多元线性回归与最小二乘估计
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
多元线性回归模型参数的最小二乘估计
x
2 ki
yi
x1i
yi
X
Y
xki yi
ˆ0
ˆ1
ˆ
ˆ k
于是正规方程组的矩阵形式为
( X X )ˆ X Y
（3.2.5）
于是有 ˆ ( X X )1 X Y （3.2.6）
二、中心化模型的参数最小二乘估计 我们已经知道，总体线性回归模型可以表示为
yi 0 1 x1i 2 x2i k xki ui （3.2.7）
u1
U
u2
un
残差平方和
1
2
n
2 i
(Y
Xˆ )(Y
Xˆ )
YY 2ˆ X Y ˆ X Xˆ
其中用到 Y Xˆ 是标量的性质。
（3.2.15）
将残差平方和（3.2.15）对 ˆ 求导，并令其为零：
( ˆ
)
2 X
Y
2 X
Xˆ
0
整理得正规方程组
X Xˆ X Y
（3.2.16）
这里 =0，可以看作是对参数施加一个限制条件。
其中心化模型
yi 1 x1i 2 x2i k xki ui （3.2.11）
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki i （3.2.12）
（i =1,2,…，n）
将它们写成矩阵形式：
Y X U
（3.2.13）
Y Xˆ
ˆ0 xki ˆ1 x1i xki ˆ2 x2i xki ˆk xk2i xki yi
由（3.2.3）第一个方程，可以得到：
y ˆ0 ˆ1 x1 ˆ2 x2 ˆk xk
（3.2.4）
将正规方程组写成矩阵形式：
n x1i xki
★多元线性回归模型的估计
§3.2 多元线性回归模型的估计同一元回归模型的估计一样，多元回归模型参数估计的任务仍有两项：一是求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量jβˆ（j=1,2,…,k ）；二是求得随机误差项的方差估计2ˆσ。
模型(3.1.1)或(3.1.2)在满足§3.1所列的基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法、最大或然法或者矩估计法估计参数。
一、普通最小二乘估计随机抽取被解释变量和解释变量的n 组样本观测值： k j n i X Y ji i ,2,1,0,,,2,1),,(== 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：Kiki i i i X X X Y ββββˆˆˆˆˆ22110++++= i=1,2,…,n (3.2.1) 那么，根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ21Q Q Q Q kβ∂∂β∂∂β∂∂β∂∂(3.2.2)其中 2112)ˆ(∑∑==-==ni ii ni iY Y eQ 2122110))ˆˆˆˆ((∑=++++-=ni kik i i iX X X Yββββ (3.2.3) 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=++++∑∑=++++∑∑=++++∑∑=++++∑kii ki ki k i i i i i ki k i i i i i i ki k i i iki k i i X Y X X X X X Y X X X X X Y X X X X Y X X X )ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110ββββββββββββββββ (3.2.4) 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值k j j,,2,1,0,ˆ =β。
（3.2.4）式的矩阵形式如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑n kn k k n k ki iki ki ki i ii kii Y Y Y X X X X X X X X X XXX XX X Xn212111211102112111111ˆˆˆβββ即： Y X βX)X ('='ˆ （3.2.5） 由于X X '满秩，故有Y X X X β''=-1)(ˆ （3.2.6） 将上述过程用矩阵表示如下：根据最小二乘原理，需寻找一组参数估计值βˆ，使得残差平方和 )ˆ()ˆ(12βX Y βX Y e e -'-='==∑=ni i e Q 最小。
第二章最小二乘法OLS和线性回归模型
8
▪ 其中yt被称作因变量 ▪ xt被称作自变量
（dependent variable）、（independent variable）、
被解释变量
解释变量
（explained variable）、（explanatory variable）、
6
▪ 图2-1中的直线可表示为
y= x
（2.1）
根据上式，在确定α、β的情况下，给定一个x
值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根
据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个
误差（即图2-1中点到直线的距离）。
7
▪ 如果我们以ｕ表示误差，则方程（2.1）变为：
y= x u （2.2） 即： yt xt ut （2.3）
可以进行如下变换：
（2.10）
ln yt lnA lnxt ut （2.11）
▪ 令Yt ln yt、 lnA、X t lnxt ，则方程
（2. 11）变为：
Yt X t ut
（2.12）
可以看到，模型2.12即为一线性模型。
19
▪ 4.估计量（estimator）和估计值（estimate） ▪ 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估
15
▪ 总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关 系，有时也被称为数据生成过程（DGP）， PRF中的α、β值是真实值，方程为：
yt xt + u t （2. 7）
▪ 样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的 变量之间的关系函数，方程为：
yˆ ˆ ˆxt
（2.8）
多元线性回归模型的参数估计
在最小二乘法基础上，对不同的观测值赋予不同的权重，以调整其 对回归参数估计的影响。
广义最小二乘法（GLS）
考虑自变量之间的相关性，通过转换自变量和因变量来消除自变量 之间的多重共线性影响。
03
参数估计的方法
普通最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差 平方和来估计参数。在多元线性回归模型中，普通最小二 乘法通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
模型选择
选择多元线性回归模型作 为预测模型，以商品价格 和用户评价作为自变量， 销量作为因变量。
参数估计
使用最小二乘法进行参数 估计，通过最小化误差平 方和来求解回归系数。
模型检验
对模型进行假设检验，确 保满足线性回归的前提假 设。
结果解释与模型评估
结果解释
根据回归系数的大小和符号，解释各自变量对因变量 的影响程度和方向。
05
参数估计的实例分析
数据来源与预处理
数据来源
数据来源于某大型电商平台的销售数据，包括商 品价格、销量、用户评价等。
数据清洗
对原始数据进行清洗，去除异常值、缺失值和重 复值，确保数据质量。
数据转换
对连续变量进行离散化处理，对分类变量进行独 热编码，以便进行回归分析。
模型建立与参数估计
01
02
03
THANKS
感谢观看
04
参数估计的步骤
确定模型形式
确定自变量和因变
量
首先需要确定回归模型中的自变 量和因变量，通常因变量是研究 的响应变量，自变量是对响应变 量有影响的预测变量。
确定模型的形式
根据自变量和因变量的关系，选 择合适的回归模型形式，如线性 回归、多项式回归等。
线性回归与最小二乘法
线性回归与最小二乘法线性回归是一种常用的统计分析方法，也是机器学习领域的基础之一。
在线性回归中，我们通过寻找最佳拟合直线来对数据进行建模和预测。
最小二乘法是线性回归的主要方法之一，用于确定最佳拟合直线的参数。
1. 线性回归的基本原理线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的误差最小。
我们假设线性回归模型的形式为：Y = β₀ + β₁X₁ +β₂X₂ + … + βₙXₙ + ε，其中Y是因变量，X₁、X₂等是自变量，β₀、β₁、β₂等是回归系数，ε是误差项。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种求解线性回归参数的常用方法。
它的基本思想是使所有样本点到拟合直线的距离之和最小化。
具体来说，我们需要最小化残差平方和，即将每个样本点的预测值与实际值之间的差的平方求和。
3. 最小二乘法的求解步骤（1）建立线性回归模型：确定自变量和因变量，并假设它们之间存在线性关系。
（2）计算回归系数：使用最小二乘法求解回归系数的估计值。
（3）计算预测值：利用求得的回归系数，对新的自变量进行预测，得到相应的因变量的预测值。
4. 最小二乘法的优缺点（1）优点：最小二乘法易于理解和实现，计算速度快。
（2）缺点：最小二乘法对异常点敏感，容易受到离群值的影响。
同时，最小二乘法要求自变量与因变量之间存在线性关系。
5. 线性回归与其他方法的比较线性回归是一种简单而强大的方法，但并不适用于所有问题。
在处理非线性关系或复杂问题时，其他方法如多项式回归、岭回归、lasso回归等更适用。
6. 实际应用线性回归及最小二乘法广泛应用于各个领域。
在经济学中，线性回归用于预测GDP增长、消费者支出等经济指标。
在医学领域，线性回归被用于预测疾病风险、药物剂量等。
此外，线性回归还可以应用于电力负荷预测、房价预测等实际问题。
总结：线性回归和最小二乘法是统计学和机器学习中常用的方法。
线性回归通过拟合一条最佳直线，将自变量与因变量之间的线性关系建模。
(真正的好东西)偏最小二乘 回归=多元线性回归分析+典型相 关分析+主成分分析
偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。
近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。
偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
（2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。
最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。
如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。
变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。
在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。
（3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。
在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。
这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。
一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法1.1建模原理设有 q个因变量{}和p自变量{}。
为了研究因变量和自变量的统计关系,我们观测了n个样本点,由此构成了自变量与因变量的数据表X={}和.Y={}。
线性回归最小二乘法推导
线性回归最小二乘法推导线性回归最小二乘法是一种概率统计模型，用于估计一组数据之间的回归关系。
它根据已知的自变量和因变量之间观察数据，来计算出一个最优的参数用于预测新的观察数据。
线性回归最小二乘法通常应用于研究特定变量的影响因素分析和预测模型的有效性检验。
线性回归模型的推导是根据最小二乘法来完成的，最小二乘法可以用来估计未知参数的模型。
它通常是使用欠拟合的模型，力求尽可能的将模型的结果与真实值拟合的最好。
在实际情况中，最小二乘法寻找形如。
∑i（y－y^）^^2最小的模型，其中y，y^表示真实值和模型值，最小二乘法可以用来估计线性回归参数。
线性回归最小二乘法的推导是从拟合函数的研究开始的，拟合函数的构造也是有用的，这里介绍一下线性模型的拟合函数。
拟合函数定义为，y=f（x）=a+b∗ x，其中a，b是参数，x是观测值，a，b分别表示偏移量和斜率。
根据最小二乘法，拟合函数的最优解是使∑i（y－y^）^^2最小的模型参数。
令M=∑i（y－y^）^^2，求选定拟合函数参数a，b，使其使M函数最小，即对M求导数。
在实际求解过程中，由于拟合函数中只含有一维的参数，可将M表示为M=∑r＝1^N（t－t^）^^2,t^=a+b^{符号（X）}，其中N是观测数据的个数，X是观测变量。
利用泰勒展开式扩大M求导数，把M改写为M=∑r=1^N（t-t^）^2=∑r=1^N（t-a-b^{符号（X）}）^2，对参数a，b求导。
令∂M/∂a=0，可以得出a=∑r=1^NYi-∑r=1^NY^i/N，∂M/∂b=0，可以得出b=∑r=1^N （X）Yi-∑r=1^NX^iY^i/∑r=1^NX^i，将代入原有拟合函数，这样就求出了拟合函数的参数。
最后，它的应用也在不断扩大，可以用来检验经济模型的效用，以及对自变量和因变量之间关系的影响因素分析，不仅在许多学科学习中有重要意义，也在实际应用中发挥了重要作用。
因此，线性回归最小二乘法以其简洁高效的估计和预测功能得到了广泛的应用。
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多元线性回归与最小二乘估计1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理 多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t(1.1)其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) =多元线性回归与最小二乘估计1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理 多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1 + u t(1.1)其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) =β0 +β1x t 1 +β2x t 2 +…+βk - 1x t k -1决定的k 维空间平面。
当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为y 1 =β0 +β1x 11 +β2x 12 +…+βk - 1x 1 k -1 + u 1, 经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。
y 2 =β0 +β1x 21 +β2x 22 +…+βk - 1x 2 k -1 + u 2, 代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。
……….. 几何意义：y t 表示一个多维平面。
y T =β0 +β1x T 1 +β2x T 2 +…+βk - 1x T k -1 + u T , (1.2) 此时y t 与x t i 已知，βj 与 u t 未知。
j k j k T TjT k T k T (T )(k)(T (T k )x x x y u x x x y u x x x y u b b b ----创?´骣骣骣骣÷鼢?ç珑?÷鼢?ç珑?÷鼢?ç珑?÷鼢?ç珑?÷鼢?ç珑?÷鼢?=+ç÷珑?鼢?ç÷珑?鼢?÷ç鼢?珑?÷鼢?ç珑?÷鼢?ç珑?鼢?珑?÷ç桫桫桫桫111111012122121211111111)1(1.3)Y = X β+ u , (1.4) 为保证得到最优估计量，回归模型（1.4）应满足如下假定条件。
假定 ⑴ 随机误差项u t 是非自相关的，每一误差项都满足均值为零，方差 2相同且为有限值，即E(u ) = 0 = 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫00, Var (u ) = E(u ˆu ˆ' ) =σ2I = σ2骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫10000001.假定 ⑵ 解释变量与误差项相互独立，即 E(X 'u ) = 0.假定 ⑶ 解释变量之间线性无关。
rk(X 'X ) = rk(X ) = k . 其中rk (⋅)表示矩阵的秩。
假定⑷ 解释变量是非随机的，且当T → ∞ 时T – 1X 'X → Q .其中Q 是一个有限值的非退化矩阵。
最小二乘 (OLS) 法的原理是求残差（误差项的估计值）平方和最小。
代数上是求极值问题。
min S = (Y - X βˆ)' (Y - X βˆ) = Y 'Y -βˆ'X 'Y - Y ' X βˆ +βˆ'X 'X βˆ = Y 'Y - 2βˆ'X 'Y + βˆ'X 'X βˆ. (1.5) 因为Y 'X βˆ是一个标量，所以有Y 'X βˆ = βˆ'X 'Y 。
(1.5) 的一阶条件为： ˆb¶¶S = - 2X 'Y + 2X 'X βˆ= 0 (1.6) 化简得X 'Y = X 'X βˆ 因为 (X 'X ) 是一个非退化矩阵（见假定⑶），所以有βˆ= (X 'X )-1 X 'Y （1.7）因为（1.5）的二阶条件ˆˆbb ¶抖2S = 2 X 'X 0(1.8)得到满足，所以 (1.7) 是 (1.5) 的解 。
因为X 的元素是非随机的，(X 'X ) -1X 是一个常数矩阵，则βˆ是Y 的线性组合，为线性估计量。
求出βˆ，估计的回归模型写为 Y = X βˆ+ u ˆ (1.9) 其中βˆ= (0ˆβ 1ˆβ … k ˆb -1)' 是β的估计值列向量，u ˆ= (Y - X βˆ) 称为残差列向量。
因为 uˆ = Y - X βˆ= Y - X (X 'X )-1X 'Y = [I - X (X 'X )-1 X ' ]Y (1.10) 所以uˆ也是Y 的线性组合。
βˆ的期望和方差是E(βˆ) = E[(X 'X )-1 X 'Y ] = E[(X 'X )-1X '(X β+ u )] =β+ (X 'X )-1X ' E(u ) =β (1.11)Var(βˆ) = E[(βˆ–β) (βˆ–β)']= E[(X 'X )-1X ' u u ' X (X 'X )-1] = E[(X 'X )-1X ' 2I X (X 'X )-1] = σ 2 (X 'X )-1 . (1.12)高斯—马尔可夫定理：若前述假定条件成立，OLS 估计量是最佳线性无偏估计量。
βˆ具有无偏性。
βˆ具有最小方差特性。
βˆ具有一致性，渐近无偏性和渐近有效性。
2. 残差的方差s 2 = uˆ'u ˆ/ (T - k ) (1.13) s 2是σ 2的无偏估计量，E(s 2 ) =σ2。
βˆ的估计的方差协方差矩阵是Var Ù(βˆ) = s 2 (X 'X )-1 (1.14) 3. 多重确定系数（多重可决系数）Y = X βˆ+ u ˆ=Y ˆ + u ˆ (1.15) 总平方和SST =Tt t (y y )=-å21= Y 'Y - T 2y , (1.16) 其中y 是y t 的样本平均数，定义为y = T t t (y )/T =å1。
回归平方和为SSR =Tt t ˆ(y y )=-å21= Y ˆ'Y ˆ- T 2y (1.17) 其中y 的定义同上。
残差平方和为SSE =Tt t t ˆ(y y )=-å21= Tt t ˆu =å21= u ˆ'u ˆ (1.18) 则有如下关系存在，SST = SSR + SSE (1.19)R 2= 2ˆˆSSR Ty SST -=¢2TyY'Y Y Y - (1.20) 显然有0 < R 2 < 1。
R 21，拟合优度越好。
4. 调整的多重确定系数当解释变量的个数增加时，通常R 2不下降，而是上升。
为调整因自由度减小带来的损失，又定义调整的多重确定系数2R 如下： 2R = 1 -SSE /(T k )T SST SSR ()()SST /(T )T k SST ---=---111 = 1 - T (R )T k---211 (1.21)5. OLS 估计量的分布若u ~ N (0,σ 2I ) ，则每个u t 都服从正态分布。
于是有Y ~ N (X β, σ 2I ) (1.22)因βˆ也是u 的线性组合（见公式1.7），依据（1.11）和（1.12）有βˆ~N (β, σ 2(X 'X )-1 ) (1.23) 6. 方差分析与F 检验与SST 相对应，自由度T -1也被分解为两部分，（T -1）= (k -1) + (T - k ) (1.24)回归均方定义为MSR =SSR k -1，误差均方定义为MSE = SSET k- 表1.1 方差分析表方差来源 平方和自由度 均方 回归 SSR =Yˆ'Y ˆ-T y 2 k -1 MSR = SSR / (k -1) 误差 SSE = uˆ'u ˆ T -k MSE = SSE / (T -k ) 总和SST = Y 'Y - T y 2T -1H 0: β1=β2 = … =βk -1 = 0;H 1: βj 不全为零F =MSE MSR= SSR /(k )SSE /(T k )--1 ~ F (k -1,T -k ) (1.25) 设检验水平为，则检验规则是，若 F <F α(k -1,T -k )，接受H 0；若 F > F (k -1,T -k ) ,拒绝H 0。
0 F α (k -1, T -k ) -t α(T-k) 0 t α(T-k)F 检验示意图 t 检验示意图7．t 检验H 0：βj = 0, (j = 1, 2, …, k -1), H 1：jt=j jˆˆˆˆs()b b b b =~ t (T -k )(1.26)判别规则：若 t t α(T -k ) 接受H 0；若 t > t α(T -k ) 拒绝H 0。
8．βi 的置信区间（1） 全部i 的联合置信区间接受F = k1(β-βˆ)' (X 'X ) (β-βˆ) / s 2 F(k ,T -k )(1.27)(β-βˆ)' (X 'X ) (β-βˆ) <s 2 k F (k , T -k )，它是一个k 维椭球。