第二章 多元回归分析
第2章多元回归分析
The relationship btw. wage and educ, exper, tenure:
第二章 多元回归分析:估计
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
Multiple Regression Analysis
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1. Estimation
2
Parallels with Simple Regression
nins btˆh0e, beˆ1q,uit,iobˆnk : s0quared residuals:
i
i
x y nn1
i11 i1 i
yi
bˆ0bˆ0
bˆ1bxˆi11xi1Leabharlann bˆkbxˆ kikx
2 ik
0
n xi 2 y i bˆ0 bˆ1 xi1 bˆk xik 0
the above equation is the estimated equation, is not the really equation. The really equation is population regression line which we don’t know. Wweecoannlygeest taimnOoaLttheSeiintrt.edSrcifeofpe,trueessntiinmt geatseatimdifaOfetLeSrdesnleotpqseuaeasmttiimopnalete,s line. The population regression line is
多元回归分析及其应用
多元回归分析及其应用多元回归分析是一种统计分析方法，可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
相比于简单回归分析，多元回归分析考虑了更多因素的影响，能够更准确地描述变量之间的关系。
本文将介绍多元回归分析的基本原理和应用，以及如何进行该分析的步骤和解读结果。
一、多元回归分析的基本原理多元回归分析建立在线性回归的基础上，使用线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。
它的基本模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2...Xn表示自变量，β0、β1...βn表示模型的系数，ε表示误差项。
多元回归分析的目标是通过拟合最佳的模型，得到各个自变量的系数，以及判断自变量对因变量的影响是否显著。
二、多元回归分析的步骤进行多元回归分析时，需要按照以下步骤进行：1. 数据收集与准备：收集与研究问题相关的数据，并进行数据清洗与整理，确保数据的准确性和完整性。
2. 模型设定：根据研究问题和数据特点，选择适当的模型。
根据自变量和因变量的关系类型，可以选择线性回归、多项式回归、对数回归等各种模型。
3. 模型拟合：使用统计软件进行多元回归分析，拟合出最佳模型。
统计软件会给出各个自变量的系数、截距项以及模型的可靠性指标。
4. 模型诊断：对模型进行诊断，检查模型的合理性和符合假设的程度。
可以通过观察残差图、相关系数矩阵、变量的显著性检验等方法来评估模型的质量。
5. 结果解读：根据模型的系数和统计指标，对结果进行解读。
判断自变量对因变量的影响是否显著，并分析各个自变量之间的相互影响。
三、多元回归分析的应用领域多元回归分析在各个学科和领域都有广泛的应用。
以下是其中几个具体领域的示例：1. 经济学：多元回归分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP、失业率、通货膨胀率等。
2. 医学：多元回归分析可以帮助医学研究人员研究不同因素对疾病发展的影响，如药物剂量、生活方式等。
第2章多元回归分析
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
Multiple Regression Analysis
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1. Estimation
2
Parallels with Simple Regression
fIrno mthethgeefniersrtalocrdaeser cwointhd iktioinnd, ewpeencdanengtevt akriab1 les,
lwineeasreeeqkueasttiiomnastienskbˆ0,1bˆu1,n k n,obˆwk
tynˆheryebiˆf0orbeˆb,0ˆ1mx1ibnˆ1ixmi1 izebˆtkhxekbˆskuxmik of
The STATA command
Use [path]wage1.dta (insheet using [path]wage1.raw/wage1.txt) Reg wage educ exper tenure Reg lwage educ exper tenure
7
A “Partialling Out” Interpretation
8
“Partialling Out” continued
Previous equation implies that regressing y on x1 and x2 gives same effect of x1 as regressing y on residuals from a regression of x1 on x2
多元回归分析法介绍和具体应用
多元回归分析法介绍和具体应用Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是依变量，X1,X2,...,Xp是自变量，β0,β1,β2,...,βp 是回归系数，ε是误差项。
1.收集数据：收集与研究对象相关的自变量和依变量数据。
2.建立模型：根据理论分析或经验，选择合适的自变量，并构建线性回归模型。
3.估计回归系数：利用最小二乘法等方法，估计模型中的回归系数。
4.检验回归模型的显著性：通过计算F统计量或t统计量，判断回归模型是否显著。
5.判断自变量的重要性：利用回归系数的显著性检验或变量的贡献度等指标，判断自变量对依变量的重要性。
6.检查模型的拟合度：通过分析残差、检验回归模型的假设条件等方法，检查模型的拟合度。
7.利用模型进行预测和推断：利用已建立的回归模型，进行依变量的预测和自变量的推断。
1.经济学：多元回归分析可用于研究宏观经济指标与影响因素之间的关系，如利率与货币供应量、GDP与投资、通胀率与产出等。
2.金融学：多元回归分析可用于分析影响股价、汇率、利率等金融变量的因素，帮助投资者制定合理的投资策略。
3.市场营销：多元回归分析可用于研究产品销售量与产品特征、价格、广告投入等之间的关系，为市场营销决策提供依据。
4.生物学：多元回归分析可用于研究生物学变量与环境因素之间的关系，如物种多样性与温度、植物生长与土壤养分等。
5.医学：多元回归分析可用于研究疾病发生与影响因素之间的关系，如心脏病与高血压、肥胖与糖尿病等。
6.社会科学：多元回归分析可用于研究社会科学变量与社会因素之间的关系，如教育水平与收入、犯罪率与失业率等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可用于研究多个自变量对一个依变量的影响，并在各个领域中发挥重要作用，为决策提供科学依据。
在实际应用中，需要注意合理选择自变量、遵守回归模型的假设条件，并进行适当的模型检验和解释。
多元回归分析范文
多元回归分析范文多元回归分析是一种统计分析方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它是简单回归分析的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并提供对自变量的影响程度的评估。
在本文中，将介绍多元回归分析的原理、步骤和应用，并将其与其他相关的统计分析方法进行比较。
Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+…+βnXn+ε其中，β0为常数项，β1,β2,β3为自变量的系数，ε为误差项。
多元回归分析的目标是通过估计自变量的系数，找到一个最佳的拟合线来预测因变量的值。
1.数据收集：收集包括因变量和自变量在内的相关数据。
2.数据预处理：处理缺失值、异常值等数据，进行变量转换和标准化等操作。
3.模型拟合：使用最小二乘法估计自变量的系数，并通过显著性检验确定哪些自变量对因变量有显著影响。
4.模型评价：通过诸如回归系数、拟合优度等指标评价模型的拟合效果。
5.模型预测：利用拟合好的模型进行因变量的预测。
多元回归分析的应用非常广泛。
在社会科学领域，可以用于预测人们的投票行为、消费行为等。
在经济学中，可以用于分析商品价格与销量之间的关系，以及其他经济因素对市场产生的影响。
在医学领域，可以用于分析多个因素对疾病发生的影响。
在工程领域，可以用于预测产品性能与各个因素之间的关系。
与其他统计分析方法相比，多元回归分析的优点在于可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，提供更全面的预测能力。
它可以揭示多个自变量之间的相互作用效应和各自的独立影响，并通过系数的大小提供对各个自变量的相对重要性的评估。
此外，多元回归分析还可以控制其他变量，剔除掉与因变量无关的影响。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，如对线性假设的依赖、需要满足一些基本假设（如线性无关性、同方差性等）等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可应用于多个领域。
通过分析多个自变量与一个因变量之间的关系，可以提供更准确的预测和深入的解释。
然而，在应用多元回归分析时，需要注意对数据的收集和预处理，并且验证模型的拟合优度和假设的合理性。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性_OK
其中n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总离差平方 和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能 力，则对残差平方和的减少没有多大帮助，却增加待 估参数的个数，从而使 R有2 较大幅度的下降。
20
2.修正判定系数 的R 计算
R2 1 (1 R2 ) n 1 n k 1
系数，选择那些与预测对象相关程度高者作为自 变量。
30
三、逐个剔除法（后退法）
首先将与预测对象有关的全部因素引入方程， 建立模型，然后依据每个回归系数的t值大小，逐 个剔除那些不显著的变量，直到模型中包含的变 量都是影响预测对象的显著因素为止。
注意：
（1）当不显著的变量较多时，不能同时剔除，要 从最小的那个系数所对应的变量开始逐一删除。
1
X0(X
T
X
)1
X
T 0
其中， tα 是自由度为年n-k-1的t分布临界值。
29
2.4 解释变量的选择
一、因素分析 因素分析是一种定性分析。它是预测时选择自
变量的第一步。凭借对预测对象的熟悉、了解，分 析找到影响预测对象的所有因素，从中选择。
二、简单相关分析 分别计算预测对象与各影响因素的简单相关
xik xi1 ˆk
xi2k
i 1
xik yi
i 1
其矩阵形式为
X T XBˆ X TY
解得
Bˆ ( X T X )1 X T Y
8
所以多元线性回归方程的矩阵形式为
Yˆ XBˆ X ( X T X )1 X T Y
一元回归的参数估计是多元回归参数估计的特例。
9
n
Q ei2 min i 1 (Y XB)'(Y XB) (Y 'B' X ')(Y XB) Y 'Y Y ' XB B' X 'Y B' X ' XB
心理学研究方法多元回归分析PPT课件
save ——distance –勾上Cook’s和leverage 值
Plots-histogram 和 normal probability plot勾
上-把ZPRED放入Y，把ZRESID放入X轴——
.
12
OK
原始回归方程Y=0.0498X+0.441
标准化回归方程Zy=0.881Zx
β = （δy/ δx）*r =（0.41989/7.426）*0.881=0.04981
.
29
步骤同一元回归
补充步骤 在statistic勾上R square change，part and partial correlation（半偏 相关和偏相关）， conlinerarity diagnostics （共线性判断）
.
30
分层回归方法
Enter：强制进入 Forward：前向选择法 Backward：反向删除法 Stepwise：逐步回归，最常用 把需要控制的变量用这种方法强制enter法
.
39
对强影响点的诊断和处理
同一元线性回归
.
40
多重共线性（conlinerarity diagnostics）
判断方法
✓ 相关系数矩阵：当相关系数>0.8，代表共线性 越大。
✓ 容忍度（tolerance）：最大值为1。当值越小， 代表共线性越大。
✓ 特征值（eigenvalue）：表示该因子所解释变 量的方差。如果很多变量的特征值<1，表示共 线性。
残差是否独立：用durbin-watson进行分析（取值 0<d<4）。如果独立，则d约等于2。如果相邻两点的 残差为正相关，d<2。当相邻两点的残差为负相关时， d>2。
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
这里主要讲的是多元线性回归分析法。
1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析,一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下,分析某一个因素（自变量)是如何影响另一事物(因变量）的过程,所进行的分析是比较理想化的。
其实，在现实社会生活中,任何一个事物(因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量)的影响。
一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量,但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。
例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。
因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。
２. 多元回归线性分析的运用具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1)、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式;(２）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3)、进行因素分析。
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y 0 1x1 2 x2 p xp
称为多元线性回归模型 1）.多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上
自变量.
2）.误差项 ε为随机变量 3）.0 , 1 , 2 , , p 为模型的参数，称偏回归系数.
多元线性回归模型误差项ε的基本假定
续
多重判定系数反映样本回归方程的拟合好坏程度，R 愈
２
大，说明样本回归方程拟合得愈好。显然， 0 R 2 1. 而
SSR R SST
称 y 关于 程度.
( yi y ) 2 ˆ ( yi y ) 2
i 1 i 1 n
n
x1 , x2 , , xp 的样本复相关系数，R 的大小可以 反映作为一个整体的 x1 , x2 , , x p 与 y 的线性相关的密切
第三章 多元线性回归
3.1 多元线性回归模型 3.2 回归方程的拟合优度 3.3 显著性检验 3.4 多重共线性
3.5 利用回归方程进行估计和预测
3.6 虚拟自变量的回归
3.1 多元线性回归模型
一、多元回归模型与回归方程 二、估计的多元回归方程 三、参数的最小二乘估计
一、多元回归模型与回归方程
1.多元回归模型(multiple regression model)
用Excel进行回归分析的步骤
表3-2
Excel输出的回归分析结果
3.2 回归方程的拟合优度
一、多重判定系数
二、估计标准误差
一、多重判定系数(multiple coefficient of determination) 对多元回归同样可分解成如下形式
SST SSE SSR
则多重判定系数为
F F ( p , n p 1)
则拒绝 H 0 ，认为 y 对 系，称回归方程不显著.
x1 , x2 , , xp
存在线性关系，称回归
方程显著. 否则，认为 y 对 x1 , x2 , , x p 之间不存在线性关
方差分析表
前面的这些计算结果可以列成表格的形式，称为方差分析表. 方差分析表
解：由 Excel 给出的多元回归结果见表12-2. 得不良贷款
(y) 与贷款余额 (x1)、累计应收贷款 (x2)、贷款项目个数(x3) 和 固定资产投资额 (x4) 的线性回归方程如下
ˆ y 1.02164 0.040039 1 0.148034 2 x x 0.014529 3 0.029193 4 x x
1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E()=0. 2.误差项ε的方差都相等，即
D( i ) 2 , i 1,2,, n
3.误差项服从正态分布，即
i ~ N (0 , 2 ) , i 1 , 2 , , n
2.多元回归方程(multiple regression equation)
ˆ ˆ ˆ 0 , 1 , , p 的估计为 0 , 1 , , p，则
ˆ ˆ ˆ ˆ y 0 1 x1 p x p
称为估计的多元回归方程(estimated multiple regression equation) 或样本多元回归方程.
三、参数的最小二乘估计
(0.0183, 0.0618 )
回归系数的置信区间
当回归系数通过检验后，还可以给出回归系数的置信区间.
j 的 1 的置信区间为 ˆ j t ( n p 1) s ˆ
2
j
根据例13.13，并可得 1 的0.95置信区间
(0.0183, 0.0618 )
3.4 多重共线性
方差来源 平方和 回归 残差 总和 自由度 均方 F 值
F
SSR
p
SSR / p
SSR / p F ( p, n p 1) SSE /(n p 1)
SSE
n - p - 1 SSE /(n - p - 1) －
SST
n-1
例3.2
根据例 3.1 建立的回归方程，检验线性关系的显著性. 解：提出假设
SSE (n p 1) R 1 SST (n 1) 63.2792 20 1 0.7571 312.6504 24
2
二、估计标准误差(standard error of estimate)
误差项的标准差的估计
(13.9) 称为估计标准误差，或称为估计量的标准差.
根据例13.1的数据，得
3.3 显著性检验
一、线性关系检验 二、回归系数检验和推断
一、线性关系检验
线性关系检验，即回归方程的显著性检验，具体步骤为 1.提出原假设和备择假设 H0 : 1 2 p 0
H1 : 1 , 2 , , p
至少有一个不为0
2.计算检验统计量 SSR/ p F SSE /(n p 1) ３对规定的显著性水平 ，若
一、多重共线性及其所产生的问题
二、多重共线性的判别 三、多重共线性问题的处理
一、多重共线性及其所产生的问题
1.当自变量之间线性相关时，称自变量存在多重共线性.
ˆ 2.自变量存在多重共线性时，使 j 的方差增大，从而使 ˆ j 的取值变动大，甚至会出现反常值.
1 .
当
自 变 量 之 间
二、多重共线性的判别
E( y) 0 1 x1 2 x2
1. 1 表示 x2 保持不变时， x1 每变动一个单位时 E ( y ) 的相应变化量. 2. 2 表示 x1 保持不变时，x2 每变动一个单位时 E ( y )
的相应变化量.
二、估计的多元回归的方程
0 , 1 , , p 是未知参数，可以根据样本数据作估计.记
i 1
ˆ ˆ ˆ 达到最小. 称 0 , 1 , , p 为 0 , 1 , , p 的最小二乘
估计.
续
ˆ ˆ ˆ 根据微积分中求极值的原理， 0 , 1 , , p 应是下列正
规方程组的解
n Q ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ( y i 0 1 x1i p x pi ) 0 i 1 0 n Q ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ( y i 0 1 x1i p x pi ) xij 0 i 1 j j 1,2, , p
例3.3
根据例 3.1 建立的回归方程，检验每一个自变量对因变
量的影响是否显著. 解：根据表3-2，得
t1 3.837 t 2 1.879 t 3 0.175 t 4 1.937
查 t 分布表得
t 0.05 (20) 2.086
2
从而只有 x1 对因变量的影响显著. 并可得 1 的0.95置信区间
表3-1
某商业银行2002年的有关业务数据
分行 不良货款 各项货款余额 本年累计应收货款 货款项目个数 本年固定资产投资额 编号 (亿元) (亿元) (亿元) (个数) (亿元) 1 0.9 67.3 6.8 5.0 51.9 2 1.1 111.3 19.8 16.0 90.9 3 4.8 173.0 7.7 17.0 73.7 4 3.2 80.8 7.2 10.0 14.5 5 7.8 199.7 16.5 19.0 63.2 6 2.7 16.2 2.2 1.0 2.2 7 1.6 107.4 10.7 17.0 20.2 8 12.5 185.4 27.1 18.0 43.8 9 1.0 96.1 1.7 10.0 55.9 10 2.6 72.8 9.1 14.0 64.3 11 0.3 64.2 2.1 11.0 42.7 12 4.0 132.2 11.2 23.0 76.7 13 0.8 58.6 6.0 14.0 22.8 14 3.5 174.6 12.7 26.0 117.1 15 10.2 263.5 15.6 34.0 146.7 16 3.0 79.3 8.9 15.0 29.9 17 0.2 14.8 0.6 2.0 42.1 18 0.4 73.5 5.9 11.0 25.3 19 1.0 24.7 5.0 4.0 13.4 20 6.8 139.4 7.2 28.0 64.3 21 11.6 368.2 16.8 32.0 163.9 22 1.6 95.7 3.8 10.0 44.5 23 1.2 109.6 10.3 14.0 67.9 24 7.2 196.2 15.8 16.0 39.7 25 3.2 102.2 12.0 10.0 97.1
称
E( y) 0 1 x1 2 x2 p x p
(3.2)
为总体多元线性回归方程. j 表示当其他变量不变，而 每变动一个单位时，E(y ) 相应的变动值.
xj
多元线性回归方程的直观解释
考虑二元线性回归模型
y 0 1x1 2 x2
H 0 : 1 2 3 4 0 H1 : 1 , 2 , 3 , 4 至少有一个不为0
根据式
查F 分布表得 F0.05 (4,20) 2.87 ，从而拒绝原假设.
二、回归系数检验和推断
1.当回归方程显著时，仅表示 1 , 2 , , p 中至少有一个 不为 0 ，即并不表示每一个自变量对因变量的影响一定都是显 著的. 2.回归系数的显著性则是对每一个自变量都要检验，从而
修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination) 由于样本多重判定系数的分母 SST 对给定的样本数据是不 变的，而 SSR 与引进回归方程的自变量个数有关.因此，应对 R
２
作调整，调整的样本多重判定系数为
2 R 1
ˆ ( y i y i ) 2 /(n p 1)
使因变量的观察值 y 与估计值 y 之间的离差平方和达到 ˆ ˆ ˆ ˆ 最小来求 0 , 1 , , p ，即使