辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校13—14学年下学期高一期末联考数学(附答案)

辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高（新疆部）三校2013-2014学年高一下学期期末联考数学试题卷Ⅰ一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1.与角-6π终边相同的角是（ ） A ．56π B.3π C.116π D.23π 2.某扇形的半径为1cm ，它的弧长为2cm ，那么该扇形的圆心角为（ ）A ．2° B. 4rad C. 4° D. 2rad3.已知平面向量a =（3,1），b =（x,-3），且a ⊥b ，则x 等于（ ）A ．3 B.1 C.-1 D.-34.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A ．7B ．25C ．15D ．355.在[0，2π]内，满足sinx ＞cosx 的x 的取值范围是（ ）A.（4π,34π) B.(4π,54π) C.(34π,54π) D.(54π,74π) 6.如图1，在正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= （ ）A.0B.BEC.ADD.CF图1 图27.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图2所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（ ）A ．38辆B ．28辆C ．10辆D ．5辆8.已知MP ，OM ，AT 分别为角θ()42ππθ<<的正弦线、余弦线、正切线，则一定有（ ） A.MP OM AT << B.OM MP AT << C.AT OM MP << D.OM AT MP <<9.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2-x+a=0无实根的概率为（ ）A ．12 B.14 C.34 D.2310.已知平面向量a =（2，-1），b =（1，1），c =（-5，1），若()a kb + ∥c ，则实数k 的值为（ ）A ．2 B.12 C.114 D.114- 11.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝sin x 2的图象至少向左平移（ ）个单位．A.23πB.3πC.34πD.4π 12.阅读程序框图，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．9卷Ⅱ 二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13.已知1,2,,60,2a b a b a b ==<>=+= 则14. 若α为锐角，且sin ⎝⎛⎫α－π6＝13，则sin α的值为________．15.在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，AC=16.定义在R 上的偶函数f(x)是最小正周期为π的周期函数，且当[0,]2x π∈时，(x)sinx f = ，则5()3f π的值是 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=----- (1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且cos(32πα-)＝15，求()f α的值. 18. (本小题满分12分)如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x 来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．(1)求这两个班学生成绩的中位数及x 的值；(2)如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．19.(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．20.(本小题满分12分)在△ABC 中，中线长AM ＝2.(1)若OA →＝－2OM →，求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)若P 为中线AM 上的一个动点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值．21. (本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ．(1)求A 的大小；(2)求sinB+sinC 的最大值．22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．参考答案二、填空题：13.62三、解答题：17. 解：（1）sin()cos(2)tan()sin cos(tan)()costan()sin()tan sinfπαπααπααααααππααα---+-===------...............5分（2）∵α为第三象限角，且31cos()sin25παα-=-=....................................2分1sin5cosαα∴=-∴==分则()cos5fαα=-=............................................................1分18.解（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为12(154+160)＝157.....................................2分乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；........................................2分（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，..........................3分其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种......................3分由古典概型概率计算公式可得P（A）=710.............................................................2分19.(1)(x)sin2sin()2223x x xfπ=+=+.......................................................2分∴f （x ）的最小正周期T=212π=4π......................................................................1分 当sin()123x π+=-时，f （x ）取得最小值-2；..............................................................1分 当sin()123xπ+=时，f （x ）取得最大值2．..................................................................1分 （2）g （x ）是偶函数．理由如下：.................................................................................1分 由（1）知(x)2sin()23x f π=+又g （x ）f(x )3π=+ ∴g （x ）= 12sin[(x )]2sin()2cos 233222x x πππ++=+=...........................................3..分 ∵g （-x ）=2cos()2cos 22xx -==g （x ），....................................................................2分 ∴函数g （x ）是偶函数．......................................................................................... ...1分20.解：(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴OM →＝12(OB →＋OC →)．....................................................................................................3分 代入OA →＝－2OM →，得OA →＝－OB →－OC →，.................................................................2分 即OA →＋OB →＋OC →＝0........................................................................................................1分 (2)设|AP →|＝x ，则|PM →|＝2－x (0≤x ≤2)．....................................................................1分∵M 是BC 的中点，∴PB →＋PC →＝2PM →................................................................................................................2分 ∴P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·AM →＝－2|P A →||PM →|＝－2x (2－x )＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2，...................................................................2分 当x ＝1时，取最小值－2.................................................................................................1分21. （Ⅰ）设sin sin sin a b c A B C==2R 则a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC................................................................................2分 ∵2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC方程两边同乘以2R∴2a 2=（2b+c ）b+（2c+b ）c...........................................................................................2分 整理得a 2=b 2+c 2+bc............................................................................................................1分∵由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA..................................................................................1分 故cosA=-12，A=120°........................................................................................................2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin （60°-B ）....................................................1分1sin sin(60B)2B +=+ ...................................................................................2分 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1．.....................................................................1分22.解：（1）因为x ＝8π是函数y=f （x ）的图象的对称轴， 所以sin(2×8π+ϕ)＝±1，即4π+ϕ＝k π+2π，k ∈Z ．..............................2分 因为-π＜φ＜0，所以ϕ＝−34π．............................................................2分 （2）由（1）知ϕ＝−34π，因此y ＝sin(2x −34π)． 由题意得2k π−2π≤2x −34π≤2k π+2π，k ∈Z ，.......................................2分 所以函数y ＝sin(2x −34π)的单调区间为[k π+8π，k π+58π]，k ∈Z........2分 （3）由y ＝sin(2x −34π)知：.................................................................2分分。