《两个基本原理》第二课时
9-1-1静电场-静电力和电场强度
Ex
dEx
2 1
cos d 4 0d
4 0d
(s in 2
sin1 )
Ey dEy
E Exi Ey j
2 sin d
1
4 0d
,E
E
2 x
E
2 y
4
0d
(cos
1
cos
2
)
,
tg1 E y
Ex
讨论：1.当均匀带电细棒为无无限限长长时， 1 0 2
dE
Pe
4 0r3
电偶极子延长线
上一点的场强
E
2 pe
4 0r 3
p
r
r
r
l
q q
16
第16页，共29页。
E E左 E右
无限长均匀带电直线附近一点的场强方向 垂直于带电直线
r左
dq
p
r右
dq
17
第17页，共29页。
3 连续分布电荷的电场强度
取连续分布电荷的电荷元dq,
ddEq可 视4为dq0点r 2电e荷r ,,其e电r 场 强rr 度
难点：理解通量和环量的概念，理解根据不同要求选 择电荷元的方法，用一次积分法求带电体内、外任一 点的电场强度及电势；高斯面的选择，应用高斯定理 求具有一定对称性的电场的场强的方法。
6
第6页，共29页。
电荷的基本性质
一 电荷 电荷和质量一样是基本粒子的固有属性
电荷是使物质间发生电相互作用的一种属性
dE
p
Q
电荷均匀分布的情况下,用电荷密度表示dq.
电荷线密度:
dq
dl
电荷面密度: dq
ds
电荷体密度: dq
狭义相对论两个基本内容
狭义相对论两个基本内容狭义相对论是20世纪最重要的物理理论之一，其被誉为“现代物理学的基石”。
该理论涉及到一系列复杂的概念和模型，其基本内容有两条：一是基本数学理论，二是基本物理学原理。
狭义相对论的基本数学理论是特殊相对论的几何结构，也叫广义相对论的几何结构。
它是一种十分复杂的数学概念，它涵盖了狭义相对论的各种基本性质、结构以及表达方式。
它的本质是一种多维的空间时间结构，它能够描述物质运动、受力等物理现象，并能够探寻宇宙中生命体以及物质结构等诸多深奥的自然现象。
狭义相对论的基本物理学原理是其最重要的内容，它包括了四大定律动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律以及最后的相对论的最佳性原理。
动量守恒定律是物质动量不可改变的基本物理定律，它指出物质系统之间保持总动量守恒；能量守恒定律，指出物质系统之间保持总能量守恒；牛顿第二定律指出物体在受到外力作用时会受到加速，相对论的最佳性原理指出物理定律在不同速度作用下具有同样的效果，并且能够把物理定律由静止系统中的特定形式移植到运动系统中，即能够在运动系统中描述物理原理，从而使得运动的观测者和静止的观测者能够debug完全一致的结论。
以上就是狭义相对论的两个基本内容，它们均具有极其重要的科学意义和重要性，这两个基本内容就是狭义相对论成功的基础。
它们究竟是如何成功的，并且在物理研究中有何重要作用，这是物理学家和理论物理学家们一直在努力的研究之处。
由于狭义相对论的基本内容非常复杂，因此许多学者、物理学家和理论物理学家们不断研究它，以解开狭义相对论的奥秘，深入理解它的内容，探求它的实际意义，从而对物理研究有着重要的作用。
今天，狭义相对论是许多科学家、物理学家和理论物理学家积极研究的重要课题，他们通过研究狭义相对论的基本内容，探讨在宇宙中物质运动等深奥现象，并发展出了许多精英理论物理学家，使当今宇宙科学取得了巨大发展，为我们了解宇宙提供了重要线索。
因此，可以说，狭义相对论的两个基本内容不仅对宇宙的科学探索有着重大的影响，同时也是未来物理研究的根本。
《第6课用对立统一的观点看问题》作业设计方案-中职思想政治高教版23哲学与人生
《用对立统一的观点看问题》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 加深学生对对立统一基本原理的理解，掌握其基本内涵和运用方法。
2. 培养学生的辩证思维，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 增强学生对于社会主义核心价值观的认同感，促进学生的全面发展。
二、作业内容作业内容主要围绕以下方面展开：1. 阅读教材，梳理知识点。
学生应深入学习《用对立统一的观点看问题》这一课的内容，包括对立统一的定义、特点、意义等，并整理成笔记。
2. 理论运用。
学生需选取生活中常见的问题或现象，运用对立统一观点进行分析，例如人际关系中的竞争与合作、个人利益与集体利益等。
分析时需明确指出其中的对立面和统一面，并阐述其相互关系和转化过程。
3. 案例分析。
选择两个具有代表性的案例，如历史事件或社会现象，分析其发展变化中对立统一的作用。
需思考其蕴含的对立统一观点和影响，并在课后提出个人看法和启示。
三、作业要求为保证作业质量，需明确以下要求：1. 学生应按时完成作业，不拖延，且字迹清晰、规范。
2. 理论运用部分需有具体的实例，真实、生动地展示对立统一观点的运用。
3. 案例分析需紧密结合教材内容，突出重点和难点，注重分析和理解。
4. 鼓励学生在完成作业时积极思考、探索，不拘泥于课本，结合自己的理解和实际生活经验进行深入分析。
四、作业评价作业评价将根据以下标准进行：1. 作业完成度：是否按时完成，内容是否完整。
2. 理论运用：实例选取是否恰当，对立统一观点的运用是否准确。
3. 案例分析：分析是否深入，观点是否鲜明。
4. 创新性：是否结合个人理解和实际生活经验进行探索。
五、作业反馈教师将根据学生作业情况进行反馈，指出优点和不足，并给出改进建议。
同时，鼓励学生之间互相交流、学习，共同进步。
以上是“中职思想政治课程《用对立统一的观点看问题》第一课时”的作业设计方案。
此方案旨在通过多样化的作业内容与要求，培养学生的辩证思维和解决问题的能力，同时也加强学生对社会主义核心价值观的认同感。
人教a版数学【选修2-3】1.1《两个基本原理的应用》ppt课件
性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
乘法 原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的， 应用 _______ 做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完 成，这件事才算完成．
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
典例探究学案
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
数字问题
由 1、2、3、4 可以组成多少个自然数(数字可以 重复，最多只能是四位数)?
[分析]
第一章 1.1 第2课时
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[ 方法规律总结 ] 步”的标准是什么．
1. 在同一题目中涉及到这两个定理时，
必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分 2 ．数字问题要注意是否允许数字重复，各位上的数字是
否受到某些条件限制．
第2课时
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1.能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘 法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能 力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
第一章
1.1
第一章
1.1
第2课时
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2 ．分类要做到 __________ 不重不漏 ，分类后再分别对每一类进行 分类加法计数原理 求和，得到总数． 计数，最后用___________________ 步骤完整 ，步与步之间要 __________ 相互独立 ， 3 ．分步要做到 __________ 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总
《第二章 3 气体的等压变化和等容变化》教学设计教学反思-2023-2024学年高中物理人教版201
《气体的等压变化和等容变化》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解气体等压变化和等容变化的观点和原理。
2. 能够运用理想气体状态方程进行简单的计算。
3. 了解气体实验定律在气体性质钻研中的应用。
二、教学重难点1. 教学重点：理解气体状态参量之间的干系，掌握气体实验定律。
2. 教学难点：运用理想气体状态方程进行实际问题的分析和解决。
三、教学准备1. 准备教学用具：气体实验仪器、气球、打气筒等实验器械。
2. 准备教学材料：PPT课件、相关图片和视频素材。
3. 准备习题和实验：进行实验操作，验证气体实验定律，并进行习题训练。
4. 制定教学计划：按照教学内容的难易水平和学生实际情况，合理安排教学时间。
四、教学过程：1. 引入新课：通过一些实际例子让学生了解气体等压变化和等容变化的现象和特点，引导学生思考气体压强的变化规律和影响因素，激发学生的学习兴趣和求知欲。
设计示例：通过演示一个简易的气球实验，让学生观察气球内气体体积的变化与外部气压的变化之间的干系，引导学生思考为什么会有这样的变化，从而引入本节课的主题。
2. 观点讲解：详细诠释气体的等压变化和等容变化的观点，引导学生理解气体的状态参量，包括温度、体积、压强等，并分析这些状态参量的变化规律和影响因素。
讲解示例：气体的状态参量是指气体的压强、体积和温度，它们是描述气体状态的三个基本物理量。
当气体体积不变时，压强随温度的变化称为等压变化；当气体压强不变时，体积随温度的变化称为等容变化。
这些变化规律可以用理想气体状态方程来描述。
3. 实验演示：通过实验演示气体的等压变化和等容变化的过程，帮助学生直观地理解这些变化的特点和规律。
演示示例：通过实验演示气体在等压变化和等容变化过程中的压强和体积的变化情况，让学生观察实验现象并分析实验结果，加深学生对这些变化规律的理解。
4. 小组讨论：组织学生分组讨论气体的等压变化和等容变化在实际生活中的应用，引导学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的实践能力和创新认识。
高考数学专题复习《两个基本计数原理、排列与组合》PPT课件
5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取
法的种数是
.
答案 6
解析 从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:第1类,取出
的两数都是偶数,共有3种方法;第2类,取出的两数都是奇数,共有3种方法.
故由分类加法计数原理,不同的取法种数为N=3+3=6.
取0,2,4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数
字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,有
3×4×5×4=240(个)数.第2类,当千位数字为偶数且不为0时,即取2,4,6中的
任意一个时,个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字,百位数字
不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数
不同的方法
依据 能否独立完成整件事
种
完成这件事共有
N=
m1×m2×…×mn
法
能否逐步完成整件事
种不同的方
2.两个计数原理的区别与联系
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是用来计算完成一件事的不同方法种类的计数方法
针对“分类”问题,各种方法相互 针对“分步”问题,各个步骤中的
不同点
注意点
独立,每一类办法中的每一种方 方法互相依存,只有每一个步骤
(5)若组合式C = C ,则 x=m 成立.( × )
2.A24 + C73 =(
)
A.35
B.47
C.45
答案 B
解析
A24
+
C73
=
4!
7!
+
=12+35=47.
人教版A版高中数学《高中数学2-3第一章计数原理》单元教材教学分析
《标准》认为：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法。若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解。教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法。因此教学时，结合教材精心设计，创设有意义的问题情境或数学活动，引导学生独立思考、探索知识，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴进行交流，让学生在学习活动中逐渐领悟数学，开阔思路，培养合作精神，从而实现获得知识，发展能力的目的。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1．在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做.
分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终。排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述。也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题。
3.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
过程与方法1、引导学生认识现实中的计数问题普遍存在；2、通过引言中几个有趣的、对学生的智力有一定挑战性的问题，激发学生学习本章的兴趣。3、通过合作探究，概述了研究计数的总体思路，探究计数的技巧；4、排列与组合方法数比较多，多让学生互相交流、相互启发、多角度的考虑，会加深对问题的理解，激发学习的兴趣。
高考数学第一轮复习学案---计数原理
⾼考数学第⼀轮复习学案---计数原理第⼀课时：两个基本原理、排列组合的基本知识考纲要求：①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；理解排列、组合的概念；②能利⽤计数原理推导排列数公式、组合数公式；③会⽤以上原理和概念解决⼀些简单的实际问题. ⼀、两个基本原理：1、分类加法计数原理：做⼀件事，完成它可以有n 类办法，在第⼀类办法中有m 1种不同的办法；在第⼆类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…..+ m n 种不同的办法.2、分步乘法计数原理：做⼀件事，完成它需要分成n 个步骤，做第⼀步有m 1种不同的办法；做第⼆步有m 2种不同的办法……做第n 步有m n 种不同的办法,那么完成这件事共有N=m 1*m 2*…..* m n 种不同的办法.3、两个原理的共同点和不同点共同点：都是有关做⼀件事的不同⽅法的种数问题；不同点：（1）分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种⽅法相互独⽴，⽤其中任何⼀种⽅法都可以做完这件事；（2）分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的⽅法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.▲要注意“类”和“类”的独⽴性，“步”与“步”的连续性. ⼆、排列1、排列的概念：⼀般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列.2、排列数：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的排列数，记作m n A .3、排列数公式：（1）(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）▲(1)(2)321!n n A n n n n =--??= ▲0!1= （2）)!(!m n n A mn -==nnn mn mA A -- （,,m n N m n *∈≤）三、组合1、组合的概念：从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成⼀组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合.2、组合数：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作mn C .3、排列与组合的区别和联系：相同点：不同点：两者的联系：从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列可以看成先从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀4、组合数公式：（1）!)1()2)(1(m m n n n n C mn +---=▲1n n C =； 01n C =（2）组合数性质:① =mn C mn n C -②=+mn C 1+mn C 1-m nC③1121++++++=++++m n m mn m mm mm mm C C C C C 例题与练习：1、（2010湖北⽂6）现有6名同学旁听同时进⾏的5个课外知识讲座，每名同学可⾃由选择其中的⼀个讲座，不同选法的种数是（）AABCDEF（补充题）GA ．45 B. 56 C.5654322D.6543????23、（2010全国卷2理6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有（）B （A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种4、（2010湖南理数7）在某种信息传输过程中，⽤4个数字的⼀个排列（数字允许重复）表⽰⼀个信息，不同排列表⽰不同信息，若所⽤数字只有0和1，则与信息0110⾄多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) BA.10B.11C.12D.155、（2010四川⽂9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A （A ）36 （B ）32（C ）28 （D ）246、（2009⼴东7）2010年⼴州亚运会组委会要从⼩张、⼩赵、⼩李、⼩罗、⼩王五名志愿者中选派四⼈分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同⼯作，若其中⼩张和⼩赵只能从事前两项⼯作，其余三⼈均能从事这四项⼯作，则不同的选派⽅案共有( )AＡ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种7、（2007⼴东12）如果⼀个凸多⾯体是n 棱锥，那么这个凸多⾯体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有()f n 对异⾯直线，则(4)f = ；()f n = ．：(1)2n n +;8;n(n-2)（答案⽤数字或n 的解析式表⽰）8、（2010全国卷2⽂9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的⽅法共有( )B（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种9、（2010湖北理8）现安排甲、⼄、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每⼈从事翻译、导游、礼仪、司机四项⼯作之⼀，每项⼯作⾄少有⼀⼈参加.甲、⼄不会开车但能从事其他三项⼯作，丙丁戌都能胜任四项⼯作，则不同安排⽅案的种数是（）B A ．152 B.126 C.90 D.54 作业：《⼗年》P213 Ex1-15补充题: （14分）如图，已知四边形ABCD 为矩形，A D ⊥平⾯ABE ，AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点，且BF ⊥平⾯ACE .（1）求证：AE //平⾯BDF ；（2）求三棱锥D －ACE 的体积.（34）题7第⼆课时：⼆项式定理考纲要求：①能⽤计数原理证明⼆项式定理；②会⽤⼆项式定理解决与⼆项式展开式有关的简单问题.⼀、⼆项式定理：当n ∈N *时，nr r n r n n n n n n n b b a C b a C b a C a b a ++++++=+---......)(22211b a n ++与整体展开式⼀样，但展开式的通项不⼀样：)(b a n +的通项是b r ar n C r n T r ?-?=+1；n a b )(+的通项是.'1a r b r n C r n T r ?-?=+ 1、通项公式：第r+1项为.1r b r n ar n C r T -=+ 2、⼆项式的性质：（1）⼆项式系数的对称性在⼆项展开式中，与⾸末两端“等距离”的两项的⼆项式系数相等. （2）⼆项式系数的⼤⼩规律如果⼆项式的幂指数是偶数，中间⼀项即12+n T 的⼆项式系数最⼤；如果⼆项式的幂指数是奇数，中间两项即21+n T 与121++n T 的⼆项式系数最⼤；（3）⼆项式系数和nn n n n C C C 210=+++ ； 1422-=+++n n n n C C C ； 15312-=+++n n n n C C C ；.11--=?r n r n nCC r(1)121++++++=++++m n m mn m mm mm mm C C C C C mn m mm n n n n C C C C C 1221...+++++=++++3、⼆项式系数与项的系数的区别如n bx a )(+的展开式中，第r+1项的⼆项式系数为r n C ；第r+1项的系数为.rb r n a r n C - 4、求展开式的各项系数之和 5、最⼤系数及最⼤项的求法例题1、在2nx- 的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则展开式中常数项是________.72、（2010四川理13）6(2-的展开式中的第四项是 .－160x3、（2010全国卷2理14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 14、（2010湖北⽂11）在210(1)x -的展开中， 4x 的系数为______. 455、（2006江苏）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )B（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）66、（2006江西）在（x2006 的⼆项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当xS 等于7、(2007江西⽂5）11112210102)2()2()2(+++++++=+x a x a x a a x x ，则=++++11211a a a a ________-2 8、（2010湖北理11）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项. 6【解析】⼆项式展开式的通项公式为202012020)(020)rrr r r rrr T C x C xy r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项. 9、（2005⼴东13）已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos = . 22±作业：1、（2010全国卷1⽂5）43(1)(1x --的展开式中2x 的系数是（）A(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)331+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有（C ） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项3、（2010辽宁理13）261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________. -54、（2010江西理6）(82-展开式中不含．．4x 项的系数的和为（）BA.-1B.0C.1D.2 5、（2010安徽理12）6)(xy yx -展开式中，3x 的系数等于__________. 156、（2010全国卷1理5）35(1(1+-的展开式中x 的系数是（）C (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 47、已知2012(1)n nn x a a x a x a x -=++++ ，若12520a a +=，则0123(1)nn a a a a a -+-++-= ________.64补充题： (06辽宁22)已知0(),n11()()(1)k k k f x f x f --=,其中(,)k n n k N +≤∈,设02122201()()()...()...()knn n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-. (I) 写出(1)k f ;(II) (▲思考)证明:对任意的[]12,1,1x x ∈-,恒有112()()2(2)1n F x F x n n --≤+--.【解析】(I)由已知推得()(1)n kk f x n k x -=-+,从⽽有(1)1k f n k =-+(II)当11x -≤≤时,212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21nn n kn k n n n n nF x xnC xn C xn k C x C x ----=++-+-++++当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数因函数()F x 为偶函数，所以()F x 在[-1,0]上为减函数所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-0121(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n nF F C nC n C n k C C --=++-+-+++211(1)(0)23......k n n n nnn F F C C kC nC C ---=++++++所以12112[(1)(0)](2)[......]2k n n n n nn F F n C C C C C ---=+++++++121112(1)(0)[......]22(22)12(2)12k n n n nn nnn n F F C C C C C n n n ---+-=+++++++=-+=+--因此结论成⽴.《⼗年》P215-216： Ex2、4、6、7、9、12、15、24、29、31第三课时：排列组合的⽅法（1）⼀、特殊（元素或位置）优先法例1、（2006年上海春）电视台连续播放6个⼴告，其中含4个不同的商业⼴告和2个不同的公益⼴告，要求⾸尾必须播放公益⼴告，则共有 48 种不同的播放⽅式（结果⽤数值表⽰）. 例2、（2010重庆理9）某单位安排7位员⼯在10⽉1⽇⾄7⽇值班，每天1⼈，每⼈值班1天，若7位员⼯中的甲、⼄排在相邻两天，丙不排在10⽉1⽇，丁不排在10⽉7⽇，则不同的安排⽅案共有（）C A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲⼄排1、2号或6、7号共有4414222A A A ?种⽅法；甲⼄排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种⽅法；故共有1008种不同的排法⼆、合理分类、准确分步例3、安排5名歌⼿的演出顺序时，要求某名歌⼿不第⼀个出场，另⼀名歌⼿不最后⼀个出场，不同排法的总数是 .(78)例4、（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有____种.(48)例5、（2010浙江理17）有4位同学在同⼀天的上、下午参加“⾝⾼与体重”、“⽴定跳远”、“肺活量”、“握⼒”、“台阶”五个项⽬的下午测试握⼒，则其余三⼈对应三个项⽬且不重复，只有2种⽅法，⽽若A 下午不测试握⼒，则握⼒测试有BCD3个⼈选，其余三个项⽬有3种⽅案，故共有24（2+3×3）=264种安排.例6、（2010四川理10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）C （A ）72（B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选⼀个偶数字排个位，有3种选法①若5在⼗位或⼗万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C三、相邻（捆绑法）与不相邻（插空法）问题例7、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外⽂书2本，其他书3本，若将这些书排成⼀列放在书架上，则数学书恰好排在⼀起、外⽂书也恰好排在⼀起的排法共有_____种. 1440.例8、（2010北京理4）8名学⽣和2位⽼师站成⼀排合影，2位⽼师不相邻的排法种数为( )A （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C例9、⾼三（⼀）班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，则不同排法的种数是（）B 5256A A ＝3600（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040 例10、在数字1,2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）B A ．6 B . 12 C. 18 D . 24 四、先选后排法例11、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区⽀教(每地1⼈)，其中甲和⼄不同去，则不同的选派⽅案共有种．解析：可以分情况讨论，①甲去，则⼄不去，有3464C A ?=480种选法；②甲不去，⼄去，有3464C A ?=480种选法；③甲、⼄都不去，有46A =360种选法；共有1320种不同的选派⽅案．五、定序均分问题先排后除法例12、（2006年湖北）某⼯程队有6项⼯程需要先后单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯3320A A =例13、（2006年江苏）今有2个红球、3个黄球、4个⽩球，同⾊球不加以区分，将这9个球排成⼀列有_______种不同的⽅法.992342341260A A A A =,本题主要考查不全相异元素的全排列作业：《⼗年》P213 16-29第四课时：排列组合的⽅法（2）六、先分组后分配法（平均分组与不平均分组）例1、某校安排5个班到4个⼯⼚进⾏社会实践，每个班去⼀个⼯⼚，每个⼯⼚⾄少安排⼀个班，不同的安排⽅法共有______种．（240）例2、5名志愿者分到3所学校⽀教，每个学校⾄少去⼀名志愿者，则不同的分派⽅法共有( ). A （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：⼈数分配上有1,2,2与1,1,3两种⽅式，若是1,2,2，则有3113521322C C C A A ?＝60种，若是1,1,3，则有1223542322C C C A A ?＝90种，所以共有150种，选A例3、（2010江西理14）将6位志愿者分成4组，其中两个各2⼈，另两个组各1⼈，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配⽅案有种. 1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应⽤知识的意识.先分组，考虑到有2个是平均分组，得22116421222C C C C A A 两个两⼈组两个⼀⼈组，再全排列得：221146421422221080C C C C A A A ??= 七、相同元素分配的隔板法例4、将⾃主招⽣的10个名额分配给7所学校，每校⾄少1名，则名额的分配⽅式有_________种.84解：问题等价于在10个相同元素的9个间隔（除去两端）中插⼊6块隔板隔成7份，共有8469=C 种. 例5、⽅程x+y+z=8（x 、y 、z 都是⾮负整数）有________组解. 45210=C例6、将⾃主招⽣的10个名额分配给3所学校，每校⾄少2名，则名额的分配⽅式有_________种.1526=C⼋、等价转化法：正难则反、分排问题连排处理等例7、从4名男⽣和3名⼥⽣中选出3⼈，分别从事三项不同的⼯作，若这3⼈中⾄少有1名⼥⽣，则选派⽅案共有（）解析：从全部⽅案中减去只选派男⽣的⽅案数，共有3374A A -=186种，选B.（A ）108种（B ）186种（C ）216种（D ）270种例8、有两排座位，前排10个座位，后排11个座位，现安排两⼈就座，如果因故后排中间3个座位不能坐，并且这2⼈不能左右相邻，那么不同排法的种数是________.2218215A A -=276例9、（2006年全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =.选择I 的两个⾮空⼦集A 和B ，要使B 中最⼩的数⼤于A 中最⼤的数，则不同的选择⽅法共有( )种.B A ．50 B ．49 C ．48 D ．47 解析：显然A B =? ，设A B C = ，则C 是I 的⾮空⼦集，且C 中元素不少于2个（当然，也不多于5个）；另⼀⽅⾯，对I 的任何⼀个k （25k ≤≤）元⼦集C ，我们可以将C 中元素从⼩到⼤排列，排好后，相邻数据间共有k -1个空档，在任意⼀个空挡间插⼊⼀个隔板，隔板前的元素组成集合A ，隔板后元素组成集合B . 这样的A 、B ⼀定符合条件，且集合对{A ，B }⽆重复.综上，所求为：213141515152535449C C C C C C C C +++=例10、8⼈排成前后两排，每排4⼈，其中有2个⼥⽣要排在前排，另有2个个⼦⾼的要排在后排，共有_____种不同的排法. =??442424A A A 3456九、染⾊、⼏何计数问题例11、某城市在中⼼⼴场建造⼀个扇环形花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种不同颜⾊的花，每⼀部分栽种⼀种且相邻部分不能栽种同样颜⾊的花，有______种不同的栽种⽅法.120例12、⼀个地区分为5个⾏政区域，如右上图，现给地图着⾊，要求相邻区域不得使⽤同⼀种颜⾊.现有四种颜⾊可供选择，则不同的着⾊⽅法共有种.72例13、将⼀个四棱锥的每个顶点染上⼀种颜⾊，并使同⼀条棱上的两端异⾊，如果只有5种颜⾊可供使⽤，求不同的涂⾊⽅法总数．420例14、现⽤4种颜⾊给三棱柱的6个顶点涂⾊，要求同⼀条棱的两端点的颜⾊不同，4种颜⾊全部⽤上，有_________种不同的涂⾊⽅案.216例15、（2010天津理10）如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法⽤（） B （A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种【解析】(1)B,D,E,F ⽤四种颜⾊，则有441124A ??=种涂⾊⽅法；(2)B,D,E,F ⽤三种颜⾊，则有334422212192A A ??+=种涂⾊⽅法；(3)B,D,E,F ⽤两种颜⾊，则有242248A ??=种涂⾊⽅法；共有24+192+48=264种不同的涂⾊⽅法.例13、( 2006年湖南卷）过平⾏六⾯体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平⾯DBB 1D 1平⾏的直线共有 ( ) D A.4条 B.6条 C.8条 D.12条例14、（2006年上海卷）如果⼀条直线与⼀个平⾯垂直，那么，称此直线与平⾯构成⼀个“正交线⾯对”．在⼀个正⽅体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平⾯构成的“正交线⾯对”的个数是．36 作业：《⼗年》P213 Ex30-45第五课时：习题课题组⼀ (排队问题、相邻、不相邻、特殊位置、特殊元素、定序、分排等)1、从8⼈中选5⼈排成⼀排照相，每次拍照时甲或⼄两⼈中要有⼀⼈排在正中间，有____种不同的排法.( 1680247=A )2、从8⼈中选5⼈排成⼀排照相，若选到甲或⼄，他们两⼈都不能排在正中间，有____种不同的排法.( 47583624461456250402A A A A A C A -==++)3、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，其中甲、⼄都不能排在两端，有______种不同的排法.（7727A A ）4、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，任何两个男⽣不能连排在⼀起，有______种不同的排法.（4655A A ）5、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男⼥⽣相间，有______种不同的排法.（5544A A ）6、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男⽣不能都排在⼀起，有______种不同的排法.（664499A A A -）7、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，男、⼥⽣各在⼀边，有______种不同的排法.（55442A A ）8、4名男⽣和5名⼥⽣排成⼀横队，其中甲在⼄的左边，丙在⼄的右边，有______种不同的排法.（3399A A ）9、4名男⽣和5名⼥⽣排成前后两⾏，男、⼥⽣各在⼀⾏，有______种不同的排法.（55442A A ）题组⼆（分组分配问题、区分均匀与⾮均匀分组）1、有6本不同的书，甲⼄丙3⼈每⼈2本，有_____种不同的分法.( 222426C C C )2、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，⼀⼈1本，⼀⼈2本，⼀⼈3本，有_____种不同的分法.(3 3332516A C C C )3、有6本不同的书，分给甲1本，⼄2本，丙3本，有_____种不同的分法.( 332516C C C )4、有6本不同的书，分成3堆，每堆2本，有_____种不同的分法.(33222426A C C C )5、有6本不同的书，分成3堆，⼀堆1本，⼀堆2本，⼀堆3本，有_____种不同的分法.(332516C C C ) 6、有6本不同的书，分成3堆，有2堆各1本，另⼀堆4本，有_____种不同的分法.(22441516A C C C )7、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，其中甲、⼄各1本，丙4本，有_____种不同的分法.(441516C C C ) 8、有6本不同的书，分给甲⼄丙3⼈，其中两⼈各1本，另⼀⼈4本，有_____种不同的分法.( 332244151C C C )题组三(排列有序、组合⽆序、排列组合不能重复选取，能重复选取为次幂问题，相同元素的隔板模型) 1、3个不同的⼩球放进4个不同的盒⼦，有_______种放法.34=642、3个不同的⼩球放进4个不同的盒⼦，不同的⼩球必须放进不同的盒⼦，有_______种放法.34A =243、3个相同的⼩球放进4个不同的盒⼦，有_______种放法. 142434C A C ++=204、3个相同的⼩球放进4个不同的盒⼦，每个盒⼦放不超过1个⼩球，有_______种放法. 34C =45、4个不同的⼩球放进3个不同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 3324A C =366、4个相同的⼩球放进3个不同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 13C =3 7、4个不同的⼩球放进3个相同的盒⼦，每个盒⼦⾄少放⼊⼀个⼩球，有_______种放法. 24C =6 8、4个不同的⼩球放进3个相同的盒⼦，有_______种放法. 44142224242C C C C C+++=149、12个相同的⼩球放进编号为1、2、3、4的盒⼦中，要求每个盒⼦中的⼩球个数不⼩于其编号数，有_______种不同的放法. （转化为隔板模型1035=C ）题组四1、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车不相同，车上⼯种相同，有_____种不同的分配⽅法.2、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车不相同，车上⼯种不同，有_____种不同的分配⽅法.3、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车相同，车上⼯种相同，有_____种不同的分配⽅法.4、8个⼈分配到4辆车上⼯作，每车两⼈，若车相同，车上⼯种不同，有_____种不同的分配⽅法.1、22242628CC C C2、88A 3、22242628AC C C C 4、42244222426284488)(A AC C C C AA 或作业：《备考指南练习册》P203-204补充：设函数()f x 是定义在[1,0)(0,1]- 上的奇函数，当[1,0)x ∈-时，21()2f x a x x=+(a 为实数）（1）当(0,1]()x f x ∈时，求的解析式；21()2f x a x x=-（2）若()f x 在]1,0(上为增函数，求a 的取值范围. 1a ≥-。
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㈣ 课堂练习
1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 问: 4色、5色等,结果又怎样呢？
2.如图,该电路,从 A到B共有多少条 不同的线路可通 电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类记数原理, 从A到 B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 A
练习 1、将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多 少种? 2、4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.
4. （ 1 ）一个火车站有 8 股岔道，停 放 4 列不同的火车，有多少种不同 的停放方法？（假定每股岔道只能 停放一列火车） （ 2 ）一部记录影片在 4 个单位轮映， 每一单位放映一场，可有几种轮映 次序？
乙地
丙地
练习 1.由0－9这10个数字可以组成多少 个没有重复数字的三位数？可组成 多少个没有重复数字的且能 被5整 除的三位数？
2. 某商场共有 4 个门，若从一个门 进，再从另一个门出，共有多少 种不同的走法？
3、集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问 A到B的不同映射f共有多少个?B到A的映射g 共有多少个?
练习巩固
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种 方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一 个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5 )展开后共有项？
4 + 5 = 9
5. 4张卡片的正、反面分别有0 与1，2与3，4与5，6与7，将其
中3张卡片排放在一起，可组成
多少个不同的三位数？
6. 用四种颜色给如图所示的地图着色 (按①②③④的次序填涂),相邻两块涂不 同的颜色,共有多少种不同的涂法？
３×４×５＝６０
3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 4、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的 可能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
㈣ 课堂练习
1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域 依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据分步记数原理, 得到不同 的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
两个基本计数原理（二）
建构数学
分类计数原理： （加法原理）
完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不 同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有N= m1+m2+…+mn种不同的方法. 要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
B
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。
m1
A
m2
……
B
mn
点评: 我们可以把分类 记数原理看成“并联 电路”;分步记数原理 看成“串联电路”。 如图:
A
m1
m2
….方体的棱,从的一个顶点爬到 相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三 类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据分类记数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线 共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
建构数学
（乘法原理） 分步计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做 第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn 种不同的方法.
要点： （1）分步； （2）每步缺一不可，依次完成； （3） N = m1×m2×…×mn （各步方法之积）
练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条 路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路 可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 甲地 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地 走法。