福州市2018年度届高三上学期期末质检数学理试题

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．1± D．3.下列函数为偶函数的是（ ）A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2xy x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的高为3体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14B ．1042+C ．21422+21342++ 9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，抛物线()2:20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ）A ．12x =-B ．1y =-C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤- 其中真命题的是（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a bb >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =u u u u r u u u u r ，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．15 C ．23 D ．1012.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b r r 满足()22a a b ⋅-=r r r，则,a b r r 的夹角为 ．14.设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设()2412nn nb c n =-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F . （1）若CDE ∆3，求DE 的长；（2）若74CF DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,224AB CD ABC CD AB CE ∠=︒===，120,25BCE DE ∠=︒=.（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 24l πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到l 1622t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x≤--的解集；（2）已知关于x的不等式()()1f x f x x a≤+--的解集为M，若31,2M⎛⎫⊆⎪⎝⎭，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-， 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=⨯=， 因为()2412nn nb c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭L L111421n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=︒， 因为CDE ∆的面积S ，所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=所以12sin 602CE ⨯⋅︒，解得1CE =，根据余弦定理，得DE ==. （2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+=+=解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDF ∆中，设4CF x =4DF =，则DF =， 由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠，得227416x x =+-，解得x =x =又因为12CF AC ≤=x ≤，所以x =所以DF =在CDF ∆中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得sin CFD ∠==. 19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥， 因为BC CE C ⋂=， 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD u u u r u u u r、的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,3,0,0,0,4A B E D -，，， 所以()()4,0,2,3,2AD AE =-=--u u u r u u u r，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， 所以4205320x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取1x =，则()1,33,2n =r，又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =u r，所以()23336cos ,11334n m =⨯++r u r， 所以二面角E AD B --3620.解：解法一：（1）依题意得2,3a b ==，所221c a b =-=， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143M M x y +=，所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-， 又因为22M x -≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ，得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=，由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+，故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++，同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+，又1234k k ⋅=-，故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843P PN P x k y x x k +=-+2112148334P P P M k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,a b ==1c =，所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα， 则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-，又因为1cos 1α-≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、，由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34P M P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+，所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--，所以1334k k ⋅=-，又因为1234k k ⋅=-，所以23k k =， 所以//PN OE ，所以MN 的中点在OE 上， 同理可证：MN 的中点在OF 上， 所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性，所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==， ①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a =时，()0f x '=； 当1x a <时，()0f x '<； 当 1x a>时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増； ③若0a <时，当12x a =-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a>-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増. （2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x -+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减. 当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()211,0,1x f x x x e x +-<∈. 解法二：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x -+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立. 解法三：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<，只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x -+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈， 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<， 则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立， 即原不等式成立.22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t < 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =， 故d=解得t =又因为0t >，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。