习题课-讲解

一． 三门大炮对同一个目标轰击(每门一发炮弹)，已知它们的命中率分别是0.3，0.4，0.5，目标中弹1发，2发，3发而被摧毁的概率依此为0.2，0.5，0.8. 求 (1)目标被摧毁的概率；(2)已知目标被摧毁，求目标中弹2发的概率.。

解：设A=目标被摧毁，B 1＝目标中弹1发，B 2＝目标中弹2发，B 3＝目标中弹3发，(1) 1(/)0.2P A B =，2(/)0.5P A B = ，3(/)0.8P A B =1()0.30.60.50.70.40.50.70.60.50.44P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ---2分 2()0.30.40.50.30.60.50.70.40.50.29P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ---2分 3()0.30.40.50.06P B =⨯⨯= ---1分 112233()()(/)()(/)()(/)p A P B P A B P B P A B P B P A B =++0.440.20.290.50.060.80.281=⨯+⨯+⨯= ---3分目标被摧毁的概率是0.281. (2) 222()(/)0.290.5(/)0.516()0.281P B P A B P B A P A ⨯=== ---4分已知目标被摧毁，目标中弹2发的概率是0.516.二．1、设随机变量X 服从数学期望为12的指数分布.（1）写出X 的概率密度；（2）求()13P X X ><；（3） 令21XY e -=-，求Y 的概率密度.1、解：（1）X 的概率密度()22,00,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩（2）()()()13133P X P X X P X <<><=<32132022x xe dxe dx --=⎰⎰6261e e e ----=-（3）由21XY e -=-，且220x y e-'=> 可知，y 是单调增函数，其反函数为()1ln 12x y =--， ()121x y '=-， 故，Y 的概率密度()()()12ln 1212,01210,y Yey f y y ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它()()121,01210,y y y ⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩其它1,010,y <<⎧=⎨⎩其它 ２、设随机变量X 服从标准正态分布. （１）写出X 的概率密度)(x f X ；（２）随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-≤≤-=其它或,32112,211,1X X X Z ,求Z 的分布律.解：(1) 2221)(x X ex f -=π(2) 可知：0056.0}2{}1{1}3{3118.0)]1()2([2}21{}12{}2{6826.01)1(2)1()1(}11{}1{==-=-===Φ-Φ=≤<+-<≤-===-Φ=-Φ-Φ=≤≤-==Z P Z P Z P X P X P Z P X P Z P 因此，0056.03118.06826.0|3 2 1|P Z三．１、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他,00,),(y x Ae y x f y（1）确定常数A ；（2）求X,Y 的边缘概率密度 )(),(y f x f Y X ； （3）判断X 与Y 是否相互独立，说明理由； *（4）求随机变量Z X Y =+的概率密度函数。

解：（1）． 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f那么， A dy ye A dxdy Ae dxdy Ae y yyyyx ====-∞-∞-<<⎰⎰⎰⎰⎰01或 A dx e A dydx Ae x yx===-∞-∞∞⎰⎰⎰0所以A = 1。

（2）dy y x f x f X ⎰∞∞-=),()( 0)(0)(0=≤==>--∞⎰x f x e dy e x f x X x y xX 时，当时，当那么，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x X 或 0,)(>=-x e x f x Xdxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()()(0)(00=≤==>--⎰y f y ye dx e y f y Y y y yY 时，当时，当那么，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(y ye y f y Y 或 0,)(>=-y ye y f yY（3）．X 与Y 不相互独立 因为 ,),(),()(),(D y x y f x f y x f Y X ∈≠其中 }0|),{(y x y x D <<=.２、设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他,0,20 ,0 ,),(2y x e y x f x（１）计算)2(≤+Y X P ；（２）设Z =max (X ,Y ), 求Z 的分布函数)(z F Z。

解：1. dyy x f x f X ⎰∞∞-=),()()(02 )(02-2-20=≤==>⎰x f x e dy e x f x X x x X 时，当时，当⎩⎨⎧>=-其他,00,2)(2x e x f x X dxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()()(2021 )(2020=≥≤==<<⎰∞y f y y dx e y f y Y x -Y 时，或当时，当 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,21)(y y f Y ……………………..（+8） 2. X 与Y 相互独立.因为 ..)()(),(几乎处处成立y f x f y x f Y X =……………………..（+2）3.dxdy y x f Y X P y x ),()2(2⎰⎰≤+=≤+422024143---+==⎰⎰edxdy exy……………………..（+4）４．⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(2x x e x F x X⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2120200)(y y yy y F Y )()(),()),(max()(z Y P z X P z Y z X P z Y X P z F Y X Z ≤≤=≤≤=≤=相互独立与 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-<==--2 ),1(20 ,2)1(0,0)()(22z e z z e z z F z F zz Y X……………………..（+4）四．１、设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;20,43),(其它x y y y x f(1)求)(),(Y E X E ； (2)求协方差),cov(Y X ； (3)求相关系数.XY ρ 解：(1) 238343),()(203200==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x ydy x dx dxdy y x xf X E x；14143),()(203200==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x ydy y dx dxdy y x yf Y E x；(2) 584143),()(204200==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x ydy xy dx dxdy y x xyf XY E x；10112358)()()(),cov(=⋅-=⋅-=Y E X E XY E Y X 。

(3) 5128343),()(204200222==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x ydy x dx dxdy y x f x X E x ；5616343),()(204200222==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x ydy y dx dxdy y x f y Y E x ； 所以203)23(512)()()(222=-=-=EX X E X Var ， 51156)()()(222=-=-=EY Y E Y Var 故.31)5/1)(20/3(10/1)()(),cov(==⋅=Y Var X Var Y X XY ρ２、某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件.现从中随机取一件，定义三个随机变量123,,X X X 如下：⎩⎨⎧=其它等品抽到,0,1i X i 1,2,3i = 求：（1） 随机变量1X 与2X 的联合分布律； （2） 随机变量1X 与2X 的相关系数。

解：(1)∵()1~1,0.8X B ， ()2~1,0.1X B 110.8,0.80.20.16EX DX ∴==⨯=220.1,0.10.90.09EX DX ==⨯=则 ()12,X X 的联合分布律为（2） 12X X 的分布律为()120E X X ∴=()121212cov ,00.080.10.08X X EX X EX EX =-=-⨯=-12cov ,23X X X X ρ===-五．１、设{}i X 独立同分布，有共同的概率分布列计算概率1意义下的极限 211lim n i n i X n →∞=∑。

２、设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为0.1kg ，求100只零件的总质量超过51kg 的概率。

解：1.由强大数律有： 211lim n i n i X n →∞=∑ = 2EX ，wp1。

----(4分)又由 2EX = 3，可知211lim n i n i X n →∞=∑=3，wp1。

----(4分)2. 设X i 为第i 个零件的质量，i ＝1,2,...100。

那么总质量M ＝∑=1001i i X ，由已知，E (X i )＝0.5，D (X i )＝0.12 。

由中心极限定理，可知）。

（近似～0,1N 1.01005.0100⨯⨯-M ----(4分)所以.1587.08413.01)1(11.01050511)51(=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-≈>M P ----(4分)六．1、设总体X 的概率密度函数为11010()()x x f x αα-⎧-<<=⎨⎩其他其中0α>，为未知参数。

求：α的矩估计和最大似然估计。

２、假设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，参数μ和2σ均未知，122,,,n X X X 是来自总体X 的一组样本，令22211()nii i Y cXX -==-∑，其中c 为常数。

则确定常数c 的值，使Y 是2σ的无偏估计。

解：（1）()EX xf x dx +∞-∞=⎰111()x x dx αα-=-⎰11101()()t x t t dx αα=---=⎰11α=+ …..4分解得1()()E X E X α-=，用X 代替EX 即得α的矩估计为1XXα-=。