第三章-数值模拟理论与方法
数值模拟方法
数值模拟方法科学研究与解决工程问题的基础在于物理实验与实物观测，例如对金属材料的凝固过程进行物理实验、对天体运行进行观测。
现代科学研究方法的核心是通过实验或观测建立研究对象的数学模型，基于数学模型进行研究与分析。
这种研究方法可以追溯到伽利略的工作，成熟于牛顿的三大定律与微积分。
采用实物模型进行物理实验的研究周期长、投入大，有时甚至无法在实物上进行，如天体物理的研究。
在数学模型上进行的数值模拟研究具有研究周期短、安全、投入少，已经成为不可或缺的工具。
数值模拟方法的应用对象分为三个层次1)宏观层次：常见的工程建筑、制造设备、零件等;2)界观层次：材料的微观组织与性能，如金属材料的晶粒度影响其屈服强度;3) 微观层次：基本物理现象与机理，如金属材料凝固时的结晶与晶粒生长过程。
宏观与界观层次的数值模拟方法包括：1)有限差分方法(Finite Difference Method, FDM)：微分方程的直接离散方法;2)有限元单法(Finite Element Method, FEM)：用有限尺度的单元的集合来代替连续体，分为 Lagrange 方法，Euler 方法，ALE 方法;3)边界单元方法(Boundary Element Method, BEM)：一种半解析方法;4)有限体积方法(Finite Volume Method, FVM)：把空间划分成有限尺度的体积单元，连续体通过这些在空间上固定的体积单元，单元的空间位置不变;5)无网格方法(Meshless Method)：只布置结点，不需要划分单元网格，有权函数。
微观层次的数值模拟方法包括：1)第一原理法(First Principle Simulation)：量子力学方法，直接计算原子的电子结构;2)元胞自动机方法(Cellular Automata)：把空间用元胞演化、元胞的局部相互作用来描述复杂的、全局的系统。
3)蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method )：把颗粒运动定义为随机过程，用势能的变化来判断颗粒运动能否被接受。
第三章-数值模拟理论与方法
第三章数值模拟理论与方法§ 3.1流体力学的基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律, 动量守恒定律和能量守恒定律［44］。
（一）连续方程—（v ） 0式中 P-流体密度u -流体速度分量（二）动量方程（x 方向）p —压力对于可压缩流体y , z 方向上的动量方程可类似推出。
（三）能量方程—e t其中e C v T式中等号左边第一项是瞬变项，第二项是对流项，等号右边第一项是扩散项, 第二、三项是源项所以，流体力学基本方程组为:(3.1)对于不可压流体（即 V（ v u ）（ x式中Y-运动粘性系数v)p x(3.2)u v ux式中等号后前两项是粘性力Pxx(3.3)(3.4)fv u fv vtw— fv w t§3.2紊流模式理论概况§.2.1基本方程在自然界中，真实的流体都具有粘性。
粘性流体存在两种不同的运动方式和 流态，即层流和紊流。
而在自然界和工农业生产中所遇见的流体流动大部分都是 紊流。
三维的N-S 方程是目前描述粘性流体运动较为理想的模型，其优点一是应用 范围广，在空气、水流、传热等方面均用 N-S 方程描述；二是对于有分离、旋涡等情况的复杂三维流动更为适用。
2 u 2 u2 2）y z 22 v v （3.6） 2 2)y z2 2w w )2yzu v W 小xyz式（3.6）和（3.7）共有四个未知数（（3.7）u 、v 、w 、p ）和四个方程，加上边界条件，从理论上来讲其解是存在的。
但是，要直接求解复杂而详细的粘性流体运动 是十分复杂和困难的。
其原因是：直接求解N-S 方程要求求解从反映消散运动的最小涡漩尺度到反映大尺度涡体的所有流动尺度，因而只有对简单情况下才有理 论解。
§3.2.2 三维 N-S 方程N-S 方程模型的流动计算可分为三种方法：1. 直接模拟法( Direct Numerical Simulation ， DNS ) 除稀薄气体等极端条件外，紊流DuF xp(- 2u Dt2xxDv F y p(- 2 v Dt 2 yx Dw F z p (- 2w Dt z 2 x 不可压缩流体的连续性方程为：三维直角坐标下的u)(3.5)e fv e tke q v C vN-S 方程［45］，［46］，即不可压缩粘性流体的动量方程式的最小长度尺度远远大于分子运动的长度尺度，故紊流可以作为连续体运动处理。
数值模拟基础
电磁学
总结词
数值模拟在电磁学领域的应用包括电磁场、电磁波的传播和散射等问题的研究。
详细描述
数值模拟通过建立电磁场和电磁波的数学模型，利用数值算法进行求解，可以模 拟和分析电磁波的传播、散射、吸收等过程，为电磁设备的设计和优化提供支持 。
传热学
总结词
数值模拟在传热学领域的应用涉及温 度场、热流场的模拟和分析，以及热 能转换和热能利用的研究。
的应用范围。
06
数值模拟案例研究
案例一：流体动力学中的湍流模拟
总结词
湍流模拟是流体动力学中一个重要的数值模拟任务，用于研究流体在高速流动状态下的 复杂行为。
详细描述
湍流模拟涉及流体在高速流动时产生的复杂、无规则的流动现象。通过数值模拟，可以 模拟和分析湍流在不同条件下的表现，为工程设计和优化提供依据。常用的湍流模拟方
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数值模拟的挑战与解决 方案
网格生成技术
总结词
网格生成是数值模拟中的关键步骤，它决定了计算精度和计算效率。
详细描述
网格生成技术是数值模拟的基础，它涉及到将物理问题离散化为有限个网格点，以便进行数值计算。网格的生成 需要考虑计算精度、计算效率以及物理问题的特性。对于复杂形状和边界条件的处理，需要采用复杂的网格生成 技术，如适应性网格生成技术。
数值模拟的重要性
解决实际问题
数值模拟能够解决许多实际问题，如流体动力学、气 候变化、材料科学等。
预测与优化
数值模拟能够预测系统的行为，优化设计方案，提高 产品性能。
科学研究和教育
数值模拟在科学研究和教育领域也具有重要应用，如 物理、化学、生物等学科的模拟实验。
数值模拟的基本步骤
建立数学模型
根据实际问题建立数学模型， 包括物理方程、边界条件和初
数值模拟的概念与方法
数值模拟的概念与方法数值模拟是利用计算机和数值方法对真实世界或抽象模型的问题进行仿真和求解的一种方法。
数值模拟已经广泛应用于科学、工程、经济等领域，帮助人们理解复杂系统的行为、研究问题的性质，并能在其中一种程度上指导实际问题的解决。
首先，离散化是将现实中的连续问题转化为离散的数值问题。
连续问题通过将时间或空间分成有限个部分，用数值代替函数来描述物体的状态或行为，从而将问题转化为有限个运算的步骤。
其次，建立数值模型是在离散化的基础上构建数学模型。
通过分析问题的性质和特点，选择适当的数学方法和数值方法，将问题转化为数学模型。
数值模型通常采用偏微分方程、代数方程、差分方程等形式进行描述。
然后，选择数值方法是指根据问题的特点和数值模型的形式，选择适当的数值方法来求解问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
选择合适的方法能够提高模拟的准确性和效率。
最后，编写数值程序是将数值模型和数值方法转化为具体的计算机程序。
编写程序需要考虑计算精度、计算效率、程序可读性等因素，程序的正确性对于数值模拟能否得到准确结果至关重要。
在数值模拟中，常常需要进行数值实验和验证。
数值实验是通过选取一组预先设定的输入条件和参数来进行模型仿真，观察模型的输出行为和结果，进而评估模型的可靠性和有效性。
验证是将数值模拟的结果与真实数据进行比较，检验模拟结果的准确性和可信性。
数值实验和验证是数值模拟过程中的不可或缺的环节。
数值模拟能够模拟各种现象和问题，比如流体力学、结构力学、电磁场、量子力学和经济学等。
数值模拟在科学研究、工程设计和决策制定中具有重要作用。
通过数值模拟，人们可以对复杂系统进行分析和预测，优化设计方案，减少试错成本，加快产品开发进程，同时也可以促进科学理论的发展和创新。
此外，数值模拟也存在着一些限制和挑战。
首先，数值模拟需要建立适当的数学模型，但有些问题的模型较复杂，难以准确描述或存在数学上的困难。
其次，数值模拟需要进行大量的计算，对计算机的计算能力和存储能力要求较高，而大规模的模拟可能需要花费很长的时间和计算资源。
数值模拟_精品文档
数值模拟摘要：数值模拟是一种通过计算机模拟方法来研究和分析现实世界中的物理现象、工程问题和自然现象的方法。
本文将探讨数值模拟的原理、步骤和应用场景，并讨论其优点和限制。
1. 引言数值模拟是一种基于计算机技术的仿真方法，可用于模拟和研究各种自然和工程现象。
它通过利用数值计算方法解决传统试验无法解决或者很难解决的问题。
2. 数值模拟的原理和步骤数值模拟的基本原理是将问题转化为数学模型，并通过计算方法求解该模型。
它通常包括以下步骤：2.1 问题建模在数值模拟中，首先需要对待解问题进行建模。
建模的目的是将实际问题转化为数学模型，包括确定问题的边界条件、初值条件和物理方程等。
2.2 离散化离散化是将连续的问题转化为离散的数值问题。
例如，在求解连续介质力学问题时，可以通过将物理空间离散为网格点，并对网格点上的物理量进行离散化处理。
2.3 数值求解数值求解是数值模拟的核心步骤，涉及到使用数值方法和算法对离散化后的问题进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等。
2.4 结果分析数值模拟的最终结果需要进行分析和验证。
分析结果可以通过与理论分析、实验结果或其他已有数据进行比对来验证其准确性和可靠性。
3. 数值模拟的应用场景数值模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、工程学和计算机科学等。
3.1 天气预报数值模拟在天气预报中有着重要的应用。
通过对大气物理方程进行离散化和数值求解，可以对天气系统进行模拟预测，并提供准确的天气预报。
3.2 污染扩散模拟污染扩散模拟是评估污染物排放对环境影响的重要手段。
通过模拟和计算污染物在大气、水体或土壤中的传输和扩散过程，可以评估污染物的浓度分布和危害程度。
3.3 车辆碰撞模拟车辆碰撞模拟可以通过数值模拟来研究交通事故的发生机理和影响因素。
通过建立车辆和人体的力学模型，并对碰撞过程进行数值求解，可以评估碰撞对车辆和人体的影响。
4. 数值模拟的优点和限制数值模拟作为一种研究方法具有以下优点：4.1 成本低廉相对于传统试验方法，数值模拟不需要大量的实验设备和人力资源，能够在计算机上进行模拟和求解，降低了成本。
化学反应演化的数学模型及其数值模拟
化学反应演化的数学模型及其数值模拟第一章：引言化学反应是自然界中普遍存在的现象，并且在生活中有着重要的应用价值。
化学反应演化的数学模型及其数值模拟是对化学反应的理论研究和实验研究的补充，具有新颖性、可预测性，并且可以提高实验效率、降低成本。
现代科技的快速发展，给数值模拟提供了广阔的发展空间。
本篇文章旨在对化学反应演化的数学模型及其数值模拟进行深入的探究并给读者提供一些思路和理解。
第二章：化学反应的数学模型2.1 基本概念化学反应是物质之间的相互作用导致化合物的形成或分解，常伴随着能量的变化和物质性质的变化。
通常用化学方程式表示。
反应体系可以看做一个动力学系统，其中包含许多分子与离子等小粒子。
因而，化学反应的动力学描述不能用简单的数学方程，需要复杂的微计算机模型才能进行精确的预测与计算。
2.2 基本方程式化学反应通常用两种基本的微分方程表示，分别为质量守恒方程和能量守恒方程。
（1）质量守恒方程：\frac{dC_{i}}{dt} = \frac{v}{V}(C_{i,in} - C_{i}) - r_{i}$$其中，$C_{i,in}$为初始物质浓度，V为反应体系的体积，$r_i$ 为物质 i 的摩尔反应速度。
（2）能量守恒方程：$$\rho c \frac{dT}{dt} = \frac{\partial Q}{\partial t} - \sum_{i}h_{i}r_{i}v$$其中，$h_i$为第i种反应物的热效值，$T$为反应物的温度，$c$为密度。
$\frac{\partial Q}{\partial t}$为吸热量与放热量之差。
2.3 材料平衡方程式当反应体系中存在多个反应物和产物时，需要建立材料平衡方程式来确定反应物和产物之间的转化关系。
以 $2A + B \rightarrow 3C + D$ 反应为例，可以推导出相应的材料平衡方程式：$$\frac{dC_{A}}{dt} = \frac{v}{V}(C_{A,in} - C_{A}) - 2r_{1}$$\frac{dC_{B}}{dt} = \frac{v}{V}(C_{B,in} - C_{B}) - r_{1}$$$$\frac{dC_{C}}{dt} = \frac{v}{V}(C_{C,in} - C_{C}) + 3r_{1}$$$$\frac{dC_{D}}{dt} = \frac{v}{V}(C_{D,in} - C_{D}) + r_{1}$$其中，$r_{1}$ 为反应速率常数，$C_{i,in}$为初始浓度。
数值模拟方法与应用
数值模拟方法与应用
随着计算机技术的不断发展和进步，数值模拟方法也在不断被广泛应用。
数值模拟方法是指利用计算机进行数值计算，对某种物理过程或现象进行模拟和仿真。
这种方法广泛应用于工程、科学、医学等领域，特别是在工程领域得到了广泛的应用。
数值模拟方法的基本原理是将复杂的现象或过程分解成若干个简单的部分，然后利用数学模型对这些部分进行求解。
其解决问题的过程需要建立数学模型、选择求解方法、编制计算程序以及计算结果的分析与评价等过程。
在工程领域，数值模拟方法被广泛应用于产品的设计、流体力学分析、材料力学分析、结构振动分析等方面。
例如，利用数值模拟方法可以预测风力发电机翼型、尾部气动装置的性能，进行水利水电工程水流模拟分析，可视化地评估建筑物的安全性以及在计算机辅助设计帮助下快速进行车身结构优化。
当然，数值模拟方法并非完美无缺，在某些情况下也存在局限性。
例如，模型设计不合理容易产生误差、计算代价过高、结果精度低等问题。
不过，随着计算机技术的不断提高，这些问题将会得到逐步解决。
总之，数值模拟方法的应用领域是非常广泛的，可以有效地帮助人们进行复杂物理现象的模拟和预测，进而为工程和科学的发展做出重要贡献。
数值模拟方法
数值模拟方法数值模拟方法是一种通过计算机对物理、化学、工程等领域中的现象进行模拟和分析的方法。
它通过建立数学模型，利用数值计算方法对模型进行求解，从而得到所研究系统的一些重要信息。
数值模拟方法已经成为科学研究和工程技术领域中不可或缺的工具之一。
在科学研究中，数值模拟方法可以帮助研究人员更好地理解复杂的物理现象。
例如，在天文学中，科学家们可以利用数值模拟方法来模拟宇宙中恒星的形成和演化过程；在地球科学领域，数值模拟方法可以用来模拟地震波的传播规律。
而在工程技术领域，数值模拟方法则可以帮助工程师们设计更安全、更高效的产品和工艺。
数值模拟方法的核心是建立数学模型。
数学模型是对真实系统的抽象和简化，它可以是基于物理定律的微分方程模型，也可以是基于统计规律的随机模型。
建立好数学模型之后，就需要选择合适的数值计算方法对模型进行求解。
常用的数值计算方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的问题。
在进行数值模拟时，我们需要关注模拟结果的准确性和可靠性。
准确性是指模拟结果与真实系统的符合程度，而可靠性则是指模拟结果的稳定性和可信度。
为了提高模拟结果的准确性和可靠性，我们需要不断改进数学模型和数值计算方法，同时也需要考虑计算机的计算精度和稳定性。
除了关注模拟结果的准确性和可靠性，我们还需要关注模拟的效率。
随着计算机计算能力的不断提高，我们可以利用并行计算、高性能计算等技术来加速数值模拟的过程。
这样可以大大缩短模拟的时间，提高工作效率。
总的来说，数值模拟方法是一种强大的工具，它在科学研究和工程技术中发挥着重要作用。
通过建立数学模型和选择合适的数值计算方法，我们可以更好地理解复杂的现象，设计创新的产品，解决实际的工程问题。
随着计算机技术的不断发展，数值模拟方法也将不断完善，为人类的发展进步提供强大的支持。
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第三章 数值模拟理论与方法§3.1 流体力学的基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律[44]。
（一）连续方程0)(=∇+∂∂v tρρ （3.1） 式中 ρ－流体密度u －流体速度分量（二）动量方程（x 方向）对于不可压流体（即0=∇v ）xp f v u v x u x ∂∂-+∇∇=⋅∇+∂∂ργρρρ)()()( （3.2） 式中 γ－运动粘性系数p －压力对于可压缩流体()()()()()xp f v x u u v x u x ∂∂-+∇∂∂+∇∇=⋅∇∂∂ργργρρρ 31 （3.3） 式中等号后前两项是粘性力y ，z 方向上的动量方程可类似推出。
（三）能量方程()()()v q T k e v e tερρ++∇⋅∇=⋅∇+∂∂ （3.4） 其中 T C e v =式中等号左边第一项是瞬变项，第二项是对流项，等号右边第一项是扩散项，第二、三项是源项。
所以，流体力学基本方程组为：()0=∇+∂∂v tρρ()xp f u u v f t u x ∂∂-+∇∇=⋅∇+∂∂ργρ)( ()()yp f v v v f t v y ∂∂-+∇∇=⋅∇+∂∂ργρ （3.5） ()()wp f w w v f t w w ∂∂-+∇∇=⋅∇+∂∂ρλρ ()()v q e c k e v f e t v ερ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∇=⋅∇+∂∂ §3.2 紊流模式理论概况§3.2.1 基本方程在自然界中，真实的流体都具有粘性。
粘性流体存在两种不同的运动方式和流态，即层流和紊流。
而在自然界和工农业生产中所遇见的流体流动大部分都是紊流。
三维的N-S 方程是目前描述粘性流体运动较为理想的模型，其优点一是应用范围广，在空气、水流、传热等方面均用N-S 方程描述；二是对于有分离、旋涡等情况的复杂三维流动更为适用。
三维直角坐标下的N-S 方程[45]，[46]，即不可压缩粘性流体的动量方程式为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=)()()(222222222222222222zw y w x w z p F Dt Dw z v y v x v y p F Dt Dv z u y u x u x p F Dt Du z y x μρρμρρμρρ（3.6） 不可压缩流体的连续性方程为：（3.7） 式（3.6）和（3.7）共有四个未知数（u 、v 、w 、p ）和四个方程，加上边界条件，从理论上来讲其解是存在的。
但是，要直接求解复杂而详细的粘性流体运动是十分复杂和困难的。
其原因是：直接求解N-S 方程要求求解从反映消散运动的最小涡漩尺度到反映大尺度涡体的所有流动尺度，因而只有对简单情况下才有理论解。
0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u§3.2.2 三维N-S方程N-S方程模型的流动计算可分为三种方法：1.直接模拟法（Direct Numerical Simulation，DNS）除稀薄气体等极端条件外，紊流的最小长度尺度远远大于分子运动的长度尺度，故紊流可以作为连续体运动处理。
从原理上讲，可以用三维非定常的N-S方程对紊流进行直接计算。
这种直接计算不需要紊流模型化，可像层流那样进行数值计算。
但是，现实的高雷诺数紊流中，由于其最小尺度很小，若要对最小尺度的紊流进行直接计算，就需要很多的计算时间和庞大的计算机容量。
这远远超过现有的计算机能力。
当前直接计算法只能用于对低雷诺数紊流进行直接计算，并且用新型巨型向量计算机可取数十万个网格点，但也只能捕捉到较大的紊流涡，网格的网目捕捉不到小涡，从而得到的仅是关于大涡结构的大体结果。
将来，即使可能进行精确的直接计算，但为了获得有意义的信息，也必须对大量的计算结果进行统计处理。
2.大涡模拟法（Large Eddy Simulation，LES）依照紊流的旋涡理论，紊流的脉动与混合主要是有大尺度的涡造成的。
大涡从主流中获取能量，分裂后将能量传到较小的涡。
大涡的运动为各向异性，随流动情况而不同。
小涡主要是耗散能量，几乎各向同性，并且不同流动情况的小涡有许多共性。
从而得出大尺度涡模拟的数值方法。
即用非定常的（三维且时间相关的）N-S方程确定大涡的特性，不计算小涡。
而小涡的效果有近似的模型来处理，即用大涡模拟还可以对那些被直接计算忽略掉的，比如计算网格小的涡，经模型化，进行数值模拟。
该方法需要相当大的计算机内存和计算时间。
3.雷诺（Reynolds）时均方程法将非定常的N-S方程作时间平均处理。
在所得出的时均方程中包含了脉动量乘积的时均值未知数，于是方程个数少于未知数个数，如作出进一步的时均处理将出现更高阶的脉动量乘积的时均值未知数，方程不可能封闭；要是方程封闭，须作出一定的假设。
这是工程上普遍采用的方法，因为工程中感兴趣的是时均量。
在三维N-S方程计算模型中，雷诺时均方程法是较常使用的一种方法。
该方程是在将紊流看成时均运动和脉动运动的基础上建立的。
紊流运动的任何变参量都分解为时间平均值和脉动值，例如：'i i i u u u +=，'p p p +=等。
不可压缩粘性流体的三维N-S 方程组作时均处理后的时均方程为：连续性方程：0=∂∂i i x u ,0'=∂∂ii x u （3.8） 动量方程（雷诺方程）：)(''j i ij i j j ju u x u x x p F Dt u D ρμρρ-∂∂∂∂+∂∂-= （3.9） 式中：''j i u u ρ-为二阶相关项，又称为雷诺应力，p 为压力值，u 为速度，x 为坐标轴，i=1，2，3，j=1，2，3，分别表示x ，y ，z 三个空间坐标，脚标在某一项中相同时，表示求和。
变量上方有“-”者为时均值，变量上标有“′”者为脉动量。
显然方程（3.8）、（3.9）包含有十个未知量，而方程只有四个，方程不封闭，只是因为对N-S 方程取平均，使得脉动时空的细节抹平，失去了反映流动内部的细节信息，导致了方程的不封闭。
为了找回平均过程中失去的紊流流动的细节信息，科学工作者建立和引入了多种紊流模式来弥补失去的信息和封闭时均N-S 方程，从而能反映紊流特性和封闭雷诺方程的模式称为紊流模型（Turbulence Model ）。
§3.2.3 紊流模型时均N-S 方程中的二阶相关项，即雷诺应力项''j i u u ρ-是未知量，它有自己的表示式称为紊流模型。
紊流模型的表示式与时均N-S 方程形成封闭的方程组。
常用的紊流模型都是建立在涡粘性概念的基础上的，雷诺应力与涡粘性的关系为： )(''ij j i t j i x u x u u u ∂∂+∂∂=-μρ （3.10） 式中：μt 为涡粘性系数。
各种紊流模型都是表示紊流涡粘性系数μt 的方程式。
目前已有许多的工程紊流模式，并且还在不断的发展之中，这里仅简单介绍目前工程上广泛应用的零方程紊流模型、一方程紊流模型、二方程紊流模型、雷诺应力方程模型、代数应力紊流模型等理论及进展。
1.零方程模型就是在运动方程和连续方程以外，不需要另外再加任何方程式来使方程组封闭。
即雷诺应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来，所以只要把雷诺应力直接代入运动方程中去，而不必另外再加上其它的补充方程式了。
零方程模型中有紊流粘性模型、混合长度模型、涡量传递模型及紊动局部相似模型等。
如直接用时均速度模拟二阶相关项，也称为Prandtl混合长度模型。
虽然该模型简单，有一些成功的应用，但存在以下缺点：忽略了紊流的对流和扩散输送，对不同的流动要采用不同的经验系数，缺少通用性。
它不适合有回流的较复杂流动，也无法处理表面曲率的影响。
2.一方程模型为克服零方程模型的缺陷，在紊流平均运动的连续性方程和动量方程基础上，添加一个湍动能k方程以力图组成封闭方程组，而其它二阶脉动相关量均有代数方程表示。
由于一方程模型中引入的修正函数是与流场和长度尺寸有关的函数，部分考虑了紊流的历史效应，既考虑了湍动能的对流项和扩散项对湍流输送过程的影响，但长度尺寸必须有经验给出，对于复杂问题其值很难确定。
普遍性不高，对于复杂流动精度也不高。
3.二方程k-ε模型它是二方程模型中应用最广的一种。
它以一方程模型为基础，再增加一个ε（耗散率）为因变量的控制方程，来使方程组封闭，即用偏微分方程求解紊流的特征长度。
标准的k-ε模型认为紊动粘性系数是各向同性的，它不仅考虑到紊动速度比尺的输送，而且考虑到紊动长度比尺的输送，因而能确定各种复杂水流的长度比尺分布。
该模型基本形式比较简单，实际应用性广，能成功的预测许多剪切层型水流和回流，适用于各向同性或弱各向异性紊流。
但是，k-ε模型也存在一些缺陷，例如，模型中的经验常数通用性尚不十分令人满意，对强旋流、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动、圆管射流几种流动不适用。
4.k-ε紊流模型的修正对k-ε紊流模型的修正主要有浮力修正法、近壁函数法、低雷诺数模型、区域模型、双流体模型、各向异性及多尺度等方法。
对于近壁区的修正，一般采用壁面函数和低雷诺数方程的方法。
采用壁面函数法时，紊流流动中采用高雷诺数k-ε模型。
而在粘性底层内不布置任何节点，把第一个与壁面相邻的节点布置在旺盛紊流区域内。
这种方法能节省内存和时间，在工程紊流计算中应用较广。
但是，壁面函数是不精确的，尤其当存在很大的压力梯度时；其次，当出现分离流时，壁面函数不容易确定。
两种改进的壁函数关系已被提出，在一定程度上使计算结果得以改善。
低雷诺数模型考虑近壁区分子粘性对紊流的作用，在充分发展的紊流区用高雷诺数模型：在低雷诺数区，将高雷诺数模型修正，使之可应用到低雷诺数区。
低雷诺数模型的种类很多，虽然现有的各种低雷诺数k-ε模型在预测紊流流场特性方面已有很多成功的实例，但在确定流动中的紊流脉动能的分布方面却不理想，并且在计算时间及计算内存方面所付出的代价也是很大的。
5.雷诺应力方程模型直接从脉动速度场出发，导出湍流应力式，然后对方程中各项作适当的分析与简化，使方程组封闭。
该模型考虑了紊动粘性系数各向异性效应，对浮力效应、强旋转效应、曲壁效应和近壁效应的模拟精度较高。
但它的k方程及ε方程的模拟精度并不比标准的k-ε模型高，且对于工程应用而言过于繁琐，对三维流动，仅紊流特性本身就需11个偏微分方程，同时各个应力分量的边界条件事先很难给定。
6.代数应力模型代数应力模型一般将应力方程模型的微分方程简化为代数方程，并保留微分方程的基本性质，即由k方程及ε方程加上一些代数方程构成。