高等数学上-复旦大学出版-习题2答案

x −1
因 f+′(1) ≠ f−′(1) ，故函数在 x0 = 1处不可导.
⎧sin x,
9．已知
f
( x)
=
⎨ ⎩
x,
x < 0, 求 f ′(x) .
x ≥ 0,
解：当 x < 0 时， f ′(x) = cos x,
当 x > 0 时， f ′(x) = 1,
当
x
=
0 时，
f−′(0)
=
lim
f
( x0
−
h)
=
lim
h→0
⎡ ⎢⎣
f (x0 + h) − h
f (x0 ) −
f (x0 − h) − h
f (x0 )⎤ ⎥⎦
= lim f (x0 + h) − f (x0 ) + lim f ( x0 − h) − f ( x0 )
h→0
h
h→0
−h
= f ′(x0 ) + f ′(x0 ) = 2 f ′(x0 )
故 A = 2 f ′(x0 ).
5．求下列函数的导数:
(1) y = x ;
解： y′ = 1 2x
(2) y = 1 ; 3 x2
解：
y′
=
−
2
−5
x3
3
x2 ⋅ 3 x2
(3) y =
;
x5
2+2−5
1
解： y = x 3 2 = x6
1 −5 y′ = x 6.
6
6．讨论函数 y = 3 x 在 x = 0 点处的连续性和可导性.
(3)
y
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x x2 ,
,
x ≥ 1, x < 1,
x0 = 1.
证明：
f+′(1)
=
lim
x →1+
f (x) − f (1) x −1
= lim x →1+
x −1 1 =,
x −1 2
f−′(1)
=
lim
x →1−
f (x) − f (1) x −1
= lim x →1−
x2 −1 = 2,
证明：
f+′(0)
=
limx →0+f(x) − f (0) x−0
sin x = lim =1,
x x →0+
f (x) − f (0)
x3
f−′(0)
=
lim
x→0−
x−0
= lim = 0, x x→0−
因 f+′(0) ≠ f−′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导.
(2)
y
=
⎧x
⎪
解： lim 3 x = 0 = f (0) ,故函数在 x = 0 处连续. x→0
又 lim
3
x
−0
−2
= lim x 3
= ∞,故函数在 x = 0 处不可导.
x→0 x − 0 x→0
7. 如果 f (x) 为偶函数，且 f ′(0) 存在，证明： f ′(0) = 0.
证明：
f ′(0) = lim f (∆x) − f (0) = lim f (−∆x) − f (0)
lim
x→x0
x0
−
x
=
A;
解：
lim
x → x0
f (x) x0 − x
=
− lim x → x0
f ( x) x0 − x
=
−
f
′( x0 )
故 A = − f ′(x0 )
29
(3) lim f (x0 + h) − f (x0 − h) = A.
h→0
h
解：
lim
h→0
f (x0 + h) − h
y
−
8
=
2
x(
x
−
3)
，且与曲线的交点可由方程组解得
⎧ ⎨ ⎩
y y
− =
8= x2
2
x(
x
−
3)
为(2，4)，(4，16)即为切点.
故切线方程为： y − 4 = 4(x − 2), y −16 = 8(x − 4).
4．下列各题中均假定 f ′(x0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么.
f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim(x −1)(x − 2) ⋅⋯⋅(x − n)
解：
x→0 x − 0
x→0
= (−1)n n!
3. 试求过点(3，8)且与曲线 y = x2 相切的直线方程.
解 ： 曲 线 上 任 意 一 点 (x, y) 处 的 切 线 斜 率 为 k = 2x . 因 此 过 (3 ， 8) 且 与 曲 线 相 切 的 直 线 方 程 为 ：
(1) lim f (x0 − ∆x) − f ( x0) = A;
∆x→0
∆x
解：∵ lim ∆x→0
f
( x0
− ∆x) ∆x
−
f
( x0 )
=
− lim ∆x→0
f
( x0
− ∆x) − −∆x
f
( x0 )
=
−
f ′(x0 )
故 A = − f ′(x0 )
f (x)
(2)
f
( x0 )
=
0,
解：因 lim f (x) = lim x2 = 1 = f (1)
x →1−
x →1−
lim f ( x) = lim (ax + b) = a + b
x →1+
x →1+
要使 f (x) 在 x = 1 处连续，则有 a + b = 1,
又
f−′(1)
=
lim
x →1−
f (x) − f (1) x −1
1
⎨1+ e x
,
⎪⎩0,
x ≠ 0, x = 0,
x0 = 0;
证明：
f+′(0)
=
lim
x →0+
f (x) − f (0) x−0
1
=
lim
x →0+
1+
1
ex
= 0,
f−′(0)
=
lim
x→0−
f (x) − f (0) x−0
1
=
lim
x→0−
1+
1
ex
= 1,
因 f+′(0) ≠ f−′(0) ，故函数在 x0 = 0 处不可导.
习题二
高等数学上（复大版）习题二
1． 设 s = 1 gt2 ，求 ds .
2
dt t=2
解： ds = gt ，故 ds = 2g .
dt
dt t=2
2．(1)
设
f (x)
=
1 x
，求
f ′(x0 )
解：
f ′(x0 ) =
f ′(x) x = x0
=−
1 x2
.
0
(x0 ≠ 0);
(2) 设 f (x) = x(x −1)(x − 2) ⋅⋯⋅ (x − n),求 f ′(0).
x→0−
sin x
x−0 −0
= 1,
f+′(0)
=
lim
x→0+
x x
−0 −0
= 1,
31
高等数学上（复大版）习题二
故 f ′(0) = 1.
综上所述知
f
′(x)
=
⎧cos x, ⎨⎩1,
x < 0, x ≥ 0.
10．设函数
f
( x)
=
⎧x2, ⎨
⎩ax + b,
x ≤ 1, x > 1.
为了使函数 f (x) 在 x = 1 点处连续且可导， a, b 应取什么值？
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
= − lim f (−∆x) − f (0) = − f ′(0),
∆x→0
−∆x
30
高等数学上（复大版）习题二
故 f ′(0) = 0.
8．求下列函数在 x0 处的左、右导数，从而证明函数在 x0 处不可导.
⎧sin x,
(1)
y
=
⎨ ⎩
x3
,
x ≥ 0, x < 0, x0 = 0;