苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研(二)含答案
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合 A＝{1，2}， B＝{﹣1， a}，若 A B＝{﹣1， a，2}，则 a＝_______.(★★) 2. 若复数 z满足(1﹣ i) z＝1＋ i，其中 i是虚数单位，则 z的实部为_______.(★) 3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 _______ .(★★) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y的值为 _______ .(★) 5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.(★★) 6. 函数的定义域为_______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y 2＝4 x的焦点是双曲线的顶点，则 a＝______.(★★) 8. 已知等比数列的前 n项和为，，，则＝_______.(★) 9. 已知正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为6，点 M是对角线 A 1 C上靠近点 A 1的三等分点，则三棱锥 C— MBD的体积为_______.(★★) 10. 已知定义在 R上的奇函数的周期为2，且 x [0，1]时，，则 a＋ b＝_______.(★★) 11. 已知锐角满足，则＝_______.(★★) 12. 如图，在△ ABC中，∠ ABC＝， AB＝1， BC＝3，以 AC为一边在△ ABC的另一侧作正三角形 ACD，则＝ _______ .(★★★★) 13. 在平面直角坐标系 xOy中， AB是圆 O： x 2＋ y 2＝1的直径，且点 A在第一象限；圆 O 1：( x﹣ a) 2＋ y 2＝ r 2( a＞0)与圆 O外离，线段 AO 1与圆 O 1交于点 M，线段 BM与圆 O交于点 N，且，则 a的取值范围为_______.(★★★★) 14. 已知 a， b R， a＋ b＝ t（ t为常数），且直线 y＝ ax＋ b与曲线（ e 是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对( a， b)唯一存在，则实数 t 的取值范围为_______.二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且 bsin2 A＝ asinB. （1）求 A；（2）求 cos( B＋)＋ sin( C＋)的最大值.(★★★) 16. 已知在四棱柱 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD是菱形，且平面 A 1 ADD 1⊥平面 ABCD， DA 1＝ DD 1，点 E， F分别为线段 A 1 D 1， BC的中点.（1）求证：EF∥平面 CC 1 D 1 D；（2）求证：AC⊥平面 EBD.(★★★) 17. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：( a＞ b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P(0，1)的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B.己知在椭圆 C上存在点 Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求 Q的坐标.(★★★★) 18. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 OE， OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A， B.现规划修建一条新路（由线段 MP，，线段 QN三段组成），其中点 M， N分别在 OE， OF上，且使得MP， QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P， Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求 QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.(★★★★★) 19. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且对任意 n ，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜ i＜ j)成等差数列，求正整数 i， j.(★★★★★) 20. 已知函数，， m， n R. （1）当 m＝0时，求函数的极值；（2）当 n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求 m的取值范围；（3）当 n＞0时，判断是否存在正数 m，使得函数与有相同的零点，并说明理由. (★★) 21. 已知点 M(2，1)在矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A的特征值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为( 为参数).以原点 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为.（1）求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）点 P是曲线 C上的动点，求 P到直线 l的距离的最小值.(★★★) 23. 已知 a， b， c是正数，求证：对任意 R，不等式恒成立.(★★★) 24. 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， AB＝2，AD＝ AP＝3，点 M是棱 PD的中点.（1）求二面角 M— AC— D的余弦值；（2）点 N是棱 PC上的点，已知直线 MN与平面 ABCD所成角的正弦值为，求的值. (★★★★★) 25. 已知数列中，，( n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和；② 和；（2）当n≥3时，证明：.。
2024届苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研(二)数学试卷
高三数学试卷 第1页（共6页） 2023~2024学年度苏锡常镇高三教学情况调研（二） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{Ax=||1|2xx−<∈，N}，1{|1}Byyx==+，则=BA
A. []13, B. []0,2 C. {}0,2 D. {}1,2
2. 已知双曲线C：22
21(0)xyaa−=>经过点(2,0)，则C的渐近线方程为
A. 2yx=± B. 12yx=± C. 14yx=± D. 22yx=± 3. 已知1z，2z是两个虚数，则“1z，2z均为纯虚数”是“12zz为实数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机变量2~(1,)Nξσ
，且(0)()PPaξξ=，则14(0)xaxax+<<−的最小值为
A．9 B．92 C．4 D．6
5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛. 规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判. 每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判. 如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为 A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 高三数学试卷 第2页（共6页）
6. 已知非零向量aπ(cos2sin())4+，αα，bπ(sin(+)1)4=，α，若a∥b，则sin2α= A．1− B．1010 C．45 D．35
7. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为
江苏省无锡市、常州市2020届高三第二学期5月联考数学试卷含附加题试题与答案
无锡市、常州市2020届高三5月学情调查数学试题Ⅰ一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}0,1,2M =，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=_________．2．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则2z 的值为_________．3．袋中装有形状，大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_________．4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =_________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是_________．6．若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=_________． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐近线方程为_________．8．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为_________．9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是a ，点P ，Q 分别为棱1CC ，BC 的中点，四面体11A B PQ 的体积为2，则a 的值为_________．10．已知(0,)2πα∈且3cos25α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________． 11．若关于x ，y 的方程组：1mx y x y n+=⎧⎨+=⎩在[]1,2x ∈上有解，则22m n +的最小值为__________． 12．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41()()a b a b ++的最小值为_________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆22:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，点P坐标为，则3|2|PB PA -u u u r u u u r 取值范围为__________．14．已知函数324,0()2,0x x b x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩，若函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦恰有三个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________．二、解答题：本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）'在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知os c A =，b =c = （1）求边a 的值；（2）求()cos B A -的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中．（1）若AD ⊥平面P AB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面P AD ；（2）若//AD BC ，2AD BC =，E 为P A 的中点，求证：//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左右顶点重合），且12PF F V 的周长为6．点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，2OF 交于点M ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =V V ，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，建筑公司是某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为楼间距），两楼的楼高分别为m a ，m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：①90BMD ∠=︒，②楼间距与两楼的楼高之和的比()0.8,1λ∈．（1）求楼间距AC （结果用a ，b 表示）；（2）若45CBD ∠=︒，设k =，用k 表示λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？19．（本小题满分16分〉 已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数． （1）若1b =，[0,)x ∈+∞，①若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；②若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值前围．（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a +<+<． 20．（本小题满分16分）已知数列{}*,n a n N ∈满足奇数项6{}*21,n a n N -∈成等差，公差为d ，偶数项{}*2,n a n N ∈成等比，公比为q ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =．（1）若5452S a a =+，934a a a =+．①求数列{}n a 的通项公式；②若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；（2）若1d =，1q >，对任意给定的q ，是否存在实数λ，使得212||n na a λ-<对任意n N *∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届高三5月学情调查数学试题Ⅱ注意事项：21．（B ）（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值． 21．（C ）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）：若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求()0P ξ=的值：（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）给定整数3()n ≥，记()f n 为集{}1,2,,21n -L 满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ）1A ∈，21n A -∈；（b ）A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求()3f 的值；（2）求证：()100108f ≤．2020届高三5月学情调查数学Ⅰ试题答案一、填空题，本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．{}0,1,2,4 2．34i -+ 3．564．635．8 6．12e + 7．3y x =± 8．6 9．210．19 11．95 12．25213． 14．2b <-二、解答题；本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC V 中，os c A =b =c =∴222cos 2252()910A a b c bc =+-=+--=， ∵0a >，∴3a =．（2）在ABC V 中，∵1os 0c A =- ∴(,)2A ππ∈，∴in s A ===，在ABC V 中，sin sin a b A B =sin B =，∴sin 5B =， 又(,)2A ππ∈，∴(0,)2B π∈，∴cos B ===． ∴cos cos co s s(i n )n si B A AA B B -=+(10=+=． 16．（本小题满分14分）（1）因为AD ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以AD PB ⊥，又因为PB PD ⊥，且AD PD D =，,AD PD ⊂平面P AD ，所以PB ⊥平面P AD ，又因为PB?平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面P AD ．（2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E ，F 分别是P A ，PD 的中点，所以//EF AD ，且2AD EF =，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =， 所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形，所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F ∆的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则2222612a c c abc a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得，2a =，1c =，b = 所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设,()P m n ，则22143m n +=，(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++① 若1m =-，则2QF 方程为1x =②，由对称性不妨令P 在x 轴上方， 则3(1,)2P -，3(1,)2Q -，联立①②解得9(1,)2M ，2PF 方程为3(1)4y x =--， 代入椭圆方程得139(,)714N -， 故22||74||M N N AF MAF S y S y ==≠V V ，不合题． 若1m ≠-，则2QF 方程为(1)1n y x m =-+③． 联立①③可得343x m y n =+⎧⎨=⎩，(34,3)M m n +． 因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =． 又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 由直线2PF 方程(1)1n y x m =--得：734N m x -=， 将点733(,)44m n N --，代入椭圆方程得22733()()44143m r --+= 又2143m n +=，故22()1634397m n -+= 即22()734974m m --=， 所以12m =，4n =± 所以点P坐标为1(,24或1(,24-． 解法二：设(),P m n ，则22143m n +=(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++①2QF 方程为11m x y n+=+②， 联立①②解得()34,3M m n +，因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 山直线2PF 方程11m x y n -=+得：734N m x -=（下同法一）． 18．（本小题满分16分） 解：（1）∵在ABM V 中，2tan 2BMA a c c c∠==， 在CDM V 中，2tan DMC b b c c∠==， ∵90BMD ∠=︒，∴90BMA DMC ∠+∠=︒， ∴tan tan 1BMA DMC ∠⋅∠=，即24c ab =，∴c =．（2）22211k k k kλ===++ 在CBD V 中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ， ∴tan CB a E c ∠=，tan DBE b a c-∠=， ∴tan tan()CBD CBE DBE ∠=∠+∠ tan tan 1tan tan CBE DBE CBE DBE∠+∠=-∠⋅∠1114b ===-322a b=+.因为k =23122k k =+，即322310k k --=， 设32()231f x x x =--，1x >，∴2()666(1)0f x x x x x '=-=->，∴函数()f x 单调递增，若()0.8,1λ∈，则1522k k <+<，即12k <<． ∵()120f =-<，()230f =>，∴12k <<成立，∴()0.8,1λ∈，∴能满足委托单位的设计要求．答：（1）楼间距AC为m ；（2）能满足委托单位的设计要求．19．（本题满分16分）解：（1）①因为2()1xe f x ax x =++单调递增， 所以222(12)()0(1)x e ax a x f x ax x ⎡⎤+-⎣⎦'=≥++任意,[)0x ∈+∞恒成立，即21ax a ≥-对任意,[)0x ∈+∞恒成立，∴210a -≤，即102a <≤； ②由①当102a <≤时，2()1xe f x ax x =++单调递增，故()1f x ≥成立， 当12a >，令()0f x '=得21a x a-= ∴()f x 在21(0,)a a -上递减， ∴21()(0)1a f f a-<=不合题； （2）因为2()1xe f x ax =+，x R ∈存在两个极值点1x ，2x 所以222(21)()0(1)x e ax ax f x ax -+'==+有两个不同的解， 故2440a a ∆=->，又0a >，所以1a >，设两根为()1212,x x x x <，则122x x +=，121x x a=，故101x <<， ()()121212221212211111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++()1112211211222x x x x e x e x e x e x x x --++==+ 令2(2)()2x x e x e F x x --+=， 因为2(1)(1)()02xx e x e x e F x --+'=>， 所以()F x 在()0,1上递增，所以()()1F x F e <=；又()()1121211132()23(2)x x e x f x f x e x x x a e +-=-+--⎡⎤⎣⎦令()0G x '=得3x e =±又(0,1)x ∈，则3x e =即ln(3x =，记为0x ，则()G x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又()02G =，()1232G e =->，所以()()02G x G >=， 即23()()12f x f x a+>+， 综上：1231()()2f x f x e a+<+<． 解法二：由（1）当0x ≥时，21112xe x x ≥++恒成立， 所以有当0x >时，2112x e x x >++， 所以21121222121221()()1111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++ 22211122121111222x x x x x x x x e x e x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=>+ ()1221212121233211222x x x x x x x x x x a++++==+=+． 20．（本题满分16分）（1）①因为5452S a a =+，934a a a =+，所以1234a a a a ++=，934a a a =+即4232d q d q+=⎧⎨=⎩，解得2d =，3q =．当n 为奇数时，设21n k =-，则211(1)21n k a a a k d k n -==+-=-=当n 为偶数时，设2n k =， 则1122223n k n k a a a q --===⋅ 综上12,21,23,2n n n n k a k N n k-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩. ②当n 为奇数时，12232m m m -⋅=+，即122231m m -⋅=+， 当1m =时，不合题；当3m ≥时，右边小于2，左边大于2，等式不成立； 当n 为偶数时，13m +=，所以2m =．综上，2m =．（2）当0λ=时，由于212122n n a na q--==各项， 所以2120n na a ->，所以0λ=合题； 当0λ≠时，假设212||n n a a λ-<对任意n N ∈恒成立， 即1||2n n q λ->对任意n N ∈恒成立，所以2||n q qλ>. 令02||q λλ=，即0q n qλ>对任意n N ∈恒成立．先证：ln x <对任意0x >恒成立．令()ln f x x =，则1()2f x x x'=-=， 所以()f x 在()0,4上递减，在(4,)+∞上递增， 所以()()min 42ln40f x f ==->，即ln x <对任意0x >恒成立，所以ln n <所以当24ln n q>时，n n q n >， 即02n n n n qλ>>解得01n λ<， 所以当01n λ>且24ln n q>时，021n n n q n n λ<=< 这与0n n qλ>对任意n N ∈恒成立不后， 所以当0λ≠时不合题； 综上λ的取值范围为{0}．。
2023届江苏省苏锡常镇四市高三下学期第二次教学情况调研数学试题及答案
2023届高三苏锡常镇四市第二次教学情况调研高三数学2023.5.4一、选择题:本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1-i )z =i, 则在复平面内z 表示的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知A ,B 为非空数集, A ={0,1},∁R A ∩B ={-1}, 则符合条件的B 的个数为()A.1B.2C.3D.43.已经连续抛郑一枚质地均匀的硬币2次, 都出现了正面向上的结果, 第3次随机地抛掷这枚硬币, 则其正面向上的概率为()A.18B.14C.12D.14.已知向量a ,b 的夹角为60∘, 且|a |=|a -b|=1, 则()A.|2a -b |=1 B.|a-2b |=1C.a ,a -b=60∘ D.b ,a -b=60∘5.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥,其侧面与底面所成角的余弦值为5-12, 则侧面三角形的顶角的正切值为()A.2B.3C.5-12D.5+126.已知2-1x 23=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 22x 22+a 23x 23, 则a 0222+a 1221+⋯+a 212+a 22=()A.-1B.0C.1D.27.设a =13,b =ln 32,c =tan 12，则()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b8.已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,S n +1+1=4a n n ∈N ∗ , 则使得不等式a m +a m +1+⋯+a m +k -a m +1S k <2023k ∈N ∗ 成立的正整数m 的最大值为()A.9B.10C.11D.12二、选择题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分.9.在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l :kx -y -k =0, 椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0), 则下列说法正确的有()A.l 恒过点(1,0)B.若l 过C 的焦点, 则a 2+b 2=1C.对任意实数k ,l 与C 总有两个互异公共点, 则a ≥1D.若a<1, 则一定存在实数k, 使得l与C有且只有一个公共点10.已知函数f(x)=2sin x+sin2x, 则()A.f(x)是偶函数, 也是周期函数B.f(x)的最大值为332C.f(x)的图象关于直线x=π3对称D.f(x)在0,π3上单调递增11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 已知AB=2,AA1=1, 则下列说法正确的有()A.异面直线AB1,A1C1的距离为63B.直线AB1与平面A1BC1所成的角的余弦值为53C.若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上, 则球O的表面积为9πD.以A为球心, 半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为10+336π12.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象是连续不间断的. 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,1)对称, 在区间(1,+∞)上单调递增. 若f(m cosθ+4cosθ-2)+f(-4cos2θ)>2对任意θ∈π4,π2恒成立, 则下列选项中m的可能取值有()A.22-4B.2-22C.2-2D.2-4三、填空题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛, 每名学生的成绩X∼N70,102, 成绩不低于90分为优秀, 依此估计优秀的学生人数为(结果填整数).附：若ξ∼Nμ,σ2, 则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545.14.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A35,45, 将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB, 则点B的横坐标为.15.某校数学兴趣小组在研究函数最值的过程中, 获得如下研究思路:求函数f(x)=|g(x)-mx-n|的最大值时,可以在平面直角坐标系中把|g(x)-mx-n|看成y=g(x)的图象与直线y=mx+n在相同横坐标处的“高度差”, 借助“高度差”探究其最值. 借鉴该小组的研究思路, 记f(x)=|sin x-mx-n|在[0,π]上的最大值为M, 当M取最小值时, m= , n=.16.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F, 过动点P的两条直线l1,l2均与C相切, 设l1,l2的斜率分别为k1,k2, 若k1-1k2-1=4, 则|FP|的最小值为四、解答题:本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列a n的各项均为正数, a1=1,a2+a5+a8=a3a5.(1)求a n的前n项和S n;(2)若数列b n满足b1=1,a n+2b n+1=a n b n, 求b n的通项公式.某地区的疾控机构为了考察药物A对某疾病的预防效果, 在该地区随机抽取96人, 调查得到的统计数据如下表所示.患病末患病合计服用药物A103848末服用约物A222648合计326496(1)试判断:是否有99%以上的把握认为药物A对预防该疾病有效果?(2)已知治愈一位服用药物A的该疾病患者需要2个疗程, 治愈一位末服用药物A的该疾病患者需要3个疗程. 从该地区随机抽取1人, 调查其是否服用药物A、是否患该疾病, 若末患病则无需治疗, 若患病则对其进行治疗并治愈. 求所需疗程数的数学期望.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d ,Pχ2>6.635=0.01.19.(12分)在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b, c, 且a cos B+(b+2c)cos A=0.(1)求A;(2)若点D在边BC上, BD=2DC,AD=2,c=2b, 求△ABC的面积.如图, 在三棱台ABC -A 1B 1C 1中, BA ⊥BC , 平面A 1B 1BA ⊥平面ABC , 二面角B 1-BC -A 的大小为45∘,AB =2,BC =A 1B 1=AA 1=1.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值.ABCA 1B 1C 121.(12分)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的浙近线为y =±32x , 右焦点F 到浙近线的距离为3. 设M x 0,y 0是双曲线C 2:y 2b 2-x 2a2=1上的动点, 过M 的两条直线l 1,l 2分别平行于C 1的两条浙近线, 与C 1分别交于P ,Q 两点.(1)求C 1的标准方程;(2)证明直线PQ 过定点, 并求出该定点的坐标.已知函数f(x)=ae x-1-ln x-1,a∈R.(1)若a=1, 求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有且只有2个不同的零点, 求a的取值范围.。
2020届苏锡常镇二模数学试卷及答案
2020届苏锡常镇二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x )2，其中x ＝1n.球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．柱体的体积V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝11＋i，则|z|＝________．2. 已知集合A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{x|a －1≤x ≤3}，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________．3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝23x ，则a ＝________．5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为________．7. “直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay ＋3＝0平行”是“a ＝2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________．9. 已知M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2－3x 上的一动点，当曲线在点M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________________．10. 已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝________． 11. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ︵，EC ︵，将两圆弧EB ︵，EC ︵及BC 所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为________．(第11题) (第14题)12. 在△ABC 中，(AB →－λAC →)⊥BC →(λ＞1)，若A 的最大值为π6，则实数λ的值是________．13. 若函数f(x)＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 相交于点O.若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A －3a sin B ＝0. (1) 求A 的大小；(2) 已知a ＝2 3，B ＝π3，求△ABC 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：(1) AP∥平面EBD；(2) BE⊥PC.17. (本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度)，l1和l2所在直线的距离为0.5(百米)，对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于点M )，在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到点M的距离为1 (百米)，且点F恰在点B的正对岸(即BF⊥l3)．(1) 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；(2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在(1)的坐标系中，写出观测点P的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点(其中点D 在x 轴上方)． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若△AEF 与△BDF 的面积之比为1∶7，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝23x 3－mx 2＋m 2x(m ∈R )的导函数为．(1) 若函数g (x )＝f (x )－存在极值，求m 的取值范围；(2) 设函数h (x )＝(其中e 为自然对数的底数)，对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中n ∈N *.(1) 若a n ＝n ，b n ＝2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(2) 若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n ＋1>c n 恒成立． ①当数列{b n }为等差数列时，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.2020届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 321，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1，且二阶矩阵M 满足AM ＝B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋2 3cos 2α2 (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝t (t 为常数)，且x 24＋y 29＋z 2的最小值为，求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1) 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；(2) 赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23. (本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4py(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1) 求点G的轨迹方程；(2) 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．2020届苏锡常镇二模数学参考答案1.22 2. 2 3. 0.08 4. 3 5. 566. 67. 必要不充分8. －2n ＋119. x －y －3＝010. －19 11. 2π312. 3 13. (1，e 2e ) 14. 8 215. (1) 因为b cos A －3a sin B ＝0，所以由正弦定理可得sin B cos A －3sin A sin B ＝0.(2分) 因为0<B<π，所以sin B>0，所以cos A ＝3sin A. 因为0<A<π，所以cos A ＝3sin A>0，所以tan A ＝33.(6分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(8分)(2) 因为a ＝2 3，B ＝π3，A ＝π6，所以在△ABC 中，C ＝π2.(10分)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b ＝a sin Bsin A＝2 3×3212＝6，(12分)所以S △ABC ＝12ab ＝12×2 3×6＝6 3.(14分)16. (1) 连结AC 交BD 于点O.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点． 连结EO ，在△PAC 中，因为E 是PC 的中点，所以EO ∥AP.(2分) 又因为AP ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， 所以AP ∥平面EBD.(6分)(2) 因为△PDC 为正三角形，E 是PC 的中点， 所以DE ⊥PC.(8分)又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝DC ，且BD ⊥DC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以BD ⊥PC.(11分)又因为DE ⊥PC ，且BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE.因为BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC.(14分)17. (1) 以A 为原点，l 1所在的直线为x 轴，AM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则由题意可知A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，12.(2分) 设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 则1＝2p ×12，解得p ＝1，(4分)所以栈道AB 的方程为x 2＝2y(0≤x ≤1)．(6分)(2) 过点P 作PH ⊥l 3于点H ，设P(x 0，y 0)(其中0≤x 0≤1，0≤y 0≤12)，则PH ＝2－y 0.设∠EPH ＝α，∠FPH ＝β，则∠EPF ＝α＋β， 所以tan α＝1＋x 02－y 0，tan β＝1－x 02－y 0，(7分)所以tan (α＋β)＝1＋x 02－y 0＋1－x 02－y 01－1＋x 02－y 0·1－x 02－y 0＝22－y 01－1－x 20（2－y 0）2＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋x 20＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋2y 0.(9分)令t ＝2－y 0∈⎣⎡⎦⎤32，2，则0<tan (α＋β)＝2t t 2－1＋2（2－t ）＝2t t 2－2t ＋3＝2t ＋3t－2≤22 t·3t－2＝3＋12， 当且仅当t ＝3t ，即t ＝3∈⎣⎡⎦⎤32，2时取等号．(12分) 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan (α＋β)＞0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当tan (α＋β)最大时，α＋β最大，即∠EPF 最大，此时y 0＝2－3，x 0＝3－1，即P(3－1，2－3)．(13分)故点P 的坐标为P(3－1，2－3)时，观测EF 的视角(∠EPF)最大．(14分)18. (1) 设椭圆的焦距为2c(c>0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝12，可知b 2＝34a 2.(2分)又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1，(4分) 解得a 2＝4，b 2＝3，即椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分) (2) 设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，直线l ：x ＝my －1.因为S △BDF ＝12(a ＋c)|y 1|＝32y 1，S △AEF ＝12(a －c)|y 2|＝－12y 2，所以由S △BDF ＝7S △AEF ，可得y 1＝－73y 2.(9分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4＝－43y 2，y 1y 2＝－93m 2＋4＝－7y223<0.(11分)因为y 1>0，所以y 2<0，所以m>0.(12分) 由上式可得y 2＝－9m 2（3m 2＋4）＝－67m ，即m 2＝169.(15分) 又因为m>0，所以m ＝43，所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋1)．(16分)19. (1) f′(x)＝2x 2－2mx ＋m 2，(1分)所以g(x)＝⎝⎛⎭⎫23x 3－mx 2＋m 2x －(2x 2－2mx ＋m 2)＝23x 3－(m ＋2)x 2＋(m 2＋2m)x －m 2， 所以g′(x)＝2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m)≤0时，即m ≤－2或m ≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R 上单调递增，故函数g (x )无极值； ②当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m )>0时，即－2<m <2时，2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m ＝0有两个根x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 1，＋∞)g ′(x ) ＋－0 ＋g (x )极大值极小值综上所述，m 的取值范围是(－2，2)．(6分)(2) 因为h (x )＝(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)，所以对任意m ∈R ，(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，(8分)即对任意m ∈R ，m 2－2(e x ＋ln x )m ＋(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，(10分) 所以Δ＝4(e x ＋ln x )2－4(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即k 2≤(e x －ln x )2对任意x >0恒成立． 记φ(x )＝e x －ln x (x >0)，所以φ′(x )＝e x －1x.因为φ″(x )＝e x ＋1x 2>0，所以φ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，φ′(1)＝e －1>0，所以函数φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，列表如下：x (0，x 0) x 0 (x 0，＋∞)φ′(x ) －0 ＋φ(x )极小值所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝e x 0－ln x 0，其中e x 0－1x 0＝0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(13分) 所以x 0＝－ln x 0，所以φ(x )min ＝e x 0－ln x 0＝x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52. 又因为k >0，所以由k 2≤(e x －ln x )2得k ≤e x －ln x 对任意x >0恒成立． 由题意知k ≤φ(x )min ＝x 0＋1x 0.因为x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52，且k ∈N *， 所以k ＝1，2，(15分)即正整数k 的取值集合为{1，2}．(16分)20. (1) T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝（1＋2n －1）n 2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋4n ＋1－43.(3分)(2) ①设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公差为d 2.因为数列{c n }是递增数列，所以∀k ∈N *，a 2k －1<b 2k <a 2k ＋1， 即∀k ∈N *，a 1＋(2k －2)d 1<b 1＋(2k －1)d 2<a 1＋2kd 1， 所以∀k ∈N *，⎩⎪⎨⎪⎧2（d 2－d 1）k ＋b 1－a 1＋2d 1－d 2>0， ①2（d 1－d 2）k ＋a 1－b 1＋d 2>0. ②由①得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2－2d 1<0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≤0，a 1－b 1－d 2＜0.(6分)由②得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2>0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≥0，a 1－b 1＋2d 1－d 2>0，(7分)所以d 1＝d 2>0，即数列{a n }，{b n }的公差相等．(8分) ②数列{b n }不能为等比数列．(9分)若存在，设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为数列{c n }是递增数列，所以a 1＝c 1<c 3＝a 3＝a 1＋2d ，所以d >0.(10分) 又a n ＝a 1＋(n －1)d ，则当n >1－a 1d 时，a n >0，所以必存在正奇数i ，有a i >0，所以b i ＋1＝c i ＋1>c i ＝a i >0，即b 1q i >0， 所以b 1q >0，即b 2>0.因为b 2＝c 2<c 4＝b 4＝b 2q 2，所以q 2>1.(12分)记q 2＝p ，则p >1.因为∀k ∈N *，b 2k ＋2<a 2k ＋3，所以对任意k ∈N *，有b 2p k <a 3＋2kd 成立． 设f (x )＝x 2e x ，x >0，则f ′(x )＝x （2－x ）e x .当0<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x >0，有f (x )≤f (2)＝⎝⎛⎭⎫2e 2<1，从而x >0时，e x >x 2.因为p >1，所以∀k ∈N *，k ln p >0，所以e k ln p >(k ln p )2，即p k >ln 2p ·k 2， 从而∀k ∈N *，b 2ln 2p ·k 2<b 2p k <a 3＋2kd .因为a 3＝c 3>c 2＝b 2>0，所以a 3≤a 3k ，所以b 2ln 2p ·k 2<a 3k ＋2kd ， 所以对任意k ∈N *，k <a 3＋2db 2ln 2p， 而上式不成立，所以数列{b n }不能为等比数列．(16分)．21. A. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3c ＝－2，b ＋3d ＝3，2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11.(4分)令M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 0 1 λ－1＝(λ－1)2＝0，得λ＝1，所以M 的特征值为1.(7分)设属于特征值1的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则由M α＝α，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ，－x ＋y ＝y ，所以x ＝0，所以M 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(注：答案不唯一)(10分)B. (1) 因为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(4分)(2) 曲线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3（cos α＋2）(α为参数)，所以曲线l 的普通方程为y ＝3x (1≤x ≤3)．(6分)由⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋（y －2）2＝4，得4x 2＝4 3x ， 所以x ＝0(舍去)或x ＝3，故曲线l 和曲线C 的公共点的直角坐标为(3，3)， 其极坐标为⎝⎛⎭⎫2 3，π3.(10分) C. 由柯西不等式⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y32＋z 2(22＋32＋12)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝t 2，(6分)当且仅当x 22＝y33＝z 1时取等号，此时x 4＝y 9＝z .又x ＋y ＋z ＝4，解得x ＝87，y ＝187，z ＝27，所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为t 214.(8分)因为x 24＋y 29＋z 2的最小值为87，所以t 214＝87.又因为t ＝x ＋y ＋z >0，所以t ＝4.(10分)22. (1) X 的所有可能取值有10，20，40.按规则摸出3个小球的情况共有5×4×3＝60(种)．(1分)其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有C 35＝10(种)， 所以P(X ＝40)＝1060＝16，P(X ＝20)＝1060＝16，P(X ＝10)＝1－P(X ＝40)－P(X ＝20)＝23，故获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝10×23＋20×16＋40×16＝503，故获奖金额X 的数学期望为503元．(6分) (2) 记“获得的奖金恰好为60元”为事件A.赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立． 事件A 包含：三次都是二等奖；一次一等奖及两次三等奖， P(A)＝⎝⎛⎭⎫163＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫161＝49216，(9分)故赵四获得的奖金恰好为60元的概率为49216.(10分)23. (1) 由题意可得F(0，p)，AB ：y ＝kx ＋p(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－4pkx －4p 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2k 2＋16p 2>0，x 1＋x 2＝4pk ，x 1x 2＝－4p 2.由y ＝x 24p ，得y′＝x 2p，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y ＝x 12p (x －x 1)＋x 214p ，即y ＝x 12p x －x 214p，①同理抛物线C 在点B 处的切线方程为y ＝x 22p x －x 224p.②联立①②得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24p ，即G(2pk ，－p)，所以点G 的轨迹方程为y ＝－p(x ≠0，且p 为大于2的质数)．(3分) (2) 设AB 的中点为M ，连结MG ，FG . 由F(0，p)，G(2pk ，－p)，得k FG ＝－1k，所以AB ⊥FG .因为AB ⊥EM ，所以EM ∥FG ，所以∠EMF ＝∠GFM ＝90°.因为x M ＝12(x 1＋x 2)＝2pk ＝x G ，所以MG 平行于y 轴，所以∠EFM ＝∠GMF.又因为FM ＝MF ，所以△EFM ≌△GMF ， 所以EM ＝FG ，所以S ＝S △AGB ＋S △AEB ＝12AB·FG ＋12AB·EM ＝AB·FG .又因为AB ＝AF ＋BF ＝y 1＋y 2＋2p ＝k(x 1＋x 2)＋4p ＝4p(1＋k 2)， 且FG ＝（2pk ）2＋（2p ）2＝2p 1＋k 2， 所以S ＝AB·FG ＝p 2(21＋k 2)3.(6分)由题意得2pk 为整数，设2pk ＝t(t ∈Z ，t ≠0)， 所以k ＝t2p.假设S ＝p 2(21＋k 2)3为整数，则21＋k 2＝n (n ∈N *)， 即4＋⎝⎛⎭⎫t p 2＝n ，所以⎝⎛⎭⎫t p 2＝n 2－4， 所以tp只能为整数．(8分)设t ＝dp (d ∈Z ，d ≠0)，则d 2＝n 2－4，所以(n －d )(n ＋d )＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝4，n ＋d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－4，n ＋d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝1，n ＋d ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－1，n ＋d ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝2，n ＋d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－2，n ＋d ＝－2. 因为d ∈Z ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0，但当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0时，k ＝0，与k ≠0矛盾，不合题意．综上所述，S 不是整数．(10分)。
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（二）（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0}，B={−1,3}，则A∪B=______．(i为虚数单位)的虚部是________．2.复数z=1+2ii3.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的学生的人数为___________．4.已知a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，，则这个班男生的人数为若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011________．+lg(2x+1)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x√2−x7. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则a 1=________．9. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为对角线B 1D 上的一点，M ，N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1． (1)当N 为对角线AC 的中点且DE =√2时，则三棱锥E −DMN 的体积是______ ；(2)当三棱锥E −DMN 的体积为13时，则DE = ______ ．10. 若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=______．11. 已知α为锐角，sinα=45，则tan(α+π4)= ______ ．12. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2a,0)(a >0)，直线l 1:mx −y −2m +2=0与直线l 2:x +my =0(m ∈R)相交于点M ，且MA 2+MO 2=2a 2+16，则实数a 的取值范围是_________． 14. 已知直线2x −y +1=0与曲线y =ae x +x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值是_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3acosB =bsinA ．(Ⅰ)求B 的值；(Ⅱ)求sinA +sinC 的最大值．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． (1)求证：CD//平面SAB ； (2)求证：BD ⊥SC ．17.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．18.如下图所示，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45∘，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．19.已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n.令c n=(−1)n S n(n∈N∗)，{c n}的前20项和T20=330.数列{b n}满足b n=2(a−2)d n−2+2n−1，a∈R．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n+1≤b n，n∈N∗，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1．(1)求函数f(x)的单调区间，并判断f(x)是否存在极值点．(2)设m>n>0，求证：lnm−lnn>2(m−n)m+n．21.设矩阵M=[m22−3]的一个特征值λ对应的一个特征向量为[1−2]，求实数m与λ的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设c>0，|x−1|<c3，|y−1|<c3，求证：|2x+y−3|<c．24.如图，正四棱锥P−ABCD中，PA=BD，点M为AC，BD的交点，点N为AP中点．(1)求MN与平面PAD所成角的正弦值；(2)求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．25. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=3，a n+12=3a n +4(n ∈N ∗).设b n =4−a n ，求证：当n ∈N ∗时， (1) 3≤a n <4； (2)b n ≤(37)n−1；(3)S n >4n −74．-------- 答案与解析 --------1.答案：{−1,0，3}解析：【分析】本题考查集合的并集，根据题意利用并集的定义即可求得结果．【解答】解：∵集合A={−1,0}，B={−1,3}，∴A∪B={−1,0，3}．故答案为{−1,0，3}．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：30解析：【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得成绩低于60分得频率为10×0.01+10×0.015=0.25，所以成绩不低于60分的人数为40×(1−0.25)=30．故答案为30．4.答案：1解析：【分析】本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．【解答】解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：33解析：【分析】本题考查古典概型概率的计算，属于基础题目．【解答】解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63−x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63−x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63−x63=1011×x63，解得x=33，故这个班男生的人数为33．故答案为33．6.答案：(−12,2)解析：解：要使函数有意义，则{2−x >02x +1>0，即{x <2x >−12，即−12<x <2，故函数的定义域为(−12,2)， 故答案为：(−12,2)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：6解析： 【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值． 【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)， 准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)，B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2， 则|AF|=|AB|=√12+p 2， 所以p|AF|=sin π3，即2=√32， 解得p =6． 故答案为6．8.答案：1解析： 【分析】本题考查等比数列的前n 项和公式以及应用，注意分析q 是否为1.根据题意，由等比数列前n 项和公式可得S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得1+q 3=9，解可得q 的值，将q 的值代入S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n }满足S 3=7，S 6=63，则其公比q ≠1， 若S 3=7，则a 1(1−q 3)1−q =7；S 6=63，则a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2； 又由a 1(1−q 3)1−q=7，解可得a 1=1．故答案为19.答案：√39；√6解析：解：(1)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，N 是AC 的中点， ∴AC ⊥BD ，DN =√2，∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD =B ， ∴AC ⊥平面BB 1D ，故当N 为AC 的中点时，有MN ⊥平面DEN ， 又DB 1=2√3，BB 1=2，∴sin∠BDB 1=22√3=√33， ∴V E−DMN =V M−DEN =13S △DEN ⋅MN =13×12×√2×√2×√33×1=√39． (2)设三棱锥E −DMN 的高为h ，则V E−DMN =13S △DMN ⋅ℎ=13×12×1×√2×ℎ=√2ℎ6=13，∴ℎ=√2， ∵ℎBB 1=DE DB 1，即√22=DE 2√3，∴DE =√6．故答案为：(1)√39，(2)√6．(1)证明MN ⊥平面DEN ，求出三角形DEN 的面积，代入体积公式计算即可； (2)根据体积求出E 到平面ABCD 的距离，再利用相似三角形求出DE ． 本题考查线面位置关系的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．10.答案：516解析：解：∵函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数， 且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=f(8−34)+f(4−76)=f(−34)+f(−76)=−f(34)−f(76)=−34(1−34)−sin 76π=−316+12=516． 故答案为：516．通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．11.答案：−7解析：解：∵α为锐角，sinα=45， ∴cosα=35，∴tanα=43，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−7． 故答案为：−7．利用同角三角函数关系，求出tanα，再利用和角的正切公式，可求tan(α+π4).本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式，考查学生的计算能力，正正确运用公式是关键．12.答案：−54解析： 【分析】画出示意图，由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入即可得出． 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】 解：如图所示，∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(22−32) =−54． 故答案为：−54．13.答案：[2,1+√17] 解析：【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用．两直线l1，l2联立可得M的轨迹方程x2+y2−2x−2y=0，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，根据题意两圆相交，根据圆心距与半径的关系求解．【解答】解：直线l1:mx−y−2m+2=0与直线l2:x+my=0(m∈R)联立消去m化简可得x2+y2−2x−2y=0，即圆心为(1,1)，半径为√2的圆，且不包括点(2,0)，即为M的轨迹方程，A(2a,0)，(a>0)，设M(x,y)，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2−2ax+y2+a2−8=0，所以M在以(a,0)为圆心，2√2为半径的圆上，由两圆相交可得√2≤√(a−1)2+1≤3√2，解得2≤a≤1+√17则实数a的取值范围是[2,1+√17] ．故答案为[2,1+√17] ．14.答案：1解析：【分析】本题考查了利用导数求解函数的切线方程，属于基础题．设切点为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，又n=ae m+m=m+1，可解a的值．【解答】解：∵y=ae x+x，∴y′=ae x+1．设直线2x−y+1=0与曲线y=ae x+x相切的切点坐标为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，得ae m=1，又n=ae m+m=m+1，∴m=0，n=1，a=1．15.答案：解：(Ⅰ)因为√3acosB=bsinA，由正弦定理可得√3sinAcosB=sinBsinA．因为在△ABC中，sinA≠0，所以√3cosB=sinB．因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为A+B+C=π，所以sinA+sinC=sinA+sin(A+π3)．=sinA+(12sinA+√32cosA)．=√3sin(A+π6)．因为0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6．当A+π6=π2，即A=π3时，sinA+sinC有最大值√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得√3sinAcosB=sinBsinA，结合sinA≠0，可求√3cosB=sinB，结合范围0<B<π，可求B的值．(Ⅱ)由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC=√3sin(A+π6)，结合范围0<A<2π3，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：证：(1)在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AB//CD，……(2分)∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD//平面SAB……(4分)(2)连结AC.∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD……(6分)∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩SA=A，AC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……(9分)∴BD⊥SC.……(10分)解析：(1)推导出AB//CD，由此能证明CD//平面SAB．(2)连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12， 且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．18.答案：18m解析：过点A作AE⊥CD交CD于E点，由题意可知：CE=6m,DE=9m,AE=BD,∠CAE+∠DAE=45∘．tan∠CAE=CEAE =6BD，tan∠DAE=DEAE=9BD，由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ，∴tan(∠CAE+∠DAE)=tan∠CAE+tan∠DAE1−tan∠CAE⋅tan∠DAE=tan45∘=1⇒BD=18m19.答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为c n=(−1)n S n，所以T20=−S1+S2−S3+S4+⋯+S20=330，则a2+a4+a6+⋯+a20=330则10(3+d)+10×92×2d=330解得d=3所以a n=3+3(n−1)=3n(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=2(a−2)3n−2+2n−1b n+1−b n=2(a−2)3n−1+2n−[2(a−2)3n−2+2n−1]=4(a−2)3n−2+2n−1=4⋅3n−2[(a−2)+12(23)n−2]由b n+1≤b n⇔(a−2)+12(23)n−2≤0⇔a≤2−12(23)n−2因为2−12(23)n−2随着n的增大而增大，所以n=1时，2−12(23)n−2最小值为54，所以a≤54．解析：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用T20=330，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)先求出b n，再根据b n+1≤b n，n∈N∗，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．20.答案：解：(1)已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1，函数的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，x∈(0,+∞)，∴f′(x)≥0，在x∈(0,+∞)上恒成立，∴f(x)的单调增区间是(0,+∞)令f′(x)=0，则x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)，f′(x)>0，∴f(x)没有极值点． (2)证明：要证lnm −lnn >2(m−n)m+n,即需证ln mn >2(m n −1)m n+1, 只需证ln m n −2(m n −1)m n+1>0， 设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，由(1)可知ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， 因为mn >1，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0， 当x =m n >1时，即ln m n −2(m n −1)m n+1>0，所以原不等式成立．解析：本题主要考查函数的单调性与最值、导数等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力，属于一般题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断f(x)是否存在极值点． (2)设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，根据函数的单调性证明即可． 21.答案：解：由题意得[m22−3][1−2]=λ[1−2]， 即[m −48]=[λ−2λ]， 则{m −4=λ8=−2λ， 解得m =0，λ=−4．解析：此题主要考查二阶矩阵、特征向量，根据特征值的定义可知[m22−3][1−2]=λ[1−2]，利用待定系数法建立等式关系，从而可求m 与λ的值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案： 证明：因为|x −1|<c3，所以|2x −2|<2c 3，故|2x +y −3|=|2x −2+y −1|≤|2x −2|+|y −1|<2c 3+c3=c ，故|2x +y −3|<c ．解析：【分析】 本题考查不等式的证明，属于一般题． 利用绝对值三角不等式证明即可得到结论．24.答案：解：由已知可得，在正四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，且PM ⊥平面ABCD ，则以M 为空间坐标原点，以MA 为x 轴，MB 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AM =1，则M(0,0，0)，A(1,0，0)，D(0,−1,0)，P(0,0，√3)，N(12,0，√32)，B(0,1，0)，C(−1,0，0)，(1)设平面PAD 的法向量为n 1→=(x,y,z)， 由题意得AD →=(−1,−1,0),PD →=(0,−1,−√3)， ∵{AD →·n 1→=−x −y =0PD →·n 1→=−y −√3z =0，∴{x =−y z =−√33y令y =1，得到n 1→=(−1,1,−√33)，∴cos <MN →,n 1→>=MN →·n 1→|MN →|·|n 1→|=(12,0,√32)·(−1,1,−√33)1×√73=√73=−√217． ∴AM 与平面DEF 所成角的正弦值为√217.(2)设平面PBC 的法向量为n 2→=(u,v,w)， 由题意得BC →=(−1,−1,0),PB →=(0,1,−√3)，∵{BC →·n 2→=−u −v =0PB →·n 2→=v −√3w =0∴{u =−vw =√33v令v =1，得到n 2→=(−1,1,√33)，∵平面PAD 的法向量n 1→=(−1,1,−√33)，平面PBC 的法向量n 2→=(−1,1,√33)，∴cos <n 1→,n 2→>=n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|=(−1,1,−√33)·(−1,1,√33)√73×√73=5373=57． ∴平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值为57.解析：本题主要考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，注意计算即可，属于中档题． (1)求得平面PAD 的法向量即可解得答案；(2)分别求得平面PBC 与平面PAD 的法向量即可解得答案．25.答案：证明：(1)①当n =1时，3≤a 1<4成立.②假设当n =k 时成立，即3≤a k <4；当n =k +1时，a k+12=3a k +4，即13⩽a k+12<16.∵a k >0，∴√13≤a k+1<4，即3≤√13≤a k+1<4. ∴n =k +1时成立，综合①②有：3≤a n <4成立．(2)由题意得：a n+12−16=3a n −12=3(a n −4).∴(a n+1+4)(a n+1−4)=3(a n −4)． 即4−a n+14−a n =34+a n+1.∴b n+1b n =4−a n+14−a n =34+an+1⩽37 (3⩽a n <4).∴b2b 1⋅b3b 2…b nbn−1⩽(37)n−1，又∵b 1=1． ∴b n ≤b 1⋅(37)n−1=(37)n−1．(3)∵b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1 =(1−(37)n )1−37<74. ∴S n >4n −74．解析：本题主要考查的是数列求和，递推关系式，数学归纳法，是较难题． (1)由数学归纳法即可证得；(2)由a n+12−16=3a n −12=3(a n −4)得4−a n+14−a n =34+a n+1，∴b n+1b n=4−a n+14−a n=34+an+1≤37 ，即b n ⩽b 1⋅(37)n−1=(37)n−1；(3)由b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1，即可求解．。
【附加15套高考模拟试卷】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷含答案
江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f （x ）定义域为R ，则命题p ：“函数f （x ）为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f （x 0）=f （-x 0）”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16322+3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥C ．1//A O 平面11B CD D ．1A O ⊥平面11AB D4．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．156．已知实数x ，y 满足不等式组21035328x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，若(>0)z ax y a =-的最小值为9，则实数a 的值等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．97．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．18．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，1(x)25xf =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1-B ．45- C ．1D ．459．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A ．1BC ．2D ．410．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．16811．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3 B ．23 C．2 D ．112． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021苏锡常镇四市高三教学情况数学试卷
1、设集合A为所有正整数的集合，B = {x | x是A中元素且x < 5}，则集合B的元素个数为A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：C。
解析：集合B定义为小于5的正整数，即B = {1, 2, 3, 4}，因此元素个数为4个，但需注意集合中元素的互异性，实际上应包含数字5前的所有正整数，故为5个。
）2、已知等差数列的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 15，则S9等于A. 24B. 27C. 30D. 36（答案：A。
解析：由等差数列前n项和的性质，S3, S6 - S3, S9 - S6成等差数列，即6, 9, x成等差数列，解得x = 12，所以S9 = S6 + 12 = 27 - 6 = 24。
）3、在三角形ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若a = 3, b = 4, sin C = 0.5，则三角形的面积为A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：D。
解析：利用三角形面积公式S = 0.5ab sin C，代入已知值得S = 0.5 * 3 * 4 * 0.5 = 6。
）4、若复数z满足(1 + i)z = 1 - i（i为虚数单位），则z的实部为A. 1B. 0C. -1D. -2（答案：B。
解析：z = (1 - i) / (1 + i)，通过乘以共轭复数化简得z = (1 - i)2 / (12 + 12) = -i，实部为0。
）5、已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a与b的点积为A. 5B. 7C. 11D. 13（答案：C。
解析：点积公式为a · b = a1b1 + a2b2，代入得13 + 24 = 11。
）6、一个盒子里有大小相同的6个红球和4个白球，从中任取3个球，恰好取到2个红球和1个白球的概率为A. 1/5B. 3/5C. 12/35D. 18/35（答案：C。
解析：使用组合公式，取2红1白的方式有C(6,2) * C(4,1)种，总取法有C(10,3)种，所以概率为[C(6,2) * C(4,1)] / C(10,3) = 12/35。