江苏省常州市武进高中2011届高三期中(数学理科)

2010—2011学年度第一学期 中学高三年级 数学试题（2010.11理科）考生注意：1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的 指定位置。

3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置 作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1、若集合{|228}xA x =≤≤，集合2{|log 1}B x x =>，则集合A B =___▲___．2、tan 2010︒的值为___▲___．3、存在实数x ，使得0342<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是___▲___． 4、已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则||a =___▲___． 5、△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒， 不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =___▲___． 6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___ ．7、若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ， 则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ．8、已知32()'(1)3'(1)f x x x f xf =++-，则'(1)'(1)f f +-的值为___▲___． 9、△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=︒，△ABC 的面积为23，那么b =___▲___．10、如果函数)(x f 在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的n x x x ,,,21 ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ 成立. 已知函数x y sin =在区间[0,]π上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是___▲___． 11、已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值， 则a 与b 的夹角范围为___▲___．12、设函数()(01xxa f x a a =>+，且1)a ≠，[]m 表示不超过实数m 的最大整数， 则函数11[()][()]22f x f x -+--的值域是___▲___ ．13、如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，记()f x 的最小 正周期为T ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴 所围区域的面积记为S ，则S T ⋅=___▲___． 14、如果关于x 的方程213ax x+=在区间(0,)+∞上有且仅有一个解， 那么实数a 的取值范围为___▲___．二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本题满分14分）已知向量(sin 3)p x x =，(cos ,cos )q x x =，定义函数()f x p q =⋅. （1）求()f x 的最小正周期T ；（2）若△ABC 的三边长,,a b c 成等比数列，且22c ac a bc +-=，求边a 所对角A以及()f A 的大小．16、（本题满分14分） 在△ABC 中，2BC =，AC =1AB =．（1）求AB AC ⋅；（2）设(1)(0)BP BA BC λλλ=-+>，当△ABP时，求λ的值．17、（本题满分14分）60的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ， 使点Q 在OA 上，点,N M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y , （1） 按下列要求写出函数的关系式：① 设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；② 设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2） 请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值．18、（本题满分16分）函数219()(22f x x a b =-+，2()g x ax b =-(a b x R ∈、、)，集合219{|0}22A x x =-≤，（1）求集合A ；（2）如果0b =，对任意x A ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的范围；（3）如果0b >，当“()0f x ≥对任意x A ∈恒成立”与“()0g x ≤在x A ∈内必有解”PO ABQ MN同时成立时，求a 的最大值．19、（本题满分16分） 函数(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求证：函数()f x 的图像存在唯一零点的充要条件是1a =； （3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立． 20、（本题满分16分） 对任意R x ∈,给定区间)](21,21[z k k k ∈+-,设函数)(x f 表示实数x 与x 的给定区间内 整数之差的绝对值．（1）当11[,]22x ∈-时，求出()f x 的解析式；当11[,]()22x k k k z ∈-+∈时， 写出用绝对值符号表示的)(x f 的解析式；（2）求44(),()33f f -的值，判断函数()()f x x R ∈的奇偶性，并证明你的结论；（3）当121e a -<<时，求方程()log 0a f x -=的实根．（要求说明理由1212e->）2010—2011学年度第一学期 中学高三年级数学试题参考答案(2010.11.理科)一、填空题：二、解答题15、解：(1)f (x )＝p·q ＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，cos x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ………………2分 ＝12sin 2x ＋3·1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.………………………………………………………………………………4分∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.………………………………………………………………6分(2)∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，………………………………………………………7分 又c 2＋ac －a 2＝bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.…………………………………………………10分又∵0<A <π，∴A ＝π3.…………………………………………………………………………12分f (A )＝sin(2×π3＋π3)＋32＝sin π＋32＝32.……………………………………………………14分16、解: （1）由余弦定理知：2(32cos 222(31)A ==+……………………………3分则4A π=，2cos 2(31)3 1.2AB AC AB AC A ∴⋅=⋅=⋅=……………7分 （2）(1),BP BA BC λλ=-+∴ (),BP BA BC BA λ-=-∴(0)AP AC λλ=>,即A P C 、、共线. ………………………9分11231sin (31).2224ABPSAB AP A AP +=⋅=+⋅⋅= ……………12分 ∴22AP =,2AC =又,∴1.2λ= …………………………………14分17、解：（1）①因为23ON x =- ， 33OM x =， 所以2333MN x x =--，… 2分（2）选择233sin cos 33)62y πθθθθ=-=+-，…………… 12分 (0,)3πθ∈ 52(,)666πππθ∴+∈……………………………………… 13分所以max 32y =.……………………………………………………………… 14分18、解：（1211x t +=≥，则221x t =-…………………………1分()0f x ≤即219(1)3022t t --+≤即2680t t -+≤，(2)(4)0t t --≤ 24t ∴≤≤，…3分，所以2214x ≤+≤，所以[15,3][3,15]x ∈-，即[15,3][3,15]A = ………………………………5分（3）对任意x A ∈，()0f x ≥恒成立，22221922211x a b x x +∴+≤=++由（2）可知22a b +≤①，……………………………12分由2()0g x ax b =-≤有解，20ax b -≤有解，即2maxb a x ⎛⎫≤⎪⎝⎭，0b >，∴2max 3b b a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，30a b ∴-≤-------------② …………………15分①+②可得2a ≤所以a 的最大值为22，此时322b =． ………………………16分 19解：（1）/221()(0)a x af x x x x x-=-=>．…………………………………………… 2分 当0a ≤时，/()0f x >，在(0,)+∞上单调递增；……………………………………3分 当0a >时，(0,)x a ∈时，/()0f x <，在上单调递减；(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，在(,)a +∞上单调递增．…………………………………5分综上所述，当0a ≤时，的单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．…… 6分()0f x =在(0,)+∞上有唯一解时必有1a =．………………………………………12分综上：在0a >时，()0f x =在(0,)+∞上有唯一解的充要条件是1a =． （3）证明：∵12x <<,∴111(1)ln 2(1)0ln 12x x x x x -<⇔+-->-. 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，∴/1()ln 2x F x x x +=+-1ln 1x x=+-，……14分 由（1）知，当1a =时，min ()(1)0f x f ==，∴()(1)0f x f ≥=，∴1ln 10x x+-≥．∴/()0F x ≥，∴F（x ）()F x 在(1,2)上单调递增，∴()(1)0F x F >=， ∴(1)ln 2(1)0x x x +-->.∴111(12)ln 12x x x -<<<-．…………………… 16分20解：（1）当]21,21[-∈x 时， 由定义知：x 与0距离最近，||)(x x f = ，].21,21[-∈x 当)](21,21[Z k k k x ∈+-∈时， 由定义知：x k 为与最近的一个整数，故11()||,[,]()22f x x k x k k k Z =-∈-+∈。