人教B版高中数学选修1-2 2-1-1 合情推理 测试教师版 精品

2.1.1 合情推理 （检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论无法判定正误【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故A 错；合情推理必须有前提有结论，故B 正确；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D 错. 【答案】 B2.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D.“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 【解析】 由实数运算的知识易得C 项正确. 【答案】 C3.用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，图2-1-7按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A.6n －2 B.8n －2 C.6n ＋2D.8n ＋2【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2. 【答案】 C4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比 【解析】 类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，猜想S 扇＝lr 2.【答案】 C5.已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是( ) A.(2，10) B.(10，2) C.(3，5)D.(5，3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1，1)的和为2，共1个； (1，2)，(2，1)的和为3，共2个； (1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个； (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个； (1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对.易知第57个数对中两数之和12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10). 【答案】 A6.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM－MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1. 【答案】 C二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________. 【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 48.已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________.【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×99.把正数排列成如图2-1-8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2-1-8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2 017，则n ＝__________.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲1 2 4 5 7 9 10 12 14 16乙 图2-1-8【解析】 图乙中第k 行有k 个数，第k 行最后的一个数为k 2，前k 行共有k （k ＋1）2个数，由44×44＝1 936，45×45＝2 025知a n ＝2 017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，所以n ＝44（44＋1）2＋41＝1 031.【答案】 1 03110.如图2-1-9所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_______________________.图2-1-9【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ).又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).【答案】1＋52三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11.已知数列8×112×32，8×232×52，…，8×n（2n －1）2（2n ＋1）2，…，S n 为其前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，观察计算结果，并归纳出S n 的公式.【解】 S 1＝8×112×32＝89＝32－132＝（2×1＋1）2－1（2×1＋1）2，S 2＝89＋8×232×52＝2425＝52－152＝（2×2＋1）2－1（2×2＋1）2，S 3＝2425＋8×352×72＝4849＝72－172＝（2×3＋1）2－1（2×3＋1）2，S 4＝4849＋8×472×92＝8081＝92－192＝（2×4＋1）2－1（2×4＋1）2，由此归纳猜想S n ＝（2n ＋1）2－1（2n ＋1）2.12.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a . 证明：设M 是正四面体P -ABC 内任一点，M 到平面ABC ，平面P AB ，平面P AC ，平面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P -ABC ＝V M -ABC ＋V M -P AB ＋V M -P AC ＋V M -PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，而S △ABC ＝34a 2，V P -ABC ＝212a 3，故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值). 13.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。