函数极值与导数解析
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数的极值解析与归纳
导数与函数的极值解析与归纳导数和函数的极值是微积分中的重要概念，对于函数的研究和应用都有着重要的意义。
在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的极值，并对其进行解析与归纳。
一、导数的定义与性质导数可以看作是函数变化率的极限，它的定义可以用以下公式表示：\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]其中，\(f'(x)\) 表示函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的导数。
导数具有以下性质：1. 导数存在性：当函数在某点可导时，该点的导数存在；2. 导数与函数图像：导数的值可以用来描述函数图像在某点的切线斜率；3. 导数与函数极值：导数为零的点可能是函数的极值点。
二、函数的极值与导数函数的极值可以分为最大值与最小值，即函数在某个区间内取得的最大值和最小值。
在寻找函数的极值时，我们可以利用导数的性质。
1. 极值的必要条件若函数在某点 \(x_0\) 处取得极值，则导数在该点的值为零或不存在。
2. 求导数与解析表达式要求得函数的导数，我们可以先找到函数的解析表达式，然后对其求导。
例如，对于多项式函数：\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]我们可以通过幂函数的求导法则得到：\[f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1\]3. 导数与极值的关系当函数在某点的导数为零时，该点可能是函数的一个极值点。
根据导数的定义，我们可以得到极值点的关键条件为：\[f'(x) = 0\]我们称满足该条件的点为驻点。
4. 极值点的判断在驻点中，根据导数的一阶导数或二阶导数的正负确定极值类型：（1）一阶导数判定法：若驻点处的导数符号改变，即从正变负或从负变正，则该点为函数的极值点；（2）二阶导数判定法：当驻点处的二阶导数大于零时，该点为函数的极小值；当二阶导数小于零时，该点为函数的极大值。
求导数和求极值
求导数和求极值导数和极值是微积分中的两个基本概念，涉及到求解函数在某一点的斜率以及找到函数的最大值或最小值。
在数学中，导数是函数在某一点的切线斜率，而极值则是函数的局部最大值或最小值，它们在求解各种数学问题中都有着重要的作用。
求导数的方法求导数是微积分的基本内容之一，我们可以通过以下几种方法来求解函数的导数：1. 用导数定义式：导数定义式是求解导数的基本方法，它是将像函数一般表示出来的导数的定义进行计算和求解。
2. 用求导法则：求导法则是求解函数导数的基本规律，它可以通过不同的求导法则来求解不同函数的导数。
3. 用导数的性质：导数的性质是求解函数导数的基本辅助工具，通过导数的连续性、导数的可加性、导数的乘积规则等可以方便地求解函数的导数。
求极值的方法求极值的方法主要是通过一阶导数对函数的形状进行判断，找到函数最大值或最小值的位置，具体方法如下：1. 求解一阶导数为0的点：求解函数导数为0的点，即极值点，可以通过解一元一次方程来得到。
2. 判断二阶导数的正负：通过判断极值点处的二阶导数的正负来判断极值的类型，即判断是否为函数的最大值或最小值。
3. 绘制函数图象：将函数绘制出来，通过观察函数的图象来判断函数的极值。
求导数和求极值的应用求导数和求极值不仅是数学中的基本概念，也是各种领域中的核心应用。
以下是一些常见的应用：1. 最优化问题：在计算机科学、经济学、工程学等领域，最优化问题常出现。
求解最大值或最小值问题可以通过求导数和求极值来解决。
2. 优化控制：在自动控制领域，控制器的输出通常与系统的特性有关。
通过求解系统的导数和极值，可以对系统进行优化控制，从而实现最佳效果。
3. 物理问题：在物理学中，导数和极值可以用来求解运动物体的速度、加速度和位置，从而应用于物理问题的分析和求解。
总结求导数和求极值是微积分中的两个基本概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
掌握这两个重要的数学概念可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，同时也可以提高我们的数学素养和解决实际问题的能力。
高三复习：导数与函数的单调性、极值最值(含解析答案)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。
导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】试题分析：b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33b a ．?当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当⎩⎨⎧-==114b a 时，)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,311(<'-∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以⎩⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()0,+∞D ．()(),10,-∞-+∞【答案】B 【解析】考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（） A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】B 【解析】考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+>,故()12122133x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此,当1a ≤-或122a ≤≤时,不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦.考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内,则实数a 的取值范围是．2a << 【解析】考点：导数与极值．类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点；第二步计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2若函数()2x f x e x mx =+-，在点()()1,1f 处的斜率为1e +． （1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值． 【答案】（1）1m =；（2）()max f x e =. 【解析】试题分析：（1）由(1)1f e '=-解之即可；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=，所以函数在区间0[1,]x -上单调递减，在区间0[,1]x 上单调递增，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，求之即可.试题解析：（1）()2x f x e x m '=+-，∴()12f e m '=+-，即21e m e +-=+，解得1m =； 实数m 的值为1；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数，∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<，存在[]01,1x ∈-，使得()00f x '=，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，()()112,1f e f e --=+=，∴()()max 1f x f e ==考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练7】已知xe x xf 1)(+=. （1）求函数)(x f y =最值；（2）若))(()(2121x x x f x f ≠=，求证：021>+x x .【答案】（1）)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值；（2）详见解析. 【解析】试题解析：（1）对)(x f 求导可得x x x x e xe e x e xf -=+-='2)1()(， 令0)(=-='x exx f 得x=0. 当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； 当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 当x=0时，)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值. （2）不妨设21x x <，由（1）得当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 若)()(21x f x f =，则210x x <<，考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明. 【变式演练7】已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1212,()x x x x <且21ln 2x x ->，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，；（Ⅱ）2ln 2ln 2ln()133a >--. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，得极值点为1x e =，分情况讨论10t e <<及1t e≥时，函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）当函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点，即'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1212,()x x x x <，问题等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点，由)(x G 单调性结合函数图象可知当min 1()()ln 22a G x G >==时，12,x x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln 2x x -=时，由题意1122ln 210ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩，214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--.试题解析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，可得1x e=，∴①10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1(,2)t e+上单调递增，∴函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值为11()f e e=-，②当1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ∴==，min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，； 两式相减可得1122ln2()2ln 2x x x x =-=- 214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时2ln 2ln 2ln()133a =--，所以，实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--；考点：导数的应用．【变式演练8】设函数()ln 1f x x =+. （1）已知函数()()2131424F x f x x x =+-+,求()F x 的极值； （2）已知函数()()()()2210G x f x ax a x a a =+-++>,若存在实数()2,3m ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,求实数a 的取值范围.【答案】（1）极大值为0，极小值为3ln 24-；（2）()1ln 2,-+∞.【解析】()(),'F x F x 随x 的变化如下表:当1x =时,函数()F x 取得极大值()10F =;当2x =时,函数()F x 取得极小值()32ln 24F =-.③当112a <,即12a <时,函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增,在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,要存在实数()2,3x ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,则()122G G a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,代入化简得()()1ln 2ln 2104a a ++->*.令()()11ln 2ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭,因()11'104g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立,故恒有()111ln 20,222g a g a ⎛⎫>=->∴> ⎪⎝⎭时,()*式恒成立;综上，实数a 的取值范围是()1ln 2,-+∞.考点：函数导数与不等式． 【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--． 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<． 考点：导数及其应用2.【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证23)()(/>-x f x f ，根据单调性求解.（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a， 当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ， 令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=， 设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数的极值、最值
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典型例题
易错辨析
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【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
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x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
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2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
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∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
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函数的极值与导数练习基础篇1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-10所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()图1-3-10A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值【答案】C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．]3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2C．4 D．2【答案】D [∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.]4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) 过（1,4）f ′(1)=0 过（3,0）f ′(3)=0A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x【答案】B [∵三次函数过原点，故可设为 y ＝a x 3＋bx 2＋cx ， ∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c .又x ＝1,3是y ′＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－2b 31×3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9∴y ＝x 3－6x 2＋9x ，又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3) ∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ，当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.]5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0D ．b <12【答案】A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＜0，f ′(1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b ＜0，3－3b ＞0，解得0<b <1.]D ． 二、填空题6．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________.【答案】 －2∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23 ＝0，即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0.解得a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋b ＝2－4＝－2.7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________. 导函数有大于零的解【答案】 (－∞，－1) ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a ，令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )，又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.8．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是_______．【答案】 (－2,2)令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，则极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2.如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点． a=2或-2两个点 a>2或a<-2一个点 －2＜a ＜2三个点 改：方程x 3－3x=a 解的个数三、解答题9．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由. 【答案】 f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由根与系数的关系知 ⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0，② 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)． 当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．10．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【答案】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0， 即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0， 解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32 ＝3x 2－2x －12x 2 ＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13因x 2＝－13不在定义域内，舍去． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3. 提升篇1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在【答案】A [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 且f (x )在x ＝1处取得极大值10， ∴f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10， ∴a 2＋8a ＋12＝0，∴a ＝－2，b ＝1或a ＝－6，b ＝9. 当a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)． 当13＜x ＜1时，f ′(x )＜0，当x ＞1时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在x ＝1处取得极小值，与题意不符．当a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)； 当x ＜1时，f ′(x )＞0，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意； ∴a b ＝－69＝－23.]2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图1-3-11所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)f ′(2)=0 f ′(-2)=0B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【答案】D [由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]3．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 【答案】 y ＝－1e由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，k=0 ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】[1,5)∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5. 改：有两个极值点5．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 改：方程x 3－x 2－x ＋a .=0有一个解改：函数f (x )＝x 3－x 2－x 与直线y=-a 有一个交点 【答案】(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13－13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。