2006年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
2006年福建高考理综试卷及答案(文字版)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（一）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第卷1至5页，第Ⅱ卷6至11页。
全卷共300分。
考试用时150分钟。
第Ⅰ卷（共21小题，每小题6分，共126分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准确无误考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
回以下数据可供解题时参考：以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成与分泌激素。
这些细胞位于A．大脑皮层B．垂体C．下丘脑D．脊髓2．一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3．下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A．培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B．培养中的人B细胞能够无限地增殖C．人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D．用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4．锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误．．的是A．无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J型增长B．三种蝌蚪之间为竞争关系C．水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D．水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5．采用基因工程将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
以下有关叙述，正确的是A．人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B．可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA分子导入羊的受精卵C．在该转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D．人凝血因子基因开始转录后，DNA连接酶以DNA分子的一条链为模板合成mRNA 6．在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A．分子晶体B．原子晶体C．离子晶体D．何种晶体无法判断7．下列叙述正确的是A．同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B．同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C．同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D．稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8．用N A代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．0.5 mol Al与足量盐酸反应转移电子数为1N AB．标准状况下，11.2 L SO3所含的分子数为0.5N AC．0.1 mol CH4所含的电子数为1N AD．46 g NO2和N2O4的混合物含有的分子数为1N A9．把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串联，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A．1：2：3 B．3：2：1 C．6：3：1 D．6：3：210．浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混合，充分反应后没有沉淀的一组溶液是A．BaCl2NaOH NaHCO3B．Na2CO3MgCl2H2SO4C．AlCl3NH3·H2O NaOHD．Ba(OH)2CaCl2Na2SO411．在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A．加入水时，平衡向逆反应方向移动B．加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C．加入少量0.1 mol·L-1HCl溶液，溶液中c(H+)减小D．加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12。
2006年高考.浙江卷.理科数学试题及详细解答
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
(4)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是
(A) (B)4 (C) (D)2
（5）双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m=（）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。
解析：如图，
∴
∴ ，∴点E、F在该球面上的球面距离为
故选择B。
【名师点拔】两点球面距的计算是立体几何的一个难点，其通法的关键是求出两点的球面角，而求球面角又需用余弦定理。
（10）函数 满足 ，则这样的函数个数共有D
(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个
【名师点拔】
（8）若多项式 D
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。
解析：令 ，得 ，
令 ，得
（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是B
(A) (B)4 (C) (D)2
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。
解析：由题知可行域为 ，
，故选择B。
【名师点拔】
（5）若双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则 C
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。
解析：由题离心率 ，由双曲线的第二定义知
解析： ，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
高考理科生数学试卷及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则a + c的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 下列哪个数是无穷小量：A. 1/2B. 1/√2C. 1/3D. 1/e5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为：A. 0B. 1C. 4D. 66. 若log2(3x + 1) = 3，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列哪个方程的解为x = 2：A. x^2 - 2x - 3 = 0B. x^2 + 2x - 3 = 0C. x^2 - 4x + 3 = 0D. x^2 + 4x + 3 = 08. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，a，a^2，则a的值为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 若sinθ = 1/2，cosθ = √3/2，则tanθ的值为：A. 1B. √3C. -1D. -√310. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的值为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 111. 若复数z = 1 + i，则|z|^2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 512. 下列哪个数是实数：A. iB. √-1C. √2D. √-2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）13. 若sinα = 1/2，则cosα的值为______。
14. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为______。
2006年湖北高考理科数学试卷及答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21 C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛433,41 D. ()0,1 2.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =A.4B.2C.-2D.-4 3.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin A.315B. 315-C. 35D. 35- 4.设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --5.在2431⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 6.关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是：A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③ 7.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是A. ()0,0123322>>=+y x y x B. ()0,0123322>>=-y x y x C. ()0,0132322>>=-y x y x D. ()0,0132322>>=+y x y x8.有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是A. ③、④B. ①、②C. ①、④D. ②、③ 9.已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 4 10.关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则x +y =___________. 12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）13.已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为___________. 14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是___________.（用数字作答） 15.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()rnC n 11+， 就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出()()rn x n r n nC C n C n 111111-=+++，其中x =_______. 令()22111160130112131nn nC n nC a +++⋅⋅⋅++++=-，则n n a ∞→lim=_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分） 设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .17.（本小题满分13分）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f .数列{}n a 的前n 项和 为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m .18.（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =.（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP . 并证明你的结论. 19.（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N .已 知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名. （Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表()()00x x P x <=φ20.（本小题满分14分）设A 、B 分别为椭圆()0,12222>=+b a b y a x 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4=x 为它的右准线. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内. 21.（本小题满分14分）设3=x 是函数()()()R x eb ax x x f x∈++=-32的一个极值点.（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间； （Ⅱ）设0>a ，()xe a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.湖北省2006高考试题理科答案及解析一、选择题:1--5、BDABC ；6--10、DDBCB ； 二、填空题：11、4； 12、0.94; 13、8或－18； 14、20； 15、r ＋1，1/2。
2012年浙江省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||6．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种7．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞08．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ 的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b10．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3．12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．（4分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．14．（4分）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=．15．（4分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=．16．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．17．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．19．（14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．21．（15分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．22．（14分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．2012年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•浙江）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x ＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．【解答】解：故选D3．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．4．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．【解答】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A5．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．【解答】解：对于A，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；对于C，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||，则cosθ=﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得=λ，所以C正确．对于D，若存在实数λ，则•=λ||2，﹣||||=λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．故选C．6．（5分）（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D7．（5分）（2012•浙江）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【分析】由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选D8．（5分）（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q 两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【分析】确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN 的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF2|=|F1F2|，即可求得C的离心率．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|=b，|O F1|=c．∴k PQ=，k MN=﹣．直线PQ为：y=（x+c），两条渐近线为：y=x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y=0得：x M=．又∵|MF2|=|F1F2|=2c，∴3c=x M=，∴3a2=2c2解之得：，即e=．故选B．9．（5分）（2012•浙江）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选A．10．（5分）（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC ⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选B二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于1cm3．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和3的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和3cm 的直角三角形，面积是cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2cm，这是三棱锥的高，∴三棱锥的体积是cm3，故答案为：1．12．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．【分析】通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．【解答】解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，满足判断框的条件，退出循环，输出结果．故答案为：．13．（4分）（2012•浙江）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．【分析】经观察，S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），从而得到q+q2=3（q2﹣1），而q＞0，从而可得答案．【解答】解：∵等比数列{a n}中，S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），∴a2（q+q2）=3a2（q2﹣1），又a2≠0，∴2q2﹣q﹣3=0，又q＞0，∴q=．故答案为：．14．（4分）（2012•浙江）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=10．【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，然后利用二项式定理进行展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较，可得所求．【解答】解：f（x）=x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2=10故答案为：1015．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．【分析】设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．【解答】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．16．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．17．（4分）（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．【分析】分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，=acsinB=×××=．则S△ABC19．（14分）（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．【分析】（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论．【解答】解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6．P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=；P（X=6）=．故所求X的分布列为X3456P（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=20．（15分）（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．【分析】（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；方法二：证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD．又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC在直角△PAC中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下A（﹣，0，0），B（0，﹣3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）Q（）设=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则．∴，取z=﹣1，，同理平面QMN的法向量为∴=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC 而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A ﹣MN﹣Q的平面角由，AM=AN=3，MN=3可得AE=在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．21．（15分）（2012•浙江）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B 两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP 上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴，∴线段AB的中点M∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：22．（14分）（2012•浙江）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）求导函数，再分类讨论：当b≤0时，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a，由此可得结论；（ⅱ）利用分析法，要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f （x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a ﹣b|﹢a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．根据﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|2a﹣b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a+b的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2﹣）当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，f'（x）在区间[0，1]先负后可能正，f（x）图象在[0，1]区间内是凹下去的，所以最大值正好取在区间的端点，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a；综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a；（ⅱ）要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a，∵g（x）=﹣4ax3+2bx+a﹣b，∴令g′（x）=﹣12ax2+2b=0，当b≤0时，；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，此时g（x）的最大值为：g（0）=a﹣b＜3a﹣b=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，∴g（x）max=max{g（），g （1）}={}=∴g（x）max≤|2a﹣b|﹢a；综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．即f（x）+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x ≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．∵﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，∴|2a﹣b|﹢a≤1．取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：或，目标函数为z=a+b．作图如右：由图易得：a+b的取值范围为（﹣1，3]。
2006年高考.江西卷.理科数学试题及详细解答
3 3 3 3 3 n n 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。
第Ⅱ卷 3 至 4 页。
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果时间 A 、B 互斥，那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )如果时间 A 、B 相互独立，那么 P ( A B ) = P ( A ) P (B )如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 P (k ) = C k P k(1- P )n -k球的表面积公式 S = 4πR 2，其中 R 表示球的半径球的体积公式V =4πR 3 ，其中 R 表示球的半径3第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x1、已知集合 M ＝｛x| ≥ 0 ｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则 M ⋂N ＝（）（x －1）3A ．∅B. {x|x ≥1}C.｛x|x >1｝D. {x| x ≥1 或 x <0}2、已知复数 z 满足（ ＋3i ）z ＝3i ，则 z ＝（）A ． 3 － i B. 3 － i C. 3 ＋ i D. 3＋ i224422443、若 a >0，b >0，则不等式－b < 1 x<a 等价于（）购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信2 2 A ．－ 1 <x <0 或 0<x <1 B.－ 1 <x <1 C.x <- 1 或 x >1 D.x <－ 1 或 x > 1baababb a4、设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA • A F ＝－4则点 A 的坐标是（）A ．（2，±2 ） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2 )5、对于 R 上可导的任意函数 f （x ），若满足（x －1） f '（x ）≥0，则必有（ ）A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1）B ． f （0）＋f （2）≥2f （1） C. f （0）＋f （2）>2f （1）6、若不等式 x 2＋ax ＋1≥0 对于一切 x ∈（0， 1〕成立，则 a 的取值范围是（ ）25 A ．0 B. –2 C.-2D.-37、已知等差数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，若O B ＝a 1 OA ＋a 200 OC ，且 A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点 O ），则 S 200＝（ ）A ．100 B. 101 C.200 D.2018、在（x － （ ） ）2006的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S ，当 x ＝ 时，S 等于A.23008B.-23008C.23009D.-230099、P 是双曲线 x 2y 2－＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4 和（x －5）2＋ 916y 2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 10、将 7 个人（含甲、乙）分成三个组，一组 3 人，另两组 2 人，不同的分组数为 a ，甲、乙分到同一组的概率为 p ，则 a 、p 的值分别为（ ） 5A ． a=105 p=214B.a=105 p=215C.a=210 p=214D.a=210 p=2111、如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O ，且与 BC ，DC 分别截于 E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A －BEFD 与三棱锥 A －EFC 的表面积分别是 S 1，S 2，则必有（ ） A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2 的大小关系不能确定 12、某地一年的气温 Q （t ）（单位：ºc）与时间 t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为 10ºc，令 G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与 t 之间的2 2购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信2 10ºcO 6 12t函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）10BAG(t)C注意事项：D理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
2007年浙江省高考数学试卷(理科)及解析
2007年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ ❿浙江）❽⌧＞ ❾是❽⌧ ＞⌧❾的（）✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件．（ 分）（ ❿浙江）若函数♐（⌧） ♦♓⏹（▫⌧），⌧ （其中▫＞ ，）的最小正周期是⇨，且，则（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿浙江）直线⌧﹣ ⍓关于直线⌧对称的直线方程是（）✌．⌧⍓﹣ ． ⌧⍓﹣ ． ⌧⍓﹣ ．⌧⍓﹣ ．（ 分）（ ❿浙江）要在边长为 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿浙江）已知随机变量↘服从正态分布☠（ ，⇔ ）， （↘♎） ，则 （↘♎） （）✌． ． ． ． 6．（5分）（2007•浙江）若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面7．（5分）（2007•浙江）若非零向量，满足|+|=||，则（）A．|2|＞|2+|B．|2|＜|2+|C．|2|＞|+2|D．|2|＜|+2|8．（5分）（2007•浙江）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）（2007•浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．310．（5分）（2007•浙江）设f（x）=，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2007•浙江）已知复数z1=1﹣i，z1•z2=1+i，则复数z2=．12．（4分）（2007•浙江）已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是．13．（4分）（2007•浙江）不等式|2x﹣1|﹣x＜1的解集是．14．（4分）（2007•浙江）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．15．（4分）（2007•浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．16．（4分）（2007•浙江）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α﹣AB﹣β的取值范围是．17．（4分）（2007•浙江）设m为实数，若，则m 的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2007•浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．19．（14分）（2007•浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．20．（14分）（2007•浙江）如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．21．（15分）（2007•浙江）已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n；（Ⅲ）记，，求证：．22．（15分）（2007•浙江）设，对任意实数t，记．（Ⅰ）求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥g t（x0）对任意正实数t成立．2007年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意解不等式x2＞x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x＞1的关系．【解答】解：由x2＞x，可得x＞1或x＜0，∴x＞1，可得到x2＞x，但x2＞x得不到x＞1．故选A．【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．（5分）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再由求出sinφ的值，再根据φ的范围可确定出答案．【解答】解：由．由．∵．故选D【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定．属基础题．3．（5分）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选D．【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．4．（5分）【考点】圆方程的综合应用．【分析】这是一个与圆面积相关的新运算问题，因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．但由于喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，而草坪是边长为16米的正方形，3个龙头不能使整个草坪都能喷洒到水，故还要结合圆的性质，进一步的推理论证．【解答】解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．由于2R＜16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水；故选B．【点评】本题考查的知识点是圆的方程的应用，难度不大，属于基础题．5．（5分）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．故选A．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．6．（5分）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．7．（5分）【考点】向量的模．【分析】本题是对向量意义的考查，根据|||﹣|||≤|+|≤||+||进行选择，题目中注意|+2|=|++|的变化，和题目所给的条件的应用．【解答】解：∵|+2|=|++|≤|+|+||=2||，∵，是非零向量，∴必有+≠，∴上式中等号不成立．∴|2|＞|+2|，故选C【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8．（5分）（【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．【点评】考查函数的单调性问题．9．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab可知：PF1|•|PF2|=|F1F2|•|PA|，导出，由此能够求出双曲线的离心率．【解答】解：设准线与x轴交于A点．在Rt△PF1F2中，∵|PF1|•|PF2|=|F1F2|•|PA|，∴，又∵|PA|2=|F1A|•|F2A|，∴，化简得c2=3a2，∴．故选答案B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识．解题时不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选．双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用10．（5分）【考点】函数的图象；函数的值域．【分析】先画出f（x）的图象，根据图象求出函数f（x）的值域，然后根据f（x）的范围求出x的范围，即为g （x）的取值范围，然后根据g（x）是二次函数可得结论．【解答】解：如图为f（x）的图象，由图象知f（x）的值域为（﹣1，+∞），若f（g（x））的值域是[0，+∞），只需g（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．而g（x）是二次函数，故g（x）∈[0，+∞）．故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，以及函数的值域等有关基础知识，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数的积是1+i和所给的另一个复数的表示式，写出复数是由两个复数的商得到的，进进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简以后得到结果．【解答】解：∵复数z1=1﹣i，z1•z2=1+i，∴．故答案为：i【点评】本题考查复数的除法运算，考查在两个复数和两个复数的积三个复数中，可以知二求一，这里的做法同实数的乘除一样，本题是一个基础题．12．（4分）【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围确定2θ的范围，最后利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．【解答】解：∵，∴两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即．∴．∵≤θ≤，∴π≤2θ≤．∴．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．13．（4分）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义去绝对值号转化为一次不等式求解．【解答】解：|2x﹣1|﹣x＜1⇒|2x﹣1|＜x+1⇒﹣（x+1）＜2x﹣1＜x+1，∴⇒0＜x＜2，故答案为（0，2）．【点评】考查绝对值不等式的解法，此类题一般两种解法，一种是利用绝对值的几何意义去绝对值号，另一种是用平方法去绝对值号，本题用的是前一种方法．14．（4分）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分两种情况讨论，①用10元钱买2元1本的杂志，②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本，分别求得可能的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本的杂志，共有C85=56②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有C84•C32=70×3=210，故不同买法的种数是210+56=266，故答案为266．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分类讨论与分步进行，即先组合再排列．15．（4分）【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．16．（4分）【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，由于二面角α﹣AB﹣β的可能是锐二面角、直二面角和钝二面角，故我们要对二面角α﹣AB﹣β的大小分类讨论，利用反证法结合点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，易得到结论．【解答】解：若二面角α﹣AB﹣β的大小为锐角，则过点P向平面β作垂线，设垂足为H．过H作AB的垂线交于C，连PC、CH、OH，则∠PCH就是所求二面角的平面角．根据题意得∠POH≥45°，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，∴∠POH≥45°，设PO=2x，则又∵∠POB=45°，∴OC=PC=，而在Rt△PCH中应有PC＞PH，∴显然矛盾，故二面角α﹣AB﹣β的大小不可能为锐角．即二面角α﹣AB﹣β的范围是：[90°，180°]．若二面角α﹣AB﹣β的大小为直角或钝角，则由于∠POB=45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°．即二面角α﹣AB﹣β的范围是[90°，180°]．故答案为：[90°，180°]．【点评】高考考点：二面角的求法及简单的推理判断能力，易错点：画不出相应的图形，从而乱判断．备考提示：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决．17．（4分）【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口．【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果﹣m＞0，则可行域取到x＜﹣5的点，不能在圆内；故﹣m≤0，即m≥0．当mx+y=0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时﹣m=﹣，∴m=．∴0≤m≤．故答案为：0≤m≤【点评】本题考查线性规划问题的理解和掌握程度，关键要将集合的包含关系转化为字母之间的关系，通过求解不等式确定出字母的取值范围，考查转化与化归能力．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．【解答】解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC，得BC•AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．【点评】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．19．（14分）【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】方法一（I）说明△ACB是等腰三角形即可说明CM⊥AB，然后推出结论．（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，方法二建立空间直角坐标系，（I）证明垂直写出相关向量CM和向量EM，求其数量积等于0即可证明CM⊥EM．（II）求CM与平面CDE所成的角，写出向量CM，以及平面的法向量，利用数量积公式即可解答．【解答】解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．设EA=a，在直角梯形ABDE中，，M是AB的中点，所以DE=3a，，，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，所以．在Rt△CMF中，，所以∠FCM=45°，故CM与平面CDE所成的角是45°．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C﹣xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．（I）证明：因为，，所以，故EM⊥CM．（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则，，即，．因为，，所以y0=2，x0=﹣2，，直线CM与平面CDE所成的角θ是n与夹角的余角，所以θ=45°，因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．利用空间直角坐标系解答时，注意计算的准确性．20．（14分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由，解得，所以=≤b2+1﹣b2=1．当且仅当时，S取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k2﹣b2+1，=．②设O到AB的距离为d，则，又因为，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）【考点】数列的求和；不等式的证明．【分析】（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k﹣1，a2k，k赋值即可．（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n﹣1+a2n）可分组求和．（3）T n复杂，常用放缩法，但较难．【解答】解：（Ⅰ）解：方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．（Ⅱ）解：S2n=a1+a2+…+a2n=（3+6+…+3n）+（2+22+…+2n）=．（Ⅲ）证明：，所以，．当n≥3时，=，同时，=．综上，当n∈N*时，．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．22．（15分）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥g t（x），求出f（x）最小值，和g t（x）的最大值，从而求证；（ⅱ）由（i）得，g t（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得g x（2）≥g t（2）对任意正实数t，然后再证明x0的唯一性．【解答】解：（I）解：．由y'=x2﹣4=0，得x=±2．因为当x∈（﹣∞，﹣2）时，y'＞0，当x∈（﹣2，2）时，y'＜0，当x∈（2，+∞）时，y'＞0，故所求函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．（II）证明：（i）方法一：令，则，当t＞0时，由h'（x）=0，得，当时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是．故当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立．方法二：对任意固定的x＞0，令，则，由h'（t）=0，得t=x3．当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．当t＞x3时，h'（t）＜0，所以当t=x3时，h（t）取得最大值．因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．（ii）方法一：．由（i）得，g x（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得g x（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．下面证明x 0的唯一性：当x0≠2，x0＞0，t=8时，，，由（i）得，，再取t=x03，得，所以，即x0≠2时，不满足g x（x0）≥g t（x0）对任意t＞0都成立．故有且仅有一个正实数x0=2，使得g x（x0）0≥g t（x0）对任意正实数t成立．方法二：对任意x 0＞0，，因为g t（x0）关于t的最大值是，所以要使g x（x0）≥g t（x0）对任意正实数成立的充分必要条件是：，即（x0﹣2）2（x0+4）≤0，①又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，所以有且仅有一个正实数x0=2，使得g x（x0）≥g t（x0）对任意正实数t成立．【点评】本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．班级日志记录表第周月日星期值日班长值周班长出勤情况迟到旷课事假病假早午纪律情况节次科目教师课堂纪律备注好中差早自习第1节。
2008年浙江省高考数学试卷(理科)及答案
2008年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞0或x≤﹣1}3．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．2745．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．46．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）7．（5分）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（）A．3 B．5 C．D．8．（5分）若，则tanα=（）A．B．2 C．D．﹣29．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．10．（5分）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a= 12．（4分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．13．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．14．（4分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．15．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=．16．（4分）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是（用数字作答）．17．（4分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？19．（14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．（15分）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（﹣1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．21．（15分）已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．（i）写出g（a）的表达式；（ii）求a的取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．22．（16分）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．求证：当n∈N•时，（Ⅰ）a n＜a n+1；（Ⅱ）S n＞n﹣2．（Ⅲ）T n＜3．2008年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞0或x≤﹣1}【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，∴C u B={x|x＞﹣1}，C u A={x|x≤0}∴A∩C u B={x|x＞0}，B∩C u A={x|x≤﹣1}∴（A∩C u B）∪（B∩C u A）={x|x＞0或x≤﹣1}，故选D．3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）的思路来完成．【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．故选A．5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【分析】先根据诱导公式进行化简，再由x的范围求出的范围，再由正弦函数的图象可得到答案．【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，与直线y=的交点个数是2个．故选C．6．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．7．（5分）（2008•浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（）A．3 B．5 C．D．【分析】先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．【解答】解：依题意，不妨取双曲线的右准线，则左焦点F1到右准线的距离为，右焦点F2到右准线的距离为，可得，即，∴双曲线的离心率．故选D．8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（）A．B．2 C．D．﹣2【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选B．9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．【解答】解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．故选C．10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a=6【分析】利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程求出a．【解答】解：由已知知所以2（a+3）=6×3解得a=6故答案为：612．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：813．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，=πR3=π．∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V球故答案为：π．15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是40（用数字作答）．【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．【解答】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法．由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．答案：4017．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于1．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax+by ≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．【解答】解：令z=ax+by，∵ax+by≤1恒成立，即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，z max≤1恒成立．当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．点P（a，b）形成的图形是边长为1的正方形．∴所求的面积S=12=1．故答案为：1三、解答题（共5小题，满分72分）18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A ﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE 为矩形．又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，列出关系式，得到白球的个数，从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．（II）设出两种球的个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，得到两个未知数之间的关系，得到白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于，得到袋中红球个数最少．【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则，得到x=5．故白球有5个．随机变量ξ的取值为0，1，2，3，∴分布列是∴ξ的数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，∴2y＜n，2y≤n﹣1，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．∴白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（﹣1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．【分析】（I）设N（x，y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．【解答】解：（I）设N（x，y）为C上的点，则，N到直线的距离为．由题设得，化简，得曲线C的方程为．（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，．所以，∴，．当k=2时，，从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．（i）写出g（a）的表达式；（ii）求a的取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数的单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数的单调区间即可．（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出a的取值范围即可．【解答】解；（Ⅰ）解：函数的定义域为[0，+∞），（x ＞0）．若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．综上所述，改天（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．若a≥6，解得．故a的取值范围为．22．（16分）（2008•浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．求证：当n∈N•时，（Ⅰ）a n＜a n+1；（Ⅱ）S n＞n﹣2．（Ⅲ）T n＜3．【分析】（1）对于n∈N•时的命题，考虑利用数学归纳法证明；（2）由a k+12+a k+1﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时的式子相加得S n，最后对S n进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0的正根，所以a1＜a2．②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，因为a k+12﹣a k2=（a k+22+a k+2﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），所以a k+1＜a k+2．即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．（Ⅱ）证明：由a k+12+a k+1﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，所以S n＞n﹣2．（Ⅲ）证明：由，得：，所以，故当n≥3时，，又因为T1＜T2＜T3，所以T n＜3．。
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糖果工作室 原创 欢迎下载！第 1 页 共 10 页绝密★考试结束前2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ 2． 已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-i 3．已知0＜a ＜1，0log log <<n m a a ，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜14．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A)24 (B)4 (C) 22 (D)25．若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则m= (A)21 (B)23 (C)81 (D)89 6．函数y =21sin2x +sin 2x ,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 7．“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件8．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-109．如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧与的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4π (B)3π (C)2π(D)42π10．函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共４小题，每小题4分，共16分。
11．设S n 为等差数列{n a }的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）。
12．对a,b ∈R,记max{a,b }=⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是 。
13．设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则|a|22||b ++|c|2的值是14．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 。
三．解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）。
(Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。
16．设0)1(,0)0(,0.23)(2>>=++++=f f c b a c bx ax x f 若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (Ⅰ)a ＞0且-2＜ab＜-1； (Ⅱ)方程0)(=x f 在（0，1）内有两个实根.17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB ⊥DM;(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角。
18．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球。
现从甲，乙两袋中各任取2个球。
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.19．如图，椭圆by a x 222 ＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23。
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。
20．已知函数23)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。
求证：当n *N ∈时，（Ⅰ）121223+++=+n n n n x x x x ；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x数学（理科）试题参考答案一．选择题.11. -1 12．23 13．4 14．[21,42] 三．解答题.15．解：（I ）因为函数图像过点（0，1），所以1sin 2=ϕ，即21sin =ϕ因为20πϕ≤≤，所以6πϕ=。
（II ）由函数)6π+π=x 2sin(y及其图象，得)0,61(-M ，)2,31(P ，)0,65(N所以)2,21(--=PM，)2,21(-=PN ，从而PN PM PN PM >=<,cos =1715，故1715arccos ,>=<PN PM 。
16．证明：（I ）因为f (0) >0，f (1) >0，所以c > 0，3a + 2b + c > 0由条件a + b + c = 0，消去b ，得a > c >0由条件a + b + c = 0，消去c ，得a + b < 0，2a + b > 0，故12-<<-ab（II ）抛物线c bx ax x f ++=23)(2的顶点坐标为)33,3(2ab ac a b --在12-<<-a b 的两端乖以31-，得32331<-<a b 又因为f (0) >0，f (1) >0，而03)3(22<-+-=-aacc a a b f ， 所以方程0)(=x f 在区间)1,3()3,0(aba b --与内分别有一实根。
故方程0)(=x f 在（0，1）内有两个实根。
17．解：方法一：（I ）因为N 是PB 的中点，P A =AB ，所以AN ⊥PB 。
因为AD 平面P AB ，所以AD ⊥PB ，从而PB ⊥平面ADMN ， 因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB ⊥DM（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则BG ∥CD ，所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等。
因为PB ⊥平面ADMN ，所以∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角。
在R t ΔBGN 中，510sin ==∠BG BN BGN故CD 与平面ADMN 所成的角是510arcsin 。
方法二：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A -XYZ ，设BC =1，则A （0，0，0）， P （0，0，2），B （2，0，0），C （2，1，0），M （1，21，1），D （0，2，0） （Ⅰ）因为(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=--2）·（3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=--0= 所以PB ⊥DM 。
（Ⅱ）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB ⊥AD ， 又因为PB ⊥DM ，所以PB ⊥平面ADMN ，因此>⋅<DC PB 的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角。
因为DCPB DC PB DC PB ⋅>=⋅<cos =510 所以CD 与平面ADMN 所成的角为 510arcsin18．解：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A 。
22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅=（Ⅱ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B 。
由题意，得 31()144P B =-= 122222122224242()n a a a C C C C C C P B C C C C ++=⋅+⋅=22n 1n 12242222n 2n 241212C C C C C C C C C ++⋅+22;3(2)(1)n n n =++ )(2B P =22n 2n2422C C C C +⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++所以 12()()()P B P B P B =+22(1);3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14= 化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去）， 故 2n =。