非负矩阵分解及其在图像压缩中的应用_张永鹏
非负矩阵分解应用
非负矩阵分解应用介绍非负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization, NMF）是一种用于数据分析和模式识别的数学方法。
它是一种矩阵分解技术，可以将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
NMF 在许多领域中都有广泛的应用，如文本挖掘、图像处理、信号处理等。
本文将为您介绍非负矩阵分解的原理、应用领域以及一些相关的方法和算法。
原理非负矩阵分解的基本原理是将一个给定的非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
假设我们有一个非负矩阵 V（m x n），我们希望找到两个非负矩阵 W（m x r）和 H （r x n），使得V ≈ WH，其中 r 是预先设置的一个参数。
在非负矩阵分解中，矩阵 W 和 H 都必须是非负的。
这是因为非负矩阵分解常用于数据的非负性问题，如文档词频矩阵、图像的像素强度矩阵等。
通过非负矩阵分解，我们可以得到对原始矩阵 V 的低秩近似表示，这有助于提取 V 中的潜在特征和结构。
非负矩阵分解可以通过不同的优化方法来实现，如乘法更新法、梯度下降法等。
这些方法都迭代地更新矩阵 W 和 H，直到满足停止准则。
应用领域非负矩阵分解在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：文本挖掘在文本挖掘中，非负矩阵分解可以用于主题建模和文档聚类。
通过将文档-词矩阵进行非负矩阵分解，我们可以得到文档和主题之间的关系，从而进行主题提取和文档分类。
图像处理在图像处理中，非负矩阵分解可以用于图像分析和图像压缩。
通过将图像的像素矩阵进行非负矩阵分解，我们可以提取图像中的特征，并进行图像压缩和重建。
信号处理在信号处理中，非负矩阵分解可以用于语音信号分析和音乐信号分析。
通过将语音信号或音乐信号的频谱矩阵进行非负矩阵分解，我们可以提取信号中的特征，并进行语音识别和音乐分类等任务。
社交网络分析在社交网络分析中，非负矩阵分解可以用于用户-用户矩阵和用户-物品矩阵的分解。
通过将社交网络中的用户-用户矩阵进行非负矩阵分解，我们可以发现用户之间的关系和潜在的社区结构。
图卷积网络增强的非负矩阵分解社区发现方法
图卷积网络增强的非负矩阵分解社区发现方法郑裕龙;陈启买;贺超波;刘海;张晓雨【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2022(58)11【摘要】非负矩阵分解(nonnegative matrix factorization,NMF)因其有效性和易解释性强被广泛应用于社区发现领域。
然而,现有大多数基于NMF的社区发现方法都是线性的,无法有效处理复杂网络的非线性特征,从而导致社区发现性能还有待进一步提高。
针对该问题,提出了一种图卷积网络(graph convolutional network,GCN)增强的非线性NMF社区发现方法NMFGCN。
NMFGCN包含两个主要模块:GCN和NMF,其中GCN用于学习网络节点表示,NMF将节点表示作为输入获得网络的社区表示。
此外,提出一个联合优化方法以训练NMFGCN,不仅使得NMFGCN具有非线性特征表示能力,而且可以使得GCN和NMF相互促进并获得更好的社区划分结果。
在人工合成网络和真实网络上进行大量实验,结果表明NMFGCN优于目前基于NMF的社区发现方法,从而证明NMFGCN确实可以提高NMF社区发现方法的性能。
此外,NMFGCN还优于DeepWalk和LINE常用图表示学习方法。
【总页数】11页(P73-83)【作者】郑裕龙;陈启买;贺超波;刘海;张晓雨【作者单位】华南师范大学计算机学院;仲恺农业工程学院信息科学与技术学院【正文语种】中文【中图分类】TP301.6【相关文献】1.基于图正则化非负矩阵分解的二分网络社区发现算法2.应用非负矩阵分解模型的社区发现方法综述3.基于对称非负矩阵分解的重叠社区发现方法4.图正则化非负矩阵分解的异质网社区发现5.基于改进对称二值非负矩阵分解的重叠社区发现方法因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非负矩阵分解及其在图像压缩中的应用_张永鹏
)
+ φ(kjt)
·5 5
L C
ED
( t) kj
(4)
由此可以得到如下的加性迭代规则 :
B ik ← B ik + <ik [ ( X C T) ik - ( B CC T) ik ]
Ckj ← Ckj + φkj [ ( B T X ) kj - ( B TB C) kj ]
(5)
如果设置 <ik
X n ×m ≈ B n ×rCr ×m , 其中 B n ×r 称为基矩阵 , Cr×m 为系数矩阵 。若选择 r 比 n 小 ,即 r < n ,用系数矩阵 Cr×m 代替原数据矩 阵 X n ×m , 就可以实现对原数据矩阵的降维 , 得到数 据特征的降维矩阵 。然后对系数矩阵 C 进行压缩 , 从而减少存储空间 ,节约计算资源 。 1. 2 非负矩阵分解的算法
具体的实现技术如下 : (1) 首先把一幅图像分 8 ×8 的子块进行离散余 弦正变换 ( FDCT) 和离散余弦逆变换 ( IDCT) 。 在编码器的输入端 ,原始图像被聚分成一系列 8 ×8 的块 ,作为离散余弦正变换 ( FDCT) 的输入 。 在解码器的输出端 ,离散余弦逆变换 ( IDCT) 输出许 多 8 ×8 的数据块 ,用以重构图像 。 (2) 量化 为了达到压缩数据的目的 ,对 DCT 系数 F ( u , v) 需作量化处理 。量化处理是一个多到一的映射 , 它是造成 DCT 编解码信息损失的根源 。在 J PEG 标 准中采用线性均匀量化器 。量化定义为 , 对 64 个 DCT 变换系数 F ( u , v) 除以量化步长 Q ( u , v) 后
性以及稀疏性的特点是很有意义的 。
2 DCT 算法原理
非负矩阵分解在图像分析中的应用
量)中包含大部分为0的系数，因此基图像矩阵牙和编码图像矩阵H是稀疏的(sParse)。
基图像的稀疏是因为它是非整体的而且包含多个版本的嘴、鼻子和其它面部元件，在这里各种版本的嘴、鼻子和其它面部元件是在不同的位置和处于不同的形式。
整张脸的多样性就是通过组合这些不同的部件所生成的。
尽管所有的部件至少被一张脸使用，但对于给定的脸并不一定同时使用所有的可用的部件。
这就导致了一个稀疏地分散的图像编码，与v Q的一元编码和P C A的全部分散的编码形成鲜明的对比。
N M F口」二叫叫l111l ll口L」乞_」卜尸叫叫卜一卜扁洲洲...l l习「二]]]l‘蓄日.l ll.l ll...「「]]]至习}}州州I11卜州卜了--.!!!...l一~门门一门门r一，「一几几鱼鱼匕列列「「」.!!!「翌r~~~~呈呈_」月匡匡{{{李一{{{江习l二月一一l r一-，厂气飞一1一T丁一疡一}}牲大1__里f户_」~__l l..!!里哩到「「工二)))钾一:片.r l‘r r一1:阅一宁一卞一二，二，户l l，、百..11.气馨。
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这三种分析方法都被应用到一个m=2429的人脸图像数据库中，每个图像由n=19xl9像素组成，最终形成一个n x m矩阵V。
这三种方法都是设法找到一种V的近似分解V二不朽叮，但是牙和H规定不同的约束条件。
分块NMF及其在图像压缩中的应用
分块NMF及其在图像压缩中的应用作者：陈剑军来源：《科教导刊》2016年第27期摘要基于矩阵乃“局部构成整体”的思想和并行计算的模式，将矩阵分块进行非负矩阵分解，并将其用于图像压缩。
实验表明：该方法可减少存储量、计算量，计算量的减少较为显著。
关键词矩阵分块矩阵Hadamard乘积 NMF 图像压缩中图分类号：TN911.73 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2016.09.066Abstract Based on the idea of "local integral whole" and the parallel computing model， the matrix is divided into non negative matrix factorization， and it is used for image compression. Experimental results show that this method can reduce the amount of storage and computation， and the computation is more significant.Key words Matrix block； matrix； Hadamard product； NMF； image compression参考文献[1] Lee D.D，Seung H.S.Learning the parts of objects by non-negative matrixfactorization[J].Nature， 1999， 401 （6755）：788-791.[2] CHENG Ming-song，LIU Shao-lian.A Practical Fast NMF Algorithm[J].Journal of Dalian University of Technology，2013，53（1）： 151-156.[3] GAO Hong-tao.Study on Theory and its Application of Non-negative Matrix Factorization Algorithm[D]. Shanghai： Tongji University.2005：8-18.[4] WANG Xuan-sheng，CHEN Zheng，LU Lin-zhang. Lanczos Bidiagonalization： A Fast Start for Non-negative Matrix Factorization [J].Journal of Xiamen University（Natural Science），2012，51（2）：149-152.[5] XU Sen，LU Zhi-mao，GU Guo-chang.Integrating K-Means and Non-negative Matrix Factorization to Ensemble Document Clustering [J].Journal of Jinlin University（Engineering and Technology Edition），2011，41（4）：149-152.[6] LI Le，ZHANG Yu-jin.A Survey of Non-negative Matrix Factorization[J]. ACTA ELECTRONICA SINICA[J].2008，36（4）：738-743.[7] XU Tai-yan，HAO Yu-long.The Current Research Situation Analysis of Non-negative Matrix Factorization and Applications[J].Journal of Wuhan Polytechnic University， 2010，29（1）：109-114.[8] Wild S， Curry J，Dougherty A.Improving non-negative matrix factorization through structured initialization [J].Pattern Recognition， 2004，37（11）： 2217-2232.。
非负矩阵分解模型算法和应用
非负矩阵分解模型算法和应用非负矩阵分解（Non-negative matrix factorization, NMF）是一种基于矩阵的数据降维和特征提取方法，它可以将一个非负的矩阵分解为两个非负的低秩矩阵的乘积，从而能够捕捉数据的潜在模式和结构。
NMF已经被广泛应用于许多领域，如图像处理、文本挖掘、推荐系统等。
首先，介绍一下NMF的模型。
给定一个非负矩阵V（m×n），NMF的目标是找到两个非负矩阵W（m×k）和H（k×n），使得V≈WH。
其中，W矩阵表示样本的特征，H矩阵表示样本的隐含表示。
W矩阵的每列代表一个特征向量，H矩阵的每行代表一个样本的隐含表示。
通过NMF，我们可以将高维的原始数据V转换为低维的特征W和表示H。
NMF的核心思想即为非负性约束。
该约束保证了W和H的每个元素都是非负的，从而使得NMF得到的解具备可解释性。
这是NMF与传统的矩阵分解方法（如SVD）的主要区别。
接下来，介绍NMF的算法。
目前，NMF有多种解法，最常用的是基于迭代优化的方法。
其中，最常用的算法有乘法更新法（multiplicative update）和梯度下降法（gradient descent）。
乘法更新法是基于欧几里得距离进行优化，而梯度下降法是基于KL散度进行优化。
这两种算法在不同的场景下都有其适用性和优劣势。
最后，介绍NMF的应用。
NMF在图像处理领域的应用非常广泛。
例如，通过NMF分解图像矩阵，可以将原始图像表示为一些基础的特征模式的叠加，从而实现图像分割、目标识别等任务。
在文本挖掘领域，NMF可以用于主题模型的构建和文本聚类分析。
此外，NMF还可以应用于推荐系统中，用于发掘用户和物品的潜在关系，从而实现个性化推荐。
总结来说，非负矩阵分解是一种非常有用的数据降维和特征提取方法。
它通过将原始数据矩阵分解为非负的低秩矩阵的乘积，可以捕捉到数据的潜在模式和结构。
NMF已经被广泛应用于图像处理、文本挖掘、推荐系统等领域，为这些领域的发展和进步做出了重要贡献。
非负矩阵分解及其应用现状分析
欧阳怡彪等 [ 14 ]提出了基于小波和非负稀疏矩
阵分解的人脸识别方法. 该方法利用小波变换 (W T) 、非负稀疏矩阵分解 (NM Fs)和 Fisher线性判 别法 ( FLD )来进行人脸识别. 实验表明 ,此法对人脸 表情 、光照变化和部分遮挡不敏感 ,具有非常好的健 壮性和较高的识别率.
此外 ,许多国外学者也致力于将 NM F用于人脸 识别方面的研究 ,并取得了显著的成果. Ioan Buciu 等 将 [ 15 ] LNM F用于人脸表情的识别 ,并在两种不 同的分 类 器 下 说 明 了 LNM F 分 类 表 现 好 于 传 统 NM F方法. X. Chen等 [ 16 ]将 LNM F成功用于人脸检 测. S. Zafeiriou 等 [ 17 ] 提出 NM Fface 法 , 该方法在人 脸识别效果上优于 Fisherfaces和 Eigenfaces方法.
Xu L 等 [ 19 ] 提出了基于图像块的 NM F 融合方 法. 该方法首先将原始图像分块并对其进行 NM F, 根据 NM F权重系数和最小的规则选择出最清晰的 图像分块 ,最后将其按原始图像中的像素位置组合 从而得到融合图像. 此法缺点是 : 图像分块算法复 杂 、选取规则单一.
张素文等 [ 20 ]提出了基于非负矩阵分解和红外 特征的图像融合方法 ,实现了原始图像的目标区域 和背景区域的分别融合. 该方法不但简单易行 ,而且 也提高了图像的可判读性.
武 汉 工 业 学 院 学 报 Journal of W uhan Polytechnic University
非负矩阵分解算法的发展与应用
非负矩阵分解算法的发展与应用第一章：引言1.1 背景介绍：矩阵分解在数据分析领域得到广泛使用，非负矩阵分解是一种特殊的矩阵分解方法，其可以将原始矩阵分解为非负的低秩矩阵乘积，具有较好的可解释性和适用性。
1.2 研究意义：非负矩阵分解在图像处理、文本挖掘、推荐系统等方面的应用都取得了显著的成果，因此有必要对其发展和应用进行深入研究。
1.3 研究目的：本文旨在系统地介绍非负矩阵分解算法的发展与应用，为相关领域的研究人员提供参考。
第二章：非负矩阵分解算法的基本原理2.1 矩阵分解方法概述：介绍矩阵分解作为一种常用的数据分析方法，包括主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等。
2.2 非负矩阵分解原理：阐述非负矩阵分解的基本原理，包括非负性约束、低秩近似等概念。
第三章：非负矩阵分解的优化方法3.1 乘法更新规则：介绍常见的乘法更新规则，包括Lee and Seung的规则、Kullback-Leibler散度等。
3.2 正则化方法：介绍在非负矩阵分解中常用的正则化方法，如L1范数、L2范数等。
3.3 收敛性分析：分析非负矩阵分解算法的收敛性和稳定性，包括收敛速度和停止准则等。
第四章：非负矩阵分解的应用领域4.1 图像处理：介绍非负矩阵分解在图像处理中的应用，包括图像压缩、图像分割等。
4.2 文本挖掘：介绍非负矩阵分解在文本挖掘中的应用，包括主题模型、情感分析等。
4.3 推荐系统：介绍非负矩阵分解在推荐系统中的应用，包括基于用户的推荐、基于物品的推荐等。
4.4 其他领域的应用：介绍非负矩阵分解在其他领域的应用，如生物信息学、社交网络分析等。
第五章：非负矩阵分解算法的改进方法5.1 稀疏性约束：介绍在非负矩阵分解中引入稀疏性约束的方法，如NMF with sparse coding、L1正则化等。
5.2 多目标优化：介绍在非负矩阵分解中考虑多个目标的优化方法，如多目标规划、多目标遗传算法等。
5.3 随机算法：介绍非负矩阵分解中的随机算法，如随机梯度下降、随机投影等。
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为了实现矩阵的非负分解 , 首先需要定义一个 损失函数来刻画分解前后的逼近程度 , 然后在非负 性约束下求解 。最早提出的正矩阵分解方法采用传
收稿日期 :2007 - 09 - 14 作者简介 :张永鹏 (1984 - ) ,男 ,陕西户县 ,西安邮电学院电子与信息工程系电子 0401 班学生 ;
郑文超 (1986 - ) ,男 ,湖北武汉 ,西安邮电学院电子与信息工程系电子 0401 班学生 ; 张晓辉 (1985 - ) ,男 ,陕西宝鸡 ,西安邮电学院电子与信息工程系电子 0401 班学生 。
第 3 期
张永鹏 ,等 :非负矩阵分解及其在图像压缩中的应用
·59 ·
统的梯度下降算法与加性迭代规则 。现在我们对这 种方法进行了改进 ,在此基础上采用乘性迭代规则 , 更适合非负数据的特点 , 即在非负性初始化的基础 上 ,在迭代过程中能简单地保持非负性 ,而加性迭代 规则就需要一个强制将负值变为零的步骤 。 1. 3 非负矩阵分解的概率模型
(2)
∑ 5 L ED
5 Ckj
=
n
2[ Xij -
i =1
( B C) ij ] ·( -
B ik)
= - 2 [ ( B T X) kj - ( B TB C) kj ]
(3)
则由
B
(t ik
+1)
Hale Waihona Puke =B( t) ik
+
<(ikt)
·5 5
L B
ED
( t) ik
C
(t kj
+1)
=
C
(t kj
具体的实现技术如下 : (1) 首先把一幅图像分 8 ×8 的子块进行离散余 弦正变换 ( FDCT) 和离散余弦逆变换 ( IDCT) 。 在编码器的输入端 ,原始图像被聚分成一系列 8 ×8 的块 ,作为离散余弦正变换 ( FDCT) 的输入 。 在解码器的输出端 ,离散余弦逆变换 ( IDCT) 输出许 多 8 ×8 的数据块 ,用以重构图像 。 (2) 量化 为了达到压缩数据的目的 ,对 DCT 系数 F ( u , v) 需作量化处理 。量化处理是一个多到一的映射 , 它是造成 DCT 编解码信息损失的根源 。在 J PEG 标 准中采用线性均匀量化器 。量化定义为 , 对 64 个 DCT 变换系数 F ( u , v) 除以量化步长 Q ( u , v) 后
)
+ φ(kjt)
·5 5
L C
ED
( t) kj
(4)
由此可以得到如下的加性迭代规则 :
B ik ← B ik + <ik [ ( X C T) ik - ( B CC T) ik ]
Ckj ← Ckj + φkj [ ( B T X ) kj - ( B TB C) kj ]
(5)
如果设置 <ik
2008 年 5 第 13 卷 第
月 3期
西 安 邮 电 学 院 学 报 J OU RNAL OF XI’AN UN IV ERSIT Y OF POST AND TEL ECOMMUN ICA TIONS
May 2008 Vol113 No13
非负矩阵分解及其在图像压缩中的应用
张永鹏 ,郑文超 ,张晓辉
,
Ckj
← Ckj
( B T X) kj ( B TB C) kj
1. 4 稀疏非负矩阵分解 ( SNMF)
根据稀疏编码原则 , 我们提出了如下稀疏非负
矩阵分解 :
min L SNM F ( B , C) =
∑ ∑ ij
[
X ijlog
Xij ( B C)
ij
-
X ij + ( B C) ij ] + β Ckj
传统主成份分析是将信号进行正交分解 ,其分解的
结果中含有负值 ,缺失了实际的物理含义 ;独立成份
分析则假定各源分量满足统计独立的条件 。有研究
表明 ,从基选择的角度看 ,稀疏性要优于统计独立条
件要求 。很多的信号分解方法 ,例如傅里叶分析 ,以
及小波分析 ,要求其基信号是正交的 , 甚至是完备
的 。进一步探讨信号处理中的正交性 、独立性 、非负
性以及稀疏性的特点是很有意义的 。
2 DCT 算法原理
2. 1 DCT 变换 离散余弦变换 DCT (Discrete Cosine Transform)
是数码率压缩需要常用的一个变换编码方法 。任何 连续的实对称函数的傅立叶变换中只含余弦项 ,因 此余弦变换与傅立叶变换一样有明确的物理意义 。 DCT 是先将整体图像分成 N 3 N 像素块 ,然后对 N 3 N 像素块逐一进行 DCT 变换 。 2. 2 DCT 变换应用于图像压缩
∑Ckj
,
j
∑ B ik ← B ik , B lk l
∑ Ckj B ik X ij/ ( B C) ij
Ckj ←
i
1 +β
。
和 NNSC 的学习算法相比 ,该算法全部采用乘
性迭代规则 ,能很好的保持数据的非负特性 。
非负矩阵分解中的非负性约束有着明确的物理
意义 ,并且非负性在一定程度上导致了稀疏性 。而
四舍五入取整 。量化表中的每一个元素值为 1 至 255 之间的任意整数 , 其值规定了对应位置变换系数的 量化器步长 。在接收端要进行逆量化 ,逆量化的计算 公式为 :
Fq ( u , v) = FQ ( u , v) ·Q ( u , v ) 为进一步达到压缩数据的目的 ,需对量化后的 DC 系数和行程编码后的 AC 系数进行基于统计特 性的熵编码 。 (3) 熵编码 哈夫曼 ( Huff man) 编码是一种常用的压缩编码 方法 ,是 Huff man 于 1952 年为压缩文本文件建立 的 。它的基本原理是频繁使用的数据用较短的代码 代替 ,较少使用的数据用较长的代码代替 ,每个数据 的代码各不相同 。这些代码都是二进制码 ,且码的 长度是可变的 。 产生 Huff man 编码需要对原始数据扫描两遍 。 第一遍扫描要精确地统计出原始数据中 ,每个值出 现的频率 ,第二遍是建立 Huff man 树并进行编码 。 由于需要建立二叉树并遍历二叉树生成编码 ,因此 数据压缩和还原速度都较慢 ,但简单有效 ,因而得到 广泛的应用 。
i
B ik
Xij ( B C) ij
+ 1 +β
∑ 如果设 <ik = -
B ik ,φkj
Ckj
=-
Ckj
1 +β
j
代入上式 ,有如下乘性迭代规则 :
·60 ·
西 安 邮 电 学 院 学 报 2008 年 5 月
∑Ckj X ij/ ( B C) ij
B ik ← B ik j
将矩阵分解看成如下含加性噪声的线性混合体 模型 ,即
X n ×m = B n ×rCr ×m + En ×m ,
其中 En×m 为噪声矩阵 , 进一步 , 也可以将上式 写成
X ij = ( B C) ij + Eij .
为了求解因子矩阵 B , C ,考虑如下的最大似然 解:
{ B , C} = argmaxp ( X | B , C) = B,C argmin[ - log p ( X | B , C) ] , B,C
引言
1999 年 Lee 和 Seung 在 Nat ure 上发表了非负 矩阵分解算法 ,该算法是在矩阵中所有元素均为非 负的条件下对其实现非负分解 。从计算的角度来 看 , 矩阵分解的结果中可以存在负值 ,但负值元素 在实际问题中往往缺失物理意义 。非负矩阵分解方 法则提供了一种新的矩阵分解思路 ,具有可解释性 和明确的物理意义以及占用存储空间少等优点 ,已 经引起许多科学家和研究人员的广泛重视 ,在人工 智能 、机器学习以及计算机视觉和模式识别等研究 领域得到广泛应用 。本文探讨非负矩阵分解技术 、 DCT 变换和熵编码相结合实现图像数据高效率地 压缩 。
(6)
C
(t kj
+1)
=
C
( t) kj
+
(
B
C
( t) kj
TB C)
kj
·[
(
B
TX)
kj
-
( B TB C) kj ]
=
C
( t) kj
(
B
TX)
kj
( B TB C) kj
(7)
由(6) , (7) 式将 (5) 加性迭代规则就变成了如
下的乘性迭代规则 :
B ik
← B ik
( X CT) ik ( B CCT) ik
=-
2(
B ik B CCT)
ik
,
φkj
=-
Ckj 2 ( B TB C)
,将 (2)
kj
, (3)
式代入 (4)
,有
B
(t ik
+1)
=
B
( t) ik
+
B
( t) ik
( B CCT)
·[ ( X C T) ik
ik
-
( B CCT) ik ]
=
B
( t) ik
(
XCT)