高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第四层热身篇：(十) 空间几何体、三视图、表面积与

专题检测（十） 空间几何体、三视图、表面积与体积A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.(2019·福州市第一学期抽测)如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是( )解析：选B 由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B.2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A.①②B.①④C.②③D.②④解析：选B 连接A 1C 1，则点P 在上、下底面的正投影落在A 1C 1或AC 上，所以△P AC 在上底面或下底面的正投影为①，在前面、后面、左面、右面的正投影为④.故选B.3.(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A ­BC 1M 的体积VA ­BC 1M ＝( )A.12B.14C.16D.112解析：选C VA ­BC 1M ＝VC 1­ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝16.故选C. 4.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A.100πB.2563πC.4003πD.5003π 解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V＝43πR3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003π.故选D.5.(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.4πB.2πC.4π3 D.π解析：选B由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.故选B.6.某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，此圆锥的体积为()A.πB.22π3C.2πD.22π解析：选B设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为α，则S＝12αR2＝12×2π3×R2＝3π，解得R＝3，底面圆的半径r满足rR＝2π32π，解得r＝1，所以这个圆锥的高h ＝32－12＝22，故圆锥的体积V＝13πr2h＝22π3.故选B.7.已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于()A.12 B.1C.2D.4解析：选B设BC＝a，AB＝2a，所以S1＝2π·a·2a＝4πa2，S2＝2π·2a·a＝4πa2，S1∶S2＝1.故选B.8.(2019·广东省七校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是( )A.24＋62和40B.24＋62和72C.64＋62和40D.64＋62和72解析：选C 把三视图还原成几何体，如图所示.由题意知S 四边形ABCD ＝12，S 四边形BCC 1B 1＝8，S 四边形ABB 1A 1＝6，S 四边形ADSA 1＝(2＋6)×4×12＝16，S 四边形DCC 1S ＝(2＋6)×3×12＝12.易得B 1A 1⊥SA 1，B 1C 1⊥SC 1，且SA 1＝42，SC 1＝5，所以S △SA 1B 1＝3×42×12＝62，S △SB 1C 1＝4×5×12＝10，所以该几何体的表面积为12＋8＋6＋16＋12＋62＋10＝64＋6 2.在棱SD 上取一点D 1，使得DD 1＝2，连接A 1D 1，C 1D 1，则该几何体的体积V ＝V S -A 1B 1C 1D 1＋V ABCD -A 1B 1C 1D 1＝13×12×4＋12×2＝40.故选C. 9.(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A.1B. 2C.2D.2 2解析：选B 根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝ 2.故选B. 10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )A.8 3B.8＋8 3C.62＋2 3D.8＋62＋2 3解析：选B 如图所示，取BC 的中点P ，连接PF ，则PF ⊥BC ，过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q .因为△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，且EF ∥AB ，所以四边形ABFE 为等腰梯形，FP ＝3，则BQ ＝12(AB －EF )＝1，FQ ＝ BF 2－BQ 2＝3，所以S 梯形EFBA ＝S 梯形EFCD ＝12×(2＋4)×3＝33， 又S △ADE ＝S △BCF ＝12×2×3＝3， S 矩形ABCD ＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S ＝33×2＋3×2＋8＝8＋8 3.故选B.11.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A.63πB.72πC.79πD.99π解析：选A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋12×43π×33＝63π.故选A. 12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且P A ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为( )A.10πB.25πC.50πD.100π解析：选D 设球O 的半径为R ，由平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，得△ABC 的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D ，因为AB ⊥BC ，所以点D 为AC 的中点，所以DC ＝3.因为P A ⊥平面ABC ，易证PB ⊥BC ，所以PC 为球O 的直径.又P A ＝8，所以OD ＝12P A ＝4，所以R ＝OC ＝ 42＋32＝5，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.故选D.二、填空题13.(2019·长春市质量监测一)已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为________.解析：记所有棱长都是2的三棱锥为P -ABC ，如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，作PO ⊥AD 于点O ，则PO ⊥平面ABC ，且OP ＝63×2＝233，故三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·OP ＝13×34×(2)2×233＝13. 答案：1314.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点.若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B -ACC 1D 的体积为________.解析：取AC 的中点O ，连接BO (图略)，则BO ⊥AC ，所以BO ⊥平面ACC 1D .因为AB ＝2，所以BO ＝ 3.因为D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4，所以AD ＝2，所以S 梯形ACC 1D ＝12×(2＋4)×2＝6， 所以四棱锥B -ACC 1D 的体积为13×6×3＝2 3. 答案：2 315.如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________.解析：设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r ＝4cosα，圆柱的高为8sin α.所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.当且仅当α＝π4时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大， 所以圆柱的侧面积的最大值为32π.答案：32π16.(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为________.解析：把三视图还原成几何体ABC -DEF ，如图所示，在AD 上取点G ，使得AG ＝2，连接GE ，GF ，则把几何体ABC -DEF 分割成三棱柱ABC -GEF 和三棱锥D -GEF ，所以V ABC -DEF ＝V ABC -GEF ＋V D -GEF ＝43×2＋13×43×2＝3233. 答案：3233B 组——“5＋3”提速练1.(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1木块的直观图如图所示，平面α过点D 且平行于平面ACD 1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )A.3B.32 3C. 2D.1解析：选A 棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1木块在平面α内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为2的等边三角形，所以木块在平面α内的正投影面积是2×12×2×2×32＝ 3.故选A. 2.在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M -PBC 的体积为( )A.1B.32C.92D.与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BCC 1B 1的距离是D 1到平面BCC 1B 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92， ∴V M ­PBC ＝V P ­MBC ＝13×92×1＝32.故选B.3.(2019·重庆市学业质量调研)三棱锥S -ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，已知SA ＝a ，SB＝b ，SC ＝2，且2a ＋b ＝52，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( ) A.21π4B.17π4C.4πD.6π解析：选A 由题意，设三棱锥的外接球的半径为R ，因为SA ，SB ，SC 两两垂直，所以以SA ，SB ，SC 为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝2，所以4R 2＝a 2＋b 2＋4＝a 2＋⎝⎛⎭⎫52－2a 2＋4＝5(a －1)2＋214，所以a ＝1时，(4R 2)min ＝214，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π4.故选A. 4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知正三角形ABC 的三个项点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面圆面积的最小值是( )A.7π4B.2πC.9π4D.3π解析：选C 设正三角形ABC 的中心为O 1，连接OO 1，OA ，O 1A ，由题意得O 1O ⊥平面ABC ，O 1O ＝1，OA ＝2，∴在Rt △O 1OA 中，O 1A ＝3，∴AB ＝3.∵E 为AB 的中点，∴AE ＝32. 连接OE ，则OE ⊥AB .过点E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r ＝32，可得截面圆面积的最小值为πr 2＝9π4.故选C. 5.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( ) A.86π B.46π C.26π D.6π解析：选D 设P A ＝PB ＝PC ＝2a ，则EF ＝a ，FC ＝3，∴EC 2＝3－a 2.在△PEC 中，cos ∠PEC ＝a 2＋3－a 2－（2a ）22a 3－a 2. 在△AEC 中，cos ∠AEC ＝a 2＋3－a 2－42a 3－a 2. ∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a 2＝1，a ＝22， 故P A ＝PB ＝PC ＝ 2.又∵AB ＝BC ＝AC ＝2，∴P A ⊥PB ⊥PC ，∴外接球的直径2R ＝ （2）2＋（2）2＋（2）2＝6， ∴R ＝62，∴V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＝6π. 故选D.6.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________.解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC的距离.再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝（3）2－12＝ 2. 答案： 27.(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________.解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：33 4π818.已知在正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________. 解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，因为在正四棱锥S -ABCD 中，SA ＝63，所以a 22＋h 2＝108，即a 2＝216－2h 2，所以正四棱锥的体积V S -ABCD ＝13a 2h ＝72h －23h 3，令y ＝72h －23h 3，则y ′＝72－2h 2，令y ′>0，得0<h <6，令y ′<0，得h >6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6。