切线及切线性质定理
圆的切线的性质及判定定理
A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
切线的判定定理和性质定理
判断下图直线L是否是⊙O的切线？
并说明为什么。
证个①②条明垂过件一半直条缺径于直一外这不线端条为可点半A圆：径的AAO。切O线时，lll 必须两 l
第八页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. ①过半径外端
并证明你的结论。 F
辅助线： 无切点做垂线，证相等
第十一页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,
B
直径AB与切线CD有怎样的位置关系?
• 直径AB垂直于切线CD.
●O
C
A
D
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
第十二页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
判定定理：
①过半径的外端点
②垂直于这条半径。
辅助线： 有切点连圆心，证垂直
第九页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
练习：
1.已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于 点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30. 求证:直线AB是⊙O的切线.
B
C
A
O
第十页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
2.如图，点D是Biblioteka AOB的平分线OC上任意一点，过 D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D 与OA的位置关系，
.O
A
L
第三页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
切线的性质定理：圆的切线垂直于 过切点的半径。
.O
L
A
第四页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
目前，我们学过几种方法可以判定 直线与圆相切？
初中数学切线性质和切线长知识点归纳
初中数学切线性质和切线长知识点归纳切线性质和切线长切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角同学们，看了这些学问点的介绍，很熟识了吧，要准时复习哦。
这样才能记得更好的。
中考物理学问归纳：压强和浮力1．压力：垂直作用在物体外表上的力叫压力。
2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。
3．压强公式：P=F/S ，式中p单位是：帕斯卡，简称：帕，1帕=1牛/米2，压力F单位是：牛；受力面积S单位是：米24．增大压强方法 :(1)S不变，F↑;(2)F不变，S↓ (3) 同时把F↑，S↓。
而减小压强方法则相反。
5．液体压强产生的缘由：是由于液体受到重力。
6．液体压强特点：(1)液体对容器底和壁都有压强，(2)液体内部向各个方向都有压强；(3)液体的压强随深度增加而增大，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；(4)不同液体的压强还跟密度有关系。
7．液体压强计算公式：，〔ρ是液体密度，单位是千克/米3；g=9.8牛/千克；h是深度，指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离，单位是米。
〕8．依据液体压强公式：可得，液体的压强与液体的密度和深度有关，而与液体的体积和质量无关。
9．证明大气压强存在的试验是马德堡半球试验。
10．大气压强产生的缘由：空气受到重力作用而产生的，大气压强随高度的增大而减小。
11．测定大气压强值的试验是：托里拆利试验。
12．测定大气压的仪器是：气压计，常见气压计有水银气压计和无液气压计〔金属盒气压计〕。
13．标准大气压：把等于760毫米水银柱的大气压。
1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。
14．沸点与气压关系：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时上升。
中考与切线有关的定理
1与切线有关的定理一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．l AlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．P22． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p=，其中()12pa b c =++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c =+-cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。
切线定理性质
切线定理性质切线定理性质是指在几何中，一个点在一条曲线上时，任意一条从该点出发的切线都会和曲线上存在着特殊关系，这种关系就是切线定理性质。
切线定理性质包括三种形式，分别是一阶切线定理、二阶切线定理和三阶切线定理。
一阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的距离，与该点到曲线上点的距离成正比。
二阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的角度，与该点到曲线上点的切线斜率成反比。
三阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的切线斜率，与该点到曲线上点的切线斜率的平方成反比。
切线定理性质的证明：1. 一阶切线定理的证明：假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，因此，|OM|/|OM1|=1/(1+k^2)^(1/2)，而切线斜率k=f'(x0)，所以|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)|即|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)|2. 二阶切线定理的证明：同样假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，根据切点定理，有∠OM1O=∠OM1M=arctan(k)，因此，∠OM1M=arctan(f'(x0))即，∠OM1M=arctan(f'(x0))3. 三阶切线定理的证明：假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点(x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，根据斜率定理，可以得到：k′=f″(x0)，因此，|OM|/|OM1|=(1+k^2)^(1/2)/(1+k^2+2kk′)^(1/2)，而k=f'(x0)，k′=f″(x0)，所以|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/(1+f'(x0)^2+2f'(x0)f ″(x0))^(1/2)即|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/[(1+(f'(x0))^2)^(1/2) *|f″(x0)|]即|OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/|f'(x0)*f″(x0)|从上面的讨论可以得出结论：切线定理性质是指在几何中，一个点在一条曲线上时，任意一条从该点出发的切线都会和曲线上存在着特殊关系，分别是一阶切线定理、二阶切线定理和三阶切线定理。
切线的性质定理和判定定理
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆 相切。通过证明直线与圆的交点唯一 ，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线 与圆相切。利用点到直线的距离公式 ，可以计算出圆心到直线的距离，进 而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式 组，逐步求解。
VS
利用直线与圆的公共点的个数来判断。 若直线与圆只有一个公共点，则该直 线为切线；若有两个公共点，则为割 线。
04 判定定理三：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线
切线的定义
从圆外一点引到圆上的线段 ，如果它的端点在圆上，则 这条线段叫做圆的切线。
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半 径。
切线长的定义
从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长分别是从该 点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
公共点的存在表明割线与圆有交点， 是判定割线与圆位置关系的重要依据。
割线长度大于切线长度
从圆外一点引两条线，一条是切线，一条是割线，则切线长小于割线长。
切线长是指从圆外一点引到圆上的切线段的长度，而割线长则是指从同一点引到圆上的割线段的长度 。
割线与圆相切判定方法
利用圆心到直线的距离等于半径来判 断。若圆心到直线的距离等于半径， 则该直线为切线；若距离大于半径， 则为割线。
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
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模型“双垂 4×4 3 直三角形” CD= =2 3 4 你可曾认识. 因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
练一练
驶向胜利 的彼岸
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm A D 为半径作两个圆,这两个圆与AB分 别有怎样的位置关系? ┐
解:(2)由(1)可知,圆心到AB 的距离d= 2 3cm,所以 当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
C
B
当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
动一动脑
驶向胜利 的彼岸
如图,OA是⊙O的半径， 过A作直线 l ⊥OA,若设圆的 半径为r,直线 l 与⊙O位置 关系如何，为什么?
切线的判定定理
求证：PC与⊙O相切.
证明一条直线是圆的切线时:
E
C
直线与圆“无”交点时，过圆心作直线的垂 线，证明垂线段的长等于半径.
小结
切线的判定定理
驶向胜利 的彼岸
经过半径的外端并且垂直于这条半的直线是圆 的切线.
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
证明一条直线是圆的切线时
证明一条直线是圆的切线时（1）直线与圆 有交点时，连接交点与圆心，证垂直； （2）直线与圆“无”交点时，过圆心作直线 的垂线，证明垂线段的长等于半径.
驶向胜利 的彼岸
切线的判定定理
经过半径的外端 并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
例 题
例1 △ABC内接于 ⊙O，AB是⊙O的直径， ∠CAD=∠ABC，判断直 线AD与⊙O的位置关系， A 2 1 并说明理由. D
驶向胜利 的彼岸
O
B
C
例 题
变式 △ABC内接 于⊙O，AB是⊙O的弦， ∠CAD=∠ABC，判断直 A 2 线AD与⊙O的位置关系，1 D 并说明理由. C
驶向胜利 的彼岸
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距 离为5,求r的取值范围..
r
●
O
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
B
C
2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离 是多少?. 老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行 的一条线段,其长度等于圆的周长.
例 题
直线和圆的位置关系
切线及切线性质定理
初中数学九年级上册 苏科版
复习
直线与圆的位置关系
r
●
驶向胜利 的彼岸
O ┐d
r
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
直线和圆相交
直线和圆相切
d < r;
d = r;
直线和圆相离
d > r;
练一练
驶向胜利 的彼岸
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为 A D 多长时,AB与⊙C相切? 解:(1)过点C作CD⊥AB于D. ┐ C ∵AB=8cm,AC=4cm. B 老师提示: ∴ BC= 82-42 =4 3
证明一条直线是圆的切线时:
驶向，证垂直.
议一议
探索切线性质
驶向胜利 的彼岸
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD 有怎样的位置关系?说说你的理由. 直径AB垂直于直线CD. B 小颖的理由是: ∵右图是轴对称图形,AB是对称轴, O ∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重 合,因此,∠BAC=∠BAD=90°. C D A 老师期望: 圆的对称性已经在你心中落地生根.
●
议一议
探索切线性质
驶向胜利 的彼岸
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作OM⊥CD,垂足为M,
B
则OM<OA,即圆心O到直线CD的距离 小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相 交.这与已知条件“直线CD与⊙O 相切”相矛盾. 所以AB与CD垂直. C
●
O D
A M
议一议
切线的性质定理
驶向胜利 的彼岸
参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题 定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点, O ∴CD⊥OA.
●
已知直线和圆相切时：常 C 连接切点与圆心。-----辅助线
A
D
随堂练习P117 12
切线的性质定理的应用
驶向胜利 的彼岸
例2 PA、PB是⊙O的 切线，切点分别为A、B， P C是⊙O上一点，若 ∠APB=40°， 求∠ACB的度数.
已知直线和圆相切时：常 连接切点与圆心。-----辅助线
A O B C
例 题
例3 点O是∠DPC的 角平分线上的一点，⊙O 与PD相切于A，
P
驶向胜利 的彼岸
D A O B
独立作业
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
P136:习题5.5
5、6、8
祝你成功!
结束寄语
•
下课了!
具有丰富知识和经验的人，比 只须一种知识和经验更容易产 生新的联想和独到的见解。