2020年浙江卷文科数学试卷
精品解析：2020年浙江省高考数学试卷(原卷版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ）A. {|12}x x <≤B. {|23}x x <<C. {|34}x x ≤<D. {|14}<<x x2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A. 1B. –1C. 2D. –23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =2x +y 的取值范围是（ ） A. (,4]-∞ B. [4,)+∞C. [5,)+∞D. (,)-∞+∞ 4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A. B. C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 73B. 143C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C. 2428a a a =D. 2428b b b =8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y=则|OP |=（ ）A.B.C.D.9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ）A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x∈S ； 下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分. 11.已知数列{a n }满足(1)=2n n n a +，则S 3=________． 12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______． 16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 3b A a =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．19.如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+． 21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．。
5、2020年浙江省高考数学试卷及答案详情
当 时，则 ， ，
要使 ，必有 且 ，
即 且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选 .
【点评】
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10.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若取 ，则 ，
此时 ，包含 个元素，排除选项 ；
若取 ，则 ，
此时 ，包含 个元素，排除选项 ；
【答案】
解： 当 时， 的方程为 ，
故抛物线 的焦点坐标为 .
设 ，
， ，
由
，
∴ ，
， .
由 在抛物线上，
∴ .
又
，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由 ，
即
，
∴ ， ， ，
∴ 的最大值为 .
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
直线与椭圆结合的最值问题
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 当 时， 的方程为 ，
3.
【答案】
B
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由约束条件 作出可行域如图：
联立
解得
由图可得：平移直线 到点 时，
有最小值 ，
∴ 的取值范围为 .
故选 .
【点评】
此题暂无点评
4.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令 ，
∴
，
∴函数 是奇函数，故选项 错误.
2020年浙江省高考数学试卷 试题+答案详解
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则P Q=（）
A. B. C. D.
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
17.设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的最小值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差 ， ．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n， ，下列等式不可能成立的是（）
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. D.
8.已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（）
2020年浙江省高考数学试卷及详细解答
【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ，
所以 ，所以 （舍）或者 ，解得 .
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 _______； ______．
【解析】先确定 对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
若取 ，则 ，此时 ，包含5个元素，排除选项C；
若取 ，则 ，此时 ，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，
同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最小值为： ，且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是 .故选：B
4.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【解析】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；且 时， ，据此可知选项B错误，故选：A.
【解析】因为 为实数，所以 ，故选：C
3.若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学选择题局部(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.(2021浙江,文1)集合P ={x|x 2 -2x ≥3},Q ={x|2<x<4},那么P ∩Q =( ) A .[3,4) B .(2,3] C .( -1,2) D .( -1,3] 答案:A解析:因为P ={x|x ≤ -1或x ≥3},所以P ∩Q ={x|3≤x<4},应选A .2.(2021浙江,文2)某几何体的三视图如下图(单位:cm),那么该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3 D .403cm 3 答案:C解析:由三视图知,该几何体是由一个正四棱锥和一个正方体组成.其中正四棱锥的底面边长为2 cm,高为2 cm,所以正四棱锥的体积V 1 =13×22×2 =83(cm 3);因为正方体的棱长为2 cm,所以其体积V 2 =8 cm 3.故该几何体的体积为83+8 =323(cm 3).3.(2021浙江,文3)设a ,b 是实数,那么 "a +b>0〞是 "ab>0〞的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 答案:D解析:当a = -2,b =3时,a +b>0,但ab<0;当a = -1,b = -2时,ab>0,但a +b<0.所以 "a +b>0〞是 "ab>0〞的既不充分也不必要条件.4.(2021浙江,文4)设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β.( ) A .假设l ⊥β,那么α⊥β B .假设α⊥β,那么l ⊥m C .假设l ∥β,那么α∥β D .假设α∥β,那么l ∥m 答案:A解析:假设l ⊥β,又l ⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,应选项A 正确;选项B,l ⊥m 或l ∥m 或l 与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l ∥m 或l 与m 异面都有可能. 5.(2021浙江,文5)函数f (x ) =(x −1x)cos x ( -π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案:D解析:因为f( -x) =(−x+1x )cos( -x) = -(x−1x)cos x = -f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π) =(π−1π)cos π = -π +1π<0,排除C.应选D.6.(2021浙江,文6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最|低的总费用(单位:元)是()A.ax +by +czB.az +by +cxC.ay +bz +cxD.ay +bx +cz答案:B解析:不妨设x =1,y =2,z =3,a =4,b =5,c =6,选项A,ax +by +cz =4 +10 +18 =32;选项B,az +by +cx =12 +10 +6 =28;选项C,ay +bz +cx =8 +15 +6 =29;选项D,ay +bx +cz =8 +5 +18 =31,应选B.7.(2021浙江,文7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB =30°,那么点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案:C解析:因为AB为定线段,∠PAB =30°,所以在空间中直线AP是以AB为轴的圆锥面的母线所在的直线,又因为点P在平面α内,所以点P的轨迹可以看成平面α与圆锥面的交线.因为AB与平面α所成的角为60°,所以平面α与圆锥的轴斜交.由平面与圆锥面的截面性质,可得点P的轨迹为椭圆.8.(2021浙江,文8)设实数a,b,t满足|a +1| =|sin b| =t.()A.假设t确定,那么b2唯一确定B.假设t确定,那么a2 +2a唯一确定C.假设t确定,那么sin b2唯一确定D.假设t确定,那么a2 +a唯一确定答案:B解析:当t =0时,sin b =0,b =kπ,k∈Z,所以b2不确定,故A错;sin b2 =sin kπ2=0或1或 -1,故C错;当t =2时,|a +1| =2,解得a =1或a = -3,所以a2 +a =2或a2 +a =6,故D错;因为|a +1| =t,所以a2 +2a =t2 -1;当t确定时,t2 -1唯一确定,即a2 +2a唯一确定,故B正确.非选择题局部(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2021浙江,文9)计算:log2√22=,2log23+log43 =.答案: -123√3解析:log 2√22=log 22−12 = -12;2log 23+log 43=2log 23·2log 43 =3×2log 2√3 =3√3.10.(2021浙江,文10){a n }是等差数列,公差d 不为零.假设a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1 +a 2 =1,那么a 1 = ,d = .答案:23-1解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,即{(a 1+2d)2=(a 1+d)·(a 1+6d),2a 1+a 1+d =1,解得{a 1=23,d =−1.11.(2021浙江,文11)函数f (x ) =sin 2x +sin x cos x +1的最|小正周期是 ,最|小值是 . 答案:π3−√22解析:f (x ) =1−cos2x 2+12sin 2x +1 =√22sin (2x−π4)+32,所以函数f (x )的最|小正周期T =2π2=π,最|小值为3−√22. 12.(2021浙江,文12)函数f (x ) ={x 2,x ≤1,x +6x−6,x >1,那么f (f ( -2)) = ,f (x )的最|小值是 . 答案: -122√6 -6解析:f ( -2) =( -2)2 =4,f (f ( -2)) =f (4) =4 +64-6 = -12;当x ≤1时,f (x )min =0;当x>1时,f (x ) =x +6x-6≥2√6 -6,当且仅当x =6x,即x =√6时,f (x )取最|小值2√6 -6; 因为2√6 -6<0,所以f (x )的最|小值为2√6 -6.13.(2021浙江,文13)e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2 =12.假设平面向量b 满足b ·e 1 =b ·e 2 =1,那么|b | = . 答案:2√33解析:因为b ·e 1 =b ·e 2 =1,|e 1| =|e 2| =1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2 =12知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b |cos 30° =1,所以|b | =1cos30°=2√33. 14.(2021浙江,文14)实数x ,y 满足x 2 +y 2≤1,那么|2x +y -4| +|6 -x -3y|的最|大值是 . 答案:15解析:画出直线2x +y -4 =0和x +3y -6 =0以及圆x 2 +y 2 =1,如图.由于整个圆在两条直线的左下方,所以当x 2 +y 2≤1时,有{2x +y −4<0,x +3y −6<0,所以|2x +y -4| +|6 -x -3y| = -2x -y +4 +6 -x -3y = -3x -4y +10.令t = -3x -4y +10,那么3x +4y +t -10 =0,所以x 2 +y 2≤1与直线3x +4y +t -10 =0有公共点,所以圆心(0,0)到直线的距离d =|t−10|5≤1,解得5≤t ≤15.所以t 的最|大值为15,即|2x +y -4| +|6 -x -3y|的最|大值为15.15.(2021浙江,文15)椭圆x 2a 2+y 2b2 =1(a>b>0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b cx 的对称点Q 在椭圆上,那么椭圆的离心率是 . 答案:√22解析:设Q (x 0,y 0),那么{y 0x 0−c =−cb,b c ·(x 0+c 2)=y 02,解得{x 0=c(c 2−b 2)a 2,y 0=2bc 2a2.因为点Q 在椭圆上,所以c 2(c 2−b 2)2a 4·a2+4b 2c 4a 4·b2 =1,化简得a 4c 2 +4c 6 -a 6 =0,即4e 6 +e 2 -1 =0. 即4e 6 -2e 4 +2e 4 +e 2 -1 =0, 即(2e 2 -1)(2e 4 +e 2 +1) =0. 所以e =√22.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(此题总分值14分)(2021浙江,文16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.tan (π4+A) =2.(1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)假设B =π4,a =3,求△ABC 的面积.此题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等根底知识,同时考查运算求解能力.总分值14分. 解:(1)由tan (π4+A) =2,得tan A =13,所以sin2A sin2A+cos 2A =2tanA 2tanA+1=25. (2)由tan A =13,A ∈(0,π),得sin A =√1010,cos A =3√1010.又由a =3,B =π4及正弦定理a sinA =bsinB,得b =3√5.由sin C =sin(A +B ) =sin (A +π4)得sin C =2√55.设△ABC 的面积为S ,那么S =12ab sin C =9.17.(此题总分值15分)(2021浙江,文17)数列{a n }和{b n }满足a 1 =2,b 1 =1,a n +1 =2a n (n ∈N *),b 1 +12b 2 +13b 3 + (1)b n =b n +1 -1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .此题主要考查数列的通项公式、等差和等比数列等根底知识,同时考查数列求和等根本思想方法,以及推理论证能力.总分值15分.解:(1)由a 1 =2,a n +1 =2a n ,得a n =2n (n ∈N *).由题意知:当n =1时,b 1 =b 2 -1,故b 2 =2.当n ≥2时,1nb n =b n +1 -b n ,整理得b n+1n+1=b n n, 所以b n =n (n ∈N *). (2)由(1)知a n b n =n ·2n , 因此T n =2 +2·22 +3·23 +… +n ·2n , 2T n =22 +2·23 +3·24 +… +n ·2n +1, 所以T n -2T n =2 +22 +23 +… +2n -n ·2n +1. 故T n =(n -1)2n +1 +2(n ∈N *).18.(此题总分值15分)(2021浙江,文18)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,A 1A =4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点.(1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ;(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.此题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等根底知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.总分值15分.解:(1)设E 为BC 的中点,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE.因为AB =AC ,所以AE ⊥BC. 故AE ⊥平面A 1BC.由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE =B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE =A 1A , 所以AA 1DE 为平行四边形. 于是A 1D ∥AE.又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC. (2)作A 1F ⊥DE ,垂足为F ,连结BF. 因为A 1E ⊥平面ABC ,所以BC ⊥A 1E. 因为BC ⊥AE ,所以BC ⊥平面AA 1DE. 所以BC ⊥A 1F ,A 1F ⊥平面BB 1C 1C.所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角. 由AB =AC =2,∠CAB =90°,得EA =EB =√2. 由A 1E ⊥平面ABC ,得A 1A =A 1B =4,A 1E =√14.由DE =BB 1 =4,DA 1 =EA =√2,∠DA 1E =90°,得A 1F =√72. 所以sin ∠A 1BF =√78.19.(此题总分值15分)(2021浙江,文19)如图,抛物线C 1:y =14x 2,圆C 2:x 2 +(y -1)2 =1,过点P (t ,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,那么称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.此题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等根底知识,同时考查解析几何的根本思想方法和综合解题能力.总分值15分.解:(1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y =k (x -t ),由{y =k(x −t),y =14x2消去y ,整理得:x 2 -4kx +4kt =0, 由于直线PA 与抛物线相切,得k =t. 因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B ,O 关于直线PD 对称,故{y 02=−x02t +1,x 0t −y 0=0,解得{x 0=2t 1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2). (2)由(1)知|AP| =t ·√1+t 2和直线PA 的方程tx -y -t 2 =0. 点B 到直线PA 的距离是d =2√1+t .设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t ) =12|AP|·d =t 32.20.(此题总分值15分)(2021浙江,文20)设函数f (x ) =x 2 +ax +b (a ,b ∈R ).(1)当b =a 24+1时,求函数f (x )在[ -1,1]上的最|小值g (a )的表达式;(2)函数f (x )在[ -1,1]上存在零点,0≤b -2a ≤1.求b 的取值范围.此题主要考查函数的单调性与最|值、分段函数、不等式性质等根底知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力.总分值15分.解:(1)当b =a 24+1时,f (x ) =(x +a 2)2 +1,故对称轴为直线x = -a 2.当a ≤ -2时,g (a ) =f (1) =a 24 +a +2.当 -2<a ≤2时,g (a ) =f (−a2) =1.当a>2时,g (a ) =f ( -1) =a 24-a +2.综上,g (a ) ={ a 24+a +2,a ≤−2,1,−2<a ≤2,a 24−a +2,a >2.(2)设s ,t 为方程f (x ) =0的解,且 -1≤t ≤1,那么{s +t =−a,st =b.由于0≤b -2a ≤1,因此−2t t+2≤s ≤1−2tt+2( -1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时,−2t 2t+2≤st ≤t−2t 2t+2,由于 -23≤−2t 2t+2≤0和 -13≤t−2t 2t+2≤9 -4√5,所以 -23≤b ≤9 -4√5.当 -1≤t<0时,t−2t 2t+2≤st ≤−2t 2t+2,由于 -2≤−2t 2t+2<0和 -3≤t−2t2t+2<0,所以 -3≤b<0.故b 的取值范围是[ -3,9 -4√5].附:自选模块1. "复数与导数〞模块(10分)(1)i 是虚数单位,a ,b ∈R ,复数z =1 +a i 满足z 2 +z =1 +b i,求a 2 +b 2的值. (2)设函数f (x ) =(x 2 +2x -2)e x (x ∈R ),求f (x )的单调递减区间. 解:(1)由题意得(2 -a 2) +3a i =1 +b i,解得a 2 =1,b =3a ,故a 2 +b 2 =10.(2)对f (x )求导,得f'(x ) =(x 2 +4x )e x , 由f'(x )<0,解得 -4<x<0,所以f (x )的单调递减区间为( -4,0). 2. "计数原理与概率〞模块(10分)(1)n 为正整数,在(1 +x )2n 与(1 +2x 3)n 展开式中x 3项的系数相同,求n 的值.(2)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解:(1)(1 +x )2n 中x 3项的系数为C 2n 3,(1 +2x 3)n 中x 3项的系数为2n.由C 2n 3=2n 得2n(2n−1)(2n−2)3×2×1=2n ,解得n =2.(2)从袋中取出3个球,总的取法有C 73=35种;其中白球比红球多的取法有C 33+C 32·C 41=13种. 因此取出的白球比红球多的概率为1335.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,解析版)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷，解析版）本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题【答案】 A【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +⋅=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+故选A（3）若实数x y 、满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩,则3x y +4的最小值是(A)13 (B)15 (C)20 (D)28【答案】 A【解析】：作出可行域，25032701x y x x y y +-==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由得， min 334113z A =⨯+⨯=故选 （4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，则(A) a 内的所有直线与l 异面 (B) a 内不存在与l 平行的直线(C) a 内存在唯一的直线与l 平行 (D) a 内的直线与l 都相交【答案】 B【解析】：直线l 不平行于平面a ，l a ⊄所以l 与a 相交，故选B（5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12 (C) -1 (D) 1 11,,2b a =-=1b a <则1124b a =>=- 01ab ≠><<不必要条件，故选D （7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】 B【解析】：A ，C 与正视图不符，D 与俯视图不符，故选B（8）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（A ）110 （B ）310 （C ）35 （D ）910【答案】 D【解析】：无白球的概率是3335110c c =，∴至少有1个白球的概率为19111010p -=-=，故选D （9）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = (D) 22b =【答案】 D【解析】：()2f x ax b '=+，令()()x g x f x e =则()()()x x g x f x e f x e ''=+()(())x f x f x e '=+ 22(2)[(2)()]x x ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a ab bc a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩V 于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a bc a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+V ()120f a b -=-= 则0=V 故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则0b >于是0<V出现矛盾，不可能，故选D二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2020年高考卷 数学(浙江卷)附答案
20201.已知集合，，则ABCD2.已知，若（i为虚数单位）是实数，则a＝A1B-1C2D-23.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是ABCD4. 函数在区间的图像大致为ABCD5. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是ABCD6. 已知空间中不过同一点的三条直线则“在同一平面” 是“两两相交”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知等差数列的前项的和，公差，.记下列等式不可能成立的是ABCD8.已知点, ,.设点满足，且为函数的图像上的点，则ABCD9．已知，若在上恒成立，则ABCDA若S有4个元素，则有7个元素B若S有4个元素，则有6个元素C若S有3个元素，则有4个元素D若S有3个元素，则有5个元素11.已知数列满足，则______12.设，则=_______；_______.13．已知=2，则=______；=______.14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为______.15．设直线l:y=kx+b(k>0)，圆:，:，若直线l与,都相切,则k=______;b=______.16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则；；17.设，为单位向量，满足，，，设的夹角为，则的最小值为.18.（本题满分14分）19（本题满分15分）如图，三棱台中，面面，，。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值。
（第19题图）20.(本题满分15分)已知中，.（I）若数列为等比数列，且公比，且，求与的通项公式；（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：21.（15分）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于（不同于）.（I）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点；求的最大值. 22.（本题满分15 分）已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明:（i）（ⅱ）.参考答案1.B2.C3.B4.A5.A6.B7.D8.D9.C 10.A 11.10 12.80 ,12213. 14.1 15. 16.17.282918 正确答案及相关解析正确答案19 正确答案及相关解析正确答案20 正确答案及相关解析正确答案21 正确答案及相关解析正确答案22 正确答案及相关解析正确答案。
2023年高考数学浙江(文)详解
2023年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文科)试卷第Ⅰ卷 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A =(A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x (C) {}20|≤<x x (D) {}21|≤≤-x x (2)函数1)cos (sin 2++=x x y 地最小正周期是（A ）2π（B ）π(C)23π(D) 2π(3)已知a ,b 都是实数,那么"22a b >"是"a >b "地（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知{a n }是等比数列,2512,4a a ==,则公比q=(A)21-(B)-2(C)2(D)21(5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a (A)21≤ab (B) 21≥ab (C)222≥+b a (D) 322≤+b a (6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)地展开式中,含4x 地项地系数是（A ）-15（B ）85（C ）-120（D ）274（7）在同一平面直角坐标系中,函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 地图象和直线21=y 地交点个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）4（8）若双曲线12222=-by a x 地两个焦点到一条准线地距离之比为3:2,则双曲线地离心率是（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（9）对两条不相交地空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（A ）αα⊂⊂b a ,（B ）b a ,α⊂∥α（C ）αα⊥⊥b a ,(D)αα⊥⊂b a ,(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标地点P(a,b)所形成地平面区域地面积是(A)21(B)4π(C)1(D)2π第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9、计算：22log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．13、已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列n a 和n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ;（2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCA B C 中,∠ABC =90°,AB =AC =2，AA 1=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. (1)证明A 1D ⊥平面A 1BC :；(2)求直线A 1B 和平面BB 1CC 1所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x ：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)当214a b时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9. 1,332- 10. 2,13- 11. 32,2π- 12. 1;2662-- 13. 233 14. 15 15. 22三、解答题16.解：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+==⎪⎝⎭得所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++，(2) 由tan 13A =可得，sin 10310;cos 1010A A ==. 3,,4a B π==由正弦定理知：b=35又()25sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S ∆ABC =11sin 22ab C =×3×35×255=9 17. 解：（1）由112,2,n n a a a +==得2.nn a =当n =1时，121,b b =-故22b = 当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =所以23n 222322nT n =+++⋅⋅⋅+()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+所以()1n 122n T n +=-+18. 解：（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥ 所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE 因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC(2)作1A F DE⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC，所以1BC A E⊥. 因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE.所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C.所以1A BF∠为直线1A B与平面11BB C C所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=，得2EA EB ==. 由AE ⊥平面1A BC，得1114,14A A A B A E ===.由1114,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=，得172A F =.所以17sin 8A BF ∠=19. 解：（1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y ,整理得：2440xkx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有0001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，21AP t t =+，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221t d t =+.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=.20. 解：（1）当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++ 当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+ 综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t a st b+=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++ 当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和21294 5.32t t t t--≤≤-+ 所以29453b -≤≤- 当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围 是3,945⎡⎤--⎣⎦。