高级计量经济学多元线性回归模型
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(整理)计量经济学 第三章 多元线性回归与最小二乘估计
第三章 多元线性回归与最小二乘估计3.1 假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理1、多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 + u t (3.1) 其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 决定的k 维空间平面。
当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为 y 1 = β0 +β1x 11 + β2x 12 +…+ βk - 1x 1 k -1 + u 1,y 2 = β0 +β1x 21 + β2x 22 +…+ βk - 1x 2 k -1 + u 2, (3.2) ………..y T = β0 +β1x T 1 + β2x T 2 +…+ βk - 1x T k -1 + u T经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。
代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。
几何意义：y t 表示一个多维平面。
此时y t 与x t i 已知，βj 与 u t 未知。
)1(21)1(110)(111222111111)1(21111⨯⨯-⨯---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡T T k k k T k T TjT k j k jT T u u u x x x x x x x x x y y yβββ (3.3) Y = X β + u (3.4)2假定条件为保证得到最优估计量，回归模型（3.4）应满足如下假定条件。
计量经济学第三章多元线性回归模型
⒈零均值假定
E( i) 0 i 1,2,, n
E(U) 0
⒉同方差和无自相关假定
COV (i , j ) E(i E(i ))( j E( j ))
2 i j
E(i
j
)
0
i j
VAR(U ) E(U E(U))(U E(U))
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki
i 1,2,, n
Yi Yˆi ei
Yˆi
ˆ j
E(Y
j
X 2i ,,
X Ki
)
注意：β1一般情况下没有明确的经济含义，但一般 总包含在回归模型中。
3.1多元线性回归模型及古典假定
二、多元线性回归模型的矩阵形式
总体回归函数描述了一个被解释变量与多个解释
变量之间的线性关系，线性是针对参数而言的。
其中， j 为偏回归系数，表示：在控制其他变量 不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释 变量平均值的影响。
j
Y X j(保持其他变量不变)
Y X j
3.1多元线性回归模型及古典假定
样本回归函数：
(XX)1 X 2ΙX(XX)1 2 (XX)1 XX(XX)1 2 (XX)1
i 1
ei 0
N
( ei2 )
i 1
ˆ2
N
2
N i 1
(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆK
X Ki ) X 2i
2
ei X 2i 0
偏 导
计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
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2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
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3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
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4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
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.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
计量经济学(庞浩)第三章-多元线性回归模型(1)
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
12
第二节 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘法（OLS）
原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 min : ei2 (Yi Yˆi )2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
9
9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释
变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占
的比重，用 R2表示 与简单线性回归中可决系数 r的2 区别只是 不Yˆi 同
多元回归中
Yˆi ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i ˆk Xki
多重可决系数可表示为
R2 ESS TSS
(Yˆi Y )2 (Yi Y )2
0
2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
ˆki
X ki )
0
(i 1, 2, n)
( j 1, 2, n)
ei 0
X2iei 0
2
计量经济学第二章(第二部分)
其中，有k个解释变量；k+1个回归参数
3
计量经济学 第二章B
同 上
（2）矩阵形式： Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
（2）当 R
2
k n -1
时，
R
2
<0 ,此时， 使
2
用 R 将失去意义。因此， R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学 第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平 （4）判定方程的显著性， 若 F F ， 则拒绝原假设 若 F F ，则接受原假设 H 0，即模型的线性关系 F 检验； - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时） F
不管其质量的好坏，而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学 第二章B
同 上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到，要使 B
存在，
必须保证(XˊX)-1存在，因此，必须满
足|XˊX|≠0 ，即XˊX为满秩矩阵，而
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性 回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
X' Xˆ X'Y
如果 X'X存在逆矩阵(这是满秩假定所要求的)，
那么其解为： ˆ(X'X)1X'Y
最小二乘法估计
（多元回归模型）
如果将解释变量视作是非随机的，那么将X作为常 数矩阵，可以得知OLS估计量是线性无偏的： ˆ ( X ' X )1 X 'Y ( X ' X )1 X '( X e) ( X ' X )1 X 'e
ˆˆ1 0
N X1i
ˆ2 X2i
X1i X12i X1iX2i
XX 1iX 2i2i1 XY 1iiYi X2 2i X2iYi
思考：如果X1=2X2会出现什么情况？
最小二乘法估计
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真 正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零 。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变 ，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
最小二乘法估计
（多元回归模型）
上式实现最小化的必要条件是：
ESˆ(ˆS)2X'Y2X'Xˆ0
得出上述结果需要利用以下矩阵算法性质：
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对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u 即： Y*=0+1X1*+2X2*+u 比较： Y e 0 X1 1 X 2 2 u
不同数学函数的性质
模型 线性 双对数 左对数 右对数 倒数 对数倒数 数学方程 Y=β0+β1X lnY=β0+β1lnX lnY=β0+β1X Y=β0+β1lnX Y=β0+β1(1/X) lnY=β0+β1(1/X) 斜率(dY/dX) β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 弹性(dY/dX)(X/Y) β1X/Y β1 β1X β1/Y -β1/(XY) -β1/X
假定6：误差服从正态分布
假定误差服从以零为均值和具有不变方差 的正态分布。
e X ~ N[0, 2 I ]
对于应用工作而言，正态分布假定并不是 必须的，只是为分析计算提供了便利。这 涉及到假定3和4。
最小二乘法估计
ˆ u Y X e X
式中：
是理论模型的未知参数向量 ˆ 是的估计量
ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 2i ˆ 2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
由三个方程可以解出：
ˆ ˆ ˆ Y N X i 0 1 1i 2 X 2i
2 ˆ ˆ ˆ X Y X X 1i i 0 1i 1 1i 2 X 1i X 2 i 2 ˆ ˆ ˆ X Y X X X X 2i i 0 2i 1 1i 2i 2 2i
假定3：解释变量X独立于误差项
根据这一假定1 X 1 ] E[e2 X 2 ] E[e X ] 0 E[en X ] n
假定3：解释变量X独立于误差项
条件均值为零意味着，无条件均值也等于 零。
E[ei ] Ex E[ei X i ] 0
假定3还意味着
Cov[ x, e] Cov[ x, E[e X ]] 0
E[Y X ] X
假定4：球形扰动
(Spherical Disturbances)
Var[ei X ] 2 E[ee ' X ] 2 I E[e1e1 X ] E[e1e2 E[e2 e1 X ] E[e2e2 ... E[en e1 X ] E[en e2
e是理论模型的随机挠动项 u是估计模型的残差项
2 i
用方程形式，残差平方和可以表示为
ˆ ESS u Yi Y i
Y ˆ ˆ X
2 i 0 j ij
2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到： ESS ˆ ˆ X ˆ X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i ˆ 0 ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 1i ˆ 1
第二章 线性回归模型
(Linear regression equations)
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood） 广义矩法（Generalized Method of Moments）
当挠动项同时满足方差相同和无序列相关两个假定时，我们将其称做 球形扰动。
利用方差分解公式可以得到：
假定5：解释变量是非随机的
(Nonstochastic regressors)
古典模型要求X是一个n K 非随机矩阵，即不含 有随机误差； 在应用工作中可以放松这一假定，只要求当X为 随机变量时，其统计分布独立于误差项e，即X与 误差项不相关。
二次函数
交叉项
Y=β0+β1X+β2X2
Y=β0+β1X+β2XZ
β1+2β2X
β1+β2Z
(β1+2β2X)X/Y
(β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K； 该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到 满足时，我们才能够得到参数估计结果。 该假定要求，至少对于K个观察值而言，解释变 量之间不应存在完全的线性关系。当不满足这一 条件时，我们遇到奇异矩阵。 一元回归模型不存在违反该假定的情况。 在遇到此问题时，计量经济软件通常给出“Near Singular matrix”。
假定4与挠动项的方差和协方差有关，即：
和
Cov[ei , e j X ] 0, i j
X ] ... E[e1en X ] X ] ... E[e2en X ] X ] ... E[en en X ]
Var[e] E[Var[e X ]] Var[E[e X ]] 2 I
模型设定与设定误差 虚拟变量的使用 建立多元回归模型时应注意的问题
古典回归模型
当回归模型满足古典假定时，我们称
其为古典回归模型。 一元回归模型
Yi = β0 + β1Xi +ei
多元回归模型
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + . . .+ βKXKi +ei
假定1：参数线性函数
古典多元回归模型的可以表示为：
一般形式：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + . . .+ βKXK +e 离差形式：y = β1x1 + β2x2 + . . .+ βKxK +e 矩阵形式：Y = Xβ +e
在矩阵形式中，Xi是矩阵X 中的一列，常数项被看作是一个取值恒为 0的变量。 需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达 为样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的 关系为线性的。 u 例：CD函数 Y e 0 X1 1 X 2 2 e
不同数学函数的性质
模型 线性 双对数 左对数 右对数 倒数 对数倒数 数学方程 Y=β0+β1X lnY=β0+β1lnX lnY=β0+β1X Y=β0+β1lnX Y=β0+β1(1/X) lnY=β0+β1(1/X) 斜率(dY/dX) β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 弹性(dY/dX)(X/Y) β1X/Y β1 β1X β1/Y -β1/(XY) -β1/X
假定6：误差服从正态分布
假定误差服从以零为均值和具有不变方差 的正态分布。
e X ~ N[0, 2 I ]
对于应用工作而言，正态分布假定并不是 必须的，只是为分析计算提供了便利。这 涉及到假定3和4。
最小二乘法估计
ˆ u Y X e X
式中：
是理论模型的未知参数向量 ˆ 是的估计量
ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 2i ˆ 2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
由三个方程可以解出：
ˆ ˆ ˆ Y N X i 0 1 1i 2 X 2i
2 ˆ ˆ ˆ X Y X X 1i i 0 1i 1 1i 2 X 1i X 2 i 2 ˆ ˆ ˆ X Y X X X X 2i i 0 2i 1 1i 2i 2 2i
假定3：解释变量X独立于误差项
根据这一假定1 X 1 ] E[e2 X 2 ] E[e X ] 0 E[en X ] n
假定3：解释变量X独立于误差项
条件均值为零意味着，无条件均值也等于 零。
E[ei ] Ex E[ei X i ] 0
假定3还意味着
Cov[ x, e] Cov[ x, E[e X ]] 0
E[Y X ] X
假定4：球形扰动
(Spherical Disturbances)
Var[ei X ] 2 E[ee ' X ] 2 I E[e1e1 X ] E[e1e2 E[e2 e1 X ] E[e2e2 ... E[en e1 X ] E[en e2
e是理论模型的随机挠动项 u是估计模型的残差项
2 i
用方程形式，残差平方和可以表示为
ˆ ESS u Yi Y i
Y ˆ ˆ X
2 i 0 j ij
2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到： ESS ˆ ˆ X ˆ X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i ˆ 0 ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 1i ˆ 1
第二章 线性回归模型
(Linear regression equations)
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood） 广义矩法（Generalized Method of Moments）
当挠动项同时满足方差相同和无序列相关两个假定时，我们将其称做 球形扰动。
利用方差分解公式可以得到：
假定5：解释变量是非随机的
(Nonstochastic regressors)
古典模型要求X是一个n K 非随机矩阵，即不含 有随机误差； 在应用工作中可以放松这一假定，只要求当X为 随机变量时，其统计分布独立于误差项e，即X与 误差项不相关。
二次函数
交叉项
Y=β0+β1X+β2X2
Y=β0+β1X+β2XZ
β1+2β2X
β1+β2Z
(β1+2β2X)X/Y
(β1+β2Z)X/Y
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假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K； 该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到 满足时，我们才能够得到参数估计结果。 该假定要求，至少对于K个观察值而言，解释变 量之间不应存在完全的线性关系。当不满足这一 条件时，我们遇到奇异矩阵。 一元回归模型不存在违反该假定的情况。 在遇到此问题时，计量经济软件通常给出“Near Singular matrix”。
假定4与挠动项的方差和协方差有关，即：
和
Cov[ei , e j X ] 0, i j
X ] ... E[e1en X ] X ] ... E[e2en X ] X ] ... E[en en X ]
Var[e] E[Var[e X ]] Var[E[e X ]] 2 I
模型设定与设定误差 虚拟变量的使用 建立多元回归模型时应注意的问题
古典回归模型
当回归模型满足古典假定时，我们称
其为古典回归模型。 一元回归模型
Yi = β0 + β1Xi +ei
多元回归模型
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + . . .+ βKXKi +ei
假定1：参数线性函数
古典多元回归模型的可以表示为：
一般形式：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + . . .+ βKXK +e 离差形式：y = β1x1 + β2x2 + . . .+ βKxK +e 矩阵形式：Y = Xβ +e
在矩阵形式中，Xi是矩阵X 中的一列，常数项被看作是一个取值恒为 0的变量。 需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达 为样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的 关系为线性的。 u 例：CD函数 Y e 0 X1 1 X 2 2 e