2010年浙江高考数学文科试卷带详解

2010年浙江高考数学文科试卷带详解2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q =I( )A.{|12}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|14}x x <<-D.{|21}x x -<< 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参考答案】D 【试题解析】2422xx ∴<⇒-<<，{}2Q x x ∴=-＜＜1，{}21P Q x x ∴=-<<I ，故选D.2.已知函数 2()log (1),f x x =+若()1,f α=α=( )A.0B.1 C .2 D.3 【测量目标】对数函数的性质.【考查方式】给出对数函数解析式，()f α的值，求未知数α. 【参考答案】B【试题解析】2()log (1)f αα=+Q ，12α∴+=，故1α=，选B.3.设i为虚数单位，则5i1i-=+( )A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i + 【测量目标】复数代数形式的四则运算.. 【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C【试题解析】5i (5i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2----===-++-，故选C ， 4.某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 ( )A.4?k >B.5?k >C.6?k >D.7?k > 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件.【参考答案】A【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：k S是否继续循环11循环前24是第一次311是第二次426是第三次557否第四次故4k .5.设nS 为等比数列{}na 的前n 项和，2580aa +=则52S S= ( )A.11-B.8- C.5D.11【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式.【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参考答案】A 【试题解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a，解得2q =-，带入所求式可知答案选A.6.设0＜x ＜π2，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.【参考答案】B【试题解析】π0,sin 12x x <<∴<Q ，故2sinsin x x x x<，结合2sin x x与sin x x 的取值范围相同，可知答案选B.7.若实数,x y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则x y +的最大值为 （ ） A.9 B.157C.1D.715【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参考答案】A【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设z x y=+，Q 直线z x y =+过可行域内点()4,5A 时z 最大，最大值为9，故选A.8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 （ ）A.35233cm B.3203 3cm C.22433cm D.16033cm【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参考答案】B【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台上底边长为4，下底边长为8，高为2，那么相应的体积为：222213204422(4488)33⨯⨯+⨯⨯++=.故选B.9.已知x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若A.1()0f x <,2()0f x < B.1()0f x <，2()0f x >C.12()0,()0f x f x >< D.12()0,()0f x f x >>【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参考答案】B【试题解析】x Q 是1()21xf x x=+-的一个零点，()0f x ∴=，又1()21xf x x=+-Q 是单调递增函数，且()()121,,,x x x x ∈∈+∞，102()()0()f x f x f x ∴<=<，故选B.10.设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠12F PF =60°，∣OP ∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x 3y 0= 3x±y 0= C.x 20= 2x±y 0=【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质. 【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参考答案】D【试题解析】假设1,F P x OP =为12F F P △的中线，根据三角形中线定理可知：222222(2)2(7)(2)5x a x c a x x a c a ++=+⇒+=+，由余弦定理可知：22222(2)(2)4(2)142x a x x a x c x x a a c ++-+=⇒+=-，，∴渐进线为20y ±=.故选D.非选择题部分（共100分）二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 .【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力. 【参考答案】45;46【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为45;46.12.函数2π()sin (2)4f x x =-的最小正周期是 . 【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角. 【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期.【参考答案】π2【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为()1π1cos 4222f x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，可知其最小正周期为π2. 13.已知平面向量,,1,2,(2),==⊥-αβαβααβ则2+αβ的值是 .【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算.【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义. 【参考答案】10【试题解析】10，由题意可知()20•-=ααβ，结合2214==，αβ，解得12•=αβ，所以22+=αβ22448210+•+=+=ααββ，开方可知答案为10.14.在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行、第1n +列的数是 .【测量目标】等差数列的性质与通项公式. 【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力. 【参考答案】2nn+【试题解析】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n行的公差为n ，所以第0n 行的通项公式为()001n n n a n -+=，又因为为第1n +列，故可得答案为nn+2.15.若正实数,x y 满足26x y xy ++=， 则xy 的最小值是 .【测量目标】利用基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法. 【参考答案】18【试题解析】运用基本不等式，26226xy x y xy =++…，令2t xy =，可得22260tt --…，注意到t ＞0，解得t ≥23,故xy 的最小值为18.16.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值 .【测量目标】利用不等式求最大（小）值.【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力. 【参考答案】20【试题解析】由2386050012(1%)2(1%)7000x x ⎡⎤++⋅++⋅+⎣⎦…可得x的最小值为20.17.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q、M 、N 、分别是线段OA 、OB 、OC 、OD的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF=+u u u r u u u r u u u r的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 . 【测量目标】古典概型的概率.【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参考答案】34【试题解析】由题意知，G 点共有16种取法，而只有E 为P 、M 中一点，F 为Q 、N 中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，因此概率为43. 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设S 为ABC △的面积，满足2223)S a b c =+-.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值. 【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知13sin 2cos 24ab C ab C =⋅.∴tan 3C = （步骤1）Q 0<<πC ，∴π3C =. （步骤2） （Ⅱ)解：由已知得2πsin sin sin sin(π)sin sin()3A B A C A A A +=+--=+-31πsin sin 3)3226A A A A =++=+… （步骤3）当ABC △为正三角形时取等号，∴sin A +sin B 3. （步骤4）19.（本题满分14分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，满足56150S S +=.（Ⅰ）若55S=，求6S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围.【测量目标】等差数列的前n 项和与通项，一元二次不等式.【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解. 【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知65153S S -==-,6658a S S =-=-,（步骤1）∴115105,58.a d a d +=⎧⎨+=-⎩ （步骤2）解得17a=，∴613,7Sa =-=. （步骤3）(Ⅱ)解：56150,S S +=Q11(510)(615)150,a d a d ∴+++= （步骤4）即2211291010,ada d +++=∴221(49)8,a d d +=- （步骤5）28,d ∴… （步骤6）∴d的取值范围为22d -„或2 2.d … （步骤7）20.（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=o .E为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成'A DE △，使平面'A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'AC 的中点.（Ⅰ）求证：BF ∥平面'A DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE‘所成角的余弦值.【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.【试题解析】 (Ⅰ)证明：取'A D 的中点G ，连接,GF CE ，由条件易知FG∥CD ，12FG CD =. BE∥CD ,12BE CD =. （步骤1） ∴FG∥,.BE FG BE = （步骤2） 故四边形BEGF 为平行四边形,∴BF∥EG , （步骤3）又Q EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE∴BF//平面'A DE （步骤4）（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD 中，设BC a =,则2,,AB CD a AD AE EB a ===== （步骤5） 连接CE , Q 120ABC ∠=o在BCE △中，可得3,CE a = (步骤6)在ADE △中，可得,DE a = （步骤7）在CDE △中，Q 222,CDCE DE =+CE DE∴⊥. (步骤8)在正'A DE △中，M 为DE 中点，∴'AM DE ⊥. （步骤9） 由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知'AM ⊥平面',BCD A M CE ⊥. （步骤10）取'A E 的中点N ，连线NM 、NF ，∴',NF DE NF A M ⊥⊥. （步骤11）Q DE 交'AM 于M ,∴NF⊥平面'A DE , （步骤12）则FMN ∠为直线FM 与平面'A DE 所成角. 在Rt FMN △中，NF =32a , M N =12a , FM =a , 则1cos 2FMN ∠=， （步骤13） ∴直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12. （步骤14）21.（本题满分15分）已知函数2()()f x x a =-()a b -(,R,)a b a b ∈<.（I ）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程.（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31xx ≠，32xx ≠.证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x .【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.【试题解析】(Ⅰ)解：当1,2a b ==时， Q '()(1)(35)f x x x =--∴'(2)1,(2)0f f ==， （步骤1）∴()f x 在点()2,0处的切线方程为2y x =-. （步骤2）（Ⅱ）证明：'2()3()(),3a b f x x a x +=--Q 由于a b <，.故23a b a +<.∴()f x 的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b +. （步骤3）不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b +，Qx 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，∴x 3＝b . （步骤4） 又Q 23a b +－a ＝2（b －23a b +），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +， ∴a ，23ab +，23a b +，b 依次成等差数列， （步骤5）∴存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b +. （步骤6）22.（本题满分15分）已知m 是非零实数，抛物线 2:2Cy ps =(0)p >的焦点F 在直线2:02m l x my --=上.（I ）若2m =，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B ，2AA F △,1BB F△的重心分别为,G H . 求证：对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外.【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系.【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明.【试题解析】(Ⅰ)解：Q 焦点(,0)2PF 在直线l 上，∴2p m = （步骤1） 又Q 2m =,∴4p =∴抛物线C 的方程为222ym x= ，则抛物线C 的方程为28yx=. （步骤2）（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 由222,22,m x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得23420,ym y m --=Q 0m ≠，∴∆64440mm +>=，且有3412122,y ym y y m +==-， （步骤3）设12,M M 分别为线段11,AA BB 的中点， 由于122G ,2,M C F M H HF ==u u u u r u u u r u u u u u r u u u r 可知112(,)33x y G ，222(,)33x yH ， ∴2421212(),6636x x m y y m m m +++==+312222,63y y m += （步骤4）∴GH的中点4222,363m m m M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （步骤5）设R 是以线段GH 为直径的圆的半径， 则2222211||(4)(1)49RGH m m m ==++ (步骤6)设抛物线的标准线与x 轴交点2(,0)2m N -，则2423222||()2363m m m m MN ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭442422222221(84)91(1)(4)391(1)(4)9m m m m m m m m m m R =++⎡⎤=+++⎣⎦>++= (步骤7)∴N在以线段GH 为直径的圆外. （步骤8）。