北师大版高中数学选修1-1《充分条件和必要条件》教案2-新版

1.2 充分条件与必要条件 课题 充分条件和必要条件教学目标 1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件． 3） 从集合的观点理解充要条件。

4） 会证明简单的充要条件的命题。

重 点 充分条件，必要条件和充要条件的判断．难 点充要条件的理解和充要条件的命题的证明。

【知识点梳理】1、命题“若p 则q ”为真，记作p ⇒q ；“若p 则q ”为假，记作“p ≠q ”.2、充分与必要条件：①如果已知p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件.②如果既有p ⇒q ，又有q ⇒q ，即p ⇔q,则称p 是q 的充要条件.3、充分、必要条件与四种命题的关系：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p 则q ”以及逆否命题“若 p 则 q ”都是真命题.②如果p 是q 的必要条件，则逆命题“若q 则p ”以及否命题“若 p 则 q ”为真命题. ③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题。

4、充要条件的判断方法：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.【典型例题分析】例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件. （2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.例2.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，则p 是s 的_________条件.分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.解：故p 是s 的的充要条件.点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.例3.已知20:100x p x x ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，:{11,0}q x m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.分析：若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件等价其逆否形式，即q 是p 的必要不充分条件. 解：由题知：{}:210p P x x =-≤≤，:{11,0}q Q x m x m m =-≤≤+>p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件.∴P Q Ø，即12,110,0.m m m -≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩得9m ≥.故m 的取值范围为9m ≥.p r q ⇐⇒ ⇑s点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件． 例4.求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为－1的充要条件是0a b c -+=． 分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．证明：必要性：若1x =-是方程20ax bx c ++=的根，求证：0a b c -+=．1x =-是方程20ax bx c ++=的根，∴2(1)(1)0a b c ⋅-+⋅-+=，即0a b c -+=．充分性：关于x 的方程20ax bx c ++=的系数满足0a b c -+=，求证：方程有一根为－1． 0a b c -+=，∴b a c =+，代入方程得：2()0ax a c x c +++=，得()(1)0ax c x ++=，∴1x =-是方程20ax bx c ++=的一个根．故原命题成立．点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可【小结】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【课堂练习】【基础达标】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的__必要不充分 条件．（4）已知:p a b >，22:q ac bc >，那么p 是q 的____必要不充分___条件．3.函数2y ax bx c =++(0)a ≠过原点的充要条件是0c =．4.对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的序号是____②_④___．5.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【能力提高】6．设集合{2}M x x =>，{3}P x x =<，则“()x M P ∈⋃”是“()x M P ∈⋂”的__________条件．7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．8．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则22240,44,22a a a a a x ⎧-≥⎪⎨----+-≤≤⎪⎩解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤<． 【探究创新】9．已知关于x 的方程2(1)(2)40a x a x -++-=，a R ∈．求：（1）方程有两个正根的充要条件；（2）方程至少有一个正根的充要条件．解：（1）方程2(1)(2)40a x a x -++-=有两个正根的充要条件10,0.a -≠⎧⎨∆≥⎩1,210.a a ≠⎧⇔⎨≤≥⎩或 设此时方程的两实根为1x ，2x ，则1x ，2x 的正数的充要条件是12120,0.x x x x +>⎧⎨>⎩1a ⇔>． 必要不充分综上，方程有两个正根的充要条件为12a <≤或10a ≥．（2）①方程有两个正根，由（1）知12a <≤或10a ≥．②当1a =时，方程化为340x -=，有一个正根43x =． ③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是1210,0,0.a x x -≠⎧⎪∆≥⎨⎪<⎩即1a <．综上，方程至少有一正根的充要条件是2a ≤或10a ≥．【课后作业】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件． 2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的______充分不必要______条件．4．已知:0p a ≠，:0q ab ≠，则p 是q 的_____必要不充分_______条件．5．集合A ＝{x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件，则b 的取值范围是22b -<<．6．有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ；②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ；③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ；④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是_①②__．7．已知函数2()f x x x a b =+++()x R ∈，求证：函数()f x 是偶函数的充要条件为0a =． 证：充分性：定义域关于原点对称．0a =，2()f x x x b ∴=++，22()()f x x x b x x b ∴-=-+-+=++，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．必要性：因为()f x 是偶函数，则对任意x 有()()f x f x -=，得22()x x a b x x a b -+-++=+++，即x a x a -=+，所以0a =．综上所述，原命题得证．作业充分不必要。