历年高考数学真题精选12 利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；3.已知函数，且是函数的极值点。
给出以下几个问题：①；②；③；④其中正确的命题是__________。
（填出所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。
【考点】导数在求函数极值中的应用4.若函数，则（）A．最大值为，最小值为B．最大值为，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值也无最小值【答案】D【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D.【考点】导数的应用、函数的极值与最值.5.设函数在内有极值.（1）求实数的取值范围;（2）若求证:.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用在有极值在有解进行求解；（2）要证，即证在上是最小值与在的最大值之差大于.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）0<x<1或x>1时，由在内有解，令，＝1不妨设，则，因，所以，解得（2）证明：由或，由或，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.由，得，由，得，所以，因为，所以记则,在上单调递增，所以故.【考点】利用导数研究函数的极值与最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值8.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．9.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵f(x)=e x+ax,∴,令=0,可得x=-ln(-a)>0,解得a<-1．【考点】导数的运用．10.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则()A．函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点【答案】A【解析】所给图象是导函数图象，在处左右两侧函数值取正负，故函数在有极大值，在处有极小值.故选A.【考点】函数的极值.11.函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为．【答案】【解析】由题知，则,可得在区间，为增函数，在上，，，为减函数，故在处取得最大值.【考点】由导函数求函数的最值.12.某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，当每件商品的定价为元时，利润最大【答案】115【解析】利润为由得，这时利润达到最大．【考点】函数的最值与导数的关系13.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2xA．①②B．②③C．③④D．①③【答案】B【解析】根据函数极值的定义，①,在处无极值；④，在处无极值．【考点】函数的极值．14.已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是() A．m≥B．m>C．m≤D．m<【答案】A【解析】因为函数），所以．令得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为．不等式恒成立，即恒成立，所以，解得．故答案选A．【考点】1、函数恒成立问题；2、利用导数求闭区间上函数的最值.15.若是( ）A．3B．C．D．1【答案】C【解析】令，原式化为，求导得，令，解得，函数的极大值点为，极小值点为，又因为，所以最大值在处取得，解得.【考点】1、三角函数化简；2、三角函数中的最值问题.16.若，且函数在处有极值，则ab的最大值为。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
考点12 导数与函数的极值与最值-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
考点十二：导数与函数的极值与最值【考纲要求】（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义例1.【2017全国2卷（理）】若2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）.A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在0x x =处取极值的充要条件应为（1）)('0=x f ，（2）在x x =左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b'=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函数()3sin xf x m π=.若存在()f x 的极值点x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞B.()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞【答案】C（二）求函数的极值例2.【2017全国2卷理】已知函数()2ln f x ax ax x x=--，且()0f x（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点x ，且()220e 2f x --<<.【答案】（1）1a =；（2）答案见解析. 【解析】（1）因为()()ln 0f x x ax a x =--，0x >，所以ln 0ax a x --．令()ln g x ax a x=--，则()10g =，()11ax g x a x x -'=-=，当0a 时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <；当0a >时，令()0g x '=，得1x a =．当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增．若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单递调递减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =． （2）()2ln f x x x x x=--，()22ln f x x x'=--，0x >．令()22ln h x x x=--，则()1212x h x x x -'=-=，0x >．令()0h x '=得12x =，当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <．因此，()201e 4f x -<<．即()220e 2f x --<<.【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数)('x f ；③解方程0)('=x f ，求出x 的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数()()3210,f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：²3b a >； （3）若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞；（2）答案见解析；（3）(]36，.【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()32333a a f x x ax b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b-. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a -=-，即3a .3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a b x -+-.列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0– 0+ ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x.从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++=346420279a ab ab --+=.记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()213=9h a a a -+，3a >. 因为()223=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为()76=2h -，于是()()6h a h ，故6a .因此a 的取值范围为(]36，.【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数()22cos f x x x=+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）222y x =π-π-；（2）当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】（1）由题意()22f π=π-，又()22sin f x x x'=-，所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π，即222y x =π-π-. （2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+， 因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--，令()sin m x x x=-，则()1cos 0m x x '=-，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >，当0x <时，()0m x <.（i ）当0a 时，e xa -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--；（ii ）当0a >时，()()()ln 2e e sin x ah x x x '=--由()0h x '=得 1ln x a =，2=0x①当01a <<时，ln 0a <， 当(),ln x a ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，ln e e 0x a ->，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =， 所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln e e 0x a -<，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2016山东文】设()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R.（1）令()()'g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0≤a 时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a >.（2）由（1）知，()'10f =.①当0≤a 时， ()'f x 单调递增所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，可得当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在()0,1内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a =时，()'f x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ，()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增,当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >.【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2016天津文】设函数b ax x x f --=3)(，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ；（3）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于41.【答案】答案见解析【解析】（1）由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a时，有2()30f x x a'=-恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，令()0f x '=，解得3x =或3x =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当3a 时，3311,33a a --<由()1知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为[](1),(1)f f -，因此()(){}{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-={}max 1,1a b a b -+--1,01,0a b b a b b -+⎧=⎨--<⎩，所以1 2.M a b=-+②当334a <时，23332311a a aa-<-<<，由（1）和（2） 知233(1)a a f f f ⎛--= ⎝⎭⎝⎭，233(1)a a f f f ⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33,33a a f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以33max ,33a a M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-= ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭22max 3399a a a b a b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2222331max 333||39999444a a a a b a b a b ⎧⎫=⨯⨯⨯=⎨⎬⎩⎭. ③当304a <<时，23332311a a a a -<<<<<，由（1）和（2）知，(1),f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭(1)f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦， 因此()(){}=max 1,1M f f -={}max 1,1a b a b ---+-={}1max 1,114a b a b a b ---+=-+>.综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14.（三）求不含参函数的最值 例3.【2017北京卷理】已知函数()e cos x f x x x=-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）1y =；（2）()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1xf x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【方法技巧归纳】在],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值的步骤：①讨论单调区间；②判断极值；③极值与闭区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值.【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数()()21xf x xe x=-+.（Ⅰ）当[]1,2x∈-时，求()f x的最大值与最小值；（Ⅱ）讨论方程()1f x ax=-的实根的个数.【答案】(1)最小值是()2ln21--,最大值是229e-;(2) 1a<-时，方程()1f x ax=-有1个实根；1a>-时，方程()1f x ax=-有3个实根.【解析】试题分析：(1)()()()12xf x x e=+-',明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；（2）方程()1f x ax=-的实根的个数即()2xg x e x a=---的图象与x轴的交点个数，分类讨论函数()g x的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数. 试题解析：（Ⅰ）因为()()21xf x xe x=-+，所以()()()()()12112x xf x x e x x e=+-+=+-'，令()0f x'=得121,ln2x x=-=，()(),f x f x'的变化如下表：() f x在[]1,2-上的最小值是()2ln21--，因为2211 290,0,29e ee e->---，所以()f x在[]1,2-上的最大值是229e-.（ⅰ）当10a -->时，即1a <-时， ()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根；（ⅱ）当10a --=时，即1a =-时， ()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根；（ⅲ）当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根.综上可得， 1a <-时，方程()1f x ax =-有1个实根； 1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根.求含参函数的最值例4.【2016全国2卷理】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;xx x -++>（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】答案见解析【解析】（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.因为()2e 2xx f x x -=+，所以()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞，，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增， 所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>.（2）由已知得，()()()24e2e xxa x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=xxx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，.解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增. 故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x .因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]00002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 1e 12e =2x x x x x x a x x x x x x ⎛⎫---+ ⎪-++⎝⎭==+ｇ. 记()000e 2x P x x =+,，则()()()()00002200e +2e 1=e 0+2+2x xx x x P x x x -+'=>，所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，. 当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增..()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+.记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，． 【方法技巧归纳】超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值. 【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数()()ln 1f x x a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时,求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0a ≤, ()f x 在()0,+∞是单调递增； 0a >, ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x ax'=-,可分0a≤, 0a>两种情况来讨论；（II）由（I）知当0a≤时()f x在()0,+∞无最大值,当0a>时()f x最大值为1ln 1.f a aa⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因此122ln10f a a aa⎛⎫>-⇔+-<⎪⎝⎭.令()ln1g a a a=+-,则()g a在()0,+∞是增函数,当01a<<时, ()0g a<,当1a>时()0g a>,因此a的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞,()1f x ax'=-,若0a≤,则()0f x'>,()f x在()0,+∞是单调递增；若0a>,则当10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x'>,当1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x'<,所以()f x在10,a⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减.【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数23()1(1)f x a x x x=++--,其中0a>.（1）讨论()f x在其定义域上的单调性；（2）当[0,1]x∈时，求()f x取得最大值和最小值时的x的值.【答案】（1）()f x在1(,)x-∞和2(,)x+∞内单调递减，在12(,)x x内单调递增；（2）所以当01a<<时，()f x在1x=处取得最小值；当1a=时，()f x在x=和1x=处同时取得最小只；当14a<<时，()f x在x=处取得最小值.【解析】试题分析：（1）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增.（2）依据第（1）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.（1）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--.令'()0f x =，得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<，所以12'()3()()f x x x x x =---.当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增. 因为0a >，所以120,0x x <>.①当4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.【数学思想】 分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数的极值与最值问题注意点】对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较，将区间端区限定不动，变动零点位置. 【典例试题演练】1．【2018广东广州珠海区高三检测（一）理】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.()0,1 C. (),0-∞ D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A2．【2018海南八校联盟开学考试理】已知函数()213ln 2f x x x a x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B.111,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.111,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,52⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()3122f x x ax'=-+-，所以由题设()3122f x x ax'=-+-在()1,3只有一个零点且单调递减，则问题转化为()()10{30ff><，即11112{11222aaa+>⇒-<<-<，应选答案B。
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3. [2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)，f′(x)＝xe x－1，∵f′(1)＝e－1≠0，∴f(x)在x＝1处不能取到极值；当k＝2时，f(x)＝(e x－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，令H(x)＝xe x＋e x－2，则H′(x)＝xe x＋2e x>0，x∈(0，＋∞)．说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，因此当x0<x<1(x为H(x)的零点)时，f′(x)<0，f(x)在(x0,1)上为减函数．当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.4.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.5.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.6.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax.由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，显然a≤0时不合题意，必有a>0.令g(x)＝ln x＋1－2ax，g′(x)＝－2a，令g′(x)＝0，得x＝，故g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)在x＝处取得极大值，即f′＝ln>0，所以0<a<.7.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．8.已知函数在时有极值0，则．【答案】11【解析】对函数求导得,由题意得 ,即解得: 或,当时,故,【考点】函数的极值9.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：+↘12所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.10.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数．己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得利润最大．【答案】（1）；（2）【解析】（1）商品每日的销售量与销售价格满足的关系中，只含有一个参数，所以只需一个条件即可，已知，代入解析式，可求；（2）利用函数思想，列利润关于销售价格的函数解析式，再求其最大值，利润=（每千克商品的利润）(每日销售量). 试题解析：（1）∵时，，，∴；（2）销售利润=2+∴于是，当变化时，，的变化情况如下表，由表知，是函数在区间内的极大值点，亦是最大值点，所以当时，函教取得最大值，且最大值为42.【考点】1、函数的应用；2、利用导数求函数的最值.11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.已知(a是常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上f(x)的最小值是____________．【答案】－37．【解析】，令得或．当变化时，随的变化如下表+_极大值．【考点】利用导数求函数的最值．13.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.14.若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是（）A．B．C．D．【答案】B=【解析】解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B15.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.【答案】32【解析】解：∵函数f（x）=x3-12x+8∴f′（x）=3x2-12令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2故函数在[-2，2]上是减函数，在[-3，-2]，[2，3]上是增函数，所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8-24+8=-8，在x=-2时取到最大值f（-2）=-8+24+8=24 即M=24，m=-8∴M-m=32故选C．16.已知函数与函数.（I）若的图象在点处有公共的切线，求实数的值；（II）设，求函数的极值.【答案】（I）因为，所以点同时在函数的图象上…………… 1分因为，，……………3分……………5分由已知，得，所以，即……………6分（II）因为（………7分所以……………8分当时，因为，且所以对恒成立，所以在上单调递增，无极值………10分；当时，令，解得（舍）………11分所以当时，的变化情况如下表：0+……………13分所以当时，取得极小值，且. ……………15分综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值.【解析】略17.函数 (为自然对数的底数)在区间上的最大值是▲ .【答案】【解析】略18.已知函数（为实数）.（I）若在处有极值，求的值；（II）若在上是增函数，求的取值范围.【答案】解：由已知得的定义域为又……3分由题意得……5分（II）解：依题意得对恒成立，……7分……9分的最大值为的最小值为……11分又因时符合题意为所求【解析】略19.设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设，则是奇函数；的最大值为最小值为且故选B20.已知函数有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，则常数的值是（）A．或B．或C．或D．或或【答案】D【解析】，∴，令，得，由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为，则，，∴∴或或．21.设，函数的最大值为1，最小值为，常数的值是_____________.【答案】1【解析】令得或，当时，；当时，；当时，.故函数有极大值，极小值，又，，由于，∵，，又，故最大值为，同理，，故最小值为22.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围是【答案】【解析】略23.已知函数无极值，则实数的取值范围是 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】；由题意知方程无实根或有两个等根。
高二数学 利用导数研究函数的单调性 极值 最值 (不含参)
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) >0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) <0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．() 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1 已知α，[,]22βππ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是 A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>变式训练⑴已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是 A ． B ．C ．D ．⑵已知函数384()ln 33f x x x =--，则函数()f x 的零点个数为______________． ⑶．已知函数2()ln f x x x x =--的导函数为()f 'x ． ①解不等式()2f 'x <；②求函数()()4x x g f x =-的单调区间．题型二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．例3如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()A.89B.109C.169D.289变式训练⑴.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是 ( )⑵.函数y=x 3-3x 2-9x(-2<x<2)有 ( )A.极大值5，极小值-27B.极大值5，极小值-11C.极大值5，无极小值D.极小值-27，无极大值⑶.函数f(x)=mln x-cos x 在x=1处取得极值，则m 的值为 () A.sin 1 B.-sin 1C.cos 1D.-cos 1⑷.设函数f(x)=xe x ，则 ( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点⑸.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为( )A. B. C. D.⑹.已知a∈R，且函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )A.a<-1B.a>-1C.a<-D.a>-⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于.1.设函数f(x)=e x(sin x-cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为( )A. B.C. D.2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为.3已知函数f(x)＝x ln x ，求函数f(x)的极值点题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．变式训练1.函数f(x)=x2e x+1，x∈[-2，1]的最大值为( )A.4e-1B.1C.e2D.3e2.2.函数f(x)=2+，x∈(0，5]的最小值为( )A.2B.3C.D.2+3 若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于( )A.0B.1C.2D.4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<5.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)6.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值为.7设函数f(x)=x3-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m= .8.已知函数f(x)=+ln x，求f(x)在上的最大值和最小值.9.设f(x)=ln x，g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.1.(5分)设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )A.(1+ln 3)B.ln 3C.1+ln 3D.ln 3-12函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ( )A.20B.18C.3D.0。
历年高考数学真题精选12 利用导数研究函数的极值与最值
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为() A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()(f x)A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4-B ．2-C ．4D ．25．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x … B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．610．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2B ．3C ．6D ．912．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C D 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ． 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】函数21()(1)x f x x ax e -=+-，可得121()(2)(1)x x f x x a e x ax e --'=+++-， 2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，可得：33(2)(4)(421)0f a e a e --'-=-++--=，即4(32)0a a -++-=．解得1a =-． 可得121()(21)(1)x x f x x e x x e --'=-+--21(2)x x x e -=+-，函数的极值点为：2x =-，1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，(2,1)x ∈-时，函数是减函数， 1x =时，函数取得极小值：f （1）211(111)1e -=--=-．故选A ．2．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根， 由23(())2()0f x af x b ++=，得1x x =，或2x x =，即23(())2()0f x af x b ++=的根为1()f x x =或22()f x x =的解． 如图所示，由图象可知1()f x x =有2个解，2()f x x =有1个解，因此23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为3．3．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()f x ( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】Q 函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，∴2[()]x e x f x x'=令2()()F x x f x =，则()x e F x x '=，F （2）4f =g （2）22e =．由2()2()x e x f x xf x x '+=，得32()()x e F x f x x -'=，令()2()x x e F x ϕ=-，则(2)()2()x xe x x e F x xϕ-'=-'=．()x ϕ∴在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为ϕ（2）22e F =-（2）0=．()0x ϕ∴…．又0x >，()0f x ∴'…．()f x ∴在(0,)+∞单调递增．()f x ∴既无极大值也无极小值． 4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4- B ．2- C ．4 D ．2【答案】D【解析】2()312f x x '=-；2x ∴<-时，()0f x '>，22x -<<时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>； 2x ∴=是()f x 的极小值点；又a 为()f x 的极小值点；2a ∴=．故选D ．5．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+Q ，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>， ∴当12x =-时，()g x 取最小值122e --，当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---…，解得312a e<…6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值 【答案】C【解析】当1k =时，函数()(1)(1)x f x e x =--． 求导函数可得()(1)(1)(1)x x x f x e x e xe '=-+-=-，f '（1）10e =-≠，f '（2）2210e =-≠，则()f x 在在1x =处与在2x =处均取不到极值，当2k =时，函数2()(1)(1)x f x e x =--．2()(1)2(1)(1)(1)(2)x x x x f x e x e x x xe e '=-+--=-+-，∴当1x =，()0f x '=，且当1x >时，()0f x '>，当01x x <<时0(x 为极大值点），()0f x '<，故函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；在0(x ，1)上是减函数，从而函数()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x … B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】对于A 项，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B :()f x -是把()f x 的图象关于y 轴对称，因此，0x -是()f x -的极大值点，故B 错误； 对于C :()f x -是把()f x 的图象关于x 轴对称，因此，0x 是()f x -的极小值点，故C 错误； 对于D :()f x --是把()f x 的图象分别关于x 轴、y 轴做对称，因此0x -是()f x --的极小值点，故D 正确．8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B【解析】函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，等价于()21f x lnx ax '=-+有两个零点，等价于函数y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当12a =时，直线21y ax =-与y lnx =的图象相切， 由图可知，当102a <<时，y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是1(0,)2．简解：函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，可得12lnxa x+=有两个不同的解， 设1()lnxg x x+=，则2()lnx g x x -'=，当1x >时，()g x 递减，01x <<时，()g x 递增，可得g （1）取得极大值1，作出()y g x =的图象，可得021a <<，即102a <<，故选B ．9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】Q 函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，2()320f x x ax b ∴'=++=有两个不相等的实数根，∴△24120a b =->．解得2224123a a b a a bx -±--±-==．12x x <Q ，∴213a a b x ---=，223a a b x -+-=． 而方程23(())2()0f x af x b ++=的△1=△0>，∴此方程有两解且1()f x x =或2x ． 不妨取120x x <<，1()0f x >．①把()y f x =向下平移1x 个单位即可得到1()y f x x =-的图象， 11()f x x =Q ，可知方程1()f x x =有两解．②把()y f x =向下平移2x 个单位即可得到2()y f x x =-的图象，11()f x x =Q ，12()0f x x ∴-<，可知方程2()f x x =只有一解．综上①②可知：方程1()f x x =或2()f x x =．只有3个实数解．即关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的只有3不同实根．故选A ．10．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><- D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D【解析】()12f x lnx ax '=+-Q ，(0)x >令()0f x '=，由题意可得21lnx ax =-有两个解1x ，2x ⇔函数()12g x lnx ax =+-有且只有两个零点()g x ⇔'在(0,)+∞上的唯一的极值不等于0．112()2axg x a x x'-=-=． ①当0a …时，()0g x '>，()f x '单调递增，因此()()g x f x ='至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当0a >时，令()0g x '=，解得12x a=， 1(0,)2x a ∈Q ，()0g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 12x a ∴=是函数()g x 的极大值点，则1()02g a >，即111(2)02ln ln a a+-=->， (2)0ln a ∴<，021a ∴<<，即102a <<． 故当102a <<时，()0g x =有两个根1x ，2x ，且1212x x a<<，又g （1）120a =->， 12112x x a∴<<<，从而可知函数()f x 在区间1(0,)x 上递减，在区间1(x ，2)x 上递增，在区间2(x ，)+∞上递减．1()f x f ∴<（1）0a =-<，2()f x f >（1）12a =->-．故选D ．11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】2()1222f x x ax b '=--Q ，又因为在1x =处有极值，6a b ∴+=， 0a >Q ，0b >，∴2()92a b ab +=…，当且仅当3a b ==时取等号，所以ab 的最大值等于9． 故选D ．12．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <- B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-【答案】A【解析】x y e ax =+Q ，x y e a '∴=+．由题意知0x e a +=有大于0的实根，令1x y e =，2y a =-，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得11a a ->⇒<-，故选：A ．13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C 5D 2 【答案】D 【解析】设函数2()()y f x g x x lnx =-=-，求导数得21212x y x x x -'=-= 当20x <时，0y '<，函数在2上为单调减函数， 当2x 时，0y '>，函数在2()+∞上为单调增函数 所以当2x =时，所设函数的最小值为11222ln + 所求t 2 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．【答案】-3【解析】Q 函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点， ()2(3)f x x x a ∴'=-，(0,)x ∈+∞，①当0a …时，()2(3)0f x x x a '=->，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，(0)1f =， ()f x 在(0,)+∞上没有零点，舍去；②当0a >时，()2(3)0f x x x a '=->的解为3a x >， ()f x ∴在(0,)3a 上递减，在(3a ，)+∞递增， 又()f x 只有一个零点，3()10327a a f ∴=-+=，解得3a =， 32()231f x x x =-+，()6(1)f x x x '=-，[1x ∈-，1]，()0f x '>的解集为(1,0)-， ()f x 在(1,0)-上递增，在(0,1)上递减，(1)4f -=-，(0)1f =，f （1）0=，()(1)4min f x f ∴=-=-，()(0)1max f x f ==，()f x ∴在[1-，1]上的最大值与最小值的和为：()()413max min f x f x +=-+=-．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．【答案】 【解析】由题意可得2T π=是()2sin sin 2f x x x =+的一个周期， 故只需考虑()2sin sin 2f x x x =+在[0，2)π上的值域，先来求该函数在[0，2)π上的极值点，求导数可得()2cos 2cos2f x x x '=+ 22cos 2(2cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+，令()0f x '=可解得1cos 2x =或cos 1x =-，可得此时3x π=，π或53π； 2sin sin 2y x x ∴=+的最小值只能在点3x π=，π或53π和边界点0x =中取到，计算可得(f )3π=()0f π=，(f 5)3π=(0)0f =，∴函数的最小值为 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】Q 函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称， (1)(3)0f f ∴-=-=且f （1）(5)0f =-=，即22[1(3)][(3)(3)]0a b ---+-+=g且22[1(5)][(5)(5)]0a b ---+-+=g ， 解之得815a b =⎧⎨=⎩，因此，22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =-++=---++， 求导数，得32()424288f x x x x '=---+，令()0f x '=，得12x =-22x =-，32x =-当(,2x ∈-∞-时，()0f x '>；当(2x ∈-2)-时，()0f x '<；当(2,2x ∈--+时，()0f x '>； 当(2x ∈-，)+∞时，()0f x '<()f x ∴在区间(,2-∞--、(2,2--上是增函数，在区间(2--，2)-、(2-+)+∞上是减函数．又(2(216f f --=-=Q ，()f x ∴的最大值为16．故答案为：16．。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值
专题13利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.【答案】极小值为1，无极大值.试题解析：第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为x xx f ln 1)(+=，所以()f x 的定义域为()0+∞，，所以()22111'x f x x x x -=-+=；第二步，求方程'()0f x =的根：令()'0f x =得，1x =；第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：当01x <<时()'0f x <，当1x >时，()'0f x >；第四步，利用结论写出极值：所以1x =时，()f x 有极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】（极值概念）下列说法正确的是（）A ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值B ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值C ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值D ．当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =【答案】D 【解析】【分析】由导函数及极值定义得解.【详解】不妨设函数3()f x x =则可排除ABC由导数求极值的方法知当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =故选：D【变式演练2】（图像与极值）已知函数()3()ln (,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的定义域为(3,)-+∞，其图象大致如图所示，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】A 【分析】设3()g x ax bx c =++，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得,,a b c 的大小关系，得到答案.【详解】设3()g x ax bx c =++，可得2()3g x ax b '=+，由图象可知，函数()f x 先递增，再递减，最后递增，且当1x =时，()g x 取得极小值，所以函数()g x 既有极大值，也有极小值，所以2()30g x ax b '=+=有两个根，即3a x b=-31ab=-，可得0,0a b ><且3a b =-，又由()0ln 0f c =>，可得1c >，由()1ln()0ln1f a b c =++>=，可得1a b c ++>，所以11312c a b a a a a >--=-+=+>，所以c a b >>.故选：A.【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数()ln xf x x x=-，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】C【分析】先对函数求导()221ln x x f x x --'=，令()21ln x x x ϕ=--，再利用导数判断其单调性，而()1=0ϕ，从而可求出()f x 的单调区间和极值【详解】()2221ln 1ln 1x f x x x x x ---=='-.令()21ln x x x ϕ=--，则()120x x x ϕ'=--<，所以()21ln x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减.因为()1=0ϕ，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<.所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()f x 的极大值为()11f =-故选：C【变式演练4】（解析式中含参数的极值）已知函数()2ln 2f x ax x =--，()4xg x axe x =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()()()2ln 12ln ln 2g x x x a --+≥-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分为0a ≤和0a >两种情形讨论单调性即可得极值；（2）令()()()2ln 1h x g x x x =--+，根据导数判断函数的单调性证明即可.【详解】（1）∵()2ln 2f x ax x =--，()0x >，∴()22ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 单调递减，函数()f x 无极值；当0a >时，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；故函数()f x 的极小值为2222=2ln 22ln f a a a a a ⎛⎫⨯--=-⎪⎝⎭，无极大值.（2）证明：令()()42ln 2222ln 20,0xxh x axe x x x axe x x a x =--+-=--->>，()()()211=22x x x x h x a e xe ae x x x +'+--=+-，故()()=21xh x x ae x '+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()0h x '=的根为0x ，即02=x ae x ，两边求对数得：00ln ln 2ln a x x +=-，即00ln ln 2ln x x a +=-，∴当()0x x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；∴()()()0000000min 22ln 222ln 2ln 2ln xh x h x ax e x x x x a =---=-=--=-，∴()2ln 2ln 2h x a ≥-，即原不等式成立.【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数()221e e 22x x f m x x m=--有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()e,+∞【答案】B 【分析】依题意，()2e e xxm f m x x =--'有两个变号零点，由()0f x '=，可得21e e xx x m +=，设()2e ex x g x x +=，求出函数()g x 的单调性及取值情况即可得解．【详解】解：依题意，()2e e x xm f m x x =--'有两个变号零点，令()0f x '=，即2e e 0x x m mx --=，则()2e e x xm x =+，显然0m ≠，则21e ex x xm +=，设()2e e x x g x x+=，则()()22421212()x x x x x x x e e e x e e x g x e e+⋅-+⋅--='=，设()1e 2x x h x =--，则()e 20xh x -'=-<，∴()h x 在R 上单调递减，又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()max 01g x g ==，且x →-∞时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，∴101m<<，解得1m >．故选：B ．【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，分析函数(),()g x h x 的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.【变式演练6】（由极值求其他）已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[4,4]-上的最大值与最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=-⎩；（2）最大值为763，最小值为53-.【解析】【分析】（1）先对函数求导()22f x x ax b '=++，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题意得：()22f x x ax b '=++，()()396039939f a b f a b ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+='-⎪⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩.当13a b =⎧⎨=-⎩时，()32133f x x x x =+-，()()()22331f x x x x x '=+-=+-，∴当(),3x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，()f x ∴在(),3-∞-，()1,+∞上单调递增，在()3,1-上单调递减，()f x ∴的极大值为()39f -=，满足题意.（2）由（1）得：()f x 的极大值为()39f -=，极小值为()1511333f =+-=-，又()2043f -=，()7643f =，()f x ∴在区间[]4,4-上的最大值为763，最小值为53-.类型二求函数在闭区间上的最值例2已知函数()ln f x x x =-，()22g x ax x =+()0a <.（1）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的极值点.【答案】（1）最大值为1-，最小值为1e -；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数()f x 进行求导可得()11f x x'=-，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对()h x 进行求导可得()h x '=221ax x x++，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：第一步，求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点：依题意，()11f x x '=-,令110x-=，解得1x =；第二步，计算函数()f x 在极值点和端点的函数值：()11f =-，111e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()e 1ef =-；第三步，比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：因为11e 11e -<--<-，故函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1-，最小值为1e -.（2）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：依题意，()()()h x f x g x =+=2ln x ax x ++，()121h x ax x =++'=221ax x x++，第二步，求方程'()0f x =的根：当0a <时，令()0h x '=，则2210ax x ++=.因为180a ∆=->，所以()221ax x h x x'++==()()122a x x x x x--，其中11184x a =-，21184x a+=-第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：.因为0a <，所以10x <，20x >，所以当20x x <<时，()0h x '>，当2x x >时，()0h x '<，所以函数()h x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数，第四步，利用结论写出极值：故214x a+=-为函数()h x 的极大值点，函数()h x 无极小值点.【变式演练7】（极值与最值关系）已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b 为开区间∴最小值点一定是极小值点∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【变式演练8】（由最值求参数范围）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B 【解析】由12f a -=-+（），可得222alnx x a --≤-+在0x ＞恒成立，即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e =时，0e-＞2显然成立；当0x e ＜＜时，有10lnx -＞，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==--由0x e ＜＜时，223lnx ＜＜，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜，可得0a ≥；当x e ＞时，有10lnx -＜，可得21x a lnx ≤-，设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），由32e x e ＜＜时，0gx g x （）＜，（）'在32e e （，）递减，由32x e >时，0g x g x '（）＞，（）在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，即有)g x （在32x e =处取得极小值，且为最小值32e ，可得32a e ≤，综上可得302a e ≤≤．故选B ．【变式演练9】（不含参数最值）已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（）A ．338B ．32C ．334D ．233【答案】C 【解析】【分析】令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()f x h t =，利用导数可求()max 27256h t =，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项.【详解】3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()4f x h t =，又()()()()()322131114h t t t t t t '=---=--，若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数；若1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数；故()max 27256h t =，故2max 27()64f x =，所以max ()8f x =，min ()8f x =-，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取最大值，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取最小值，故4M ≥即M的最小值4.故选：C.【变式演练10】（含参最值）已知函数121()(1),02x f x x a ex ax x -=---+>（1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【答案】（1）1a =.（2）3【解析】【分析】（1）求出()f x '，再令()0f x '=，求出两个根，函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，得到1a =，再进行检验即可；（2）由()0f x '=得11x =，或2x a =和a Z ∈，分别当0a ≤、1a =和1a >三种情况进行讨论；0a ≤时不成立，1a =时成立，1a >时，利用函数单调性，当()f x 无最小值时，(0)()f f a <，构造关于a 的函数，求出a 的范围，即可得到答案.【详解】（1）由题意，11()()()(1)x x f x x a e x a x a e --'=--+=--，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，因为函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，即1a =，1a =时，()0f x '≥，()f x 为增函数，故1a =适合题意；（2）由（1）知，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，①当0a ≤时，则(0,1)()0x f x '∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-，故0a ≤不适合题意；②当1a =时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意；③当1a >时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x a f x '∈⇒<⇒()f x 在[1,]a 上为减函数，(,)()0x a f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数，因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<，()()()121111112a a g a e a a e a g a e a e ----'=--+>⇒=--，，由()110a g a e -''=->在()1+∞，上恒成立，()11a g a e a e --'=--在()1+∞，上单调递增，且110g e -'=-<（），()()12200g e e g a ->''=--⇒=存在唯一的实根()112a ∈，() g a ⇒在()11a ，上单调递减；() g a 在()1a +∞，上单调递增增，且()()()2e 439410220302e 2g g e g e e e-=<=--<=-->，，()0g a ⇒=存在唯一的实根()223a ∈，，由()12121102a e a a e a a ----+<⇒<，()f x 无最小值，则21a a <<，()223a ∈，，综上，21a a ≤<，()223a ∈，，a Z ∈ ，123min max a a +=+=.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,e]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,e]D ．[2,2]-【答案】B【分析】由()0f x ≥转化为3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，利用3ln ln (3ln 1)ln x x e x x x x x x --+-≥--++-，即可求解.【详解】由题意，函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，可得32ln x ax e x x x -≤+-恒成立，即3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，又由函数()(1)1x x h x e x e x =-+=--，可得()1x h x e '=-，当0x >时，可得()10x h x e '=->，所以()h x 为单调递增函数，且(0)0h =，所以0x >时，可得()(0)0h x h >=，即1x e x >+，则3ln ()ln (3ln 1)ln 2x x g x e x x x x x x --=+-≥--++-=-，当且仅当3ln 0x x --=，即3ln x x =+时取“=”号，所以2a ≤-，即实数a 的取值范围是(,2]-∞-.故选：B.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【变式演练12】（构造函数求最值）函数()22(0)f x x x =-+<，()ln x g x x x =+.若()()12f x g x =，则212x x -的最小值为（）A ．1-B ．24e -C ．2D ．1【答案】C【分析】让()()12f x g x =，得到212222ln x x x x -+=+，再构造22122222ln x x x x x -=+-，然后令()22ln x u x x x =+-，研究()u x 的最小值即可.【详解】由题120x x <<，且()()12f x g x =，2120x x ->.有212222ln x x x x -+=+，则22122222ln x x x x x -=+-，令()22ln x u x x x=+-（0x >且1x ≠，()0u x >）.（1）当01x <<时，易知()0u x <，不满足条件.（2）当1x >时，知()0u x >，由222ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()ln ln 2x x x x u x x +--+'==，令()0u x '=，则1 x =，212x =（舍去），若1x <<()0u x '<；若x >()0u x '>，则 x =时取得极小值2u=-，也为最小值，则()u x u ≥，即21242x x -≥-，所以212x x -的最小值为2.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是构造出212x x 的表达式并要统一变量，二是对构造的函数求最小值.。
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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为() A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()(f x)A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4-B ．2-C ．4D ．25．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．610．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2B ．3C ．6D ．912．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C D 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ． 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】函数21()(1)x f x x ax e -=+-，可得121()(2)(1)x x f x x a e x ax e --'=+++-， 2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，可得：33(2)(4)(421)0f a e a e --'-=-++--=，即4(32)0a a -++-=．解得1a =-． 可得121()(21)(1)x x f x x e x x e --'=-+--21(2)x x x e -=+-，函数的极值点为：2x =-，1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，(2,1)x ∈-时，函数是减函数， 1x =时，函数取得极小值：f （1）211(111)1e -=--=-．故选A ．2．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根， 由23(())2()0f x af x b ++=，得1x x =，或2x x =，即23(())2()0f x af x b ++=的根为1()f x x =或22()f x x =的解． 如图所示，由图象可知1()f x x =有2个解，2()f x x =有1个解，因此23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为3．3．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()f x ( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，∴2[()]x e x f x x'=令2()()F x x f x =，则()x e F x x '=，F （2）4f =（2）22e =．由2()2()x e x f x xf x x '+=，得32()()x e F x f x x -'=，令()2()x x e F x ϕ=-，则(2)()2()x xe x x e F x xϕ-'=-'=．()x ϕ∴在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为ϕ（2）22e F =-（2）0=．()0x ϕ∴．又0x >，()0f x ∴'．()f x ∴在(0,)+∞单调递增．()f x ∴既无极大值也无极小值． 4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4- B ．2- C ．4 D ．2【答案】D【解析】2()312f x x '=-；2x ∴<-时，()0f x '>，22x -<<时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>； 2x ∴=是()f x 的极小值点；又a 为()f x 的极小值点；2a ∴=．故选D ．5．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>， ∴当12x =-时，()g x 取最小值122e --，当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---，解得312a e<6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值 【答案】C【解析】当1k =时，函数()(1)(1)x f x e x =--． 求导函数可得()(1)(1)(1)x x x f x e x e xe '=-+-=-，f '（1）10e =-≠，f '（2）2210e =-≠，则()f x 在在1x =处与在2x =处均取不到极值，当2k =时，函数2()(1)(1)x f x e x =--．2()(1)2(1)(1)(1)(2)x x x x f x e x e x x xe e '=-+--=-+-，∴当1x =，()0f x '=，且当1x >时，()0f x '>，当01x x <<时0(x 为极大值点），()0f x '<，故函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；在0(x ，1)上是减函数，从而函数()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】对于A 项，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B :()f x -是把()f x 的图象关于y 轴对称，因此，0x -是()f x -的极大值点，故B 错误； 对于C :()f x -是把()f x 的图象关于x 轴对称，因此，0x 是()f x -的极小值点，故C 错误； 对于D :()f x --是把()f x 的图象分别关于x 轴、y 轴做对称，因此0x -是()f x --的极小值点，故D 正确．8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B【解析】函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，等价于()21f x lnx ax '=-+有两个零点，等价于函数y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当12a =时，直线21y ax =-与y lnx =的图象相切， 由图可知，当102a <<时，y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是1(0,)2．简解：函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，可得12lnxa x+=有两个不同的解， 设1()lnxg x x+=，则2()lnx g x x -'=，当1x >时，()g x 递减，01x <<时，()g x 递增，可得g （1）取得极大值1，作出()y g x =的图象，可得021a <<，即102a <<，故选B ．9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，2()320f x x ax b ∴'=++=有两个不相等的实数根，∴△24120a b =->．解得2224123a a b a a bx -±--±-==．12x x <，∴213a a b x ---=，223a a b x -+-=． 而方程23(())2()0f x af x b ++=的△1=△0>，∴此方程有两解且1()f x x =或2x ． 不妨取120x x <<，1()0f x >．①把()y f x =向下平移1x 个单位即可得到1()y f x x =-的图象， 11()f x x =，可知方程1()f x x =有两解．②把()y f x =向下平移2x 个单位即可得到2()y f x x =-的图象，11()f x x =，12()0f x x ∴-<，可知方程2()f x x =只有一解．综上①②可知：方程1()f x x =或2()f x x =．只有3个实数解．即关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的只有3不同实根．故选A ．10．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><- D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D【解析】()12f x lnx ax '=+-，(0)x >令()0f x '=，由题意可得21lnx ax =-有两个解1x ，2x ⇔函数()12g x lnx ax =+-有且只有两个零点()g x ⇔'在(0,)+∞上的唯一的极值不等于0．112()2axg x a x x'-=-=． ①当0a 时，()0g x '>，()f x '单调递增，因此()()g x f x ='至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当0a >时，令()0g x '=，解得12x a=， 1(0,)2x a ∈，()0g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 12x a ∴=是函数()g x 的极大值点，则1()02g a >，即111(2)02ln ln a a+-=->， (2)0ln a ∴<，021a ∴<<，即102a <<． 故当102a <<时，()0g x =有两个根1x ，2x ，且1212x x a<<，又g （1）120a =->， 12112x x a∴<<<，从而可知函数()f x 在区间1(0,)x 上递减，在区间1(x ，2)x 上递增，在区间2(x ，)+∞上递减．1()f x f ∴<（1）0a =-<，2()f x f >（1）12a =->-．故选D ．11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2()1222f x x ax b '=--，又因为在1x =处有极值，6a b ∴+=，0a >，0b >，∴2()92a b ab +=，当且仅当3a b ==时取等号，所以ab 的最大值等于9． 故选D ．12．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <- B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-【答案】A【解析】x y e ax =+，x y e a '∴=+．由题意知0x e a +=有大于0的实根，令1x y e =，2y a =-，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得11a a ->⇒<-，故选：A ．13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C 5D 2 【答案】D 【解析】设函数2()()y f x g x x lnx =-=-，求导数得21212x y x x x -'=-= 当20x <时，0y '<，函数在2上为单调减函数， 当2x 时，0y '>，函数在2()+∞上为单调增函数 所以当2x =时，所设函数的最小值为11222ln + 所求t 2 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．【答案】-3 【解析】函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点， ()2(3)f x x x a ∴'=-，(0,)x ∈+∞，①当0a 时，()2(3)0f x x x a '=->，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，(0)1f =， ()f x 在(0,)+∞上没有零点，舍去；②当0a >时，()2(3)0f x x x a '=->的解为3a x >， ()f x ∴在(0,)3a 上递减，在(3a ，)+∞递增， 又()f x 只有一个零点，3()10327a a f ∴=-+=，解得3a =， 32()231f x x x =-+，()6(1)f x x x '=-，[1x ∈-，1]，()0f x '>的解集为(1,0)-， ()f x 在(1,0)-上递增，在(0,1)上递减，(1)4f -=-，(0)1f =，f （1）0=，()(1)4min f x f ∴=-=-，()(0)1max f x f ==，()f x ∴在[1-，1]上的最大值与最小值的和为：()()413max min f x f x +=-+=-．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．【答案】 【解析】由题意可得2T π=是()2sin sin 2f x x x =+的一个周期， 故只需考虑()2sin sin 2f x x x =+在[0，2)π上的值域，先来求该函数在[0，2)π上的极值点，求导数可得()2cos 2cos2f x x x '=+ 22cos 2(2cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+，令()0f x '=可解得1cos 2x =或cos 1x =-，可得此时3x π=，π或53π； 2sin sin 2y x x ∴=+的最小值只能在点3x π=，π或53π和边界点0x =中取到，计算可得(f )3π=()0f π=，(f 5)3π=(0)0f =，∴函数的最小值为 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16 【解析】函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称， (1)(3)0f f ∴-=-=且f （1）(5)0f =-=，即22[1(3)][(3)(3)]0a b ---+-+=且22[1(5)][(5)(5)]0a b ---+-+=，解之得815a b =⎧⎨=⎩，因此，22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =-++=---++， 求导数，得32()424288f x x x x '=---+，令()0f x '=，得12x =-22x =-，32x =-当(,2x ∈-∞-时，()0f x '>；当(2x ∈-2)-时，()0f x '<；当(2,2x ∈--+时，()0f x '>； 当(2x ∈-，)+∞时，()0f x '<()f x ∴在区间(,2-∞--、(2,2--上是增函数，在区间(2--，2)-、(2-+)+∞上是减函数．又(2(216f f --=-=，()f x ∴的最大值为16．故答案为：16．。