四川省棠湖中学2017_2018学年高一数学下学期期末试题(含解析)
棠湖中学高2018级(高一下)期末数学试卷2
棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 给出下列结论：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( ) A. π4B. 3π4C. π4或5π4 D. π4或3π43. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( )A. 16B. 81C. 3D. 27 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A. a 2<b 2B. a 2b <ab 2C. 1ab 2<1a 2bD. b a <ab5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )A. 311516B. 321516C. 331516D. 26126. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4x +9y的最小值为( ) A. 252 B. 18C. 9D. 257. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1x −2y ≤22x +y ≤6，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则满足a ⃗ ⊥b⃗ 的实数m 的最大值( )A. −265B. −305C. 2D. −528. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a+cosB b=√3sinB，A =2π3，则b +c 的取值范围是( )A. (√32,1]B. (32,√3]C. [√32,1]D. [32,√3]10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =14B 1D 1；④B 1D 与平面A 1C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④11. 在平面四边形ABCD中，AB=√2，BC=CD=DA=1，设△ABD、△BCD的面积分别为S1、S2，则当S12+S22取最大值时，BD=()A. √102B. √3C. √2D. 112.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2018)=()A. −2B. −3C. 2D. 3二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC=45∘，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．14. 已知数列和{a n}满足a n+2−a n+1=a n+1−a n，n∈N∗，且a5=π2，若函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x2，记y n=f(a n)，则数列{y n}的前9项和为______．15. 已知动直线l1：2x+3my−2=0过定点A，动直线l2：3mx−2y−6m+2=0过定点B，直线l1与l2交于点P，则△PAB的面积的最大值是______．16. 在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a、b、c依次成等比数列，则sinA(1tanA +1tanB)的取值范围是______．16.定义：关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b ,1a)，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ=______．三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）17．设函数f(x)=mx2−mx−1．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围．18.已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)．(Ⅰ)求线段AB的垂直平分线的方程；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b−ca−c =sin(B+C)sinB+sinC．(1)求角B的大小；(2)求cos(A−C)−2cos2C的最大值．20.若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，P(√S n,S n+1)点在曲线y=(x+1)2上.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)设b n=1a n⋅a n+1，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n≥13m−1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，过点C的直线VC垂直于⊙O所在平面.D，E，F分别是VA，VB，VC的中点，且BC=1，AC=2，VC=2.求证：(Ⅰ)平面DEF⊥平面VBC；(Ⅱ)求VO与平面ABC所成角的余弦值．22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且25114a a a a ⋅=⋅.令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求n T ；（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若332nna n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2 参考答案一、选择题:1-5.ABDCB ； 6-10. DCCAD ； 11-12.AB填空题:13.2+√22； 14. 18； 15. 12； 16. (√5−12,√5+12)； 16.5π611.解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，∴cosC =√2cosA −12．S 12+S 22=14AB2⋅AD2⋅sin2A +14CB2⋅CD2⋅sin2C =12sin 2A +14sin 2C =−(cosA −√28)2+58，∴当cosA =√28时，S 12+S 22取取最大值， 此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√102．12.解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(32−x)=−f(−x)，则有f(3−x)=−f(32−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数，数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =a 7−a27−2=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5， 则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3；16.解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a+aq 2>aqa+aq>aq 2aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =cb=q ， ∴sinA(1tanA +1tanB )的取值范围是：(√5−12,√5+12).16.解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1b 所以−2sin2θ=1a+1b =a+b ab=4√3cos2θ2即：tan2θ=−√3因为θ∈(π2,π)，所以θ=5π6，故答案为：5π6 三、解答题：17．解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，若m =0，显然−1<0成立；若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0，解得−4<m <0．所以−4<m ≤0．(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6x 2−x+1在x ∈[1,3]上恒成立． 因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是{m|m <67}.18.解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =83． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +32=83(x +1)，化为：16x −6y +7=0．(Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =√73|AB|=√73．∴△ABC 的面积S =12×√73×31√73=312．19.解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−ca−c=sin(B+C)sinB+sinC．则：b−c a−c =sinAsinB+sinC ，利用正弦定理得：b−ca−c =ab+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，由于：0<B <π，所以：B =π3． (2由(1)得：A +C =2π3，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π3−2C)−(cos2C +1)， =√32sin2C −32cos2C −1，=√3sin(2C −π3)−1，由于：0<C <2π3，所以−π3<2C −π3<π，当2C −π3=π2， 即C =5π12时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．20.解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=13∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤13，∴m ≤4．21.证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分) 在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√52，在Rt △VOC 中，OC =√52，VC =2，则VO =√212，…………………(10分)则cos∠VOC =(√52)2+(√212)2−222×√52×√212=√10521，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√10521.…………………(12分)22. 解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得592511426a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩， 所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，11111112335212121n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121m n m nT T T m n ===++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以22m n T T T =⋅，即2221521m n m n ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 对上等式左右同时取倒数可得224411052m m n m n+++=即224152m m m n -++=，502n>Q ，22410m m m -++∴>，只需要2410m m -++>，所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4讨论：①当1m =时，带入224152m m m n -++=，58n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入224152m m m n-++=，2n =，满足*n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.③当3m =时，带入224152m m m n -++=，458n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入224152m m m n-++=，40n =，满足*n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2n m t c c c =⋅，将212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2212121212121333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+ 不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-220n m ->Q 且*22n m N -∈所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3. 而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 给出下列结论：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A3. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( )A. π4 B. 3π4 C. π4或5π4 D. π4或3π4【答案】B解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0,π)．则tanθ=3−1−1−1=−1，∴θ=3π4，故选：B ． 3. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( ) A. 16 B. 81 C. 3 D. 27 【答案】D解：等比数列{a n }中，a n >0，∴q >0，∵a 3⋅a 7=81且a 3=1，∴a 7=81，q 4=a 7a 3=81, ∴q =3，则a 6=a 3q 3=33=27．故选：D ． 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A. a 2<b 2B. a 2b <ab 2C. 1ab 2<1a 2bD. b a <ab 【答案】C解：A.取a =−3，b =1，则a 2<b 2不成立； B .ab >0时，则ab(a −b)>0，∴a 2b >ab 2；C.∵a ，b 为非零实数，且a <b ，∴a a 2b 2<b a 2b 2，化为1ab 2<1a 2b ． D .取a =−2，b =1，则b a >ab ． 综上可得：只有C 正确．故选：C ．5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )A. 311516B. 321516C. 331516 D. 2612 【答案】B解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n −12−1=2n −1，同理，小老鼠每天打洞的距离1−(12)n1−12=2−12n−1，∴S n =2n −1+2−12n−1，∴S 5=25+1−124=321516．故选：B ．6. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4x +9y 的最小值为( ) A. 252 B. 18C. 9D. 25【答案】D解：在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则x +y =1．所以：4x +9y =(4x +9y )(x +y)=4+9+4y x +9x y ≥13+12=25(当且仅当x =45，y =310等号成立)，故选：D ．7. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1x −2y ≤22x +y ≤6，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则满足a ⃗ ⊥b ⃗ 的实数m 的最大值( )A. −265B. −305C. 2D. −52 【答案】C解：由向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ 得m =y −2x ，根据约束条件画出可行域，m =y −2x ，将m 最小值转化为y 轴上的截距，当直线m =y −2x 经过点B 时，m 最大，由{2x +y =6x=1，解得B(1,4)实数m 的最大值为：4−2=2．故选：C ．8. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 【答案】C解：由{m 2m 2(m −2)−3m =0，解得m =0，−1，3．经过验证：m =3时，两条直线重合，舍去． ∴m =0或−1．故选：C ．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a +cosB b =√3sinB ，A =2π3，则b +c 的取值范围是( ) A. (√32,1]B. (32,√3]C. [√32,1]D. [32,√3]【答案】A 解：∵cosA a+cosBb=2sinC √3sinB，A =2π3，∴由正弦定理，余弦定理可得：b 2+c 2−a 22abc+a 2+c 2−b 22acb=2c √3b，整理可得：a =√32， ∴由正弦定理bsinB =csinC =√32√32=1，可得b =sinB ，c =sinC =sin(π3−B)，∴b +c =sinB +sinC =sinB +sin(π3−B)=12sinB +√32cosB =sin(B +π3)，∵0<B <π3，可得：π3<B +π3<2π3，∴b +c =sin(B +π3)∈(√32,1]．故选：A ．10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =14B 1D 1；④B 1D 与平面A 1C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D【解析】解：在平面D 1AC 和平面A 1C 1B 中，由AC//A 1C 1，AC ⊄平面A 1C 1B ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，可得AC//平面A 1C 1B ，同理可得D 1A//平面A 1C 1B ，AC ∩D 1A =A ，则平面D 1AC//平面A 1C 1B ，故①对；连接B 1D 1，可得B 1D 1⊥A 1C 1，A 1C 1⊥D 1D ，则A 1C 1⊥平面D 1DB 1，即有A 1C 1⊥B 1D ， 同理可得BC 1⊥B 1D ，则B 1D ⊥平面A 1C 1B ，故②对；设正方体的边长为1，面对角线长为√2，体对角线长为√3，由V A 1−B 1BC 1=13×1×12×1×1=16，且V B 1−A 1C 1B =13B 1D ⋅S △BA 1C 1=13B 1H ⋅√34⋅2=√36B 1H ，可得B 1H =√33，则B 1H ≠√24，故③错； 由三棱锥B 1−A 1C 1B 为正三棱锥，可得H 为正三角形A 1C 1B 的中心，故④对． 故选：D ．11. 在平面四边形ABCD 中，AB =√2，BC =CD =DA =1，设△ABD 、△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则当S 12+S 22取最大值时，BD =( )A. √102B. √3C. √2D. 1【答案】A【解析】解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，∴cosC =√2cosA −12．S 12+S 22=14AB2⋅AD2⋅sin2A +14CB2⋅CD2⋅sin2C =12sin 2A +14sin 2C =−(cosA −√28)2+58，∴当cosA =√28时，S 12+S 22取取最大值，此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√102．故选：A ．12.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=( ) A. −2 B. −3 C. 2 D. 3 【答案】B解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(32−x)=−f(−x)，则有f(3−x)=−f(32−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数， 数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =a 7−a 27−2=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5，则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3； 故选：B ．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC =45∘，AB =AD =1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为______．【答案】2+√22解：DC =ABsin 45∘=√22，BC =ABsin 45∘+AD =√22+1，S 梯形ABCD =12(AD +BC)DC =12(2+√22)√22=√22+14，S =4√2S 梯形ABCD=2+√22．故答案为：2+√2214. 已知数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，n ∈N ∗，且a 5=π2，若函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x2，记y n =f(a n )，则数列{y n }的前9项和为______．【答案】18解：数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，所以：2a n+1=a n +a n+2，所以数列{a n }为等差数列．由于：a 5=π2，则：a 1+a 9=a 2+a 8=⋯=2a 5=π函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x2=2+sin2x +cosx ，所以：f(a 5)=2， 故：f(a 2)+f(a 8)=f(a 1)+f(a 9)=⋯=2f(a 5)=4，故：数列{y n }的前9项和为：4+4+4+4+2=18．故答案为：1815. 已知动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，直线l 1与l 2交于点P ，则△PAB 的面积的最大值是______．【答案】12解：根据题意，对于直线l 1：2x +3my −2=0，变形可得−2(x −1)=3my ， 若动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，则A(1,0)，对于直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，变形可得3m(x −2)=2(y −1)， 若动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，则B(2,1)，动直线l 1：2x +3my −2=0，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，有2×(3m)+3m ×(−2)=0， 则动直线l 1与动直线l 2互相垂直，又由直线l 1与l 2交于点P ，则P 在以AB 为直径的圆上，又由A(1,0)，B(2,1)，则P 的轨迹方程为(x −32)2+(y −12)2=12，分析可得：当PA =PB =√22×√2=1时，△PAB 的面积取得最大值，此时△PAB 的面积的最大值12×PA ×PB =12，故答案为12．16. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 依次成等比数列，则sinA(1tanA +1tanB )的取值范围是______． 【答案】(√5−12,√5+12)解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a +aq 2>aqa+aq>aq 2aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =cb=q ， ∴sinA(1tanA+1tanB)的取值范围是：(√5−12,√5+12).16.定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b ,1a)，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ=______． 【答案】5π6解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1b所以−2sin2θ=1a+1b =a+b ab=4√3cos2θ2即：tan2θ=−√3因为θ∈(π2,π)，所以θ=5π6，故答案为：5π6 三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）17．设函数f(x)=mx 2−mx −1．(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，若m =0，显然−1<0成立；若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0，解得−4<m <0． 所以−4<m ≤0．(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6 因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6x 2−x+1在x ∈[1,3]上恒成立．因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是{m|m <67}.22. 已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)． (Ⅰ)求线段AB 的垂直平分线的方程； (Ⅱ)求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =83． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +32=83(x +1)，化为：16x −6y +7=0． (Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =73|AB|=√73．∴△ABC 的面积S =12×√73√73=312．23. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c=sin(B+C)sinB+sinC．(1)求角B 的大小；(2)求cos(A −C)−2cos 2C 的最大值．解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c =sin(B+C)sinB+sinC ．则：b−c a−c =sinAsinB+sinC ，利用正弦定理得：b−ca−c =ab+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，由于：0<B <π，所以：B =π3． (2由(1)得：A +C =2π3，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π3−2C)−(cos2C +1)， =√32sin2C −32cos2C −1，=√3sin(2C −π3)−1，由于：0<C <2π3，所以−π3<2C −π3<π，当2C −π3=π2， 即C =5π12时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．24. 若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=1，P(√S n ,S n+1)点在曲线y =(x +1)2上. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n =1a n ⋅a n+1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=13∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤13，∴m ≤4．21.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上不同于A ，B 的点，过点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在平面.D ，E ，F 分别是VA ，VB ，VC 的中点，且BC =1，AC =2，VC =2.求证： (Ⅰ)平面DEF ⊥平面VBC ；(Ⅱ)求VO 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分)在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√52，在Rt △VOC 中，OC =√52，VC =2，则VO =√212，…………………(10分)则cos∠VOC =(√52)2+(√212)2−222×√52×√212=√10521，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√10521.…………………(12分)22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且25114a a a a ⋅=⋅.令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求n T ；（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若332nna n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得592511426a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-+⎝⎭L 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121m n m nT T T m n ===++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以22m n T T T =⋅，即2221521m nm n ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 对上等式左右同时取倒数可得224411052m m n m n+++= 即224152m m m n -++=，502n>Q ，22410m m m-++∴>，只需要2410m m -++>， 所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4讨论：①当1m =时，带入224152m m m n -++=，58n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入224152m m m n-++=，2n =，满足*n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.③当3m =时，带入224152m m m n -++=，458n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入224152m m m n-++=，40n =，满足*n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2n m t c c c =⋅，将212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2212121212121333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-220n m ->Q 且*22n m N -∈所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3.而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.。
四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期第一次月考试题
四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题第Ⅰ卷一、选择题1.若集合{}{}5,4,3,1,4,3,2,1==B A ，则的子集个数为 （ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 2.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为 （ ） A. 12-=x y B.x y ln = C. xy 1-= D. 32x y = 3.若将函数x y 2sin =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 （ ） A. ππ()26k x k =-∈Z B. ππ()26k x k =+∈ZC. ππ()212k x k =-∈ZD. ππ()212k x k =+∈Z4.已知等差数列{}n a 前9项的和为8,2710=a ，则=100a （ ） A. 100 B. 99 C. 98 D. 975.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,已知32cos ,2,5===A c a ，则=b （ ） A.2 B.3 C. 2 D. 36．函数()45xg x x =+的零点0x 所在的一个区间是 （ ） A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 7．已知11ln8,ln5,62,62a b c ===则 （ ） A. a c b << B a b c << C. c a b << D c b a <<8．若1tan 3α=，则cos2α=（ ） A.12 B.54- C.53 D.54 9．若函数()21ln 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())e f f （其中e 为自然对数的底数）=（ ）A ．1e B ．21C ．2-D ．eln 210．若π1sin()63α-=则2πcos(2)3α+= （ ） A ．97 B ．97- C ．37 D ．37-11.已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足532=++，OAC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ；则=21S S （ ） A.103 B.83 C.52 D.214 12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a c =且满足cos (cos )cos 0C A A B +=，若点O 是ABC ∆外的一点，24OA OB ==，则四边形OACB 的面积的最大值为 （ ）A 8+B 4+C 12D 6 二．填空题13.223π3πsin cos 88-= 14.已知ππ20,cos(),233αα<<+=-则=αcos15.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则=a16.已知函数12363sin 6)(232+++-=x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ；则m M +=三、解答题17.已知)3,1(,4||-==. （Ⅰ）若//，求的坐标；（Ⅱ）若与的夹角为0120，求||-.18．若集合{}0211A x x =≤-≤，{}lg(7)B x y x ==-，集合{}2{(21)(1)0C x xa x a a =-+++≤．（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．19.在ABC ∆中，已知B A tan ,tan 是关于x 的方程0132=+++p px x 的两个实根.（Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若8,7=+=b a c ，求ABC ∆的面积S .20.已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心坐标；（Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . （Ⅰ）求sin ∠Bsin ∠C；（Ⅱ）若∠BAC ＝60°，求∠B .22.已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断函数f x 的单调性并证明；（III ）若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.【参考答案】13，22 14.6215- 15.61236- 16. 6 17.解：（1）∵)3,1(-=，∴2||=，与共线的单位向量为)23,21(||-±==b .∵//,4||=，∴)32,2(||-==或)32,2(-.（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=⋅， ∴282)(222=+⋅--=-，∴72||=-. 18.解（Ⅰ）由0211π≤-≤得112x ≤≤∴112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭ ，43070x x -≥⎧⎨->⎩解之得374x ≤<， ∴374B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，∴172A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭； （Ⅱ）由2(21)(1)0x a x a a -+++≤得：()[(1)]0x a x a --+≤， 解之得：1a x a ≤≤+ ，∴{}1c x a x a ≤≤+，∵A c ≤， ∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解之得：102a ≤≤即a 的取值范围为：102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭19.解：(1)由0≥∆得32-≤p 或2≥p ，故0≠p ， 由题有tan tan ,π()tan tan 1A B C A B A B p ⎧+=⎪=-+⎨=+⎪⎩，∴3)1(13tan tan 1tan tan )tan(tan -=+---=-+-=+-=p pB A B A B AC .又(0,π)C ∈，∴2π3C =. (2)∵2π7,3c C ==，∴由余弦定理可得4922=++ab b a . 又8=+b a ，∴15=ab . ∴4315sin 21==C ab S .20．解：()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，由()0f x =得：π2π6x k -=，k ∈Z ，解得：ππ212k x =+,k ∈Z ∴()f x 的图象的对称中心坐标为ππ,0212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z （2）由πππ2π22π262k x k --+≤≤，k ∈Z 解得：ππππ63k x k -+≤≤，k ∈Z ， ∴()f x 的单调区间为πππ,π63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ∴()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()max π23f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min f x 是()0f 与π2f ⎛⎫⎪⎝⎭中的较小者，∵()π0112f f ⎛⎫=-<=⎪⎝⎭，∴()min 1.f x =- 21．解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B ) ＝32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ， 所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 22.解：(1)由f x 为奇函数可知，f x f x ，解得1a .(2)由21x y递增可知11221x f x在R 上为减函数，证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x ，21121212112221212121x x x x x x f x f x∵2x y递增，且12x x ，∴1222x x ，∴120f x f x ，∴12f x f x ，故f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式222120f m m f m mt ，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+， 因为()1,2m ∈，所以121t m m≤-++， 原问题转化为121t m m≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y mm 在区间1,2上为减函数， ∴11ym m ，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴21t ，解得12t， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。
四川省成都市棠湖中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
【详解】（1）证明：取PD中点G，连结
为 的中位线， 且 ，
又 且 ， 且 ，
∴EFGA是平行四边形，则 ，
又 面 ， 面 ，
面 ；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面 面 ， 为正三角形，
面 ，且 ，
，
8.若 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C结合诱导公式，计算出 ，结合二倍角公式，计算结果，即可。
【详解】 ，所以
，故选C。
9.已知 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， ，则 边上的中线的长为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C【详解】解： ，
由余弦定理 ，可得 ，
整理可得： ， 解得 或3．
，
，
，
所以 的最小正周期为 .
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， .
19.在 中, 为 上的点, 为 上的点,且 .
（1）求 的长;
（2）若 ,求 的余弦值.
【答案】(1) ;(2) .
试题解析：（1）由题意可得 ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
整理得 ，
解得： ．
故 的长为 。
（2）在 中，由正弦定理得 ，
如图，CD为AB边上的中线，则 ，
在 中，由余弦定理 ，可得： ，或 ，
解得AB边上的中线 或 ．
故选：C．
10.已知正四棱锥 的顶点均在球 上，且该正四棱锥的各个棱长均为 ，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
四川省棠湖中学2017_2018学年高一数学下学期第一次月考试题(含解析)
∴
，
的值域为
，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围是
.
点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数 在区间上单调递增，则
时，有
，事实上，若
,则
，这与
矛盾，
类似地，若 在区间上单调递减，则当
时有
；据此可以解不等式
，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合 即可.
- 11 -
22. 已知定义域为 的函数
是奇函数.
（1）求 的值； （2）判断函数 的单调性并证明；
(3)若关于 的不等式
在
【答案】（1）1；（2） 【解析】试题分析：（1）由 为奇函数可知，
有解，求实数 的取值范围. ，即可得解；
（2）由
递增可知
在 上为减函数，对于任意实数 ，不妨设
，化简
判断正负即可证得；
（3）不等式
，
．
（1）求 （2）若
； ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
，集合
【解析】【试题分析】（Ⅰ）先依据题设条件求出集合
，再借助数轴求出
；（Ⅱ）先求出集合 C
再借助数轴上集合的包含关系建
立不等式组
，求出 的取值范围为：
。
-7-
解（Ⅰ）由
得
∴
解之得
∴
∴
（Ⅱ）由
得
解之得： ∴ ∵
∴
解之得：
即 的取值范围为：
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵
，
∴
，
整理得
，
又
，
-4-
∴
四川省棠湖中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题
四川省棠湖中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=（ ）A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9) 2.=-12sin 72cos 12cos 72sin ( )A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-3.=-1212sin22ππcoc （ ）A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-4．已知ABC ∆中角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，63cos ,3,3-===A b a 则边长=c ( )A.4B.1C.2D.35．在等差数列}{n a 中，有180)(2)(31712753=++++a a a a a ，则此数列的前15项之和为（ ）A. 150B.210C.225D.240 6.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A.()()2,1,0,021-==e e B.()()10,6,5,321==e eC.()()7,5,2,121=-=e eD.)43,21(),32(21-=-=e e ，7.设)1,sin 3(),sin ,1(θθ==b a ，且b aλ=，则=θ2cos （ ）A.31-B.32-C.32D.31 8.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，则n 的值为（ ）A.7B.6C.5D.49.设，、、为分别对应的边、、中角c b a C B A ABC ∆如果,3))((bc a c b c b a =-+++且3=a ，那么ABC ∆的外接圆半径为（ ）A.2B.1C.2D.3 10.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （2πϕ<）的图象上的相邻两个最高点之间的距离为π个单位，函数向右平移12π个单位后图象关于y 轴对称，则ϕ的值为（ ） A.6π B.6π- C.3π- D.3π 11．若4sin 65x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A.2425 B. 2425- C. 725D. 725-12.已知函数)21sin(122)(-+-=x x x x f ，则实数=∑=20181)2019(k k f （ ） A.2019 B.2018 C.4036 D.4034 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知32cos sin =-αα，则=α2sin . 14.函数)(,2sin 82cos )(R x x x x f ∈--=的最大值为 . 15.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为它的前n项和，且;69,811312119=++=a a a S 11+=n n n a a b 则=+⋅⋅⋅+++20182017321b b b b b .16.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos a B b A =,则cos B C -的最大值是 ．三、解答题：共70分（17题满分10分，其余各题满分各12分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本大题满分10分）已知()()1232a b →→==-，，，． (I)求a b →→-及a b →→-； (II)若k a b →→+与a b →→-垂直，求实数k 的值．18.（本题满分12分）设21sin cos sin 3)(2-+=x x x x f x R ∈（）. (I)求函数)(x f 的最小正周期与值域.(II)设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.A 为锐角. a =，4c =，且()1f A =，求A ，b .19.（本题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知cos (2)cos b C a c B =-. (I)求B ；(II)若b =的周长.20.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，11221,1,2a b a b =-=+=.(I)若335a b +=，求{}n b 的通项公式；(II)若213=T ，02<a ，n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n S .21.（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，)sin sin ,(sin C B A m -=，),3(c b b a n +-= ，且n m ⊥．(I)求角C 的值；(II)若ABC ∆为锐角三角形，且1=c ，求b a -3的取值范围．22.（本题满分12分）数列{a n }满足11=a ，*+∈+++=N n n n a n na n n ),1()1(1.(I)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； (II)设n n n a b 3=，求数列{}n b 的前n 项和n S答案一．选择题二．填空题 13.95-14.5 15.4037201816.1 17.(10分) 解;（1）()4,0a b →→-=，4a b →→-==；（2）(3,22)k a b k k →→+=-+，()4,0a b →→-=，k a b a b →→+⊥-，()()()()432200k a b a b k k →→∴+-=-++⋅=，解得：3k =2118.()sin 3212122212222sin(2)6f x x xco x cos x x x cos x x π=+--=+-=-=-（1）22T ππ== x R ∈26x R π∴-∈[]()1,1f x ∴∈-即函数()f x 的值域为[]1,1-.（2）由()1f A =得sin(2)16A π-=A 为锐角3A π∴=在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-代入整理得2440b b -+=2b ∴=19. （1）由cos (2)cos b C a c B =- 及正弦定理可得sin cos (2sin sinC)cosB B C A =- 整理得： sin()2sin cos B C A B += 及sin 2sin cos A A B =△ABC 中，sin 0A ≠1cos 2B ∴=(0,)B π∈3B π∴=（2）1sin 2ABC S ac B ∆==6ac ∴=△ABC 中，由余弦定理得2222b a c accosB =+- 27()3a c ac =+-5a c +=ABC ∴∆的周长为5+20.解：(1)，则解得或（舍去） 所以。
四川省棠湖中学2018_2019学年高一数学下学期期末模拟试题
年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试数学试题第卷(选择题，共分）一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）.已知全集，集合，,则.....=- 15sin 45sin 15cos 45cos .....已知，则下列不等式一定成立的是. . . ..为了得到函数的图象，可以将的图象. 向左平移个单位长度 . 向左平移个单位长度. 向右平移个单位长度 . 向右平移个单位长度.已知角α的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点()21P ，，则tan2α=.43.12. 12-. 43-.已知AB ()，AC (，)，BC ，则AB BC ⋅. . ...已知,是直线，是平面，给出下列命题：①若，，，则或．②若，，，则． ③ 若,,,,则．④若，且，，则．其中正确的命题是 . ①,② . ②,③ . ②,④. ③,④.已知2παπ<<，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于.设为等差数列的前项和,且,则.....如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为°、°，此时气球的高度是 ，则河流的宽度等于－)))).已知是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为 .....已知定义在的函数()y f x =对任意的满足()()1f x f x +=-，当11x -≤<，()3f x x =．函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(x xx x x g a ，若函数()()()h x f x g x =-在[)6-+∞，上有个零点，则实数的取值范围是. ()1077⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，， . ][117997⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，， . (]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， . (]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， 第Ⅱ卷（非选择题共分）二、填空题(本大题共小题，每小题分，满分分） .若幂函数的图象经过点（，），则（）．.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是.设等比数列{}的前项和为 ， 若 ，，则的值为 ．.如图， 在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的余弦值.三、解答题（共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（分）已知函数（）的定义域为集合，集合{≥}．（Ⅰ）求∩，∪；（Ⅱ）若集合{＜＜}，且⊆（∩），求实数的取值范围．.（分）已知()1cos ,sin 714ααβ=+=，且02πβα<<<. （Ⅰ）求tan2α的值； （Ⅱ）求β..（分）设数列{}n a 满足10a =且111111n na a +-=--. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b =，记n s 是数列{}n b 的前项和，证明： 1n S <..（分）如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长D 是AC 的中点.（Ⅰ）求证： 1//B C 平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小； （）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值..（分）在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． a ， b ， c 成公差为2的等差数列， 120ACB ∠=︒，点D 在边AB 上，且CD AC ⊥． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求BDAD的值．.（分）已知函数.（Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；（）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试数学试题答案. ..3.（）由得，≤≤；∴{≤≤}，且{≥}； ∴∩{≤≤}，∪{≥}； （）∵⊆（∩）； ∴；解得≤≤；∴的取值范围是[，]． .（）因为10,cos 27παα<<=，所以sin tan αα==所以22tan tan21tan ααα===-，（）因为()sin ααβ=+=， 所以()sin sin ααβ>+， 又02πα<<，所以2παβπ<+<，所以()11cos 14αβ+=-， 所以()()()1c 1βα⎡⎤=+-=+++=-⨯+=⎣⎦， 又02πβ<<，所以3πβ=..（Ⅰ）由111111n n a a +-=--知数列1{ 1n a ⎫⎬-⎭是首项为1111a =-，公差为的等差数列。
四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期开学考试数学
2018年春四川省棠湖中学高一开学考试数学试题第一部分（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以，故选B．2. 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选3. 已知函数，则（）A. -3B. 0C. 1D. -1【答案】C【解析】由函数，则，故选C．4. 角终边落在直线上，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】由角的终边落在上，在直线上取一点，则,由三角函数的定义可知，所以，则，故选D．5. 函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】函数的零点个数，可转化为函数和图象的焦点个数，在同一坐标系中作出函数和的图象，由图象可知，函数和的图象由两个交点，所以函数有两个零点，故选C．6. 已知函数，若，则的值为（）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】由题意，所以，又，故选D．7. 已知，则的值是（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】由题意，根据同角三角函数的基本关系式可得，故选C．8. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：，而，所以，故选B．9. 已知，，且均为锐角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】均为锐角，，，故选10. 已知函数，对，总有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意成立则函数为上的单调递减函数，且解得故实数的取值范围是故选点睛：本题主要考查的是分段函数单调性的应用以及简单不等式组的解的有关方面的知识与技能，属于中档题。
根据条件，可得或，从而判断函数为上的单调递减函数，这一结论是关键所在。
11. 在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )A. (－7，－)B. (－7，)C. (－4，－2)D. (－4，2)【答案】A【解析】因为点，所以,设，则，因为向量绕点逆时针方向旋转后得到，设，则，，所以，故选A．12. 已知函数，若且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，由于，由，由，又，所以，从而，，故选D第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13. 已知幂函数的图像过点，则____________．【答案】-4【解析】设幂函数的解析式为，代入点得，解得，即，所以．14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________．【答案】2【解析】①若，则②若，则应满足，解得综上得实数的取值范围是15. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】当时，由，即则，即当时，由，得，解得则当时，不等式的解为则由为偶函数当时，不等式的解为即不等式的解为或则由或解得：或即不等式的解集为点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题。
【全国市级联考】四川省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018年春期高一期末教学质量监测试题数学一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 62. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.8. 设，且，则A. B. C. D.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 不等式解集是__________．14. 已知满足约束条件，则的最小值是__________．15. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____．16. 在正四棱锥中,,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知向量,.（1）若与的夹角是，求；（2）若，求与的夹角.18. 在公差不为零的等差数列中，若首项，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 如图，在四边形中，已知，,,.（1）求的大小；（2）若，求的面积.20. 如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点，. （1）在线段上找一点,使得,并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证.21. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.22. 设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 6【答案】D【解析】分析：利用向量共线的条件，即可求解.详解：由题意向量，因为，所以，解得，故选D.点睛：本题主要考查了向量的共线定理及其应用，其中熟记向量的共线定理和向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.详解：由题意，等差数列中，，则，解得，故选A.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角形的正弦定理，得，即，即可求解.详解：在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了利用正弦定理解三角形问题，其中认真分析题设条件，恰当的选择正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据长方体的性质，把异面直线与所成的角，转化为与所成的角，在直角三角形中，即可求解.详解：由题意，在长方体中，，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在直角中，因为底面为正方形，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与所成的角为，故选A.点睛：本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，利用解三角形的知识求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与计算能力.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量的加法法则，可得，再根据向量的数量积的运算性质，即可求解.详解：由题意，因为为的中点，根据向量的加法法则，可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理和平面向量的数量积的运算，其中熟记平面向量的基本定理和数量积的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判，定即可得到答案.详解：由题意，由于是空间不同的直线，是不同的平面，A中，或，所以不正确；B中，，则是平行直线或异面直线，所以不正确；C中，或相交，所以不正确；D中，，由面面平行的性质定理得，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，其中熟记空间中点、线、面位置的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解其体积.详解：由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以几何体的体积为，故选B.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.8. 设，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质及指数函数的单调性，即可得到答案.详解：由题意，，且，A中，如，所以，所以不正确；B中，如，所以，所以不正确；C中，由，符号不能确定，所以不正确；D中，由指数函数为单调递增函数，且，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质，以及指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和函数的单调性的应用是解答的关键，着重考查了推理，与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的三角形法则和向量的共线定理，即可得出结论.详解：由题意，在中，为上的点，且满足，则，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的三角形法则的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中熟记平面向量的运算法则和平面向量的基本定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用不等式求解，即可得到答案.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设点，因为，所以，则，所以，又由，所以，即的最大值为，所以，即的最小值为3，故选C.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算和不等式的应用，其中建立直角坐标系转化为向量的坐标运算，合理利用不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解，进而得到等差数列的通项公式和前n项和，求解向量的坐标，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
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四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测
数学试题
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，集合
【答案】B
【解析】B．
【答案】A
【解析】分析：利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可.
详解：
故选A.
点睛：本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.
3. 已知函数
A. -3
B. 0
C. 1
D. -1
【答案】C
4.
C. D.
【答案】A
．
故选：A．
点睛：本题考查了平面向量的模长公式，二倍角公式，属于基础题．
5.
B. C. D.
【答案】B
..................
6.
【答案】D
【解析】A：m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确
C：α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误
D：α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故D正确
故选D．
7.
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
【答案】D
之后应用向量的投影的定义求得结果.
在方向上的投影为 A.
点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.
8.
D.
【答案】B
因为
故选B.
9.
【答案】C
当且仅当m=n时取等号。
本题选择C选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误
10.
A.
C.
【答案】C
【解析】A.A错误
B B错误；
C C正确
D D错误
故选C
11. 在△ABC P是BN m的值为
A. 3
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：根据向量的加减运算法则，
的值．
详解：，
．
故选C.．
点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
12.
B. C.
【答案】D
进而求得
当且仅当
恒成立，则使恒成立，
，求得
故选：D．
点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．
二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
．
【答案】4
公式将不同底化为同底数即可通过约分求出值，对对数式求值问题，常先用对数运算进行化
简，若底数不同用换底公式化为同底在运算.原式
考点：1.对数运算法则；2.对数换底公式.
14. __________．
【解析】
轴上的截距最大，。
15. 过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2
这个球的表面积是__________．
【解析】分析：根据长方体外接球的性质可得：球心在长方体对角线的中点上，可得球的半径，即可求球的表面积．
详解：由题意，是求长方体外接球，根据根据长方体外接球的性质可得：球心在长方体对角
故答案为.
点睛：本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属中档题.
16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高与BC边长相等，
的最大值是_____．
和的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出表达式的最大值．
，
，
边的长相等，
．
的最大值为：
故答案为：
点睛：本题考查余弦定理与三角形的面积公式的应用，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于中档题．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
（I的值；（II.
【答案】（1）7（2
角和的正切函数公式即可得解
⑵利用倍角公式化简后，代入求解即可
，则，
（2）由
.
18. 已知向量
（I
（1）（）
【解析】试题分析：根据题意，由于向量
（2）根据题意，由于且，那么
考点：向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积公式以及两角和差的三角公式的运用，属于中档题。
19.
（I
（II）设数列
【答案】（12
【解析】试题分析：（1
（2）由（1
试题解析：（1
中，的公比为，∴
（2）由（1.
20. 已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为
对称.
（I
（II）个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的
.的单调递增区间以及.
【答案】（12,
【解析】试题分析：（1）由已知可得，进而求解值，在根据的图象关于
（2）由（1
围.
试题解析：
（
对称，
，∴
所以，
）由（1）可得
得，，
的单调递增区间为，.
，∴
.
点睛：本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及到正弦型函数的单调性，周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.
21. 如图1所示，
如图2所示.
（I
（II）求平面.
【答案】（1）见解析（2
【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明
（2
平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：（1，可知因为
，可得
，则
所以，
，所以面
（2）
，过点
，则
，
，
设平面的法向量为，
，可得平面的法向量为
的一个法向量为
，可得平面的一个法向量为
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为
22. 已知函数
（I）判断并证明函数的奇偶性；
（II）判断并证明函数
（III）是否存在这样的负实数
.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3
【解析】分析：（I）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（II）根据函数单调性定义进行判断．
（III）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．详解：
（I
是奇函数.
（II.
且
∵
，得到
（III
对
，∴，
，
点睛：本题主要考查不等式恒成立以及函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．。