2020年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷)理科数学 (1)
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A B C D4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度x y i=得到下面的散点图：条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A B ．23 C ．13D 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷(理科)
2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷（理科）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合U＝R，A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，则∁U A＝（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）2．（5分）复数上的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知，，c＝30.01，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x的值，类似地的值为（）A．3B．C．6D．25．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．B．C．10D．6．（5分）函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．29．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（）A．36B．42C．48D．6010．（5分）已知点F是椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为△PF1F2的内心，且，若椭圆的离心率为e，则λ＝（）A．B．C．e D．2e12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．（5分）已知命题p：∀x＞1，使得，则￢p为．14．（5分）函数y＝cos2x在点处的切线方程是．15．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n项和T n＝．16．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A+a＝c，D是BC边上的点．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若点M在棱P A上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．19．已知F（0，1），直线l：y＝﹣2，若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，（Ⅰ）求动点M的轨迹方程E；（Ⅱ）直线l1过点F且与曲线E相交于不同的两点A，B，若|AB|＝12，求直线l1的直线方程．20．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到．小明每天6：15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6：45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X（分钟）表示步行到校的时间，可以认为X～N（22，4）．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为Y～N（16，16）．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z～N（10，64）．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6：40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6：50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量η～N（0，1），则P（﹣1＜η＜1）＝68.26%，P（﹣2＜η＜2）＝95.44%，P（﹣3＜η＜3）＝99.74%．21．已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式对任意x∈[1，3]恒成立，求正实数λ的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．23．已知函数f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范围．2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合U＝R，A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，则∁U A＝（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）【解答】解：依题意，A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}＝{x|﹣2≤x≤6}，故∁U A＝{x|x＜﹣2或x＞6}，故选：C．2．（5分）复数上的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴复数上的虚部为．故选：A．3．（5分）已知，，c＝30.01，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵a＝log52＜b＝log53＜1＜c．∴a＜b＜c．故选：D．4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x的值，类似地的值为（）A．3B．C．6D．2【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，则＝m2，即3+2m＝m2，解得，m＝3，m＝﹣1舍去．故选：A．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．B．C．10D．【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P＝＝；而P＝，则＝，解可得，S＝；故选：B．6．（5分）函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝，∴f′（x）＝．（1）当a＝0时，f（x）＝，图象为A；（2）当a＞0时，1+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令﹣1+＝0得x＝﹣，∴当x＜﹣时，﹣1+＜0，当﹣＜x＜0时，﹣1+＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，图象为D；（3）当a＜0时，﹣1+＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，令1+＝0得x＝，∴当x＞时，1+＞0，当0＜x＜时，1+＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，图象为B；故选：C．7．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：如图，＝；∴＝＝0﹣1＝﹣1．故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．2【解答】解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；当i＝2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣，i＝3；当i＝3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝，i＝4；当i＝4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝2，i＝5；当i＝5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝6；a的值是以4为周期的循环，由2020÷4＝505，故当i＝2021时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D．9．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（）A．36B．42C．48D．60【解答】解：∵公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，∴，解得a1＝﹣1，d＝2，S8＝﹣8+＝48．故选：C．10．（5分）已知点F是椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：点F是椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，可得：c＝，即a2﹣c2﹣ac＝0，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e＝．故选：C．11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为△PF1F2的内心，且，若椭圆的离心率为e，则λ＝（）A．B．C．e D．2e【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝|PF1|•r，＝|PF2|•r，＝|F1F2|•r，∵+＝λ，∴|PF1|•r+|PF2|•r＝λ•|F1F2|•r，可得|PF1|+|PF2|＝λ|F1F2|．∴2a＝λ2c，解得：λ＝．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈（0，2]时，函数f（x）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，所以f min＝f（1）＝﹣．因为f（x+2）＝2f（x），当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大．当x∈（2，4]时，f min＝f（3）＝﹣；当x∈（4，6]时，f min＝f（5）＝﹣1；所以要对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），∵x∈（4，5）时，函数f（x）递减，x∈（5，6]时，函数f（x）递增，所以当m最大时，m∈（4，5），且f（x）min＝f（m）＝2f（m﹣2）＝4f（m﹣4）＝4[m ﹣4+﹣]，解得m，故m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．（5分）已知命题p：∀x＞1，使得，则￢p为∃x＞1，x+≤3．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢p为∃x＞1，x+≤3，故答案为：∃x＞1，x+≤314．（5分）函数y＝cos2x在点处的切线方程是4x+2y﹣π＝0．【解答】解：∵y＝cos2x，∴y′＝﹣2sin2x，∴曲线y＝cos2x在点处的切线的斜率为：k＝y′＝﹣2，∴曲线y＝cos2x在点处的切线的方程为：y﹣0＝﹣2（x﹣）即4x+2y﹣π＝0，故答案为：4x+2y﹣π＝0．15．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n项和T n＝．【解答】解：因为{a n}是等数差数列，S17＝459⇒17a9＝459⇒a9＝27，而a2+a4＝18，所以，解得d＝3，a1＝3，则a n＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*；数列{a3n}构成首项为9，公差为9的等差数列；若n为偶数，则，若n为奇数，则T n＝﹣9+18﹣27+36+…﹣9（n﹣2）+9（n﹣1）﹣9n＝﹣，故T n＝；故答案为：．16．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为8π．【解答】解：如图：由cos∠ACB＝sin∠ACB，可得，则∠ACB＝30°．在△ABC中，∵AC＝，BC＝1，∠ACB＝30°，∴AB＝．则△ABC为等腰三角形，设△ABC的外心为G，连接BG交AC于E，由正弦定理求得BG＝1，求解三角形可得BE＝，则EG＝．取CD中点F，则F为三角形ACD的外心，过F作平面ACD的垂线，过G作平面ABC的垂线，两垂线相交于O，则O为三棱锥D﹣ABC的外接球的球心，其半径R＝＝．∴球O的表面积为．故答案为：8π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A+a＝c，D是BC边上的点．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）∵b cos A+a＝c，A+B+C＝π，由正弦定理得：sin B cos A+sin A＝sin C，即：sin B cos A+sin A＝sin （A+B），sin B cos A+sin A＝sin A cos B+cos A sin B，即：sin A＝sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，∴B＝；（Ⅱ）在△ADC中，若AC＝7，AD＝5，DC＝3，由余弦定理，得cos∠ADC＝＝＝﹣，所以∠ADC＝，在△ABD中，AD＝5，B＝，∠ADB＝，由正弦定理得，＝，所以AB＝＝5×＝．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若点M在棱P A上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．【解答】解：（1）证明：如图，设AC的中点为O，连接PO，由题意，得BC2+AB2＝AC2，则△ABC为直角三角形，点O为△ABC的外接圆圆心．又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）解：由（1）可知PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），设＝，λ∈[0，1]，＝（1，0，1），M（λ﹣1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，﹣1），＝（2﹣λ，0，﹣λ），设平面MBC的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，1，1），∵二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，∴cos＜＞＝＝＝，解得，即M为P A的中点．19．已知F（0，1），直线l：y＝﹣2，若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，（Ⅰ）求动点M的轨迹方程E；（Ⅱ）直线l1过点F且与曲线E相交于不同的两点A，B，若|AB|＝12，求直线l1的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）解法一：（1）设M（x，y），则由题设得|MF|＝|y+2|﹣1，即＝|y+2|﹣1当y≥﹣2时，＝y+1，化简得x2＝4y；当y＜﹣2时，＝﹣y﹣3，化简得x2＝8y+8与y＜﹣3不合故点M的轨迹C的方程是x2＝4y；解法二：∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y＝﹣2的距离小1．∴点M在直线l的上方．∴点M到F（0，1）的距离与它到直线l′：y＝﹣1的距离相等．∴点M的轨迹C是以F为焦点l′为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2＝4y；（Ⅱ）设l1：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，y1+y2＝kx1+1+kx2+1＝4k2+2，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝4k2+2，∴K＝±，∴所求l1的直线方程：y＝±x+1．20．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到．小明每天6：15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6：45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X（分钟）表示步行到校的时间，可以认为X～N（22，4）．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为Y～N（16，16）．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z～N（10，64）．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6：40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6：50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量η～N（0，1），则P（﹣1＜η＜1）＝68.26%，P（﹣2＜η＜2）＝95.44%，P（﹣3＜η＜3）＝99.74%．【解答】解：（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为P1（X＜25），取μ1＝22，σ1＝2，则μ1+σ1＝24，μ1+2σ1＝26，P1（X＜25）＜P1（X＜26）＝1﹣＝97.72%．若骑车到校，则不迟到的概率记为P2（X＜25），取μ2＝16，σ2＝4，则μ2+σ2＝20，μ2+2σ2＝24，μ2+3σ2＝28，则P2（X＜24）＝1﹣（1﹣95.44%）＝97.72%，P2（X＜28）＝1﹣（1﹣99.74%）＝99.87%，∴P2（X＜25）∈（P2（X＜24），P2（X＜28））＝（97.72%，99.87%），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为P3（X＜25），取μ3＝10，σ3＝8，则μ3+σ3＝18，μ3+2σ3＝26，P3（X＜25）＜P3（X＜26）＝97.72%．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量ξ1表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为P2（X＞20）＝＝15.87%，∴ξ1～B（5，15.87%），∴E（ξ1）＝5×15.87%＝0.7935，D（ξ1）＝5×15.87%×（1﹣15.87%）≈0.668．又∵ξ＝2ξ1+（5﹣ξ1）＝5+ξ1，∴E（ξ）＝5+E（ξ1）≈5.79（元），D（ξ）＝D（ξ1）≈0.668（元2）．21．已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式对任意x∈[1，3]恒成立，求正实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝1+lnx，定义域为（0，+∞），又由f′（x）＞0，解得：x＞，f′（x）＜0，解得：0＜x＜．∴f（x）的单减区间为（0，），f（x）的单增区间为（，+∞），∴f（x）极小值＝f（）＝﹣，无极大值．（2）∵，故x2+x＞0，将化简可得：（x2+x＞）ln（x2+x）≥λx•eλx，∴f（x2+x）≥f（eλx），∵x2+x≥2，eλx＞e0＝1，由（1）知f（x）在（，+∞）上单增，故x2+x）≥eλx，∴λx≤ln（x2+x），即λ≤．令h（x）＝，则h′（x）＝，令k（x）＝﹣ln（x2+x），则k′（x）＝•＜0，∴k（x）在[1，3]上单减，而k（1）＝﹣ln＞0，k（3）＝﹣ln＜0，∴∃x0∈（1，3），使得k（x0）＝0且在（1，x0）上，k（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单增，在（x0，3）上，k（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单减．∴h（x）min＝h（1）或h（3），而h（1）＝ln＞h（3）＝＝ln，∴λ≤ln．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，曲线C：（x﹣2）2+y2＝4，故x2+y2﹣4x＝0，即ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ；直线l：y＝1﹣x，即x+y﹣1＝0，即ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，故；（Ⅱ）将直线l的参数方程（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0中，化简可得，设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则，t 1t2＝1，故．23．已知函数f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（1）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣3（x+1）+（2x﹣4）＞3，解得x＜﹣10；当﹣1≤x≤2时，f（x）＝3（x+1）+（2x﹣4）＞3，解得，则；当x＞2时，f（x）＝3（x+1）﹣（2x﹣4）＞3，解得x＞﹣4，则x＞2；综上知，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣10）∪（，+∞）；（2）由f（x）﹣|x﹣2|＝3|x+1|﹣|2x﹣4|﹣|x﹣2|＝3|x+1|﹣3|x﹣2|＝|3x+3|﹣|3x﹣6|≤|3x+3﹣（3x﹣6）|＝9，若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，则t2﹣8t≥9，解得t≤﹣1或t≥9；则t的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[9，+∞）．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．（ ）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．CDE AB19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CBB C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c=c B A AB B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43， 且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(新课标1卷,含解析)
试题类型：A 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B（C（D）2 【答案】A（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）-（B（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r •2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3（B ）（-6，6（C ）（） （D ）（）【答案】A（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)
2绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z =1+i ,则22z z -=()A ．0B ．1C ．D ．2解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -],A ∩B=[-2,1]⇒2a-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514 B.512- C.514+ D.512解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则222211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒--=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9解：91262pp +=⇒=.选C.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y =a +bxB .y =a +bx 2C .y =a +bexD ．y =a +b ln x解：选D ．6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A ．y =-2x -1B ．y =-2x +1C .y =2x -3D ．y =2x +1解：'32'()46,(1)1,(1)2f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x πω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43π D.32π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即222212πππωωω<<⨯⇒<<又42,962k k Z πππωπ⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝⎭⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=，从而43T π=，选C ．8.()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20解：()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含x 3y 3的项为22234455y xC x y C x yx +∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）A.53B.23 C.13 D.593cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0∴cos α=23-这里α∈(0,π)，所以2225sin 1cos 1()33αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=33a r =又22234123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，22216R a r =+=2464S R ππ==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0B ．2x +y -1=0C ．2x -y +1=0D ．2x +y +1=0解：22:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥ABAC AMRt PAM Rt ACM PA PM∆∆⇒= ，即1224ACAM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,22521PM ==+由2AM MC MP = ，即225MC =，得5MC =∴555PC PM MC =-==设AB:2x+y+c =0155c =⇒=∴AB:2x+y+1=0，选D ．12.若242log 42log aba b +=+，则（）A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2解：显然2()2log xf x x =+是R +上的增函数若a <2b ，则()(2)f a f b <，即2222log 2log 2aba b +<+………………………❶又22422log 42log 2log a b b a b b+=+=+………………………………………❷❶-❷得220log 2log 1b b <-=怛成立，选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考全国一卷理科数学试卷(PDF版)
由
n n
PC PB
0 0
，得
x1 x1
3y1 3y1
2z1 2z1
0 0
，令
x1
所以 n ( 2, 0, 1) ，
2 ，得 z1 1, y1 0 ，
设平面 PCE 的一个法向量为 m (x2 , y2 , z2 )
由
m m
PC PE
0 0
，得
x2
3y2
2x2
为
E
的上顶点， AG GB
8 ，P
为直线
x=6
上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
第2页
2020 年高考全国卷 I
21.已知函数 f (x) ex ax 2 x .
（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
6
（1）证明： PA 平面 PBC ；
A. a 2b
B. a 2b
C. a b2
D. a b2
（2）求二面角 B PC E 的余弦值．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x y 2 0,
13.若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
则 z=x+7y 的最大值为______________.
汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙 1
轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ， 2
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
2020年全国I卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国I卷）（适用地区：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C．2D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．514−B．512−C．514+D．512+4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =−D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π−的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα−=，则sin α= A ．53B ．23C ．13D ．5910．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +−−−=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y −−=B ．210x y +−=C ．210x y −+=D ．210x y ++=12．若242log 42log aba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。