定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1；f（）+f（1﹣）=1，∴f（）=；f（）=f（1），∴f（）=f（）=；∵＞＞，且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），∴f（）＜f（）＜f（），又∵f（）=f（）=f==．f（）=f（）=f（）=…=f（1）==．∴f（）==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为120°，且，，则= ﹣10 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值．【解答】解：；又；∴=．故答案为：﹣10．14．的展开式中常数项为 1820 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】通项公式T r+1==，令16﹣=0，解得r 即可得出．【解答】解：通项公式T r+1==，令16﹣=0，解得r=12． ∴的展开式中常数项==1820．故答案为：1820．15．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=﹣2017， =6，则S 2017= ﹣2017 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】S n 是等差数列{a n }的前n 项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d ，=﹣2017，利用=6，可得6d=6，解得d ．即可得出．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和， ∴数列{}是等差数列，设公差为d ．=﹣2017，∵=6，∴6d=6，解得d=1，∴=﹣2017+×1=﹣1，解得S 2017=﹣2017． 故答案为：﹣2017．16．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm 2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD 为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．19．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【考点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案． 【解答】解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P （A i ）=，A i ∩A j =∅（i ≠j ）（Ⅰ）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）=…（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…∴X的分布列为…∴X的数学期望为E（X）=…（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…∴椭圆的方程为．…（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=k （x ﹣1）．将y=k （x ﹣1）代入整理化简，得（3k 2+1）x 2﹣6k 2x+3k 2﹣3=0．…依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，．…又y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1），所以=====．．…．…综上得k 1+k 2为常数2..…．…21．已知函数f （x ）=a ﹣﹣lnx ，g （x ）=e x ﹣ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若f （x ）=0恰有一个解，求a 的值；（Ⅲ）若g （x ）≥f （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】解：（Ⅰ）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）构造函数m （x ）=+lnx ，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f （1）=a ﹣1，要使恒成立，只需求出g （x ）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2﹣1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=﹣+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a﹣1，g（x）=e x﹣ex+1．g'（x）=e x﹣e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a﹣1，∴a≤2．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y2=2x中，得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t 1、t 2，得到根与系数的关系，由M 为线段AB 的中点，根据t的几何意义，即可求出点M 的坐标；（2）利用弦长公式|AB|=|t 2﹣t 1|，即可得出．【解答】解：（1）∵直线l 过点P （2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tan α=，sin α=，cos α=，∴直线l 的参数方程为（t 为参数）（*）∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2=2x 中，整理得8t 2﹣15t ﹣50=0，且△=152+4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为t 1、t 2，由根与系数的关系，得t 1+t 2=，t 1t 2=﹣，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，因为中点M 所对应的参数为，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式中，得M （，）．（2）|AB|=|t 2﹣t 1|==．五、[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+5x ，其中实数a ＞0．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f （x ）≥4x+6的解集； （Ⅱ）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x ≤﹣2}，求a 的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f （x ）=|2x ﹣3|+5x ，通过对x 取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，再解不等式f （x ）≥4x+6即可求得其解集；（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）通过对x 取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；法二：（从等价转化角度考虑），|2x ﹣a|≤﹣5x ，此不等式化等价于5x ≤2x ﹣a ≤﹣5x ，易解得，不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，从而可求得a的值【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥4x+6可化为|2x﹣3|≥﹣x+6，2x﹣3≥﹣x+6或2x﹣3≤x﹣6．由此可得x≥3或x≤﹣3．故不等式f（x）≥4x+6的解集为{x|x≥3或x≤﹣3}．…（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于或解之得或因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．…法二：（从等价转化角度考虑）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于5x≤2x﹣a≤﹣5x，即为不等式组解得因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．…。
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试(理数)
河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知函数44()sin cos f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的图像关于y 轴对称D ．()f x 在区间[,]42ππ上单调递减 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =A ．26B ．52 C.78 D ．1045.已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．16π- B ．164π- C.322π- D ．644π-7.已知函数123,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是 A ．[1,2) B ．[1,)+∞ C.[2,)+∞ D ．(,2][1,)-∞-+∞8.若x ，y 满足约束条件22,2,20,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2y x +的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1(,][1,)2-∞-+∞ C. [0,1] D ．1[,1]29.已知数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A ．2012n ≤B ．2015n ≤ C.2017n ≤ D ．2018n ≤ 10.已知ABC ∆的内角3A π=，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+，则m n +的值为A ．1118 B ．1 C.718D ．2 11.已知P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12||12F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为曲线的离心率为A ．3B ．2D12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B．C. D． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10(1)x -的展开式中，3x 的系数等于 ．14.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 方向上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为 ．15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2DF AF =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，3()n n S n m a =+，()m R ∈，且n n a b n =.若存在*n N ∈，使得2n n T T λ+≥成立，则实数λ的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率； （ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21. 已知函数21()xax bx f x e++=. （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(1)1f =，且方程()1f x =在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02πα<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ πθα=+与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-.（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CDCBD 6-10: ABACA 11、12：BB二、填空题13. -120 14.120︒ 15.413 16.13三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=， ∵sin sin()C A B =+=sin cos cos sin A B A B +，∴sin sin cos sin B A A B =， ∵sin 0B ≠∴sin cos A A =，∵(0,)A π∈∴4A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==， 由2a =及余弦定理得2242cos 4b c bc π=+-，又222b c bc +≥，故2(2bc ≤=，当且仅当b c =时，等号成立.∴ABC ∆1.18. 解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =，∴BC ⊥平面ABE ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，1,0)2E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >， 易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，∵33(,0)2BE =-，(0,2,)BF h =-， ∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x y y hz -=⎪⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =，6cos ,4||||m n m n m n ⋅===⋅，∴1h =.点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --19. 解：（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)∴抛物线的焦点为(1,0)F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =. （Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：||24AB p ==，||2MF =，||2||AB MF =. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为(1)y k x =-，且11(,)A x y ，22(,)B x y .联立方程组：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=；21222(2)kx x k++=，121x x ⋅=，216(1)0k ∆=+>，12|||AB x x -=224(1)k k +=FM 所在的直线方程为1(1)y x k =--，联立方程组：1(1)1y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点2(1,)M k -，∴||MF==∴224(1)||2||kABMF+==>，综上所述：||||ABMF的最小值为2.由列联表可得21250(50900200100)25010001501100k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯18.939 6.635≈>，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为P=25501000.90.80.6250250250⨯+⨯+⨯502530.40.32502505+⨯+⨯=.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为X，则3(4,)5X，4432()()()55k k kP X k C-==，0,1,2,3,4k=，估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为150905⨯=.21. 解：（Ⅰ）2'(2)1()xax a b x bf xe-+-+-=，当1a b==时，2'()xx xf xe-+=，'()0f x>，得01x<<，∴()f x在(0,1)上单调递增；'()0f x<，得0x<或1x>，∴()f x在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递减.∴()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)f e=. （Ⅱ）由(1)1f =得1b e a =--，由()1f x =得21xe ax bx =++，设2()1xg x e ax bx =---，则()g x 在(0,1)内有零点，设0x 为()g x 在(0,1)内的一个零点， 由(0)(1)0g g ==知()g x 在0(0,)x 和0(,1)x 不单调.设'()()h x g x =，则()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()h x 在(0,1)上至少有两个零点.'g ()2x x e ax b =--，'()2x h x e a =-，当12a ≤时，'()0h x >，()h x 在(0,1)上递增，()h x 不可能有两个及以上零点， 当2e a ≥时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上递减，()h x 不可能有两个及以上零点，当122e a <<时，令'()0h x =得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()h x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，()h x 在(0,1)上存在最小值(ln(2))h a ， 若()h x 有两个零点，则有(ln(2))0h a <，(0)0h >，(1)0h >，(ln(2))h a =32ln(2)1a a a e -+-，1()22e a <<，设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-，(1)x e <<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕx e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减.∴max ()10x e ϕϕ==-<，∴(ln(2))0h a <恒成立. 由(0)120h b a e =-=-+>，(1)20h e a b =-->，得21e a -<<.22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）依题意，∵(0,)2πα∈，∴||4cos OP α=，1|||sin()cos()|22OQ ππαα=+-+1sin cos αα=+，12cos ||||12cos sin OPQ S OP OQ ααα∆===+，∴tan 1α=，(0,)2πα∈，∴4πα=，||OP =23. 解：（Ⅰ）()2()f x g x +=|2|2|1|x a x ++-|2||22|x a x =++-|2|(22)||2|1x a x a ≥+--=+=∴1a =-或-3.（Ⅱ）当1[,1]2x ∈时，|2||1|1x a x ++-<，即|2|11x a x ++-<， ∴|2|x a x +<，3ax a -<<-， ()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，即132a -<且1a ->，∴312a -<<-.。
2019届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(word版)
开封市2019届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D3.已知函数，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 的图像关于轴对称D. 在区间上单调递减【答案】C4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B5.已知直线，和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B7.已知函数若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B8.若，满足约束条件则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A9.已知数列中，，，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是A. B. C. D.【答案】C10.已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，设，则的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A11.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.D.【答案】B12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数等于__________．【答案】-120【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】（1﹣x）10的展开式中，T r+1（﹣x）r，令r＝3，则T4x3，则x3的系数120．故答案为：﹣120．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.已知向量，，且在方向上的投影为-3，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】，，解得，，，所以与的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设DF＝2AF＝2a，求出△DEF和△ABC的面积，计算所求的概率值．【详解】由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE，∴∠AFC＝π；∴△DEF的面积为S△DEF•2a•2a•sin a2，△AFC的面积为S△AFC•a•3a•s in a2，∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P．故答案为：．【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n＝T2n﹣T n，判断数列的单调性，即可求出【详解】∵3S n＝（n+m）a n，∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3S n＝（n+2）a n，①，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，②，由①﹣②可得3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，即（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，∴，∴，，，…，，，累乘可得a n＝n（n+1），经检验a1＝2符合题意，∴a n＝n（n+1），n∈N*，∵a n b n＝n，∴b n，令B n＝T2n﹣T n，则B n+1﹣B n0，∴数列{B n}为递增数列，∴B n≥B1，∵存在n∈N*，使得λ+T n≥T2n成立，∴λ≥B1，故实数λ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（Ⅱ）的面积，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.【解析】【分析】（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．【详解】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：参考公式：，其中【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）（ⅰ）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，从而得到的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数. 【详解】（Ⅰ）列联表如下：由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f （x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得e x＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝e x﹣ax2﹣bx ﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ），当时，，，得，∴在上单调递增；，得或，∴在和上单调递减.∴的极小值为，极大值为.（Ⅱ）由得，由得，设，则在内有零点，设为在内的一个零点，由知在和不单调.设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.，，当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，当时，令得，∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，若有两个零点，则有，，，，，设，，则，令，得，当时，，递增；当时，，递减.∴，∴恒成立.由，，得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线（其中）与曲线交于，两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长.【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为，曲线的普通方程为，极坐标方程为.（Ⅱ）依题意，∵，∴，，，∴，，∴，.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（Ⅰ）若的最小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】(1) 或4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.试题解析：（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4.（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是.。
河南省开封市2019届高三10月定位考试数学(理)试题
1开封市2019届高三定位考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，其中第n 卷第（ 22）—（ 23）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
12小题，每小题 5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合 M = {0, 1 , 2}, N = {x |A . M = NB. N M1—2i2•若 z = ------ ，则 I z | =1+2i3A .B . 15C . M n N = MD . M U N = M7CD. 553. 若命题 p ： 一x € R , x — Inx >0，则—p 为4.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2+，则公比q =A . — 1 B. 1C .— 2D . 25.某商场经营的某种包装的大米质量 E （单位：kg ）服从正态分布 N（ 10, b 2）,根据检测结果可知P （9. 9W Z w 10. 1）= 0. 96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若 该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在 9. 9kg 以下的职工数大约为A . 10 B. 20 C . 30D . 406 .执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为、选择题：本大题共I x — 1 |w 1}，则A . T X o € R , x o — Inx °w 0 C . 一x € R , x — Inx W 0B .-J x0€ R , x 0 — Inx °>0D . 一x € R , x — Inx v 0L 输丽,A . —1B . 0C . —1或1D . —1或0l x — y +4》07.已知 x , y 满足约束条件x W 2 ，贝U z = x + 3y 的最小值x + y —2》0为A . 0B . 2 C. 6D . 8y —^+4&某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为D. 1 A.14 4—x12 .已知函数 f (x ) = ( k +) Inx +-k x本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题〜第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做 答，第（22）题〜第（23）题为选考题，考生根据要求做答。
2019届河南开封市高三上10月月考数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河南开封市高三上10月月考数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则=___________A .B .C . D.2. 复数z满足（ 1-i ） z=m+i （m∈R, i为虚数单位），在复平面上z对应的点不可能在A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知命题：，总有，则为A . ，使得________B . ，使得C . ，总有___________D . ，总有4. 执行如图所示的程序框图，输出的k值是A . 4______________B . 5C . 6 ________ D.75. 有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（）A . ___________B . ______________C .D .6. 函数 y=4cosx-e |x| （ e 为自然对数的底数）的图象可能是7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B ． C ．___________ D ．8. 已知实数满足，则的最大值是A．________________________ B．9____________________ C．2_________________ D．119. 设函数，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为________A． B．2π C．4π D．10. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的假命题是A. 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60 o 或90 o ；B . 四边形AECF是正方形；C . 点A到平面BCE的距离为 ;D . 该八面体的顶点在同一个球面上.11. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN ∥ F 1 F 2 ，，线段F 1 N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为A . 2_____________________________B . ____________________________C .______________________________ D.12. 已知变量a,b满足b= － a 2 +3lna （ a>0 ） ,若点Q （ m,n ）在直线y=2x+ 上, 则（ a-m ） 2 + （ b-n ） 2 的最小值为A . 9______________________B . ________________________C .____________________________ D . 3二、填空题13. 已知向量 = （ 1，）， = （ 3, m ），且在上的投影为 3，则向量与夹角为______________ .14. 设函数，且f （ x ）为奇函数，则g （）=______________________________15. 在△ ABC中，a＝3，b＝2 ，∠ B＝2 ∠ A，则 c=____________________ ．16. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是____________________ .三、解答题17. 已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1 =1，b 2 = ，a nb n+1 +b n+1 =nb n ．（Ⅰ ）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ ）令c n = a n b n ，求数列{c n }的前n项和T n ．18. 随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表：p19. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 男女总计读营养说明 16 8 24 不读营养说明4 12 16 总计 20 20 40 （Ⅰ ）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？（Ⅱ ）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其均值（即数学期望）．（注：，其中为样本容量．）20. 如图，在三棱柱中，面为矩形，为的中点，与交于点 .（Ⅰ ）证明：；（Ⅱ ）若，求 BC与平面ACD所成角的正弦值.21. 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C 1 ：的焦点，且抛物线C 1 上点P处的切线与圆C 2 ：相切于点Q．（Ⅰ ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C 1 的方程；（Ⅱ ）当正数 P 变化时，记S 1 ，S 2 分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．22. 设函数f （ x ） = （ x﹣a ） 2 lnx，a ∈ R ．（ I ）若x=e是y=f （ x ）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ ）若函数y=f （ x ）﹣4e 2 只有一个零点，求实数a的取值范围 .23. 选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省开封市2019届高三10月定位考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x ｜｜x －1｜≤1}，则 A. M ＝N B. N M C. M∩N＝M D. M∪N＝M【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合N,再判断每一个选项得解.【详解】由题得N ＝{x ｜｜x －1｜≤1}={x|0≤x≤2}，所以M∩N＝M.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2.若z ＝，则｜z ｜＝A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z,再求|z|. 【详解】由题得z ＝=.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复数的模.3.若命题p ：∈R，x －lnx ＞0，则为A. ∈R，x 0－lnx 0≤0B. ∈R，x 0－lnx 0＞0C.∈R，x －l nx≤0 D.∈R，x －lnx ＜0【答案】A 【解析】【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】根据全称命题的否定得为：∈R，x0－lnx0≤0 .故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题,特称命题的否定,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.4.等比数列的前项和为，若，则公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．5.某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P（9．9≤ζ≤10．1）＝0．96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9．9kg以下的职工数大约为A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．得到考试的成绩ξ关于ξ=10对称，根据P（9.9 ≤ξ≤10.1）=0.96，得到P（ξ＜9.9）==0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数．【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（10，σ2）．∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，∵P（9.9≤ξ≤10.1）=0.96，∴P（ξ＜9.9）==0.02，∴公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×1000=20．故答案为：B．【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=10对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．6.执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为A. －1B. 0C. －1或1D. －1或0【答案】D【解析】【分析】先写出分段函数的表达式，再求x的值.【详解】由题得，当x＜0时，当x≥0时，综合得x=-1或0.故答案为：D【点睛】本题主要考查程序框图和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知x，y满足约束条件，则z＝x＋3y的最小值为C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，平移直线x+3y=0确定最优解，再求解最小值即可．【详解】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域如图，作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（2，0）时Z取得最小值：2；故答案为：B．【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.8.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 1【解析】【分析】先根据三视图得到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图得知几何体原图为下图所示的三棱锥A-BCD,所以几何体的体积为.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查三视图找原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的方法有直接法、模型法.9.已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则A. ＜B. π＜3C. ＞D. π＞3【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．【详解】对于A：函数y=x e是（0，+∞）上的增函数，A错；对于B：π3e﹣2＜3πe﹣2⇔3e﹣3＜πe﹣3，而函数y=x e﹣3是（0，+∞）上的减函数，B错；对于C：，而函数y=log e x是（0，+∞）上的增函数，C错，对于D：，D正确；故答案为：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD，∠BAC＝，AB＝AC＝2，BD＝CD＝6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为A. 60πB. 36πC. 24πD. 12π【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC外接圆的半径r，设外接球的半径为R,球心到底面的距离为h,得到关于R和h 的方程组，解方程组即得R和外接球的表面积.【详解】由余弦定理得由正弦定理得，所以三角形ABC的外接圆半径为.设外接球的球心为O,半径为R,球心到底面的距离为h,设三角形ABC的外接圆圆心为E,BC的中点为F,过点O作OG⊥DF,连接DO,BE,OE.在直角△OBE中，（1）,在直角△DOG中，（2）,.所以外接球的表面积为故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，考查空间位置关系，考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用模型法、方程法.11.将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m（m＞0）个单位以后得到的图象与函数y＝ksinxcosx（k＞0）的图象关于（，0）对称，则k＋m的最小正值是A. 2＋B. 2＋C. 2＋D. 2＋【答案】C【解析】【分析】由题意可得y=﹣cos（2x﹣2m）的图象和y=sin2x（k＞0）的图象关于点对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，且cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），由此求得k+m的最小正值．【详解】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=ksinxcosx=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，所以k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．故答案为：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题．12.已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为A. （，＋∞）B. （，＋∞）C. [，＋∞）D. [，＋∞）【答案】B【解析】【分析】利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围．【详解】由题得f′（x）=﹣﹣1=﹣=﹣，（x＞0，k＞0）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即﹣1=﹣﹣1，化简得4（x1+x2）=（k+）x1x2，而x1x2＜，4（x1+x2）＜（k+），即x1+x2＞对k∈[4，+∞）恒成立，令g（k）=k+，则g′（k）=1﹣=＞0对k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴≤，∴x1+x2＞，故x1+x2的取值范围为（，+∞）.故答案为：B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分。
13.已知向量a＝（2，－6），b＝（3，m），且a⊥b，则｜a＋b｜＝___________．【答案】【解析】【分析】先根据已知求出m的值，再求.【详解】由题得2×3-6m=0,所以m=1,所以=（5，-5），所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.若sinα＋cosα＝，则sin2α的值为___________．【答案】【解析】【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解.【详解】由题得1+故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为_____________．【答案】36【解析】【分析】分三种情况讨论，分别求出每一种情况下的方法数，即得解.【详解】(1)当甲上乙不上时，共有种方法；（2）当甲不上乙上时，共有种方法；（3）当甲乙都上时，共有种方法.综上所述，不同的参赛方案种数为18+6+12=36种.故答案为：36【点睛】（1）本题主要考查计数原理和排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率e＝，焦点到其渐近线的距离为2．直线y＝0与y＝2在第一象限内与双曲线C及其渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为___________．【答案】【解析】【分析】由题意得双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线的交点N的坐标和与双曲线第一象限交点B的坐标，记y=2与y轴交于点M，由π|MB|2﹣π|MN|2=π，根据祖晅原理，能求出它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积．【详解】由题得，所以a=1,b=2.∴双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线y=2x的交点N的坐标为（，2），y=2与双曲线=1在第一象限交点B的坐标为（，2），记y=2与y轴交于点M（0，2），A（1，0），∵π|MB|2﹣π|MN|2==π，根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为=2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意祖暅原理的合理运用．三、解答题：共70分。