第九、十次课 二元一次方程组
二元一次方程组知识点归纳
二元一次方程组知识点归纳二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数项的次数都是1的方程。
将具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意，二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
解二元一次方程组的一般思路是将未知数个数由多化少，逐一解决。
消元法是解二元一次方程组的基本方法。
代入消元法是其中一种方法，即将二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
基本思路是未知数又多变少。
代入法解二元一次方程组的一般步骤是先从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，消去未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程，解出这个一元一次方程，求出未知数的值，再回代，最后联立起来即可。
加减消元法是另一种消元法，即将两个方程相加或相减，使其中一个未知数的系数相消，从而实现消元。
解二元一次方程组的关键是找到未知数的值，有一组解、无数组解和无解是常见的情况。
例如，对于方程组x+y=5和6x+13y=89，可以用代入法求解，得到x=-24/7，y=59/7，这是方程组的一组解。
而对于方程组x+y=4和2x+2y=10，可以发现方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，因此此类方程组无解。
1.列方程（组）解应用题的关键是______________。
答：列方程2.下列方程中是二元一次方程的是______________。
答：3x－2y=4z3.二元一次方程5a－11b=21的解个数是______________。
答：有且只有一解4.方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（____，____）。
答：(3.2)5.若│x－2│+（3y+2）2=0，则y的值是______________。
答：-26.方程组4x3y k，2x3y5的解与x与y的值相等，则k等于______________。
二元一次方程组格式_概述说明以及解释
二元一次方程组格式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元一次方程组是数学中常见的基本代数方程组之一。
它由两个未知数和两个等式组成，其中每个等式都是未知数的一次项与常数项的和。
解决二元一次方程组可以帮助我们在现实生活、商业领域以及工程问题中找到解决方案。
1.2 二元一次方程组定义二元一次方程组通常表示为：```ax + by = cdx + ey = f```其中a、b、c、d、e和f分别代表系数，x和y代表未知数。
此类方程组有两个未知数x和y，并且每个方程的最高次幂为1，因此称为一次方程组。
1.3 解法方法介绍解决二元一次方程组可以使用多种解法方法，例如消元法、代入法和矩阵法等。
消元法通过逐步变换原方程组，将其转化为更简单的形式来求解。
代入法则先求得一个未知数的值，再将其代入另一个方程中求得第二个未知数的值。
矩阵法则通过矩阵运算来求得未知数的值。
在接下来的文章中，我们将详细介绍二元一次方程组的格式说明、解题步骤以及在实际问题中的应用场景分析。
同时，我们也会总结要点回顾，并探讨学习启示、拓展延伸思考以及未来发展趋势的展望。
通过本文的阅读，相信您将对二元一次方程组有更加深入的理解，并能够灵活运用于各种问题的求解中。
2. 二元一次方程组格式说明2.1 标准形式与一般形式对比二元一次方程组可以有不同的表示形式，其中最常见的是标准形式和一般形式。
标准形式的方程组可以写为：```ax + by = cdx + ey = f```其中，a、b、c、d、e、f是已知的实数系数，x和y是未知数。
一般形式的方程组可以写为：```Ax + By + C = 0Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F是已知的实数系数。
标准形式和一般形式之间存在着对应关系。
通过对标准形式适当变换，我们可以得到等价的一般形式方程组，反之亦然。
2.2 系数与未知数的关系解析二元一次方程组中的未知数通常用x和y表示。
在标准形式中，每个未知数都会带上一个系数。
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矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。
二元一次方程组
二元一次方程组
引言
二元一次方程组是高中数学中的重要内容，主要涉及到两个未知数的关系和方程组的解法。
本文将介绍二元一次方程组的基本概念、求解方法以及一些实际应用。
二元一次方程组的定义
二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，它的一般形式可以表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f是已知系数，x、y是未知数。
求解二元一次方程组的方法
1. 消元法：通过适当的运算，将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的方程，然后再进行求解。
2. 代入法：将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，再进行求解。
3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，并
进行初等变换，最终将其化简为上三角形矩阵，从而求出未知数的值。
实际应用
二元一次方程组在实际生活中具有广泛的应用。
例如：
- 商业经济中，可以用方程组来描述成本、收入、利润等之间
的关系。
- 工程问题中，可以用方程组来描述物体的运动、力的平衡等
问题。
- 自然科学中，可以用方程组来描述物质的转化、反应速率等。
总结
二元一次方程组是数学中重要的内容，通过消元法、代入法和
矩阵法等方法，可以求解方程组的解。
同时，二元一次方程组在实
际生活中有广泛的应用，能够帮助我们解决各种问题。
二元一次方程组(课件)-七年级数学下册
含有两个未知数的两个一次方程所组成的
方程组叫二元一次方程组.
新知应用
1.下列方程组是二元一次方程组吗？
− =
()
+= √
=
()
+ = √
− =
()
+=
×
+=
()
×
−=
二元一次方程组应满足的条件：
y=1
D.
6x+4y=9，
y=3x+4
2x+y=5，
2.二元一次方程组
的解是( C )
3x-2y=4
x=1，
A.
y=3
B.
x=1，
y=2
C.
x=2，
y=1
x=2，
D.
y=-1
课堂检测
=
3.已知
=
− =
是方程组
+ =
+ =
4.已知二元一次方程组
饮料，共花了34元．
（1）列出关于x、y的二元一次方程；
（2）如果甲种饮料和乙种饮料共买16瓶，列出关于x、y的二元一次方程
组，并找出它的解．
课堂小结
这一节课你有什么收获?
还有什么疑问?
课堂检测
1.下列不是二元一次方程组的是( B )
A.
x+y=3，
x-y=1
x+ =1，
B.
x=1，
C.
y+x=2
+ ( − ) =
的解，求k、m的值.
的解x与y的值相等,求k的值.
课堂检测
九年级二元一次方程组的解法
九年级二元一次方程组的解法在数学中，解方程是一个非常重要的概念。
在九年级数学课程中，我们学习了一元一次方程的解法。
然而，在现实生活中，有时我们会遇到更加复杂的问题，需要解决多个未知数的方程。
这时候，就需要用到二元一次方程组的解法。
本文将详细介绍九年级二元一次方程组的解法。
一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是一种包含两个未知数的方程组，其中每个方程都是一元一次方程。
具体形式如下：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1, b1, c1, a2, b2, c2 是已知的系数，而 x 和 y 是未知数。
二、图解法图解法是解二元一次方程组最常用的方法之一。
它基于二维平面上的直线和点的概念，通过观察直线的位置关系来确定方程组的解。
1. 求解步骤（1）将方程转换为标准形式：ax + by = c，即将 x 和 y 的系数提取出来，将常数项移到等号的另一边。
（2）以两个方程为例，在坐标系上绘制两条直线。
（3）观察两条直线的位置关系，并找出它们的交点。
（4）交点的坐标即为方程组的解。
2. 示例假设有以下二元一次方程组：2x + 3y = 124x - y = 3（1）将方程转换为标准形式：2x + 3y - 12 = 04x - y - 3 = 0（2）在坐标系上绘制两条直线。
根据常数项的不同取值，可以确定直线与坐标轴的交点。
（3）观察两条直线的位置关系，找出它们的交点。
交点的坐标为（3, 2）。
（4）方程组的解为 x = 3，y = 2。
三、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
它的核心思想是利用已知方程的解来求解其他方程中的未知数。
1. 求解步骤（1）选择其中一个方程，将该方程中其中一个未知数用另一个未知数表示。
（2）将表示出来的未知数代入另一个方程中，得到一个只包含单个未知数的方程。
（3）解这个新的方程，得到一个未知数的值。
（4）将这个新得到的未知数的值代入第一步选择的方程中，求解另一个未知数。
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距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
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2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
二元一次方程组-图课件
解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$
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二元一次方程组知识点1二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
注：①方程中有且只有两个未知数。
②方程中含有未知数的项的次数为1。
③方程为整式方程。
（三个条件完全满足的就是二元一次方程）例1、已知关于x,y 的二元一次方程（2m-4)x m2-3+(n+3)y |n|-2 =6,求m,n 的值例2、若().,13252的值求是二元一次方程a y a x a =-+-例3、已知代数式133m x y --与52n m nx y +是同类项，那么m n 、的值练习：1．已知523522=+-+b a y x 是二元一次方程，则a = b = .2．若13212+--++n m n m y x =1是关于y x ,的二元一次方程，则m = ；n = . 3．如果2006200520044321=+-+-+n m n m y x 是二元一次方程，那么32n m +的值是4、若关于x 、y 的方程2211a b a b x y -++-=是二元一次方程，那么a +b 的值5、若3521221`)()(b a b a b am n n m =⋅-++则m+n 的值知识点2 二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。
知识点3方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。
方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。
例1、已知12x y =⎧⎨=-⎩是关于x,y 的二元一次方程组2635ax y x by -=⎧⎨-=-⎩的解，求２a+b 的值．练习：1、已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值。
例2、已知方程组44ax y -=⎧⎨⎩，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为 26x y =-⎧⎨=⎩，， 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44.x y =-⎧⎨=-⎩，若按正确的a 、b 计算，求原方程组的解．例3、在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．知识点4：二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数例1：已知二元一次方程５x-2y=10 ①将其变形为用含x 的代数式表示y 的形式。
②将其变形为用含y 的代数式表示x 的形式例2、已知⎩⎨⎧=-+=+-032502z y x z y x求：zy x zy x 23324+--+的值练习、已知3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求xzyz xy z y x 2222++++的值知识点5：用代入消元法解二元一次方程组。
“代入法”步骤１：选择一个未知数系数较简单的方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。
步骤２：将其代入到另一个方程中消去一个未知数并求出另一个未知数的值。
步骤３：将求出的未知数的值代入方程中求出另一个未知数的值。
用加减消元法解二元一次方程组。
“加减法”步骤1：将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。
步骤2：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
步骤3：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
步骤4：将求得的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求得另一个未知数的值。
步骤5：写出方程组的解。
例1：解下列二元一次方程组3410,490;x y x y +=⎧⎨+-=⎩ 3(1)5,5(1)3(5);x y y x -=+⎧⎨-=+⎩ 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩4519323m n m n +=-⎧⎨-=⎩，； 32123x y x y++== 23521x y x y +=⎧⎨-=⎩，例2：已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+354ny mx y x 和⎩⎨⎧=-=-1123my mx y x 有相同的解。
求m 、n 的值例3、如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值练习：1、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与方程组⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 同解，求m 、n 的值2、若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值3、若二元一次方程组23521x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是方程8x －2y=k 的解，则k 的值。
4、若关于x 、y 的二元一次方程组3522718x y x y m +=⎧⎨+=-⎩，的解x 、y 互为相反数，求m 的值知识点6：应用于二元一次方程组解决实际问题的步骤： 理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； 制定计划：考虑如何根据等量等量关系设元，列出方程组； 执行计划：列出方程组并求解，得到答案；回 顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。
题型一（配套问题）例1、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？例2、加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一第二道工序所完成的件数相等。
例3、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？题型二（）例1、某校体操队和篮球队的人数是5:6，排球队的人数比体操队的人数2倍少5人，篮球队的人数与体操队的人数的3倍的和等于42人，求三种队各有多少人？例2、有一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的1/5,求这个两位数 ? 例3、有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18则这个两位数是多少。
例4、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。
”请问老师、学生今年多大年龄了呢？例5、.某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？例6、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。
因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。
求甲、乙两种商品的原单价各是多少元。
例7、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．题型三（行程问题）例1、某班同学去18千米的北山郊游。
只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。
车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。
已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。
例2、甲乙两地相距２０千米，Ａ从甲地向乙地方向前进，同时Ｂ从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前进，Ａ回到甲地时，Ｂ离甲地还有２千米，求Ａ、Ｂ二人的速度。
例3、一条船顺流航行，每小时行20km;逆流航行；每小时行16km，求轮船在静水中的速度与水的速度。
例4、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行。
如果乙先走20 km，那么甲用1 h就能追上乙；如果乙先走1 h，那么甲只用15 min就能追上乙，求甲、乙二人的速度。
例5、甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？题型四（实际资费问题）例1、团体购买公园门票票价如下：今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1 392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1 080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人；(2)甲、乙两个旅行团各有多少人?例2、五．一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，这两面种商品原价之和为500元，问两种商品原价各是多少元？例3、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是13%，求这两种贷款各是多少？例4、李明以两种形式分别储蓄了2000元各1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92，已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20%）。
例5、某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包的单价各多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品8折销售，超市B 全场购满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用）但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？题型五（工程问题）例1、某工程由甲、乙两队合作6天可完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天可完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天可完成全部工程的32，厂家需支付5500元.（1） 甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由那队单独完成此项工程花钱最少？例2、若甲乙两人共同完成某项工作，6小时可完成7/8；若甲先做1小时，乙再加入一起做3小时则可完成一半。
问甲乙两人单独完成这项工作各需要多少小时？。