中山大学固体物理第五章参考答案
固体物理学：第五章 习 题
第五章 习 题 P3051. 解：一维部洛赫电子的能带具有如下性质，)()(αsk E k E +=，⋅⋅⋅±±=210、、s于是有：αs k kE kk E+∂∂∂∂= ……①和kkE kk E -∂∂∂∂-= ……②而布里渊区在边界上，α2s k±=，取α2sk -=代入①、②两式，可得：αα22s kE s k E-∂∂∂∂=， αα22s kEs k E -∂∂∂∂-= 由上两式相容的条件立即得到：02=±∂∂αsk E ，即能量取极值。
（可参看附加题1、2，课本P288例1、P290例3） 2. 解：对面心立方格子，原胞的三个基矢为：)(21a +=α，)(22a +=α，)(23a +=α，倒格子基矢为：)(11b ++-=α)(12b +-=α ，)(13b -+=α倒格矢：332211n b n b n K n ++=])()()[(3213213211n n n n n n n n n -+++-+++-=α面心立方格子是一个边长为α2的体心立方格子，离原点最近的八个倒格点的坐标是：)111(1，，α ，)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，α)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，α，)111(1，，αα3=六个次近邻倒格点的坐标是：)002(1，，±α，)02,0(1，±α，)2,00(1±，α，α2= 由最近邻和次近邻倒格矢的中垂面围成的多面体——截角八面体（它是一个十四面体）便是面心立方格子的第一布里渊区。
如课本P261图5-3。
3. 解：（参考徐习P259～260,教材P191,4-19式）（1）按照定义，空间中E=E F的等能面称为费米面，由mk h E F 222=知道，这是半径为F k 的球面。
在绝对零度下，电子全部位于费米球内，T=0K 时，费米能级的能量32223220)3(2)83(2ππn mn m h E F ==式中n 为电子浓度，令3222)83(22πn m h k m h F =得，31)83(πn k F = 设晶体的电子总数为N ，体积为V,对于具有简单立方结构的单价金属，V=N α3，因此，所求费米球半径：m V N k F /10147.010345.3492.0492.0)183()83(101031331⨯=⨯====-ααππ（2）因简单立方边界为α，其第一布里渊区是空间中边长为1/α的立方体，体积为1/α3，故费米球刚好被包含在其内部。
阎守胜版固体物理习题解答--第五章
5.1证明：长波下单原子链运动方程为 )2(11n n n n u u u um -+=-+β （1）可化为连续介质弹性波动方程 )()(22222tu v tu ∂∂=∂∂（2）证明：在长波极限下位移n u 随n 的变化是非常缓慢的，即可看作是连续变化的∴（1）式可改写为 )},(2),(),({),(22t x u t a x u t a x u tt x u m --++=∂∂β=}),(21),(),(21),({22222xt x u a xt x u axt x u a xt x u ∂∂+∙∂∂-∙∂∂+∙∂∂β222),(a xt x u ∙∂∂=β∴22222222),(),(),(xt x u vxt x u matt x u ∂∂=∂∂=∂∂β其中：a mv ∙=2/1)(β为声速。
5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果，从5.1.2式出发，说明当两原子的质量M m =时结果回到一维单原子链的情形解：从一维双原子链格波的色散关系有；})]21(sin)(41[1{2/1222qa m M Mm Mmm M w+-±+=±β当m M =时有： )21c o s1(22qa mw ±=±β∴有qa m w 41cos 422β=+ （1） qa mw 41sin422β=-a q m'=21s i n42β （2） 其中q 为一维双原子链的波失aa q ππ42/2==，q '为一维单原子链的波失aq π2='5.3 设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于β和β10，若两种原子的质量相等，并最近邻间距为2a ，试求在波失0=q 和aq π=处的)(q w ，并画处其色散关系曲线。
解：设n u 和n v 分别代表两种 原子的相对平衡位置的位移，M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程为)1110()()(1011n n n n n n n n u v v v u u v uM -+=---=--βββ （1） )11()(10)(11n n n n n n n n v u u u v v u vM -+=---=++βββ （2）设试探解为)(0nqa wt i n e u u --=，)(0nqa wt i n e v v --= 将试探波解代入方程中可得)1110(2u vev Mu w iqa-+=--β，)1110(2v ueu Mv w iqa-+=-β)10()11(0)11()10(22=++-=-++∴-u e v Mwu Mwv e iqaiqaββββ要想v u ,有解则须系数行列式为零可得：})]cos 1(20121[11{2/12qa mw--+=±β±w 分别对应于光学支与声学支当0=q 时有)22(2/1==-+w Mw β当aq π=时有2/1)20(M w β=+2/1)2(Mw β=-所以其色散关系如图：5.5 对于金属Al 计算在什么温度下晶格比热和电子比热相等 解：由德拜理论晶格比热为3411)(512DB T k n CvΘ=π，其中1n 为晶体的原子浓度，DΘ为德拜温度，Al 的德拜温度为385K 电子比热为2Cv FBT T k n 222π=其中2n 为晶体的电子浓度因为一个Al 原子可提供3个电子，所以晶体的电子浓度为329323232)(108.1)(108.11002.6277.23--⨯=⨯=⨯⨯⨯==m cm mZ n m ρKk T J mk mn k BFF F FF 518221103/12210357.1,10873.12,1075.1)3(⨯==⨯==⨯==--εεπ由21Cv Cv=可得：5.16K)8T 5(T 2/12F 3D=Θ=π5.7 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用m l u ,记第l 列，第m 行的原子垂直于格平面的 位移，每个原子的质量为M ，最近邻原子的力常数为β （1） 证明运动方程为： )}2()2{()(,1,1,,,1,12,2m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u dtu d M -++-+=-+-+β证明：系统总的势能为： })(){(212,1,21,,,m l m l m l ml m l u u u u v ++-+-=∑β（1）由运动方程ml m l u v uM ,,∂∂-= 若只考虑最近邻的原子则有)}2()2{(,1,1,,,1,1,m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u uM -++-+=-+-+β （2） （2） 设解的形式为)](exp[)0(,wt b mq a q i u u y x m l -+=这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的。
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
固体物理第5,6次作业参考答案
1、学习了电磁耦合场后，对光吸收谱中剩余辐射带有无更深入的理解？答：1）是电磁耦合，格波中TO 波也具有电磁性2）光波、格波的频率和波矢都应相近当光波与TO 格波的波矢 q ，频率q ω相近时，发生共振，形成耦合场。
2、 试述表面（界面）电耦合场色散关系的特点。
答：光入射到离子晶体中，光波与格波中的长光学横波耦合，光的电磁场发生了变化，格波也发生了变化，形成了新的激发场，即电磁耦合场。
这个耦合场既不是纯光波，也不是纯格波，有着特殊的色散关系。
存在两种横波，它们的偏振方向不同，但频率相同 。
3.一维复式格m =5×1.67×10-24g, M /m =4, β=1.5×10 N (即1.5×104dyn/cm ),求:（1） 光学波0max ω，0min ω；声学波max A ω; （2） 相应声子能量是多少电子伏。
（3） 与0max ω相对应的电磁波波长在什么波段。
解：由电磁耦合场的色散关系可知，两种横波的支解为：221/22221/224{1[1sin ]}()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+-+=+-++=--+ （1）当2sin 0aq =时，ω+取最大值，ω-取最小值014max 1.510Hz ω==⨯当2sin 1aq =时，ω+取最小值，ω-取最大值013min 6.010Hz ω==⨯13max 3.010AHz ω==⨯(2).相应声子能量为0034142max max 1.05410 1.5109.8810E Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯ 0034132min min 1.05410 6.010 3.9510E Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯ 34132max max 1.05410 3.010 1.9810A AE Js Hz evω--==⨯⨯⨯⋅=⨯(3) 与0max ω相对应的电磁波波长在红外波段4.试证明LST 关系式： 22LO sTO ωεωε∞=。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
《固体物理》第5章课后题目答案
1、什么是Peierl不稳定性和Peierls相变？【解答】：假设的晶格内原子状态：假定一维系统是由晶格常数为 a 的N个原子组成，每个晶格原胞只带一个传导电子，电子波函数满足周期条件；第一布里渊区边缘在±π/a，第一布里渊区可以填充2N个电子，因为N个价电子正好填充了最低能带的一半，费米能量恰好位于能带1/2处(Kf=±π/2a)，空能级和占据能级各一半。
然而，Peierls指出这种等距离排列的一维晶格是不稳定的，在低温下，原子发生移动，晶格常数由a变为2a，即第一布里渊区边缘移至费米面且打开了一个能隙，系统总能量降低（。
这就说明，原来等距离排列的具有较高能量的一维晶格经原子移动后变成具有较低能量的畸变晶格，所以原来的晶格是不稳定的。
经过晶格畸变，从半满能带的导体变成为稳定的只有满带和空带的半导体，这就是Peierls不稳定性。
只有在0K时，体系才完全处于上述半导体基态中，当T升高，晶格原子的振动逐步加强以至畸变模糊。
存在相变温度Tp，T＜Tp，体系呈现半导体；T≥Tp，体系相变为导体，这种半导体变为导体的相变称为Peierls相变。
2、简述金刚石、石墨的结构和物性，比较它们性质的异同？【解答】：金刚石和石墨的化学成分都是碳，科学家们称之为“同质多像变体”，也有人称“同素异形体”。
从这种称呼可以知道它们具有相同的“质”，但“形”或“性”却不同，且有天壤之别，金刚石是目前最硬的物质，而石墨却是最软的物质之一。
大家都知道铅笔芯就是用石墨粉和粘土配比而制成的，石墨粉多则软，用“B“表示，粘土掺多了则硬，用“H”表示。
矿物学家用摩氏硬度来表示相对硬度，金刚石为10，而石墨的摩氏硬度只有1。
它们的硬度差别那么大，关键在于它们的内部结构有很大的差异。
石墨内部的碳原子呈层状排列，一个碳原子周围只有3个碳原子与其相连，碳与碳组成了六边形的环状，无限多的六边形组成了一层。
层与层之间联系力非常弱，而层内三个碳原子联系很牢，因此受力后层间就很容易滑动，这就是石墨很软能写字的原因。
固体物理学1~6章习题解答
证明：由书可知
在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式，得
将
代入上式得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3k。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
《固体物理学》习题解答
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为： ， ，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：(略)
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
固体物理学课后题答案
第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
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定态薛定谔方 程为：
d 2 d2x
2m 2
E
U ( x)
0
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei'x Bei'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0) /
进行一些推导和必要简化，最后可 以得出下式
maU0b
2
sin
a
a
cos(
a)
cos(ka)
式中
2mE
而 k 2
是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E 与波矢 k 之间的关系式。
f( E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
– （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维 超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)
AB
ECA
EVA
8
a
a
ECB
克朗尼格-朋奈模型
EVB (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
周期性方势阱
U0
2区
1区 3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 (0 x c) U(x) U0 (c x a)
b=0, U0=∞， P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121Biblioteka 于本题，每个能带里有8条 小分能带
AB
8
a
a
3. (1)试说明有效质量的物理意义.
(2) 试说明负有效质量的物理意义。
(3) 什么是空穴? 为什么能带中空穴的速度等 于逸失电子的速度, 这与通常我们所说的 外加电场下, 电子与空穴有相反的漂移速 度是否有矛盾? 为什么?
，显然有
•即这与通常我们。所空说穴的的外速加度电等场于下逸，失电电子子与的
速空度穴，有可相以反说的空漂穴移是速能度带没中有一矛个盾电，子通逸常失所后
的说另的一是种在描实述空。间中，正质量的电子与正质
量的空穴电性相反，因 而受电场作用漂移
速度相反。
构造一虚拟的 空穴带，以描
述空穴动力学
k
逸失一电子 后的价带
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子
能量函数En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其
示意图并给出各曲线的简并度。
二度简并
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井）， 你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是 准连续的。
解： (1)有效质量的引入，是把周期性势场作 用归结到质量中去，在受外场作用时可以 不考虑周期性势场而直接把晶体中的电子 准经典运动的加速度与外力联系起来，这 样的电子看起来像自由电子。
(2)负有效质量：电子交给晶格的动量多于它 从外场中所获得的动量，此时电子的状态 是处于布里渊区边界附近，电子受到晶格 的强烈的布拉格反射，电子的加速方向与 外力作用方向相反，有效质量为负。
一. 电子散射 • 电阻表明存在对电子的散射； • Bloch波稳态解－> 无散射； • 散射－> 偏离平移对称性的结果，稳态
Bloch态的微扰：
散射：偏离平移对称性有几种可能：
1）时间和空间都确定的缺陷，如杂质、
位错、晶界；
2）随时间变化的偏离平移对称性，如晶
格振动；
3）电子－电子相互作用造成的散射，与
(3)空穴：k(状态)空间的一种状态空缺，是存 在这一空缺的整个能带的描述，同其它电子
一运样动，方在向真与实 其空它 间电k的子e 位相置同不，确总定带，正在电荷k空。间 k的e
如果 轨道 中一个Ee(ke波) Ee矢(ke为) Eh (ke) Eh (k的h ) 电子逸失Eh,(kh则) Ee(ke) 空穴vh(kh的) v波e(ke)矢为- ，能带是对称的，有
2、能隙的由来？利用能带理论 解释导体、半导体以及绝缘体？
要点：本质是由于原子与原子的 相互作用能级分裂成能带，能带 之间即是能隙。晶体中是由于周 期性势场的影响，在布里渊区边 界处bloch波的散射形成了能隙。
导体半导体绝缘体：电子的填充 +能隙的大小
3、当加有电场后，满带中的电 子能永远的飘移下去吗？
4、用紧束缚近似处理面心立方 晶格s态电子，试导出其能带关 系，并求出能带底的有效质量。
5、 氢原子外层只有一个电子，为何固态氢 不像钾、钠等碱金属那样呈金属性？科学家 们又为何相信，只要通过高压手段把氢原子 间距压缩得足够小，就可以使固态氢转变为 金属？请通过能带模型加以解释。
解：固态氢的原子局域在氢原子周围，无法 形成公有化运动。当施加高压时，氢原子的 间距减小，氢原子周围的电子的周期性势场 势垒减小，电子形成公有化运动，从而固态 氢可以导电，变为金属。
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，
作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有
一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布里渊区的内切圆 半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每 个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费
米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。
附加题：利用二维自由电子气模 型解释De Haas－Van Alphen效 自由二维应电。子气具有准连续的能谱，在垂直 磁场下聚集成间隔为 c 的分立能级。
E k 2k2
Kronig-Penney 一维方形势场模型有着 重要意义，首先它是第一个可以严格求解的 模型，证实了周期场中的电子可以占据的能 级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这 个模型有多方面的适应性，经过适当修正可 以用来讨论表面态，合金能带以及超晶格的
Blakemore 书也介绍了这 个模型， p213 给出了 p=2 的结果。
边界条件：波函数和它的一阶导数在 x=c,和a处连续
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
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Aeic Beic Cei 'c Dei 'c , ( Aeic Beic ) '(Cei 'c Dei 'c ) Cei 'a Dei 'a eika ( Aeia Beia ), '(Cei 'a Dei 'a ) eika ( Aeia Beia )