【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 专题探究课1 函数与导数
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第6章 不等式、推理与证
第四节归纳与类比[考纲传真] (教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．(对应学生用书第99页)[基础知识填充]1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27B[5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.]4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [这两个正四面体的体积比为V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13S 1h 1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝1∶8.]5．观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个．．．不等式为________． 1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.](对应学生用书第100页)◎角度1 与数字有关的推理(2018·兰州实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.n 2 [因为1＝1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……，由此可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.]◎角度2 与式子有关的推理已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 019(x )的表达式为________.【导学号：79140205】f 2 019(x )＝x1＋2 019x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x1＋nx，归纳可得f 2 019(x )＝x1＋2 019x .]◎角度3 与图形有关的推理如图641的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．图641n (n ＋1)2(n ∈N ＋) [由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．]与数字有关的等式的推理与式子有关的推理与图形变化有关的推理真伪性.[跟踪训练] (1)数列2，3，3，4，4，4，…，m ＋1，m ＋1，…，m ＋1，…的第20项是( )A.58B.34C.57D.67(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝__________. (3)(2018·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为( ) A ．42 B ．65 C ．143D ．169(1)C (2)n n(n ∈N ＋) (3)B [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. (3)可以通过列表归纳分析得到．所以凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝2＝65条对角线．故选B.](1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图642)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．图642(1)D (2)AE EB ＝S △ACDS △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n . 法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.]常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比和与积、乘与乘方，差与除，除与开方等.处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键[跟踪训练①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [类比结论正确的有①②.]。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第2章 函数、导数及其应
第十二节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] (教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．(对应学生用书第42页)[基础知识填充]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点δi (i ＝1,2，…，n )，作和式s ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n .当每个小区间的长度Δx 趋于0时，s ′的值趋于一个常数A ．我们称常数A 叫作函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，⎠⎛叫作积分号，a 与b 分别叫作积分下限与积分上限，函数f (x )叫作被积函数．(3)定积分的几何意义2.(1)⎠⎛a b 1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(3)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b )．3．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ， 即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[知识拓展] 函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛abf (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )(3)若⎠⎛ab f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图像，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C ．103t 20 D ．53t 20B [S ＝⎠⎛0t 0∫v d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＝5t 2⎪⎪⎪t 00＝5t 20.]3.⎠⎛－11e |x |d x 的值为________．2e －2 [⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e xd x＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.]4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16[如图，阴影部分的面积即为所求． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16.]5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.](对应学生用书第43页)计算下列定积分． (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x ；(3)⎠⎛-11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x .[解] (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛-11x 2d x ＋⎠⎛-11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.(2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (3)∵x 2tan x ＋x 3是奇函数，∴⎠⎛-11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛-11l d x ＝x ⎪⎪⎪1-1＝2.对被积函数要先化简，再求积分求被积函数为分段函数的定积分，对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分注意用“x ＝x 检验积分的对错2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分[跟踪训练(1)(2018·江西九校联考0【导学号：79140091】(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．(1)1＋π4 (2)43 [(1)∵⎠⎛011－x 2d x 等于半径为1的圆面积的14，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋14π×12＝1＋π4.(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋ln e ＝43.](1)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)定义min {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，1x ，则由函数f (x )的图像与x 轴、直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为( )A ．712 B ．512 C ．13＋ln 2 D ．16＋ln 2 (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.(1)C (2)2 [(1)由题意得所求封闭图形的面积为⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x |21＝13＋ln 2，故选C ．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，所以k ＝2.]根据题意画出图形借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和计算定积分，写出答案易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数的边界不同时，要分不同情况讨论(2)(2017·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140092】(1)76 (2)23－2π3 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪21＝76.(2)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π65π6(2sin x －1)d x＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪⎪π65π6＝23－2π3.]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln(1＋t )⎪⎪⎪4＝4＋25ln 5.]t ，那么从tt .变力做功，一物体在变力x 的作用下，沿着与x 相同方向从＝b 时，力x 所做的功是＝⎠⎛ab F xx[跟踪训练] 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m )处，则力F (x )做的功为________J. 36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．]。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练41 空间图
课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 4．(2018·兰州实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A．64B．63C．26D．36A [连接AC ，AB 1(图略)，由长方体性质可知AB 1∥DC 1，所以∠AB 1C 就是异面直线B 1C 和C 1D 所成的角．由题知AC ＝1＋(3)2＝2，AB 1＝(3)2＋(3)2＝6，CB 1＝1＋(3)2＝2，所以由余弦定理得cos∠AB 1C ＝AB 21＋CB 21－AC 22AB 1·CB 1＝64，故选A.]5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m ，n 所成的角与直线B 1D 1，CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.] 二、填空题6．(2018·湖北调考)已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4 [如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2017·郑州模拟)在图727中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图727(2)(4) [图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图(2)(4)中，GH 与MN 异面．]三、解答题9.如图728所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图728(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A ═∥C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线． (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线．理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线．]10．如图729所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图729(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组 能力提升11．(2018·陕西质检(一))已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON ＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.]12.如图7210，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图721036[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ═∥12AD ， 所以∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]13．如图7211，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．图7211(1)求四棱锥O ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． [解] (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， ∴四棱锥O ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan∠EMD ＝DEEM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练67 几何概
课时分层训练(六十七) 几何概型A 组 基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23C [由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.]2．若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()图1066A.π2B.π4C.π6D.π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]3．(2018·深圳二调)设实数a ∈(0,1)，则函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点的概率为( )【导学号：79140364】A.34 B.23 C.13D.14D [由函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点，可得Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋1)＝4a －3≥0，解得a ≥34，即有34≤a <1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P ＝1－341－0＝14，故选D.] 4．(2018·湖北调考)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12 D.13D[如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC ＜12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D 1＝{(x ，y )||x |<2，|y |<2}，D 2＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2<4}，在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14B.π4C.π16D.π32C [平面区域D 1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D 1与D 2的公共部分是半径为2的14圆，其面积为14×π×22＝π，则所求概率为π16，故选C.]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.]二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．图106716 [如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 127[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.]10．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x2和y ＝x 2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：79140365】图106823 [由对称性，S 阴影＝4⎠⎛01(1－x 2)d x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝83. 又S 正方形ABCD ＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝23.]B 组 能力提升11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD [|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．因为S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图(1))，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图(2))，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]13. (2018·太原模拟(二))如图1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图1069A.55B.255 C.15D.33B [设大正方形边长为a ，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则小正方形的面积为a 2－4×12×a cos θ×a sin θ＝a 2－a 2sin 2θ，则由题意，得a 2－a 2sin 2θa 2＝15，解得sin 2θ＝45.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝35 ①，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝15②.由①＋②解得sin θ＝255，故选B.]14．(2018·贵州适应性考试)已知区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}，由直线x ＝－π3，x ＝π3，曲线y ＝cos x 与x 轴围成的封闭图形所表示的区域记为A .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域A 内的概率为( ) A.24 B.12 C.34D.64C [区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}对应的区域是矩形，面积为22×2＝4，区域A 的面积为2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin π3＝3，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P ＝34，故选C .]15．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________.【导学号：79140366】23 [因为tan θ＝PA AD ＝1AD≤1，所以AD ≥1.在等腰三角形ABC 中，当BD ≤1或CD ≤1时，AD ≥1，又BC ＝3，故所求概率为23.]16.如图10610，正四棱锥S ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．图106101 2π[设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R·R43πR3＝12π.]。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练48 直线的
课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组 基础达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.B 组 能力提升11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )，且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第10章 计数原理、概率
第五节 古典概型[考纲传真] (教师用书独具)1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第178页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[知识拓展] 划分基本事件的标准必须统一，保证基本事件的等可能性．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A ．815 B ．18 C ．115D ．130C [法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.法二：所求概率为P ＝1C 13C 15＝115.]3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15C [从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C ．]4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________． 910 [所求概率为P ＝1－C 22C 25＝910.] 5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．56[掷两个骰子一次，向上的点数共有6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P ＝1－66×6＝56.](对应学生用书第178页)(1)(2017·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A ．110 B ．15 C ．310D ．25(1)B (2)D [(1)从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰有1个白球，1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰有1个白球1个红球的概率为50105＝1021.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， 所以所求概率P ＝1025＝25.故选D ．]判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件分别求出基本事件的总数利用公式A ＝2.确定基本事件个数的方法：基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件[跟踪训练( )【导学号：79140357】A ．16B ．112C ．536D ．518(2)(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A ．518 B ．49 C ．59D ．79(1)C (2)C [(1)同时掷两枚骰子出现的可能有6×6＝36种，其中向上的点数和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种，所以所求概率P ＝536，故选C ．(2)法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C ．法二：依题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.故选C ．]某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3. 则P (ξ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式可知，P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.基本事件总数较少时，可用列举法把所有基本事件一一列出，但要做到不重复、不遗漏.注意区分排列与组合，以及正确使用计数原理当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P A ＝1A 求解[跟踪训练] (2016·山东高考动的儿童需转动如图1051所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：图1051①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解] 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C．则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．(2018·长沙模拟(二)节选)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：图1052(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．[解] (1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375,0.5,0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种： ①一等品2件，二等品1件，三等品1件； ②一等品1件，二等品2件，三等品1件． 故所求的概率P ＝C 23C 14C 11＋C 13C 24C 11C 48＝37. 依据题目的直接描述或频率分布表、提炼出需要的信息进行统计与古典概型概率的正确计算[跟踪训练进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【导学号：79140358】[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. (2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C 26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件数为C 23＋C 22＝4，所以P (D )＝415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第8章 平面解析几何 第
第2课时 定点、定值、范围、最值问题(对应学生用书第151页)(2018·郑州第二次质量预测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：由题知，直线l 的斜率存在， ∴设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2，得x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，则直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24.∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，故直线AC 恒过定点(0,2)．＝bx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相切．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：79140309】[解] (1)∵直线l ：y ＝bx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相切． ∴2b 2＋1＝2，∴b 2＝1.∵椭圆的离心率e ＝63， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632，∴a 2＝3，∴所求椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)将直线y ＝kx ＋2代入椭圆方程，消去y 可得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，∴Δ＝36k 2－36＞0，∴k ＞1或k ＜－1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.若以CD 为直径的圆过点E ， 则EC ⊥ED ．∵EC →＝(x 1－1，y 1)，ED →＝(x 2－1，y 2)， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.∴(1＋k 2)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5＝0，∴(1＋k 2)×91＋3k 2＋(2k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 2＋5＝0. 解得k ＝－76＜－1.∴存在实数k ＝－76使得以CD 为直径的圆过定点E .(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3， 即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．[跟踪训练] (2018·石家庄质检(二))设M ，N ，T 是椭圆16＋12＝1上三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1k 2为定值； (2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．[解] (1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 20－q2x 20－p 2，又⎩⎪⎨⎪⎧p 216＋q 212＝1，x 216＋y 2012＝1，两式相减得x 20－p 216＋y 20－q212＝0，即y 20－q2x 20－p 2＝－34， k 1k 2＝－34.(2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，S △MNL ＝12|r －3|·|y M －y N |， S △M 1N 1L ＝12×5·|yM 1－yN 1|.由于S △M 1N 1L ＝5S △MNL 且|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |， 得12×5×|yM 1－yN 1|＝5×12|r －3|·|y M －y N |， 解得r ＝4(舍去)或r ＝2. 即直线MN 经过点F (2,0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为K (2,0)； ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k (x －2)，则(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2.x 0＝8k 23＋4k 2，y 0＝－6k3＋4k2.消去k ，整理得(x 0－1)2＋4y 23＝1(y 0≠0)．综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2＋4y23＝1(x ＞0)．(2018·合肥一检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围． [解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围[跟踪训练] (2018·江西师大附中)已知椭圆E ：a 2＋b2＝1的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点C 在椭圆E 上，AB ⊥AC ，直线 AC 交y 轴于点D ．(1)当点B 为椭圆的上顶点，△ABD 的面积为2ab 时，求椭圆的离心率； (2)当b ＝3，2|AB |＝|AC |时，求k 的取值范围.【导学号：79140310】[解] (1)直线AB 的方程为y ＝b ax ＋b ， 直线AC 的方程为y ＝－a b(x ＋a )，令x ＝0，y ＝－a 2b.S △ABD ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a 2b ·a ＝2ab ，于是a 2＋b 2＝4b 2，a 2＝3b 2，e ＝ca＝1－b 2a 2＝63. (2)直线AB 的方程为y ＝k (x ＋a )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 23＝1，y ＝k (x ＋a )，整理得(3＋a 2k 2)x 2＋2a 3k 2x ＋a 4k 2－3a 2＝0，解得x ＝－a 或x ＝－a 3k 2－3a 3＋a 2k2，所以|AB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 3k 2－3a 3＋a 2k 2＋a＝1＋k 2·6a3＋a 2k2， 同理|AC |＝1＋k 2·6a3k ＋a 2k，因为2|AB |＝|AC |， 所以2·1＋k 2·6a 3＋a k ＝1＋k 2·6a 3k ＋a k， 整理得a 2＝6k 2－3kk 3－2.因为椭圆E 的焦点在x 轴， 所以a 2＞3，即6k 2－3kk 3－2＞3，整理得(k 2＋1)(k －2)k 3－2＜0，解得32＜k ＜2.(2017·浙江高考)如图893，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图893(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值[跟踪训练] (2018·石家庄一模)如图894, 已知椭圆C ：2＋y 2＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF ⊥NF ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．图894(1)求△MFN 的面积的最小值； (2)证明：E ，O ，D 三点共线．[解] (1)法一：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON，可得m ·n ＝－1.∴S △MFN ＝12|MF ||FN |＝121＋m 2·1＋n 2＝121＋m 2＋n 2＋(mn )2＝122＋m 2＋n 2≥122＋2|mn |＝1，当且仅当|m |＝1，|n |＝1时，等号成立． ∴△MFN 的面积的最小值为1. 法二：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON，可得m ·n ＝－1.S △MFN ＝12|OF ||MN |＝12|MN |，∵|MN |2＝|MF |2＋|NF |2≥2|MF |×|NF |，当且仅当|MF |＝|NF |时等号成立． 由椭圆的对称性可知，当D 与N 重合，M 与E 重合时， |MF |＝|NF |，∴|MN |min ＝2， ∴(S △MFN )min ＝12|MN |＝1.∴△MFN 的面积的最小值为1.(2)证明：∵A (－2，0)，M (0，m )， ∴直线AM 的方程为y ＝m2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m 2x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得(1＋m 2)x 2＋22m 2x ＋2(m 2－1)＝0，由－2·x E ＝2(m 2－1)1＋m 2，得x E ＝－2(m 2－1)m 2＋1，① 同理可得x D ＝－2(n 2－1)n 2＋1，∵m ·n ＝－1，∴x D ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝－2(1－m 2)m 2＋1，②故由①②可知x E ＝－x D ， 代入椭圆方程可得y 2E ＝y 2D .∵MF ⊥NF ，故N ，M 分别在x 轴两侧，y E ＝－y D ，当x E ＝0时，x D ＝0，易得E ，O ，D 三点共线，当x E ≠0时，x D ≠0，此时有y E x E ＝y D x D，小初高试卷教案类∴E，O，D三点共线．K12小学初中高中。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第6章 不等式、推理与证
第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第92页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )；a －b ＜0⇔a ＜b(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0).a b ＜1⇔a ＜b2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )； (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.3．“三个二次”的关系(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法[知识拓展] 1.倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.3．(1)f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( ) (2)a >b ⇔ac 2>bc 2.( )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0，ab ＞0，又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．]3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．ab>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b ＝________. －14 [由题意知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.](对应学生用书第93页)(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a(1)A (2)B [(1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a .(2)法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a， 又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·l n 2＝－a －2·2－a(1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 2 52，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.]．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特＞b 3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2x x －1，则f (a )与f (b )的大小关系是( )【导学号：79140188】A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定(1)A (2)C [(1)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)＝m 2·b －a(a －1)(b －1)，当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m ≠0时，m 2＞0， 又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )． 综上，f (a )≤f (b )．]解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R 或求：求出对应的一元二次方程的根写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2.解含参数的一元二次不等式的步骤：二次项中若含有参数应讨论是等于不等式或二次项系数为正的形式判断方程的根的个数，讨论判别式确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式[跟踪训练] (1)不等式x －5≥－1的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5(2)B [(1)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x ＞5.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5. (2)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]◎角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140189】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ◎角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ◎角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.]形如x ＞0x ＜x ∈的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解形如x ＞0x ＜x ∈[a ，b 的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.形如x ＞0x ＜参数∈[a ，b 的不等式确定换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数[跟踪训练] (1)(2017·四川宜宾一中期末不等式x 2－立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定(1)A (2)C [(1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]。
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一 函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第44页)[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g(a )＝ln a ＋a －1，则g(a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a <1时，g(a )<0；当a >1时，g(a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．x 的符号问x ＞x ＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等f x 的单调性，则转化为不等式x 或x 在单调区间上恒成立问题求解.] (2018·福州质检ln x ＋x 2－R ).【导学号：79140096】(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]的最小值h (a )． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋ax，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9.所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32和(3，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知，g (x )＝f (x )－2x ＝a ln x ＋x 2－ax －2x . g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1， a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e)a ＋e 2－2e ，a ≥2e.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a ＞0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a ＜0，即f (－ln a )＜0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln ⎝⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0＞e n 0－n 0＞2n 0－n 0＞0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图像求解零点问题将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决[跟踪训练的底数．(1)若f (x )在x ＝e 处的切线的斜率为e 2，求a ； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x－3x 2＋4e x －a ，f ′(e)＝1e ＋e 2－a ＝e 2，∴a ＝1e.(2)由ln x －x 3＋2e x 2－ax ＝0，得ln x x－x 2＋2e x ＝a .记F (x )＝ln x x－x 2＋2e x ，则F ′(x )＝1－ln x x2－2(x －e)． x ∈(e，＋∞)，F ′(x )＜0，F (x )单调递减． x ∈(0，e)，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，∴F (x )max ＝F (e)＝1e ＋e 2，而x →0时，F (x )→－∞，x →＋∞时，F (x )→－∞.故a ＜1e＋e 2.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[规范解答] (1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2. 2分当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0. 4分所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增. 5分(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，h′(x)＝－x e x＜0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.8分当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.10分当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1. 11分综上，a的取值范围是[1，＋∞).12分[阅卷者说]求定义域求f x，令x＞0f x的增区间；令x＜0f x 的减区间.写出结论2.恒成立问题的三种解法分离参数，化为最值问题求解构x g x ，x ＝x －x ，求F xmin≥0.转变主元，选取适当的主元，可使问题简化. [跟踪训练(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.【导学号：79140097】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.。